Pas de panique ! Même sans avoir jamais entendu parler d'ensemble de définition ou d'antécédent, on va repartir des fonctions affines de 3e. Une fonction, c'est comme une machine qui transforme un nombre $x$ en un autre nombre $f(x)$. Ici, on va apprendre à calculer des images et à remonter le mécanisme pour trouver des antécédents. Accroche-toi, ça va être rapide et efficace.
Rappel : fonctions linéaires et affines (3e)
Une fonction affine s'écrit $f(x) = mx + p$ (si $p=0$, elle est linéaire). Elle est définie pour tous les réels. Pour obtenir l'image d'un nombre, on le remplace dans l'expression.
Exemple : $f(x) = 2x + 1$. L'image de $3$ est $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.
Ensemble de définition, image, antécédent : le B.A.-BA
Ensemble de définition $D_f$ : ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction a un sens. C'est le mot du programme ; « domaine de définition » désigne exactement la même chose. Pour une fonction affine, $D_f = \mathbb{R}$ (aucune interdiction).
Image de $a$ : on note $f(a)$, c'est le résultat obtenu en remplaçant $x$ par $a$. C'est ce qui « sort » de la machine.
Antécédent de $b$ : c'est la (ou les) valeur(s) de $x$ telle(s) que $f(x) = b$. Pour le trouver, on résout une équation. Il peut y en avoir 0, 1 ou plusieurs !
L'article compte : on dit « l'image de $4$ » (elle est unique — c'est ce qui fait qu'une fonction est une fonction) mais « un antécédent de $10$ », tant qu'on n'a pas montré qu'il n'y en a qu'un.
Lecture graphique express
Sur le graphique d'une fonction :
- l'image de $a$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$ ;
- un antécédent de $b$ est l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe et la droite horizontale $y = b$.
À toi de jouer
L'image de $4$ est $f(4) = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Le nombre $\underline{\hspace{1.1em}}$ est l'image de $4$ par $f$.
Corrigé
Le nombre $\mathbf{10}$ est l'image de $4$ par $f$.
On résout l'équation $3x - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $3x = \underline{\hspace{1.1em}} + 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, puis $x = \underline{\hspace{1.1em}} / 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Un antécédent de $10$ est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Donc $3x = \mathbf{10} + 2 = \mathbf{12}$, puis $x = \mathbf{12} / 3 = \mathbf{4}$.
Un antécédent de $10$ est donc $\mathbf{4}$.
L'image de $1$ est l'ordonnée du point d'abscisse $1$, on lit $y = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $f(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Pour trouver un antécédent de $3$, on regarde la droite horizontale $y = 3$ : elle coupe la droite bleue en un point d'abscisse $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc un antécédent de $3$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Pour trouver un antécédent de $3$, on regarde la droite horizontale $y = 3$ : elle coupe la droite bleue en un point d'abscisse $\mathbf{1}$. Donc un antécédent de $3$ est $\mathbf{1}$.
Une division par $0$ est impossible, donc le dénominateur $x-2$ ne doit pas être nul.
Il s'annule pour $x = \underline{\hspace{1.1em}}$ : c'est la valeur interdite.
L'ensemble de définition de $f$ est donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$, c'est-à-dire tous les réels sauf cette valeur.
Corrigé
$D_f = \mathbb{R} \setminus \{\mathbf{2}\}$. Autrement dit, $2$ n'a pas d'image par $f$ ; tous les autres réels en ont une.
Ah, ces mots te reviennent ? Super. On remet tout à plat avec les bonnes définitions et la méthode complète. On va même voir pourquoi certaines fonctions ne sont pas définies partout. Prêt ?
Définition officielle et vocabulaire
Une fonction $f$ est une règle qui à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ associe exactement un réel noté $f(x)$.
Notation : $f : D_f \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$.
$D_f$ = ensemble de définition (ou domaine de définition) : toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe. En seconde, c'est un intervalle de $\mathbb{R}$ ou une réunion d'un nombre fini d'intervalles.
Déterminer l'ensemble de définition
Quand l'énoncé ne l'impose pas, on prend le plus grand sous-ensemble de $\mathbb{R}$ possible. À ce stade, il n'y a que deux interdits :
- Quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ : le dénominateur $B(x)$ ne doit jamais être nul. On résout $B(x)=0$ et on exclut les solutions.
- Racine carrée $\sqrt{A(x)}$ : ce qui est sous la racine doit être $\ge 0$ — la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. On résout l'inéquation $A(x) \ge 0$ et on garde ces valeurs.
- Aucun des deux ? Une expression polynomiale ($2x+1$, $x^2-9$…) n'a aucun interdit : $D_f = \mathbb{R}$.
Si l'énoncé décrit une situation (un nombre d'objets, une durée…), c'est lui qui fixe l'ensemble de définition, même si l'expression aurait un sens ailleurs.
À quoi ça sert. Pour une équation quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$ : sur $D_f$, on a $B(x) \ne 0$, donc on peut multiplier par $B(x)$ et résoudre $A(x)=k\,B(x)$. Chaque solution obtenue doit ensuite être confrontée à $D_f$ : si elle est une valeur interdite, elle est rejetée. Dans un tableau de signes, ces valeurs se marquent d'une double barre.
La courbe représentative
La courbe $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x ; y)$ tels que $x \in D_f$ et $y = f(x)$ : on dit qu'elle a pour équation $y = f(x)$.
Conséquence pratique : un point $A(a ; b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $a \in D_f$ et $b = f(a)$. On calcule $f(a)$, on compare à $b$.
Et sur un graphique, $D_f$ se lit sur l'axe des abscisses : c'est l'ensemble des abscisses des points de la courbe.
Méthode pas-à-pas
Calculer $f(a)$ : remplacer $x$ par $a$ dans l'expression.
Trouver les antécédents de $b$ : écrire $f(x) = b$, résoudre l'équation, et vérifier que chaque solution appartient à $D_f$.
Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ : chercher les valeurs interdites (dénominateur nul, radicande $<0$), puis les exclure de $\mathbb{R}$. On note $D_f = \mathbb{R} \setminus \{valeurs interdites\}$, ou on donne l'intervalle obtenu.
Erreurs à ne pas faire
- Confondre image et antécédent : l’image de $2$ s’obtient en calculant $f(2)$ ; un antécédent de $2$ est un $x$ tel que $f(x) = 2$.
- Croire qu’un antécédent est toujours unique : une valeur peut en avoir plusieurs, ou aucun.
- Oublier de vérifier l’ensemble de définition : si $x \notin D_f$, $f(x)$ n’existe pas.
À toi de jouer
Le dénominateur est $x - 4$. Il s'annule pour $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $f$ est définie pour tous les réels sauf cette valeur. On note $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
Donc $f$ est définie pour tous les réels sauf cette valeur. On note $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\mathbf{4}\}$.
a) Image de $-1$ : $g(-1) = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 9 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Antécédents de $0$ : on résout $x^2 - 9 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Leftrightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$ ou $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Les antécédents de $0$ sont donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) Antécédents de $0$ : on résout $x^2 - 9 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 = \mathbf{9}$
$\Leftrightarrow x = \mathbf{3}$ ou $x = \mathbf{-3}$.
Les antécédents de $0$ sont donc $\mathbf{3}$ et $\mathbf{-3}$.
Le point d'abscisse $2$ a pour ordonnée $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $h(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
La droite horizontale $y = 1$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$ (valeurs approchées). Donc les antécédents de $1$ sont environ $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
La droite horizontale $y = 1$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $\mathbf{-0,\!4}$ et $\mathbf{2,\!4}$ (valeurs approchées). Donc les antécédents de $1$ sont environ $\mathbf{-0,\!4}$ et $\mathbf{2,\!4}$.
a) Le point $A(3 ; 3)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ? On calcule $f(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$, on compare à l'ordonnée $3$ : réponse $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Le point $B(-1 ; 1)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ? On calcule $f(-1) = \underline{\hspace{1.1em}}$, on compare à $1$ : réponse $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Quelles sont les coordonnées du point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $4$ ? $(4 ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
b) $f(-1) = 1 + 2 = \mathbf{3}$, or l'ordonnée annoncée est $1$ et $3 \ne 1$ : non, $B$ n'appartient pas à $\mathcal{C}_f$.
c) $f(4) = 16 - 8 = 8$, donc le point cherché est $(4 ; \mathbf{8})$.
a) Lis l'ensemble de définition de $h$ : $D_h = [\underline{\hspace{1.1em}} \, ; \, \underline{\hspace{1.1em}}]$.
b) Le nombre $5$ a-t-il une image par $h$ ? Pourquoi ?
Corrigé
b) Non : $5 \notin D_h$. Au-dessus de $x=5$, il n'y a aucun point de la courbe, donc $h(5)$ n'existe pas.
Huit exercices courts : cinq pour ancrer le calcul d'image, trois pour que la recherche d'un ensemble de définition devienne un réflexe. Tu maîtrises déjà la mécanique, alors on répète.
À toi de jouer
$f(2) = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$f(0) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$f(-1) = -2 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) + 7 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$f(4) = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$f(10) = 0{,}2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 1{,}5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Valeur interdite : $x - 7 = 0$, soit $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
Condition : $x - 5 \ge 0$, soit $x \ge \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $D_g = [\underline{\hspace{1.1em}} \, ; \, +\infty[$.
Corrigé
Corrigé
Pour $k$, le dénominateur s'annule pour $x = -3$ : $D_k = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.
Voilà des exercices comme tu en auras en contrôle. Prends ton temps, vérifie les ensembles de définition et les antécédents. Tu es prêt.
Rappel stratégique
- Pour une image, on remplace directement. Pour un antécédent, on résout une équation.
- Commencer par l'ensemble de définition, et vérifier à la fin que chaque solution trouvée lui appartient : une valeur interdite se rejette.
- Un antécédent peut être multiple ou absent : ne pas s'étonner. L'image, elle, est toujours unique.
À toi de jouer
Calcule $f(3)$, $f(-2)$ et $f\left(\frac{1}{2}\right)$.
Corrigé
$f(-2) = 2(-2)^2 - 8 = 8 - 8 = 0$ ;
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 8 = 2 \times \frac{1}{4} - 8 = \frac{1}{2} - 8 = -\frac{15}{2}$.
Corrigé
Antécédents de $-8$ : $2x^2-8=-8 \Rightarrow 2x^2=0 \Rightarrow x=0$.
Antécédents de $10$ : $2x^2-8=10 \Rightarrow 2x^2=18 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=3$ ou $x=-3$.
a) $g(x) = \dfrac{3x}{x^2 - 4}$
b) $h(x) = \sqrt{5 - 2x}$
Corrigé
b) $5-2x \ge 0 \Rightarrow -2x \ge -5 \Rightarrow x \le \frac{5}{2}$. $D_h = \left]-\infty\,;\,\frac{5}{2}\right]$.
Par lecture graphique (sans tracer) :
a) Donne $k(-2)$ et $k(0)$.
b) Donne deux antécédents de $0$.
c) Donne un antécédent de $2$.
d) Peut-on affirmer que $2$ n'a pas d'autre antécédent ?
Corrigé
b) Points d'ordonnée $0$ dans la liste : $(-2\,;\,0)$ et $(1\,;\,0)$, donc $-2$ et $1$ sont deux antécédents de $0$.
c) Point d'ordonnée $2$ dans la liste : $(-4\,;\,2)$, donc $-4$ est un antécédent de $2$.
d) Non. L'énoncé ne donne que quelques points de la courbe : rien n'interdit qu'un point non listé ait lui aussi pour ordonnée $2$. On peut affirmer qu'un nombre est un antécédent, jamais qu'il est le seul, tant qu'on n'a pas toute la courbe ou l'expression de $k$. En revanche, $k(-2)=0$ est certain : une abscisse n'a qu'une image.
a) Calcule $B(10)$ et $B(50)$.
b) Résous $B(x) = 0$. À quoi correspondent ces solutions ?
Corrigé
b) $-x^2 + 100x - 2400 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 100x + 2400 = 0 \Leftrightarrow (x-40)(x-60)=0$ (somme 100, produit 2400). Solutions : $x=40$ et $x=60$. Cela signifie que pour 40 ou 60 objets produits, le bénéfice est nul (on atteint le seuil de rentabilité).
a) Détermine l'ensemble de définition $D_f$.
b) Calcule $f(0)$ et $f(3)$.
c) Le point $A\left(1 \, ; \, \dfrac{2}{3}\right)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?
d) Résous l'équation $f(x) = 2$.
e) Résous l'équation $f(x) = 3$. Que peut-on en conclure sur les antécédents de $3$ ?
Corrigé
b) $f(0) = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5$ ; $f(3) = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$.
c) $1 \in D_f$ et $f(1) = \dfrac{2}{3}$, ce qui est bien l'ordonnée annoncée : oui, $A$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
d) Sur $D_f$, $x + 2 \ne 0$ : on multiplie les deux membres par $x+2$.
$3x - 1 = 2(x+2) \Leftrightarrow 3x - 1 = 2x + 4 \Leftrightarrow x = 5$.
$5 \ne -2$, donc $5 \in D_f$ : la solution est acceptée. Contrôle : $f(5) = \dfrac{14}{7} = 2$. L'ensemble des solutions est $\{5\}$.
e) $3x - 1 = 3(x+2) \Leftrightarrow 3x - 1 = 3x + 6 \Leftrightarrow -1 = 6$, ce qui est faux quel que soit $x$.
L'équation n'a donc aucune solution : $3$ n'a aucun antécédent par $f$. Avoir une image pour chaque $x$ de $D_f$ n'oblige pas chaque nombre à avoir un antécédent.
Bonus, hors programme de seconde : enchaîner deux fonctions, c'est la composition. On prend la sortie d'une machine et on la met dans une autre — c'est exactement ce qu'on fait quand on calcule $f(g(x))$. Tu la retrouveras plus loin au lycée ; ici, elle sert surtout à faire travailler l'ensemble de définition.
Qu'est-ce que la composition ?
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, on définit $f \circ g$ (lire « f rond g ») par : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. On applique d'abord $g$ à $x$, puis $f$ au résultat.
Exemple : $f(x)=2x+1$, $g(x)=x^2$. Alors $(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1$.
Attention à l'ordre : $(g \circ f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)^2$, ce n'est pas la même chose !
L'ensemble de définition de $f \circ g$ : il faut que $x$ appartienne à l'ensemble de définition de $g$, et que $g(x)$ appartienne à celui de $f$.
À toi de jouer
a) Calcule $(f \circ g)(2)$ en suivant le modèle.
$(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Calcule $(g \circ f)(2)$ : $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(\underline{\hspace{1.1em}}) = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(\mathbf{5}) = (\mathbf{5})^2 = \mathbf{25}$.
a) Exprime $(f \circ g)(x)$ : $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
b) Quel est l'ensemble de définition de $f \circ g$ ? Il faut que $g(x) \neq 0$, donc $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \underline{\hspace{1.1em}}$.
$D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
b) Il faut que $g(x) \neq 0$, donc $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \mathbf{1}$.
$D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{\mathbf{1}\}$.
Détermine $(f \circ g)(x)$ et son ensemble de définition.
$(f \circ g)(x) = \sqrt{2x + 5}$.
Il faut $2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $D_{f \circ g} = [\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,+\infty[$.
Corrigé
Il faut $2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \mathbf{-\frac{5}{2}}$.
Donc $D_{f \circ g} = [\mathbf{-\frac{5}{2}}\,;\,+\infty[$.