Fonctions de référence : carré, inverse, racine carrée

Trois fonctions fondamentales — définitions, variations et courbes à maîtriser.

1 L'idée

Trois fonctions de référence servent de briques de base pour toute l'étude des fonctions en lycée. Pour chacune, on retient l'expression algébrique, le domaine de définition, le sens de variation et l'allure de la courbe représentative.

2 Les trois fonctions

Fonction carré

$f(x) = x^2 \qquad D_f = \mathbb{R}$

Fonction inverse

$g(x) = \dfrac{1}{x} \qquad D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Racine carrée

$h(x) = \sqrt{x} \qquad D_h = [0\,;\,+\infty[$

3 Valeurs remarquables

Fonction carré

$f(-3) = (-3)^2 = 9$

$f(0) = 0$

$f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4}$

Fonction inverse

$g(4) = \dfrac{1}{4}$

$g(-2) = -\dfrac{1}{2}$

$g\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = 3$

Racine carrée

$h(0) = 0$

$h(9) = 3$

$h\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$

4 Sens de variation

Fonction carré $f(x) = x^2$ : décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, minimum $f(0) = 0$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Courbe : parabole d'axe de symétrie l'axe des ordonnées.
Fonction inverse $g(x) = \dfrac{1}{x}$ : décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$. Courbe : hyperbole. Sur $]0\,;\,+\infty[$, $g$ est strictement positive et tend vers $0$ en $+\infty$.
Racine carrée $h(x) = \sqrt{x}$ : croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, $h(0) = 0$. Courbe : demi-parabole orientée vers la droite.

Méthode — comparer deux images sans calculatrice

Exemple : Comparer $h(3)$ et $h(8)$. On a $3 \lt 8$ et $h$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $h(3) \lt h(8)$.

Identifier l'intervalle auquel appartiennent les deux valeurs de $x$.
Vérifier que la fonction est monotone sur cet intervalle.
Conclure : si $f$ est croissante et $a \lt b$, alors $f(a) \lt f(b)$ ; si $f$ est décroissante et $a \lt b$, alors $f(a) \gt f(b)$.

Erreurs fréquentes

$\sqrt{x}$ n'est définie que pour $x \ge 0$ : $\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$.
$\dfrac{1}{x}$ est interdite en $x = 0$ : ne jamais substituer $0$ dans la fonction inverse.
La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ : $f(-3) = 9 \gt f(-1) = 1$ bien que $-3 \lt -1$.
$\sqrt{x^2} = |x|$, pas $x$ : ainsi $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \ne -5$.