Fonctions de référence — Exercices

Images, antécédents, variations, domaines et encadrements. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Calculatrice inutile

1Calculer des images/ 3 pts

Calculer l'image de chaque valeur indiquée.

Pour $f(x) = x^2$ : calculer $f(-3)$ et $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Pour $g(x) = \dfrac{1}{x}$ : calculer $g(-4)$ et $g\!\left(\dfrac{1}{3}\right)$.
Pour $h(x) = \sqrt{x}$ : calculer $h(49)$ et $h\!\left(\dfrac{9}{4}\right)$.

2Trouver des antécédents/ 3 pts

Résoudre chaque équation dans le domaine de définition de la fonction.

$x^2 = 36$
$\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{7}$
$\sqrt{x} = 4$

3Comparer sans calculer/ 3 pts

Sans calculer les valeurs numériques, utiliser le sens de variation pour comparer et justifier.

Comparer $f(-5)$ et $f(-2)$ pour $f(x) = x^2$.
Comparer $g\!\left(\dfrac{1}{4}\right)$ et $g(3)$ pour $g(x) = \dfrac{1}{x}$.
Comparer $h(5)$ et $h(12)$ pour $h(x) = \sqrt{x}$.

4Domaine de définition/ 2 pts

Déterminer le domaine de définition de chaque fonction.

$u(x) = \sqrt{3x - 9}$
$v(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$

5Encadrement/ 4 pts

On sait que $1 \le x \le 9$. Encadrer chaque expression entre deux réels en justifiant par les variations des fonctions de référence.

$x^2$
$\dfrac{1}{x}$
$\sqrt{x}$
$\dfrac{1}{x^2}$ (utiliser le résultat de la question a)

Corrigé détaillé

1Calculer des images

a) f(−3) $f(-3) = (-3)^2 =$ $9$

a) f(1/2) $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 =$ $\dfrac{1}{4}$

b) g(−4) $g(-4) = \dfrac{1}{-4} =$ $-\dfrac{1}{4}$

b) g(1/3) $g\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{\tfrac{1}{3}} =$ $3$

c) h(49) $h(49) = \sqrt{49} =$ $7$

c) h(9/4) $h\!\left(\dfrac{9}{4}\right) = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} =$ $\dfrac{3}{2}$

2Trouver des antécédents

a) $x^2 = 36 \Rightarrow x = 6 \text{ ou } x = -6$ $x = 6 \text{ ou } x = -6$

b) $\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{7} \Rightarrow x = -7$ $x = -7$

c) $\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 4^2 = 16$ $x = 16$

3Comparer sans calculer

a) $-5 \lt -2 \lt 0 \text{ et } f \text{ décroissante sur } ]-\infty\,;\,0]$ $f(-5) \gt f(-2)$

b) $0 \lt \tfrac{1}{4} \lt 3 \text{ et } g \text{ décroissante sur } ]0\,;\,+\infty[$ $g\!\left(\dfrac{1}{4}\right) \gt g(3)$

c) $5 \lt 12 \text{ et } h \text{ croissante sur } [0\,;\,+\infty[$ $h(5) \lt h(12)$

4Domaine de définition

a) $\sqrt{3x-9} \text{ est définie} \Leftrightarrow 3x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$ $D_u = [3\,;\,+\infty[$

b) $\dfrac{1}{2x+1} \text{ est définie} \Leftrightarrow 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\dfrac{1}{2}$ $D_v = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$

5Encadrement

a) x² $f \text{ croissante sur } [0\,;\,+\infty[ \text{ et } 1 \le x \le 9 \Rightarrow 1^2 \le x^2 \le 9^2$ $1 \le x^2 \le 81$

b) 1/x $g \text{ décroissante sur } ]0\,;\,+\infty[ \text{ et } 1 \le x \le 9 \Rightarrow g(9) \le g(x) \le g(1)$ $\dfrac{1}{9} \le \dfrac{1}{x} \le 1$

c) √x $h \text{ croissante sur } [0\,;\,+\infty[ \text{ et } 1 \le x \le 9 \Rightarrow \sqrt{1} \le \sqrt{x} \le \sqrt{9}$ $1 \le \sqrt{x} \le 3$

d) 1/x² $\text{D'après a) : } 1 \le x^2 \le 81 \text{ ; } g \text{ décroissante sur } ]0\,;\,+\infty[ \Rightarrow \dfrac{1}{81} \le \dfrac{1}{x^2} \le 1$ $\dfrac{1}{81} \le \dfrac{1}{x^2} \le 1$