Pas de panique. Les trois fonctions de référence, c'est simplement trois machines à calculer qu'on retrouve tout le temps au lycée. On va les voir une par une, vite fait bien fait, pour que tu saches au moins calculer leurs images et reconnaître leur allure. On commence par les prérequis : pour utiliser ces fonctions, tu as juste besoin de savoir ce qu'est une fonction, comment calculer une image, qu'un carré est toujours positif et comment on prend l'inverse d'un nombre ou une racine carrée. Si tu sais faire ça, la suite va te paraître facile.
Prérequis éclairs
Une fonction $f$, c'est une règle qui à un nombre $x$ associe un nouveau nombre $f(x)$, appelé image de $x$. De son côté, $x$ est un antécédent de $f(x)$.
Pour nos trois fonctions, on a besoin de :
- Carré d'un nombre : $x \times x = x^2$. Toujours positif ou nul. Exemple : $(-5)^2 = 25$.
- Inverse d'un nombre : l'inverse de $a
eq 0$ est $\dfrac{1}{a}$. Exemple : l'inverse de $4$ est $\dfrac{1}{4}$. - Racine carrée : $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ (avec $a \ge 0$). Exemple : $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$.
Les trois fonctions en un coup d'oeil
Voici leur nom, leur formule et surtout les valeurs interdites (le domaine de définition) :
- Fonction carré : $f(x)=x^2$. Calculable pour TOUT $x$ réel. $D_f = \mathbb{R}$.
- Fonction inverse : $g(x)=\dfrac{1}{x}$. INTERDITE pour $x=0$. $D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
- Racine carrée : $h(x)=\sqrt{x}$. Existe seulement si $x \ge 0$. $D_h = [0\,;\,+\infty[$.
À toi de jouer
1. Soit $f(x)=x^2$. Complète les images suivantes :
$f(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(-1) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Soit $f(x)=x^2$.
$f(0) = 0^2 = 0$
$f(3) = 3^2 = 9$
$f(-1) = (-1)^2 = 1$
2. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x}$. Complète les images suivantes :
$g(2) = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$g(-4) = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$g\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Soit $g(x)=\dfrac{1}{x}$.
$g(2) = \dfrac{1}{2}$
$g(-4) = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4}$
$g\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
3. Soit $h(x)=\sqrt{x}$. Complète les images suivantes (conseil : reconnais le carré parfait) :
$h(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$h(16) = \underline{\hspace{1.1em}}$ car $\underline{\hspace{1.1em}}^2 = 16$
$h(\dfrac{1}{4}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ car $\underline{\hspace{1.1em}}^2 = \dfrac{1}{4}$
Corrigé
Soit $h(x)=\sqrt{x}$.
$h(0) = 0$
$h(16) = 4$ car $4^2 = 16$
$h\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$ car $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$
Ah oui, c'est ça ! Ces trois fonctions, tu les as déjà croisées. On va remettre de l'ordre : leur domaine de définition, leur courbe, leur sens de variation, et une méthode indispensable pour comparer des images sans calculatrice. On fait ça pas à pas.
Courbes et variations : on révise
Fonction carré $f(x)=x^2$ : sa courbe est une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle décroît sur $]-\infty\,;\,0]$ (flèche qui descend) puis croît sur $[0\,;\,+\infty[$ (flèche qui monte). Minimum en $0$ : $f(0)=0$.
Suite des courbes
Fonction inverse $g(x)=\dfrac{1}{x}$ : courbe en deux morceaux (une hyperbole). Décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ ET sur $]0\,;\,+\infty[$. Surtout, JAMAIS $0$ en image.
Racine carrée
Fonction racine carrée $h(x)=\sqrt{x}$ : définie sur $[0\,;\,+\infty[$. Croissante sur tout son domaine. Sa courbe est une demi-parabole orientée vers la droite.
Méthode : Comparer sans calculatrice
Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$ sans calculer :
- Repérer l'intervalle où se trouvent $a$ et $b$.
- Regarder le sens de variation de $f$ sur cet intervalle.
- Appliquer la règle : si $f$ est croissante et $a < b$, alors $f(a) < f(b)$. Si $f$ est décroissante et $a < b$, alors $f(a) > f(b)$ (l'ordre s'inverse).
À toi de jouer
1. On va comparer $f(-4)$ et $f(-1)$ pour $f(x)=x^2$.
1. $-4$ et $-1$ sont tous les deux dans l'intervalle $\underline{\hspace{1.1em}}$
2. Sur cet intervalle, la fonction carré est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (croissante / décroissante).
3. Comme $-4 \lt -1$ et $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, on a $f(-4) \ \underline{\hspace{1.1em}} \ f(-1)$.
Corrigé
1. $-4$ et $-1$ sont tous les deux dans l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.
2. Sur cet intervalle, la fonction carré est décroissante.
3. Comme $-4 \lt -1$ et $f$ est décroissante, l'ordre s'inverse : $f(-4) \ \mathbf{>} \ f(-1)$.
2. Même logique pour $g(x)=\dfrac{1}{x}$ avec $g(0,5)$ et $g(4)$.
1. $0,5$ et $4$ sont dans $\underline{\hspace{1.1em}}$
2. Sur cet intervalle, $g$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3. $0,5 \lt 4$ donc $g(0,5) \ \underline{\hspace{1.1em}} \ g(4)$.
Corrigé
1. $0,5$ et $4$ sont dans $]0\,;\,+\infty[$.
2. Sur cet intervalle, $g$ est décroissante.
3. $0,5 \lt 4$ donc l'ordre s'inverse : $g(0,5) \ \mathbf{>} \ g(4)$.
3. Pour $h(x)=\sqrt{x}$, complète la comparaison de $h(2)$ et $h(10)$.
1. $2$ et $10$ sont $\ge 0$, donc dans $\underline{\hspace{1.1em}}$.
2. $h$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur cet intervalle.
3. Donc $h(2) \ \underline{\hspace{1.1em}} \ h(10)$.
Corrigé
1. $2$ et $10$ sont $\ge 0$, donc dans $[0\,;\,+\infty[$.
2. $h$ est croissante sur cet intervalle.
3. Comme $2 \lt 10$ et $h$ croissante, on garde l'ordre : $h(2) \ \mathbf{<} \ h(10)$.
C'est l'heure des gammes. Cinq petits calculs d'images, tous sur le même modèle. Tu répètes la mécanique jusqu'à ce que ce soit automatique. Le corrigé est là pour vérifier à chaque fois.
À toi de jouer
1. Calculer $f(-5)$ pour $f(x)=x^2$.
$f(-5) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$f(-5) = (-5)^2 = 25$
2. Calculer $f\!\left(\dfrac{2}{3}\right)$ pour $f(x)=x^2$.
$f\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$f\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$
3. Calculer $g(8)$ pour $g(x)=\dfrac{1}{x}$.
$g(8) = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$g(8) = \dfrac{1}{8}$
4. Calculer $g\!\left(\dfrac{1}{5}\right)$ pour $g(x)=\dfrac{1}{x}$.
$g\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$g\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{1}{\frac{1}{5}} = 5$
5. Calculer $h(144)$ pour $h(x)=\sqrt{x}$.
$h(144) = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ car $\underline{\hspace{1.1em}}^2 = 144$
Corrigé
$h(144) = \sqrt{144} = 12$ car $12^2 = 144$
Place au niveau attendu en évaluation. Tu vas chercher des antécédents, déterminer des domaines de définition, faire des encadrements et comparer en justifiant proprement. Tu peux t'appuyer sur tout ce qu'on a revu.
Pièges à éviter absolument
- $\sqrt{x}$ n'est définie que pour $x \ge 0$. $\sqrt{-9}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$.
- $\dfrac{1}{x}$ n'est PAS définie en $0$. Ne remplace jamais $x$ par $0$ dans la fonction inverse.
- $\sqrt{x^2} = |x|$, pas $x$. Exemple : $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$, pas $-7$.
À toi de jouer
1. Résous dans le domaine de définition de chaque fonction :
a) $x^2 = 81$
b) $\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{9}$
c) $\sqrt{x} = 3$
Corrigé
a) $x^2 = 81 \Rightarrow x = 9$ ou $x = -9$.
b) $\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{9} \Rightarrow x = -9$.
c) $\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 3^2 = 9$.
2. Donne le domaine de définition de :
a) $u(x) = \sqrt{2x - 8}$
b) $v(x) = \dfrac{1}{3x - 6}$
Corrigé
a) $\sqrt{2x-8}$ définie $\Leftrightarrow 2x - 8 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 4$. Donc $D_u = [4\,;\,+\infty[$.
b) $\dfrac{1}{3x-6}$ définie $\Leftrightarrow 3x - 6
eq 0 \Leftrightarrow 3x
eq 6 \Leftrightarrow x
eq 2$. Donc $D_v = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
3. Sans calculatrice, compare en justifiant à l'aide du sens de variation :
a) $f(-6)$ et $f(-4)$ pour $f(x)=x^2$
b) $g\!\left(\dfrac{1}{8}\right)$ et $g(2)$ pour $g(x)=\dfrac{1}{x}$
c) $h(0,1)$ et $h(0,9)$ pour $h(x)=\sqrt{x}$
Corrigé
a) $-6$ et $-4$ sont dans $]-\infty\,;\,0]$. $f$ y est décroissante. Comme $-6 \lt -4$, l'ordre s'inverse : $f(-6) > f(-4)$.
b) $\frac{1}{8}$ et $2$ sont dans $]0\,;\,+\infty[$. $g$ y est décroissante. Comme $\frac{1}{8} \lt 2$, l'ordre s'inverse : $g\!\left(\dfrac{1}{8}\right) > g(2)$.
c) $0,1$ et $0,9$ sont dans $[0\,;\,+\infty[$. $h$ y est croissante. Comme $0,1 \lt 0,9$, on garde l'ordre : $h(0,1) < h(0,9)$.
4. On sait que $2 \le x \le 16$. Encadre les expressions suivantes en justifiant par les variations des fonctions de référence :
a) $x^2$
b) $\dfrac{1}{x}$
c) $\sqrt{x}$
Corrigé
a) $f(x)=x^2$ est croissante sur $[2\,;\,16]$, donc $2^2 \le x^2 \le 16^2$, soit $4 \le x^2 \le 256$.
b) $g(x)=\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $g(16) \le g(x) \le g(2)$, soit $\dfrac{1}{16} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{2}$.
c) $h(x)=\sqrt{x}$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $\sqrt{2} \le \sqrt{x} \le \sqrt{16}$, soit $\sqrt{2} \le \sqrt{x} \le 4$.
5. Problème de synthèse : Soit $P$ un carré de côté $c$ (en cm) et $D$ un disque de rayon $r = \sqrt{c}$ (en cm). On suppose $1 \le c \le 9$.
a) Entre quelles valeurs est comprise l'aire $A_P$ de $P$ ?
b) Entre quelles valeurs est comprise l'aire $A_D$ du disque ? (Rappel : $A_D = \pi r^2$)
Corrigé
a) $A_P = c^2$. La fonction carré est croissante sur $[1\,;\,9]$, donc $1^2 \le c^2 \le 9^2$, soit $1 \le A_P \le 81$ cm².
b) $r = \sqrt{c}$, donc $A_D = \pi (\sqrt{c})^2 = \pi c$. La fonction $c \mapsto \pi c$ est linéaire, croissante car $\pi > 0$. Donc $\pi \times 1 \le A_D \le \pi \times 9$, soit $\pi \le A_D \le 9\pi$ cm².
Pour voir un peu plus loin : on combine ces fonctions avec d'autres opérations, et on s'interroge sur la fonction 'valeur absolue', qui est cousine de la racine carrée et que tu reverras en première.
Fonctions composées
L'an prochain, tu verras qu'on peut composer les fonctions, c'est-à-dire mettre une fonction à l'intérieur d'une autre. Par exemple : $k(x) = \sqrt{x^2+1}$ ou $m(x) = \dfrac{1}{x-3}$. Le domaine de définition devient alors plus subtil à trouver : il faut que l'intérieur respecte les conditions de la fonction extérieure.
La fonction valeur absolue
Tu as appris cette année que $\sqrt{x^2} = |x|$ (lire 'valeur absolue de $x$'). La fonction valeur absolue $a(x)=|x|$ est une nouvelle fonction de référence (que tu reverras en 1ère). Elle donne la distance de $x$ à $0$. Sa courbe est en forme de 'V', décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, minimum $0$ en $0$.
À toi de jouer
1. On définit $k(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$. Montre que $k(x)$ est définie pour tout $x$ réel.
Corrigé
$x^2+1$ est toujours $\ge 1$, donc jamais nul. Le dénominateur ne s'annule jamais, donc $D_k = \mathbb{R}$.
2. Détermine le domaine de définition de $m(x) = \sqrt{x-2} + \dfrac{1}{x-5}$.
Corrigé
$\sqrt{x-2}$ impose $x-2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$.
$\dfrac{1}{x-5}$ impose $x-5
eq 0 \Leftrightarrow x
eq 5$.
En combinant : $x \ge 2$ et $x
eq 5$. Donc $D_m = [2\,;\,5[ \, \cup \, ]5\,;\,+\infty[$.
3. En utilisant la fonction valeur absolue, exprime la distance entre un réel $x$ et $-3$ sous la forme $|x - a|$, puis représente sur une droite graduée l'ensemble des $x$ tels que cette distance soit égale à $4$.
Corrigé
La distance entre $x$ et $-3$ est $|x - (-3)| = |x+3|$.
$|x+3| = 4$ signifie $x+3 = 4$ ou $x+3 = -4$, donc $x = 1$ ou $x = -7$.
Sur une droite graduée, on place les points $-7$ et $1$, tous deux à une distance $4$ de $-3$.