Ensembles de nombres — Exercices

Classer, justifier, distinguer rationnels et irrationnels. Corrigé complet ci-dessous.

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1Appartenance aux ensembles/ 6 pts

Pour chacun des nombres suivants, indiquer à quels ensembles parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ il appartient. Justifier brièvement.

$-7$
$\dfrac{3}{4}$
$\sqrt{5}$
$0$
$\dfrac{1}{6}$
$-0{,}5$

2Nombre décimal ou non ?/ 4 pts

Pour chaque fraction, déterminer si elle appartient à $\mathbb{D}$. Justifier en décomposant le dénominateur (après simplification) en facteurs premiers.

$\dfrac{7}{8}$
$\dfrac{4}{15}$
$\dfrac{9}{6}$
$\dfrac{2}{3}$

3Vrai ou Faux/ 3 pts

Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifier par un argument ou un contre-exemple.

Tout entier relatif est un nombre décimal.
Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
$\sqrt{16} \in \mathbb{N}$.

4Rationnel ou irrationnel ?/ 4 pts

Déterminer si chaque nombre appartient à $\mathbb{Q}$ ou à $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Justifier.

$\sqrt{49}$
$\sqrt{3}$
$1{,}\overline{3} = 1{,}333\ldots$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

5Calcul malin — 22/7 et π/ 3 pts

Un élève affirme que $\dfrac{22}{7} = \pi$. On rappelle que $\pi \approx 3{,}14159$.

À quel(s) ensemble(s) appartient $\dfrac{22}{7}$ ? Justifier.
À quel ensemble appartient $\pi$ ? (Résultat admis.)
Calculer le développement décimal de $\dfrac{22}{7}$ au millième et conclure.

Corrigé détaillé

1Appartenance aux ensembles

a) $-7$ $-7 \in \mathbb{Z} \text{ (entier négatif, pas naturel car } -7 \lt 0\text{)} \Rightarrow \text{aussi} \in \mathbb{D},\; \mathbb{Q},\; \mathbb{R}$ $\mathbb{Z},\; \mathbb{D},\; \mathbb{Q},\; \mathbb{R}$

b) $\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} \in \mathbb{D} \Rightarrow \text{aussi} \in \mathbb{Q},\; \mathbb{R} \quad (\text{non entier})$ $\mathbb{D},\; \mathbb{Q},\; \mathbb{R}$

c) $\sqrt{5}$ $\sqrt{5} \text{ est irrationnel (admis) : développement décimal infini non périodique}$ $\mathbb{R} \text{ uniquement}$

d) $0$ $0 \in \mathbb{N} \text{ (convention française)} \Rightarrow \text{aussi} \in \mathbb{Z},\; \mathbb{D},\; \mathbb{Q},\; \mathbb{R}$ $\mathbb{N},\; \mathbb{Z},\; \mathbb{D},\; \mathbb{Q},\; \mathbb{R}$

e) $\dfrac{1}{6}$ $6 = 2 \times 3 \text{ (facteur 3)} \Rightarrow \dfrac{1}{6} \notin \mathbb{D}. \quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{p}{q} \Rightarrow \dfrac{1}{6} \in \mathbb{Q}$ $\mathbb{Q},\; \mathbb{R}$

f) $-0{,}5$ $-0{,}5 = \dfrac{-5}{10} \in \mathbb{D} \Rightarrow \text{aussi} \in \mathbb{Q},\; \mathbb{R} \quad (\text{non entier})$ $\mathbb{D},\; \mathbb{Q},\; \mathbb{R}$

2Nombre décimal ou non ?

a) $\dfrac{7}{8}$ $8 = 2^3 \text{ (seul facteur premier : 2)} \Rightarrow \in \mathbb{D}. \quad \dfrac{7}{8} = \dfrac{875}{1000} = 0{,}875$ $\dfrac{7}{8} \in \mathbb{D}$

b) $\dfrac{4}{15}$ $15 = 3 \times 5 \text{ (facteur 3 interdit)} \Rightarrow \notin \mathbb{D}. \quad \dfrac{4}{15} = 0{,}2666\ldots$ $\dfrac{4}{15} \notin \mathbb{D} \text{ (rationnel non décimal)}$

c) $\dfrac{9}{6}$ $\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} \text{ (forme irréductible)}. \quad 2 = 2^1 \Rightarrow \in \mathbb{D}. \quad \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{10} = 1{,}5$ $\dfrac{9}{6} \in \mathbb{D}$

d) $\dfrac{2}{3}$ $3 \text{ n'est pas un produit de 2 et de 5} \Rightarrow \notin \mathbb{D}. \quad \dfrac{2}{3} = 0{,}666\ldots$ $\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{D} \text{ (rationnel non décimal)}$

3Vrai ou Faux

a) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D} : \text{ tout entier } n = \dfrac{n}{10^0} \in \mathbb{D}$ $\textbf{Vrai}$

b) $\text{Contre-exemple : } \dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q} \text{ mais } \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D} \text{ (développement infini périodique)}$ $\textbf{Faux}$

c) $\sqrt{16} = 4 \in \mathbb{N}$ $\textbf{Vrai}$

4Rationnel ou irrationnel ?

a) $\sqrt{49}$ $\sqrt{49} = 7 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$ $\mathbb{Q} \text{ (entier naturel)}$

b) $\sqrt{3}$ $\sqrt{3} \text{ est irrationnel (admis) : développement décimal infini non périodique}$ $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

c) $1{,}\overline{3}$ $1{,}\overline{3} = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \in \mathbb{Q}$ $\mathbb{Q} \text{ (rationnel non décimal)}$

d) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{Si } \dfrac{\sqrt{2}}{2} \in \mathbb{Q}\text{, alors } \sqrt{2} = 2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \in \mathbb{Q}\text{ : contradiction car } \sqrt{2} \text{ est irrationnel.}$ $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ (irrationnel)}$

5Calcul malin — 22/7 et π

a) $\dfrac{22}{7} : 22 \in \mathbb{Z},\; 7 \in \mathbb{Z}^* \Rightarrow \dfrac{22}{7} \in \mathbb{Q}. \quad 7 \text{ n'est pas un produit de 2 et 5} \Rightarrow \dfrac{22}{7} \notin \mathbb{D}$ $\dfrac{22}{7} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{D}$

b) $\pi \text{ est irrationnel (résultat admis en 2nde)}$ $\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

c) $22 \div 7 = 3{,}142857\ldots \quad \pi \approx 3{,}14159\ldots \quad \text{Les millièmes diffèrent (2 contre 1)}$ $\dfrac{22}{7} \neq \pi \text{ : l'élève confond une approximation avec une égalité.}$