Intervalles et valeur absolue — Exercices

De la lecture d'intervalles à la résolution d'inéquations. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Calculatrice inutile

1Lire et écrire des intervalles/ 3 pts

Écrire en notation d'intervalle l'ensemble des réels $x$ vérifiant chaque condition.

$x \ge -2$
$-1 \lt x \le 5$
$x \ge -4$ et $x \lt 3$

2Calculer une valeur absolue/ 4 pts

Donner la valeur de chaque expression. Justifier le signe si nécessaire.

$|-7|$
$|3 - 8|$
$|-2 + 5|$
$|-\sqrt{3}|$

3Résoudre des inéquations/ 6 pts

Résoudre dans $\mathbb{R}$ et exprimer l'ensemble solution sous forme d'intervalle.

$|x| \le 4$
$|x - 3| \lt 2$
$|2x + 1| \ge 5$

4Problème — contrôle qualité/ 3 pts

Une machine produit des pièces de longueur nominale $50$ mm. Une pièce est acceptée si sa longueur $\ell$ (en mm) vérifie $|\ell - 50| \le 0{,}5$.

Expliquer ce que représente géométriquement la quantité $|\ell - 50|$, puis interpréter la condition $|\ell - 50| \le 0{,}5$.
Résoudre l'inéquation et préciser l'intervalle des longueurs acceptées.

Corrigé détaillé

1Lire et écrire des intervalles

a) $x \ge -2$ $x \in [-2,\,+\infty[$

b) $-1 \lt x \le 5$ $x \in\; ]-1,\,5]$

c) $x \ge -4 \text{ et } x \lt 3 \text{ : intersection de } [-4,+\infty[ \text{ et } ]-\infty,3[$ $x \in [-4,\,3[$

2Calculer une valeur absolue

a) $|-7| = -(-7) =$ $7$

b) $|3 - 8| = |-5| = -(-5) =$ $5$

c) $|-2 + 5| = |3| =$ $3$

d) $-\sqrt{3} \lt 0 \Rightarrow |-\sqrt{3}| = -(-\sqrt{3}) =$ $\sqrt{3}$

3Résoudre des inéquations

a) $|x| \le 4 \iff -4 \le x \le 4$ $x \in [-4,\,4]$

b) $|x-3| \lt 2 \iff -2 \lt x-3 \lt 2 \iff 1 \lt x \lt 5$ $x \in\; ]1,\,5[$

c) cas 1 $2x+1 \le -5 \iff 2x \le -6 \iff x \le -3$ 

c) cas 2 $2x+1 \ge 5 \iff 2x \ge 4 \iff x \ge 2$ 

c) solution $|2x+1| \ge 5 \iff x \le -3 \text{ ou } x \ge 2$ $x \in\; ]-\infty,\,-3] \cup [2,\,+\infty[$

4Problème — contrôle qualité

1. $|\ell - 50| \text{ est la distance de } \ell \text{ à } 50 \text{ sur la droite numérique.}$ $\text{La condition signifie que } \ell \text{ est à au plus } 0{,}5 \text{ mm de la valeur nominale.}$

2. $|\ell-50| \le 0{,}5 \iff -0{,}5 \le \ell - 50 \le 0{,}5 \iff 49{,}5 \le \ell \le 50{,}5$ $\ell \in [49{,}5\,;\,50{,}5]$