Intervalles, valeur absolue

Les bases : ordre, comparaison, distance

Sur la droite numérique, les nombres sont rangés du plus petit à gauche au plus grand à droite. Comparer deux réels $a$ et $b$ :

• $a < b$ : $a$ est strictement inférieur à $b$
• $a \le b$ : $a$ est inférieur ou égal à $b$
• $a > b$ : $a$ strictement supérieur
• $a \ge b$ : supérieur ou égal

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est la différence entre le plus grand et le plus petit. On la note $|b-a|$ (valeur absolue de la différence). Par exemple, la distance entre $-2$ et $3$ est $|3 - (-2)| = |5| = 5$.

Notation d'un intervalle

Un intervalle est un ensemble de tous les réels compris entre deux bornes $a$ et $b$ (avec $a \le b$).

• Bornes incluses : crochets fermés $[a , b]$ signifie $a \le x \le b$.
• Bornes exclues : crochets ouverts $]a , b[$ signifie $a < x < b$.
• On peut mélanger : $[a , b[$ signifie $a \le x < b$.

Pour un intervalle non borné d'un côté, on utilise $+\infty$ ou $-\infty$ avec un crochet toujours ouvert : $[a , +\infty[$ correspond à $x \ge a$ ; $]-\infty , b]$ à $x \le b$.

Valeur absolue d'un réel

La valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$, est la distance de $x$ à $0$ sur la droite numérique. Définition : $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Exemples : $|5| = 5$ car $5 \ge 0$ ; $|-3| = -(-3) = 3$ car $-3 < 0$.

Plus généralement, $|x - a|$ est la distance de $x$ au réel $a$.

Méthode : résoudre une (in)équation avec valeur absolue

On rencontre deux types : $|u| \le k$ (ou $|u| < k$) et $|u| \ge k$ (ou $|u| > k$) avec $k \ge 0$.

Type $|u| \le k$ : cela signifie que $u$ est à une distance de $0$ inférieure ou égale à $k$, donc $u$ est entre $-k$ et $k$. On écrit : $-k \le u \le k$. Ensuite, on isole $x$.

Type $|u| \ge k$ : $u$ est à une distance de $0$ supérieure ou égale à $k$, donc $u$ est au-delà, soit plus petit que $-k$, soit plus grand que $k$. On écrit : $u \le -k$ OU $u \ge k$. On résout chaque inéquation séparément. Les solutions sont la réunion des deux ensembles.

Exemple pas-à-pas : résoudre $|x-3| \le 2$.
1) On identifie $u = x-3$ et $k=2 \ge 0$.
2) C'est de type $\le$, donc on encadre : $-2 \le x-3 \le 2$.
3) On ajoute $3$ partout : $-2+3 \le x \le 2+3$, soit $1 \le x \le 5$.
4) Conclusion : l'ensemble des solutions est l'intervalle $[1, 5]$.

Erreurs à ne pas faire

• Ne pas oublier le signe '-' : $|-3|$ n'est pas $-3$ mais $3$.
• Dans $|u| \le k$, ne pas écrire seulement $u \le k$ : la borne gauche $-k$ est obligatoire.
• Les infinis sont toujours avec crochet ouvert : $]-\infty, a]$, jamais $[-\infty, a]$.
• Pour $|u| \ge k$, on relie les conditions par « ou », jamais par « et ».

Équations avec valeur absolue

Pour résoudre une équation du type $|ax+b| = c$ avec $c \ge 0$, on écrit : $ax+b = c$ ou $ax+b = -c$. Attention, si $c < 0$, il n'y a pas de solution car une valeur absolue est toujours positive.

Exemple : $|2x-4| = 6$. On a $2x-4 = 6$ donc $2x=10$, $x=5$ ; ou $2x-4 = -6$ donc $2x=-2$, $x=-1$. Solutions : $\{-1, 5\}$.

Pour une équation du type $|ax+b| = |cx+d|$, on peut dire que les deux quantités ont la même valeur absolue, donc soit elles sont égales, soit elles sont opposées. On résout donc $ax+b = cx+d$ et $ax+b = -(cx+d)$.

La fonction valeur absolue

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|$ est une fonction de référence. Sa courbe est une ligne brisée en forme de V, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle atteint son minimum $0$ en $x=0$. Elle est décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0,+\infty[$.

On peut résoudre graphiquement des inéquations comme $|x-2| \le 1$ en traçant la courbe de $g(x)=|x-2|$ et en lisant les abscisses pour lesquelles la courbe est sous la droite $y=1$.