Fonctions de référence : carré, inverse, racine carrée

Les prérequis, en deux minutes

Une fonction, c'est une machine. Tu lui donnes un nombre $x$, elle te renvoie un nombre noté $f(x)$ : on l'appelle l'image de $x$.

Le domaine de définition $D_f$, c'est l'ensemble des nombres $x$ que tu as le droit de mettre dans la machine (certaines machines refusent certains nombres).

Ce qu'il faut savoir calculer à la main :

• un carré : $x^2 = x \times x$ (attention, un carré n'est jamais négatif) ;
• une fraction $\dfrac{1}{x}$ (l'inverse de $x$) ;
• une racine carrée $\sqrt{x}$ : le nombre positif dont le carré vaut $x$ (par exemple $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$).

Enfin, deux mots de vocabulaire : une fonction est croissante quand sa courbe monte (quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente) et décroissante quand sa courbe descend.

Les trois fonctions à connaître par cœur

Fonction carré : $f(x) = x^2$, définie sur $D_f = \mathbb{R}$ (tous les nombres). Sa courbe est une parabole en forme de U, posée sur l'origine.

Fonction inverse : $g(x) = \dfrac{1}{x}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, c'est-à-dire tous les nombres sauf $0$ (interdit de diviser par $0$). Sa courbe est une hyperbole en deux morceaux.

Fonction racine carrée : $h(x) = \sqrt{x}$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$, c'est-à-dire seulement pour $x \ge 0$ (pas de racine d'un nombre négatif). Sa courbe est une demi-parabole couchée qui part de l'origine.

Retiens surtout les deux interdits : $0$ est refusé par l'inverse, et les nombres négatifs sont refusés par la racine.

Un exemple traité en entier

On veut calculer quelques images et comparer deux valeurs. On y va pas à pas.

1. Image par la fonction carré : $f(-3) = (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. Le résultat est positif, c'est normal pour un carré.

2. Image par la fonction inverse : $g(4) = \dfrac{1}{4}$. Rien de plus, on écrit juste l'inverse.

3. Image par la racine carrée : $h(9) = \sqrt{9} = 3$, car $3^2 = 9$.

4. Comparer sans calculatrice : qui est le plus grand, $\sqrt{3}$ ou $\sqrt{8}$ ?

On sait que $3 \lt 8$, et que la fonction racine carrée est croissante : elle range les nombres dans le même ordre. Donc $\sqrt{3} \lt \sqrt{8}$.

Conclusion : pas besoin de valeur approchée, la croissance suffit à conclure.

La fonction carré

Définition. La fonction carré associe à tout réel $x$ son carré : $f(x) = x^2$. Elle est définie sur $D_f = \mathbb{R}$ : on peut élever n'importe quel nombre au carré.

Quelques images. $f(-3) = 9$, $f(0) = 0$, $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4}$. Remarque : $f(-3) = f(3) = 9$, deux nombres opposés ont le même carré.

Sens de variation. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, atteint son minimum $f(0) = 0$, puis est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Courbe. C'est une parabole dont l'axe de symétrie est l'axe des ordonnées. Elle descend, touche le fond en $O$, puis remonte symétriquement.

La fonction inverse

Définition. La fonction inverse associe à tout réel non nul $x$ son inverse : $g(x) = \dfrac{1}{x}$. Elle est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ : la seule valeur interdite est $0$.

Quelques images. $g(4) = \dfrac{1}{4}$, $g(-2) = -\dfrac{1}{2}$, $g\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = 3$. L'inverse garde le signe : un positif reste positif, un négatif reste négatif.

Sens de variation. Attention au piège : la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ ET décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ — mais surtout pas « décroissante sur $\mathbb{R}$ », car elle n'existe pas en $0$ et fait un saut.

Courbe. C'est une hyperbole en deux branches. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $g$ est strictement positive et se rapproche de $0$ quand $x$ devient très grand (la courbe frôle l'axe des abscisses sans jamais le toucher).

La racine carrée, et la méthode pour comparer

Définition. La fonction racine carrée associe à tout réel positif $x$ le nombre positif $\sqrt{x}$ dont le carré vaut $x$ : $h(x) = \sqrt{x}$. Elle est définie sur $[0\,;\,+\infty[$.

Quelques images. $h(0) = 0$, $h(9) = 3$, $h\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$.

Sens de variation. La fonction racine carrée est croissante sur tout son domaine $[0\,;\,+\infty[$, en partant de $h(0) = 0$. Sa courbe est une demi-parabole orientée vers la droite.

Méthode — comparer deux images sans calculatrice.

1. Repère l'intervalle auquel appartiennent les deux valeurs de $x$.
2. Vérifie que la fonction est monotone (toujours croissante, ou toujours décroissante) sur cet intervalle.
3. Conclus : si $f$ est croissante et $a \lt b$, alors $f(a) \lt f(b)$ ; si $f$ est décroissante et $a \lt b$, alors $f(a) \gt f(b)$.

Exemple : comparer $h(3)$ et $h(8)$. On a $3 \lt 8$ et $h$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $h(3) \lt h(8)$.

Exemple 1 — calculer des images proprement

On calcule une image par chaque fonction, en détaillant tout.

Fonction carré, $f(x) = x^2$, calcule $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

On remplace $x$ par $\dfrac{1}{2}$ : $f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$.

On élève au carré le haut et le bas : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1^2}{2^2} = \dfrac{1}{4}$.

Fonction inverse, $g(x) = \dfrac{1}{x}$, calcule $g\!\left(\dfrac{1}{3}\right)$.

On remplace : $g\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{\ \frac{1}{3}\ }$. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

Donc $\dfrac{1}{\ \frac{1}{3}\ } = 1 \times \dfrac{3}{1} = 3$. L'inverse de $\dfrac{1}{3}$, c'est bien $3$.

Racine carrée, $h(x) = \sqrt{x}$, calcule $h\!\left(\dfrac{1}{4}\right)$.

La racine d'un quotient est le quotient des racines : $\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}$, car $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$.

Exemple 2 — le piège de la fonction carré sur les négatifs

Compare $f(-3)$ et $f(-1)$ sans les calculer, puis vérifie.

Étape 1 — l'intervalle. Les deux nombres $-3$ et $-1$ sont négatifs, donc ils sont dans $]-\infty\,;\,0]$.

Étape 2 — la monotonie. Sur $]-\infty\,;\,0]$, la fonction carré est décroissante. C'est le point contre-intuitif : sur les négatifs, plus $x$ est petit, plus son carré est grand.

Étape 3 — on ordonne. On a $-3 \lt -1$. Comme $f$ est décroissante, l'ordre s'inverse : $f(-3) \gt f(-1)$.

Vérification. $f(-3) = (-3)^2 = 9$ et $f(-1) = (-1)^2 = 1$. On a bien $9 \gt 1$. Ouf, la méthode donne le bon résultat.

Le réflexe à garder : ne jamais dire « $-3 \lt -1$ donc $f(-3) \lt f(-1)$ ». Ça, c'est vrai seulement quand la fonction est croissante.

Exemple 3 — la fonction inverse branche par branche

Compare $g(2)$ et $g(5)$, puis $g(-2)$ et $g(-5)$.

Sur les positifs. $2$ et $5$ sont dans $]0\,;\,+\infty[$, où $g$ est décroissante. Comme $2 \lt 5$, l'ordre s'inverse : $g(2) \gt g(5)$.

Vérification : $g(2) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ et $g(5) = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$. On a bien $0{,}5 \gt 0{,}2$.

Sur les négatifs. $-5$ et $-2$ sont dans $]-\infty\,;\,0[$, où $g$ est aussi décroissante. Comme $-5 \lt -2$, l'ordre s'inverse : $g(-5) \gt g(-2)$.

Vérification : $g(-5) = -\dfrac{1}{5} = -0{,}2$ et $g(-2) = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$. Et $-0{,}2 \gt -0{,}5$, c'est correct.

À retenir : on compare seulement des nombres situés sur la même branche. Comparer un positif et un négatif par la monotonie n'a pas de sens ici, puisque la fonction n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Les subtilités qui rapportent (ou coûtent) des points

1. $\sqrt{x^2} = |x|$, et pas $x$. La racine carrée renvoie toujours un résultat positif. Donc $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, et non $-5$. On écrit la règle : $\sqrt{x^2} = |x|$ (la valeur absolue de $x$).

2. La fonction carré descend sur les négatifs. $f(-3) = 9 \gt f(-1) = 1$ alors que $-3 \lt -1$. Ne jamais supposer qu'un plus petit $x$ donne une plus petite image.

3. La fonction inverse est interdite en $0$. $g(0) = \dfrac{1}{0}$ n'existe pas. Sur une copie, écrire $g(0)$ est une faute : $0 \notin D_g$.

4. La racine d'un négatif n'existe pas dans $\mathbb{R}$. $\sqrt{-4}$ n'a pas de sens : $-4 \notin D_h$.

Ce que le correcteur attend : une comparaison justifiée par le sens de variation (« la fonction est croissante ou décroissante sur cet intervalle, donc… »), pas par une valeur lue à la calculatrice.

Problème type 1 — ranger des images dans l'ordre

Énoncé. Soit $f$ la fonction carré. Range dans l'ordre croissant les nombres $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$ et $f(2)$, en justifiant par les variations.

Étape 1 — situer les antécédents. $-3$ et $-1$ sont dans $]-\infty\,;\,0]$ (partie décroissante) ; $0$ est le minimum ; $2$ est dans $[0\,;\,+\infty[$ (partie croissante).

Étape 2 — le minimum d'abord. La fonction carré a pour minimum $f(0) = 0$. C'est donc la plus petite des quatre images.

Étape 3 — comparer par les variations. Sur $]-\infty\,;\,0]$, $f$ décroît, et $-3 \lt -1$, donc $f(-3) \gt f(-1)$. Il reste à placer $f(2)$.

Étape 4 — calculer pour trancher. $f(-1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(-3) = 9$. On obtient l'ordre croissant : $f(0) \lt f(-1) \lt f(2) \lt f(-3)$, soit $0 \lt 1 \lt 4 \lt 9$.

Rédaction attendue : on cite le minimum $f(0) = 0$, on justifie la comparaison des négatifs par la décroissance, puis on conclut par les valeurs. Le graphique ci-contre confirme : plus le point est loin de l'axe vertical, plus il est haut.

Problème type 2 — simplifier et repérer les pièges

Énoncé. Écris chacune de ces expressions sous sa forme la plus simple, ou explique pourquoi elle n'existe pas : (a) $\sqrt{(-7)^2}$ ; (b) $\left(\sqrt{5}\right)^2$ ; (c) $\dfrac{1}{\ g(x)\ }$ pour $g(x) = \dfrac{1}{x}$ ; (d) $\sqrt{-9}$.

(a) On calcule d'abord l'intérieur : $(-7)^2 = 49$. Puis $\sqrt{49} = 7$. Donc $\sqrt{(-7)^2} = 7$ (et non $-7$) : c'est bien $|-7| = 7$.

(b) $\sqrt{5}$ est le nombre positif dont le carré vaut $5$. En l'élevant au carré on récupère $5$ : $\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$. (Valable pour tout $x \ge 0$ : $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$.)

(c) L'inverse de l'inverse redonne le nombre de départ : $\dfrac{1}{\ \frac{1}{x}\ } = x$, à condition que $x \neq 0$.

(d) $-9 \lt 0$ : il n'existe aucun réel dont le carré vaut $-9$. Donc $\sqrt{-9}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$.

Pièges classiques réunis : confondre $\sqrt{x^2}$ avec $x$ ; substituer $0$ dans l'inverse ; prendre la racine d'un négatif ; oublier de préciser la condition $x \neq 0$ ou $x \ge 0$.

Carré et racine : deux faces d'une même pièce

Sur les nombres positifs, la fonction carré et la fonction racine carrée s'annulent l'une l'autre. Pour tout $x \ge 0$ : $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ et $\sqrt{x^2} = x$. L'une défait ce que l'autre fait : on dit qu'elles sont réciproques sur $[0\,;\,+\infty[$. Cette idée de fonction réciproque, tu la retrouveras nommée plus tard au lycée.

C'est aussi pour ça que leurs courbes se ressemblent : la demi-parabole de $\sqrt{x}$ est la branche droite de la parabole de $x^2$, mais retournée (on a échangé les rôles de $x$ et de $y$).

Une justification à ta portée. Pourquoi la fonction carré décroît-elle sur les négatifs ? Prenons $a \lt b \le 0$. Alors $-a \gt -b \ge 0$ : ce sont deux nombres positifs. Or, sur les positifs, élever au carré conserve l'ordre, donc $(-a)^2 \gt (-b)^2$, c'est-à-dire $a^2 \gt b^2$. Autrement dit $f(a) \gt f(b)$ : la fonction est bien décroissante. Voilà une vraie démonstration, pas juste un dessin.

Ce qui t'attend en Première (et un peu après)

La parabole partout. La courbe de $x^2$ est le modèle des fonctions du second degré $x \mapsto ax^2 + bx + c$, au programme de Première. Tu apprendras à trouver le sommet de la parabole et à résoudre $ax^2 + bx + c = 0$.

L'inverse, première des homographiques. La fonction $\dfrac{1}{x}$ est la plus simple des fonctions homographiques $x \mapsto \dfrac{ax + b}{cx + d}$. Le fait que sa courbe frôle les axes sans les toucher deviendra la notion d'asymptote.

La pente qui change. Ces courbes ne montent pas toujours à la même vitesse. En Première, le nombre dérivé mesurera cette pente en chaque point, et la tangente sera la droite qui épouse la courbe localement.

Le comportement au loin. Le fait que $\dfrac{1}{x}$ se rapproche de $0$ quand $x$ grandit est un premier exemple de limite, notion centrale en Terminale.

Et d'autres briques. Après ces trois-là viennent d'autres fonctions de référence : la fonction cube $x^3$, la valeur absolue $|x|$, puis l'exponentielle et le logarithme. Mais chaque chose en son temps.