Pas de panique ! Même sans avoir jamais entendu parler de domaine ou d'antécédent, on va repartir des fonctions affines de 3e. Une fonction, c'est comme une machine qui transforme un nombre $x$ en un autre nombre $f(x)$. Ici, on va apprendre à calculer des images et à remonter le mécanisme pour trouver des antécédents. Accroche-toi, ça va être rapide et efficace.
Une fonction affine s'écrit $f(x) = mx + p$ (si $p=0$, elle est linéaire). Elle est définie pour tous les réels. Pour obtenir l'image d'un nombre, on le remplace dans l'expression.
Exemple : $f(x) = 2x + 1$. L'image de $3$ est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.
Domaine de définition $D_f$ : ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction a un sens. Pour une fonction affine, $D_f = \mathbb{R}$ (aucune interdiction).
Image de $a$ : on note $f(a)$, c'est le résultat obtenu en remplaçant $x$ par $a$. C'est ce qui « sort » de la machine.
Antécédent de $b$ : c'est la (ou les) valeur(s) de $x$ telle(s) que $f(x) = b$. Pour le trouver, on résout une équation. Il peut y en avoir 0, 1 ou plusieurs !
Sur le graphique d'une fonction :
- l'image de $a$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$ ;
- un antécédent de $b$ est l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe et la droite horizontale $y = b$.
L'image de $4$ est $f(4) = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Le nombre $\underline{\hspace{1.1em}}$ est l'image de $4$ par $f$.
On résout l'équation $3x - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $3x = \underline{\hspace{1.1em}} + 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, puis $x = \underline{\hspace{1.1em}} / 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Un antécédent de $10$ est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$.
L'image de $1$ est l'ordonnée du point d'abscisse $1$, on lit $y = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $f(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Pour trouver un antécédent de $3$, on regarde la droite horizontale $y = 3$ : elle coupe la droite bleue en un point d'abscisse $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc un antécédent de $3$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Ah, ces mots te reviennent ? Super. On remet tout à plat avec les bonnes définitions et la méthode complète. On va même voir pourquoi certaines fonctions ne sont pas définies partout. Prêt ?
Une fonction $f$ est une règle qui à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ associe exactement un réel noté $f(x)$.
Notation : $f : D_f \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$.
$D_f$ = domaine de définition : toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
Par défaut, on prend le plus grand sous-ensemble de $\mathbb{R}$ possible. Deux pièges classiques :
- Fraction $\frac{1}{g(x)}$ : le dénominateur $g(x)$ ne doit jamais être nul. On exclut les valeurs qui l'annulent.
- Racine carrée $\sqrt{g(x)}$ : ce qui est sous la racine ($g(x)$) doit être $\ge 0$. On garde les valeurs qui satisfont cette condition.
Calculer $f(a)$ : remplacer $x$ par $a$ dans l'expression.
Trouver les antécédents de $b$ : écrire $f(x) = b$, résoudre l'équation, et vérifier que chaque solution appartient à $D_f$.
Déterminer $D_f$ : chercher les valeurs interdites (dénominateur nul, radicande $<0$), puis les exclure de $\mathbb{R}$. On note $D_f = \mathbb{R} \setminus \{valeurs interdites\}$.
- Confondre image et antécédent : l’image de $2$ s’obtient en calculant $f(2)$ ; un antécédent de $2$ est un $x$ tel que $f(x) = 2$.
- Croire qu’un antécédent est toujours unique : une valeur peut en avoir plusieurs, ou aucun.
- Oublier de vérifier le domaine : si $x
otin D_f$, $f(x)$ n’existe pas.
Le dénominateur est $x - 4$. Il s'annule pour $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $f$ est définie pour tous les réels sauf cette valeur. On note $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
a) Image de $-1$ : $g(-1) = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 9 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Antécédents de $0$ : on résout $x^2 - 9 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Leftrightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$ ou $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Les antécédents de $0$ sont donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Le point d'abscisse $2$ a pour ordonnée $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $h(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
La droite horizontale $y = 1$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$ (valeurs approchées). Donc les antécédents de $1$ sont environ $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Cinq exercices identiques pour ancrer le calcul d'image. Tu maîtrises déjà la mécanique, alors on répète pour que ça devienne automatique.
$f(2) = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$f(0) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$f(-1) = -2 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) + 7 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$f(4) = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$f(10) = 0{,}2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 1{,}5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Voilà des exercices comme tu en auras en contrôle. Prends ton temps, vérifie les domaines et les antécédents. Tu es prêt.
- Pour une image, on remplace directement. Pour un antécédent, on résout une équation.
- Toujours vérifier que le résultat est bien dans le domaine de définition.
- Un antécédent peut être multiple ou absent : ne pas s'étonner.
L'an prochain, tu vas enchaîner les fonctions : la composition ! On prend la sortie d'une machine et on la met dans une autre. C'est exactement ce qu'on fait quand on calcule $f(g(x))$. Accroche-toi, c'est un avant-goût de 1ère.
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, on définit $f \circ g$ (lire « f rond g ») par : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. On applique d'abord $g$ à $x$, puis $f$ au résultat.
Exemple : $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$. Alors $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$.
Attention à l'ordre : $(g \circ f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)^2$, ce n'est pas la même chose !
Le domaine de $f \circ g$ : il faut que $x$ soit dans le domaine de $g$, et que $g(x)$ soit dans le domaine de $f$.
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