Exercice sur la symétrie centrale 5ème : corrigés pas à pas

Qui tape « exercice sur la symétrie centrale 5ème » cherche en général deux choses, la figure juste et la phrase qui la justifie : voici onze exercices gradués, du quadrillage au compas, avec des corrigés qui donnent les deux.

Avant chaque exercice sur la symétrie centrale 5ème : la construction de base

Pour construire le symétrique A' d'un point A par rapport à un point O, on trace la demi-droite [AO), puis on reporte au compas la longueur OA de l'autre côté de O. O est alors le milieu du segment [AA']. La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement. Elle revient à faire faire un demi-tour à la figure autour de O.

Tout le chapitre découle de cette définition. Un point et son image sont alignés avec O, à la même distance de O, chacun d'un côté. Le point O est le seul point qui soit son propre symétrique.

Les exercices sont classés par niveau. Sur quadrillage, on compte des carreaux et on ne mesure rien. Au compas, sur papier blanc, on construit l'image d'un segment, d'un cercle ou d'une droite. Au niveau suivant, on ne trace plus : on trouve une longueur ou un angle en citant une propriété. Une dernière série porte sur le centre de symétrie d'une figure, qui est une autre question que la construction d'une image.

Gardez la leçon à côté de vous pendant les exercices : ouvrez la fiche de cours sur la symétrie centrale en 5e et imprimez-la avant de commencer.

Symétrie axiale ou symétrie centrale : le test sur une même figure

La symétrie axiale se travaille en 6e, la symétrie centrale en 5e. Les deux constructions se ressemblent assez pour qu'on les confonde, alors le plus simple est de les faire sur la même feuille.

Placez un point A, une droite d et un point O. Le symétrique de A par rapport à la droite d se construit à l'équerre : on trace la perpendiculaire à d qui passe par A, puis on reporte la distance de l'autre côté de d. Le symétrique de A par rapport au point O se construit sans équerre : on passe par O et on reporte la longueur OA. Dans le premier cas, d est la médiatrice du segment qui relie A à son image. Dans le second, O en est le milieu.

Le test le plus parlant se fait avec une lettre. Dessinez un F et construisez ses deux images. La symétrie axiale donne un F retourné, comme vu dans un miroir. La symétrie centrale donne un F tête en bas, qu'on peut superposer au F de départ en faisant tourner un calque d'un demi-tour, sans jamais le retourner.

Devant une consigne, repérez d'abord ce qu'on vous donne. Une droite appelle l'équerre et la perpendiculaire ; un point appelle le compas et le milieu. Si les deux se mélangent encore, alternez avec quelques exercices de symétrie axiale de 6e : passer de l'un à l'autre oblige à se poser la question à chaque fois.

Niveau 1 : exercices sur quadrillage, corrigés

Sur quadrillage, la règle graduée reste dans la trousse. On compte les carreaux qui séparent le point du centre, puis on refait le même trajet de l'autre côté de O.

Exercice 1. Placez un point O sur un nœud du quadrillage. Le point A se trouve 4 carreaux à gauche de O et 1 carreau au-dessus. Placez A', symétrique de A par rapport à O.

Corrigé. Pour aller de A jusqu'à O, on se déplace de 4 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le bas. On refait ce même trajet en partant de O. On arrive en A', situé 4 carreaux à droite de O et 1 carreau en dessous. Le trajet de A à O est identique à celui de O à A', donc O est le milieu de [AA'].

Exercice 2. Placez un point O sur un nœud du quadrillage. Le point A est 2 carreaux à droite de O et 3 au-dessus. Le point B est 5 carreaux à droite de O, sur la même ligne horizontale. Le point C est 1 carreau à gauche de O et 2 au-dessus. Construisez le triangle A'B'C', symétrique du triangle ABC par rapport à O.

Corrigé. On traite les sommets un par un, puis on les relie. A' est 2 carreaux à gauche de O et 3 en dessous. B' est 5 carreaux à gauche de O, sur la même ligne horizontale. C' est 1 carreau à droite de O et 2 en dessous. Le triangle A'B'C' a la même forme et les mêmes dimensions que ABC, tourné d'un demi-tour autour de O. Pour vérifier vite : B, O et B' sont sur la même ligne du quadrillage, et le segment [BB'] compte 10 carreaux, 5 de chaque côté de O.

Exercice 3. Cette fois, on connaît A et son symétrique A'. Le point A' se trouve 6 carreaux à droite de A et 4 carreaux au-dessus. Placez le centre de symétrie O.

Corrigé. O est le milieu de [AA'], donc on prend la moitié de chaque déplacement : O est 3 carreaux à droite de A et 2 carreaux au-dessus. Pour vérifier, on repart de O avec le même trajet, 3 vers la droite et 2 vers le haut, et on tombe bien sur A'.

Pour continuer sur d'autres figures, ouvrez la fiche d'exercices de 5e sur la symétrie centrale et imprimez-la. Faites-la au crayon, pour pouvoir effacer un report raté.

Niveau 2 : exercices au compas, corrigés

Sans quadrillage, la construction demande deux instruments. La règle trace la demi-droite [AO), qui part de A, passe par O et continue au-delà. Le compas, pointe en O et écarté jusqu'à A, coupe cette demi-droite de l'autre côté de O : le point d'intersection est A'.

Exercice 4. Tracez un segment [AB] de 5 cm et placez un point O qui n'est pas sur la droite (AB). Construisez le segment [A'B'], symétrique de [AB] par rapport à O.

Corrigé. On construit A' à partir de A, puis B' à partir de B, avec la méthode ci-dessus. On relie A' et B'. Avant de rendre la copie, on fait deux vérifications : A'B' mesure 5 cm, et la droite (A'B') est parallèle à (AB). Si l'une des deux échoue, reprenez les reports au compas, car chaque image doit se trouver de l'autre côté de O par rapport à son point de départ.

Exercice 5. Tracez un cercle de centre I et de rayon 3 cm. Placez un point O tel que OI = 4 cm. Construisez l'image de ce cercle par la symétrie de centre O.

Corrigé. Un cercle est fixé par son centre et son rayon. On construit I', symétrique de I par rapport à O, avec OI' = 4 cm, ce qui donne II' = 8 cm. Le rayon ne change pas, puisque la symétrie centrale conserve les longueurs. L'image est le cercle de centre I' et de rayon 3 cm. L'erreur à éviter consiste à garder le centre I, ce qui fait retracer le même cercle.

Exercice 6. Tracez une droite d et un point O qui n'est pas sur d. Construisez la droite d', symétrique de d par rapport à O.

Corrigé. Une droite est fixée par deux de ses points. On choisit deux points M et N sur d, on construit leurs symétriques M' et N', et d' est la droite (M'N'). On constate que d' est parallèle à d : la symétrie centrale transforme toute droite en une droite parallèle. Si O avait été sur d, l'image de d aurait été d elle-même.

Faites ces trois constructions sur papier blanc, puis mesurez à la règle une longueur de départ et son image. Si les deux diffèrent, un report est faux.

Niveau 3 : justifier avec les propriétés de conservation

À ce niveau, on ne construit plus rien. On trouve une mesure en s'appuyant sur ce que la symétrie centrale ne change pas. Elle conserve :

1. les longueurs : un segment et son image ont la même longueur ;
2. les angles : un angle et son image ont la même mesure ;
3. les aires : une figure et son image ont la même aire ;
4. l'alignement : trois points alignés ont des images alignées.

Elle transforme aussi une droite en une droite parallèle. La rédaction tient en trois lignes : ce qu'on sait, la propriété utilisée, la conclusion. Le même modèle sert pour tous les exercices de ce niveau.

Exercice 7. A' et B' sont les symétriques de A et de B par rapport à O. On sait que AB = 6,4 cm. Donnez la longueur A'B' sans la mesurer.

Corrigé rédigé.

1. On sait que le segment [A'B'] est le symétrique du segment [AB] par rapport à O.
2. Or la symétrie centrale conserve les longueurs.
3. Donc A'B' = AB = 6,4 cm.

Exercice 8. Le triangle A'B'C' est le symétrique du triangle ABC par rapport à O. L'angle ABC mesure 47° et l'aire du triangle ABC vaut 12 cm². Donnez la mesure de l'angle A'B'C' et l'aire du triangle A'B'C'.

Corrigé rédigé.

1. On sait que le triangle A'B'C' est le symétrique du triangle ABC par rapport à O.
2. Or la symétrie centrale conserve les angles et les aires.
3. Donc l'angle A'B'C' mesure 47° et l'aire du triangle A'B'C' vaut 12 cm².

Le point délicat est de nommer le bon angle. L'image de l'angle ABC a pour sommet B', l'image de B. C'est donc l'angle A'B'C', et non l'angle B'A'C'.

Exercice 9. A' est le symétrique de A par rapport à O. Justifiez que O est le milieu de [AA'], puis que les points A, O et A' sont alignés.

Corrigé rédigé.

1. On sait que A' est le symétrique de A par rapport à O.
2. Or, par définition, le symétrique d'un point A par rapport à O est le point A' tel que O soit le milieu de [AA'].
3. Donc O est le milieu de [AA']. Le milieu d'un segment appartient à ce segment, donc A, O et A' sont alignés.

La phrase se lit aussi dans l'autre sens : « O est le milieu de [AA'], donc A et A' sont symétriques par rapport à O. » Une réponse du type « on voit que c'est pareil » ne justifie rien, même quand la figure est juste. Écrivez « On sait que », « Or » et « Donc » en tête de chaque question qui demande de justifier, puis remplissez les trois lignes.

Centre de symétrie d'une figure : des exercices à part

Sous le même nom se cache une autre compétence. On ne construit plus l'image d'une figure : on se demande si la figure est sa propre image. Un point O est centre de symétrie d'une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à O est la figure elle-même.

Quelques cas sont à connaître. Le milieu d'un segment est son centre de symétrie. Le centre d'un cercle est le centre de symétrie du cercle. Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie, ce qui vaut aussi pour le rectangle, le losange et le carré, qui sont des parallélogrammes particuliers. Un triangle n'a jamais de centre de symétrie.

Exercice 10. Parmi ces figures, lesquelles ont un centre de symétrie : un triangle équilatéral, un carré, un cercle, un trapèze dont les deux côtés parallèles n'ont pas la même longueur, la lettre N, la lettre E ?

Corrigé. Le carré en a un, au point d'intersection de ses diagonales. Le cercle en a un aussi, qui est son centre. Le triangle équilatéral n'en a pas, malgré ses trois axes de symétrie : un demi-tour autour de son centre fait passer la pointe du haut vers le bas. Le trapèze n'en a pas. La lettre N en a un, au milieu de sa barre oblique. La lettre E n'en a pas : elle a un axe de symétrie horizontal, ce qui est une autre propriété.

Exercice 11. ABCD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en O. On sait que AB = 7 cm et que l'angle DAB mesure 110°. Donnez CD et la mesure de l'angle BCD, en justifiant.

Corrigé rédigé.

1. On sait que O, point d'intersection des diagonales, est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD. Dans cette symétrie, A a pour image C et B a pour image D ; le segment [AB] a donc pour image [CD], et l'angle DAB a pour image l'angle BCD.
2. Or la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles.
3. Donc CD = AB = 7 cm, et l'angle BCD mesure 110°.

Cet exercice explique deux propriétés du parallélogramme : ses côtés opposés ont la même longueur, et ses angles opposés ont la même mesure. Toutes deux viennent de sa symétrie de centre O. Si la notion reste floue, reprenez la fiche de cours de 5e, puis refaites l'exercice 10 sans regarder le corrigé.

Avant de rendre la copie : cinq vérifications

1. Chaque image est de l'autre côté de O par rapport à son point de départ.
2. O est au milieu de chaque segment qui relie un point à son image.
3. Chaque segment image a la même longueur que le segment de départ.
4. Chaque droite image est parallèle à la droite de départ, ou confondue avec elle si O est sur cette droite.
5. Chaque justification cite une propriété après « Or ».

La vérification la plus rapide se fait à la règle. Posez-la sur un point, sur O et sur l'image de ce point. Si les trois ne sont pas alignés, la demi-droite a été mal tracée. Faites cette vérification à la fin de chaque exercice des niveaux 1 et 2.

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Nous ne promettons pas de note. Nous n'avons pas non plus de relevé de séances sur ce chapitre précis : les exercices de cette page suivent la logique de la notion, sans reposer sur un bilan de nos cours. Un bénévole peut reprendre la construction avec l'élève, sur son cahier et avec son compas, puis relire ses justifications ligne par ligne. Le site propose aussi plus de 1 100 fiches en ligne, imprimables. Pour un autre chapitre de l'année, voyez nos exercices de proportionnalité en 5e.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre symétrie centrale et symétrie axiale ?

La symétrie axiale se fait par rapport à une droite : on trace une perpendiculaire, et la figure est retournée comme dans un miroir. La symétrie centrale se fait par rapport à un point : ce point est le milieu de chaque segment qui relie un point à son image, et la figure fait un demi-tour.

Comment trouver le centre de symétrie quand on connaît A et A' ?

On trace le segment [AA'] et on place son milieu, à la règle graduée ou en comptant les carreaux. Ce milieu est le centre O.

La symétrie centrale conserve-t-elle les longueurs et les angles ?

Oui. Elle conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement, et elle transforme une droite en une droite parallèle. C'est ce qui permet de donner une mesure sans la prendre sur la figure.

Où trouver d'autres exercices sur ce chapitre ?

Pour la 5e, ouvrez la fiche d'exercices sur la symétrie centrale. Pour revoir la notion de 6e, il y a les exercices de symétrie axiale. Pour un frère ou une sœur au lycée, voyez les exercices de probabilités de seconde.