Mathématiques · 2nde

Ensembles de nombres : N, Z, D, Q, R

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique, on va te remettre à niveau en un temps record. Avant d’attaquer, tu as besoin de revoir deux ou trois bricoles : les nombres entiers (naturels et relatifs), les fractions, et les nombres décimaux. C’est tout. Et en bonus, on va même te filer un classement pratique des nombres en 5 familles. Prêt ? Allez, c’est parti.

Les 5 ensembles de nombres

Les nombres se rangent dans des boîtes de plus en plus grandes. Voici les cinq boîtes :

ℕ (entiers naturels) : {0, 1, 2, 3, …} → les positifs ou nuls, sans virgule.
ℤ (entiers relatifs) : {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} → tous les entiers, positifs ou négatifs.
𝔻 (nombres décimaux) : les fractions qui s’écrivent avec un dénominateur puissance de 10 (ex : $\frac{3}{25} = 0{,}12$). Ou encore, les nombres dont l’écriture décimale s’arrête.
ℚ (nombres rationnels) : toutes les fractions $\frac{p}{q}$ avec $p$ entier, $q$ entier non nul. Leur écriture décimale est finie ou infinie mais périodique (ex : $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$).
ℝ (nombres réels) : tous les nombres qu’on peut placer sur une droite graduée. Ça inclut les irrationnels (comme $\sqrt{2}$, $\pi$) dont l’écriture décimale est infinie et non périodique.

La règle d’emboîtement

Chaque boîte contient la précédente. On dit que ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Un nombre qui est dans ℕ est forcément dans ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ. Mais un nombre dans ℝ n’est pas forcément dans ℚ (ex : $\pi$). Pour classer un nombre, on cherche le plus petit ensemble auquel il appartient.

À toi de jouer

On te donne des nombres. Complète les trous avec le plus petit ensemble possible : ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ ou ℝ.

a) $8$ est un entier naturel, donc $8 \in \underline{\hspace{1.1em}}$ .
b) $-5$ est un entier négatif, pas naturel, donc $-5 \in \underline{\hspace{1.1em}}$ .
c) $0{,}25$ est un nombre décimal, donc $0{,}25 \in \underline{\hspace{1.1em}}$ .
d) $\frac{1}{3}$ n’est pas décimal car son développement décimal est infini périodique, donc $\frac{1}{3} \in \underline{\hspace{1.1em}}$ .
e) $\sqrt{2}$ a un développement décimal infini non périodique, donc $\sqrt{2} \in \underline{\hspace{1.1em}}$ .

Corrigé

a) $\mathbb{N}$
b) $\mathbb{Z}$
c) $\mathbb{D}$
d) $\mathbb{Q}$
e) $\mathbb{R}$

Voici d’autres nombres. Indique (en toutes lettres dans le trou, ex : « ℕ ») le plus petit ensemble.

- $0$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
- $2{,}718$ (partie décimale finie) : $\underline{\hspace{1.1em}}$
- $\frac{7}{5} = 1{,}4$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

- $0$ : $\mathbb{N}$ (car $0 \in \mathbb{N}$)
- $2{,}718$ : $\mathbb{D}$ (écriture décimale finie)
- $\frac{7}{5}$ : $\mathbb{D}$ (car $\frac{7}{5} = \frac{14}{10}$ donc décimal)

Complète les phrases avec « ⊂ » ou « ⊄ ».

a) ℕ $\underline{\hspace{1.1em}}$ ℤ
b) 𝔻 $\underline{\hspace{1.1em}}$ ℚ
c) ℚ $\underline{\hspace{1.1em}}$ ℝ
d) ℤ $\underline{\hspace{1.1em}}$ ℕ

Corrigé

a) ℕ ⊂ ℤ (vrai)
b) 𝔻 ⊂ ℚ (vrai)
c) ℚ ⊂ ℝ (vrai)
d) ℤ ⊄ ℕ (car $-1 \in \mathbb{Z}$ mais $-1
otin \mathbb{N}$)

Ah oui, c’est là qu’on parle des ensembles de nombres ! On avait vu ça en troisième, non ? Bon, on reprend tout avec méthode.

Rappel éclair : les cinq boîtes

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque boîte contient la précédente. Pour classer, cherche le plus petit ensemble.

ℕ : entiers ≥ 0.
ℤ : entiers positifs, négatifs, zéro.
𝔻 : nombres à virgule qui s’arrêtent ou fractions du type $\frac{a}{10^n}$.
ℚ : toutes les fractions $\frac{p}{q}$, avec $q
eq 0$. Écriture décimale finie ou périodique.
ℝ : tous les points de la droite, y compris les irrationnels ($\sqrt{2}$, $\pi$…).

Méthode : une fraction est-elle décimale ?

Pour savoir si une fraction $\frac{p}{q}$ (irréductible) est un nombre décimal :

Simplifie la fraction pour la rendre irréductible.
Décompose le dénominateur en produit de facteurs premiers.
Si le dénominateur ne contient que des facteurs 2 et/ou 5, alors la fraction appartient à 𝔻.
Sinon, elle est rationnelle non décimale (∈ ℚ \ 𝔻).

Exemple : $\frac{3}{8} \rightarrow$ dénominateur $8 = 2^3$ → seulement 2 → $\frac{3}{8} \in \mathbb{D}$. Contre-exemple : $\frac{5}{12} \rightarrow$ $12 = 2^2 \times 3$ → facteur 3 présent → $\frac{5}{12}
otin \mathbb{D}$.

À toi de jouer

Classons ensemble. Complète le plus petit ensemble.

a) $0$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $-8$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) $\frac{1}{2}$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
d) $\sqrt{25}$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ (aide : $\sqrt{25} = 5$)
e) $\frac{4}{9}$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ (à faire : $\frac{4}{9}$ irréductible, $9 = 3^2$, donc pas de facteur 2 ou 5 ? alors pas dans 𝔻)
f) $\pi$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

a) $0 \in \mathbb{N}$
b) $-8 \in \mathbb{Z}$
c) $\frac{1}{2}=0{,}5$ décimal, donc $\in \mathbb{D}$
d) $\sqrt{25}=5 \in \mathbb{N}$
e) $\frac{4}{9}$ : dénominateur $9=3^2$, pas que 2 ou 5, donc $
otin \mathbb{D}$, mais fraction donc $\in \mathbb{Q}$.
f) $\pi$ irrationnel, uniquement $\in \mathbb{R}$.

Ces fractions sont-elles décimales ? Applique la méthode et complète avec « $\in \mathbb{D}$ » ou « $
otin \mathbb{D}$ ».

a) $\frac{3}{4}$ → irréductible, dénominateur $4 = 2^2$ → $\frac{3}{4} \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $\frac{7}{20}$ → irréductible, dénominateur $20 = 2^2 \times 5$ → $\frac{7}{20} \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $\frac{5}{6}$ → irréductible, dénominateur $6 = 2 \times 3$ (facteur 3) → $\frac{5}{6} \underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

a) $\in \mathbb{D}$ (car $4=2^2$).
b) $\in \mathbb{D}$ (car $20=2^2 \times 5$, seuls 2 et 5).
c) $
otin \mathbb{D}$ (facteur 3 interdit).

Vrai ou Faux : « $-0{,}125$ est un nombre décimal. » Justifie en une phrase.

Corrigé

Vrai. $-0{,}125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$, c’est une fraction décimale (dénominateur $8=2^3$) donc appartient à 𝔻.

On automatise ! Voici 5 nombres à classer. Même mécanique, objectif zéro erreur.

À toi de jouer

Classe le nombre $12$ dans le plus petit ensemble : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$12 \in \mathbb{N}$

Classe le nombre $-3$ dans le plus petit ensemble : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$-3 \in \mathbb{Z}$

Classe le nombre $0{,}45$ dans le plus petit ensemble : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$0{,}45 \in \mathbb{D}$ (car $0{,}45 = \frac{45}{100}$)

Classe le nombre $\frac{5}{7}$ dans le plus petit ensemble : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$\frac{5}{7} \in \mathbb{Q}$ (irréductible, dénominateur 7 non 2 ou 5 seul → non décimal)

Classe le nombre $\sqrt{2}$ dans le plus petit ensemble : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ (irrationnel)

Maintenant, on passe aux choses sérieuses. Exercices type contrôle, sans filet. Montre que tu maîtrises.

À toi de jouer

1. Appartenance aux ensembles. Pour chaque nombre ci-dessous, indique le plus petit ensemble auquel il appartient. Justifie brièvement (une phrase).

$-7$
$\frac{3}{4}$
$\sqrt{5}$
$0$
$\frac{1}{6}$
$-0{,}5$
$\sqrt{9}$
$3{,}14$

Corrigé

$-7 \in \mathbb{Z}$ (entier négatif).
$\frac{3}{4} = 0{,}75 \in \mathbb{D}$ (décimal).
$\sqrt{5} \in \mathbb{R}$ (irrationnel).
$0 \in \mathbb{N}$ (entier naturel).
$\frac{1}{6}
otin \mathbb{D}$ car $6=2\times 3$, donc $\in \mathbb{Q}$ (rationnel non décimal).
$-0{,}5 = -\frac{1}{2} \in \mathbb{D}$ (décimal).
$\sqrt{9}=3 \in \mathbb{N}$ (entier naturel).
$3{,}14 \in \mathbb{D}$ (écriture décimale finie).

2. Décimal ou non ? Détermine si les fractions suivantes appartiennent à $\mathbb{D}$. Justifie en décomposant le dénominateur après simplification.

$\frac{7}{8}$
$\frac{4}{15}$
$\frac{9}{6}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{12}$

Corrigé

$\frac{7}{8}$ : irréductible, $8=2^3$, donc $\in \mathbb{D}$.
$\frac{4}{15}$ : irréductible, $15=3\times 5$, facteur 3 interdit, donc $
otin \mathbb{D}$.
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ après simplification, $2=2^1$, donc $\in \mathbb{D}$.
$\frac{2}{3}$ : irréductible, $3$ n’est pas un produit de 2 et 5, donc $
otin \mathbb{D}$.
$\frac{5}{12}$ : irréductible, $12=2^2 \times 3$, facteur 3, donc $
otin \mathbb{D}$.

3. Vrai ou Faux. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par une preuve ou un contre-exemple.

Tout entier relatif est un nombre décimal.
Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
$\sqrt{16} \in \mathbb{N}$.
$0 \in \mathbb{N}$.
Le quotient de deux entiers est toujours un nombre décimal.

Corrigé

Vrai : un entier relatif $n$ s’écrit $\frac{n}{10^0}$, donc $n \in \mathbb{D}$.
Faux : $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3}
otin \mathbb{D}$ car son développement est infini périodique.
Vrai : $\sqrt{16}=4 \in \mathbb{N}$.
Vrai : $0$ est un entier naturel par convention.
Faux : $1/3$ est un quotient d’entiers mais n’est pas décimal.

4. Rationnel ou irrationnel ? Détermine la nature exacte de chaque nombre : $\in \mathbb{Q}$ (rationnel) ou $\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (irrationnel). Justifie.

$\sqrt{49}$
$\sqrt{3}$
$1{,}\overline{3}$ (nombre $1{,}333\ldots$)
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$2+\sqrt{3}$

Corrigé

$\sqrt{49}=7 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$, donc rationnel.
$\sqrt{3}$ a un développement décimal infini non périodique, donc irrationnel.
$1{,}\overline{3} = \frac{4}{3} \in \mathbb{Q}$ (écriture périodique).
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $\sqrt{2}$ irrationnel, divisé par 2 reste irrationnel → irrationnel.
$2+\sqrt{3}$ : somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle → irrationnel.

5. À propos de $\frac{22}{7}$ et $\pi$. Un élève affirme que $\frac{22}{7} = \pi$.

À quel(s) ensemble(s) appartient $\frac{22}{7}$ ? Justifie.
À quel ensemble appartient $\pi$ ? (On admet que $\pi$ est irrationnel.)
Calcule le développement décimal de $\frac{22}{7}$ au millième avec ta calculatrice, puis rappelle l’approximation décimale de $\pi$. Conclus : a-t-il raison ?

Corrigé

$\frac{22}{7}$ est une fraction d’entiers non simplifiable, dénominateur $7$ n’est pas que 2 ou 5, donc $\frac{22}{7}
otin \mathbb{D}$ mais $\in \mathbb{Q}$.
$\pi \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (irrationnel).
$\frac{22}{7} \approx 3{,}143$ (au millième $3{,}143$), $\pi \approx 3{,}142$. Les deux nombres sont différents. Donc $\frac{22}{7}
eq \pi$.

Pour les curieux qui veulent voir plus loin. On va frôler la démonstration et l’algorithmique. De quoi briller en début de première.

À toi de jouer

1. Irrationalité de $\sqrt{2}$. L’objectif est de prouver que $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel. On raisonne par l’absurde.

Supposons que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Alors il existe deux entiers $p$ et $q$ (avec $q
eq 0$) tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, et on suppose la fraction irréductible.

Montre qu’alors $p^2 = 2 q^2$.
Déduis que $p^2$ est pair, puis que $p$ est pair. (Indice : le carré d’un nombre impair est impair.)
Puisque $p$ est pair, on peut écrire $p = 2k$. Montre que $q^2 = 2 k^2$, donc $q$ est pair aussi.
Pourquoi cela contredit-il l’hypothèse que $\frac{p}{q}$ est irréductible ? Conclus.

Corrigé

$\sqrt{2} = \frac{p}{q} \implies 2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2 q^2$.
$p^2 = 2 q^2$ est un multiple de 2, donc pair. Si $p$ était impair, $p^2$ serait impair. Donc $p$ est pair.
$p = 2k$, alors $p^2 = 4k^2 = 2 q^2$, donc $2k^2 = q^2$. Ainsi $q^2$ est pair, donc $q$ pair (même raisonnement).
$p$ et $q$ sont tous les deux pairs, donc la fraction $\frac{p}{q}$ n’est pas irréductible (on peut simplifier par 2). Contradiction. L’hypothèse de départ est fausse : $\sqrt{2}
otin \mathbb{Q}$, c’est un irrationnel.

2. Un algorithme pour tester la décimalité. On souhaite écrire un programme qui détermine si une fraction donnée est décimale ou non.

Écris en langage naturel (ou directement en Python si tu es à l’aise) une fonction est_decimal(p, q) où p et q sont deux entiers (q non nul), qui renvoie True si p/q est un nombre décimal, False sinon. Tu peux utiliser une fonction simplifier(p, q) déjà écrite qui rend la fraction irréductible.

Indication : une fois simplifiée, il suffit de vérifier que le dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5. Pour cela, divise le dénominateur par 2 tant que c’est possible, puis par 5 tant que c’est possible. Si à la fin il reste 1, c’est décimal.

Corrigé

def est_decimal(p, q):
    # simplifier la fraction
    def pgcd(a, b):
        while b != 0:
            a, b = b, a % b
        return a
    d = pgcd(p, q)
    p, q = p // d, q // d
    # éliminer les facteurs 2 et 5 du dénominateur
    while q % 2 == 0:
        q = q // 2
    while q % 5 == 0:
        q = q // 5
    return q == 1

# Exemples :
print(est_decimal(3, 4))   # True
print(est_decimal(1, 3))   # False