V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques2ndeFonctionsExercices + corrigé

Généralités sur les fonctions — Exercices

Images, antécédents, domaine de définition, lecture graphique. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée
1Calcul d'images/ 4 pts
Soit $f(x) = 3x + 2$ définie sur $\mathbb{R}$. Calcule les images suivantes.
  1. $f(0)$
  2. $f(4)$
  3. $f(-3)$
  4. $f\!\left(\dfrac{1}{3}\right)$
2Calcul d'antécédents/ 4 pts
Soit $g(x) = x^2 - 4$ définie sur $\mathbb{R}$. Pour chaque valeur, détermine les antécédents de $g$ (s'ils existent).
  1. Antécédents de $0$.
  2. Antécédents de $-4$.
  3. Antécédents de $5$.
  4. Antécédents de $-5$.
3Domaine de définition/ 3 pts
Détermine le domaine de définition de chaque fonction.
  1. $h(x) = \dfrac{x + 1}{x - 3}$
  2. $k(x) = \sqrt{2x - 6}$
  3. $m(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$
4Lecture graphique/ 4 pts
La courbe d'une fonction $f$ passe exactement par les points suivants : $(-3\,;\,0)$, $(-2\,;\,3)$, $(-1\,;\,2)$, $(0\,;\,-1)$, $(1\,;\,0)$, $(3\,;\,2)$, $(5\,;\,-1)$.
  1. Donne $f(-2)$ et $f(0)$.
  2. Quels sont les antécédents de $2$ par $f$ ?
  3. Quels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?
5Problème concret/ 5 pts
Une entreprise produit $x$ objets par jour ($x \in [0\,;\,200]$). Le coût total de production (en euros) est modélisé par $C(x) = 2x^2 - 40x + 500$.
  1. Calcule $C(0)$ et $C(10)$.
  2. Calcule $C(20)$ et $C(100)$.
  3. L'entreprise dispose d'un budget de $500$ €. Résous $C(x) = 500$ et interprète les résultats.
Corrigé détaillé
1Calcul d'images
a) \(f(0) = 3 \times 0 + 2 =\) \(2\)
b) \(f(4) = 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 =\) \(14\)
c) \(f(-3) = 3 \times (-3) + 2 = -9 + 2 =\) \(-7\)
d) \(f\!\left(\dfrac{1}{3}\right) = 3 \times \dfrac{1}{3} + 2 = 1 + 2 =\) \(3\)
2Calcul d'antécédents
a) \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \text{ ou } x = -2\) \(\text{Antécédents de } 0 : x = -2 \text{ et } x = 2\)
b) \(x^2 - 4 = -4 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) \(\text{Antécédent de } {-4} : x = 0\)
c) \(x^2 - 4 = 5 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \text{ ou } x = -3\) \(\text{Antécédents de } 5 : x = -3 \text{ et } x = 3\)
d) \(x^2 - 4 = -5 \Rightarrow x^2 = -1\) \(\text{Impossible } (x^2 \ge 0). \text{ Aucun antécédent de } {-5}.\)
3Domaine de définition
a) \(x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{3\}\)
b) \(2x - 6 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 6 \Rightarrow x \ge 3\) \(D_k = [3\,;\,+\infty[\)
c) \(x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \text{ et } x \neq -1\) \(D_m = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,1\}\)
4Lecture graphique
a) \(\text{Le point } (-2\,;\,3) \text{ est sur la courbe, donc } f(-2) = 3. \text{ Le point } (0\,;\,-1) \text{ donne } f(0) = -1.\) \(f(-2) = 3 \quad ; \quad f(0) = -1\)
b) \(\text{Les points d'ordonnée } 2 \text{ sur la courbe sont } (-1\,;\,2) \text{ et } (3\,;\,2).\) \(\text{Antécédents de } 2 : x = -1 \text{ et } x = 3\)
c) \(\text{Les points d'ordonnée } 0 \text{ sur la courbe sont } (-3\,;\,0) \text{ et } (1\,;\,0).\) \(\text{Antécédents de } 0 : x = -3 \text{ et } x = 1\)
5Problème concret
a) \(C(0) = 2 \times 0 - 40 \times 0 + 500 = 500. \quad C(10) = 2 \times 100 - 40 \times 10 + 500 = 200 - 400 + 500 =\) \(C(0) = 500 \text{ €} \quad ; \quad C(10) = 300 \text{ €}\)
b) \(C(20) = 2 \times 400 - 40 \times 20 + 500 = 800 - 800 + 500 = 500. \quad C(100) = 2 \times 10000 - 40 \times 100 + 500 = 20000 - 4000 + 500 =\) \(C(20) = 500 \text{ €} \quad ; \quad C(100) = 16500 \text{ €}\)
c) \(2x^2 - 40x + 500 = 500 \Rightarrow 2x^2 - 40x = 0 \Rightarrow 2x(x - 20) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 20\) \(\text{Pour un budget de } 500 \text{ €, l'entreprise produit } 0 \text{ ou } 20 \text{ objets par jour.}\)