Tu n'as jamais vu ce chapitre, mais tu as un contrôle bientôt ? On va te rendre opérationnel en un clin d'oeil. Rappelle-toi : en 3ème, tu as appris les identités remarquables et la distributivité. C'est exactement ce qu'on recycle aujourd'hui.
1. Distributivité simple (de 3ème)
Développer, c'est transformer un produit en somme. Par exemple, si tu vois $k(a+b)$, pense à un rectangle : l'aire totale est la somme des deux petites aires. $k(a+b) = ka + kb$.
2. Les trois identités remarquables
Elles sont indispensables :
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
À toi de jouer
1. Exercice 1. Distributivité simple (à trous). Complète :
$3(2x - 5) = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$3(2x - 5) = 3 \times 2x - 3 \times 5 = 6x - 15$
2. Exercice 2. Identité remarquable (à trous). Complète :
$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \times x \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}^2 = x^2 + \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$
3. Exercice 3. Reconnaître une identité remarquable (à trous). Complète en choisissant la bonne identité : $x^2 - 64$ est un carré d'une somme / carré d'une différence / produit conjugué ? Puis complète : $x^2 - 64 = (x + \underline{\hspace{1.1em}})(x - \underline{\hspace{1.1em}})$
Corrigé
C'est un produit conjugué car $64 = 8^2$. Donc $x^2 - 64 = (x + 8)(x - 8)$.
Ah oui, c'était ça ! Développer et factoriser sont deux sens contraires. Quand tu as un produit et que tu veux le transformer en somme, tu développes. Quand tu as une somme et que tu veux la transformer en produit, tu factorises. On va se rafraîchir la méthode.
1. Double distributivité
Pour $(a+b)(c+d)$, pense à un produit de deux sommes : tu distribues chaque terme du premier sur chaque terme du second : $ac + ad + bc + bd$. Méthode : (a+b)(c+d) -> a*c + a*d + b*c + b*d.
2. Factoriser : trouver un facteur commun
Regarde chaque terme : y a-t-il un nombre ou une lettre qui revient ? Mets ce facteur en évidence. Ex : $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$. Vérifie en redéveloppant.
3. Les deux sens : calculer vs prouver
Rappel : sens direct = on développe pour calculer une expression. Réciproque = on factorise pour prouver une égalité ou résoudre une équation plus tard. Même calcul, mais inversé.
À toi de jouer
1. Exercice 1. Double distributivité (à trous). Développe : $(2x - 1)(x + 4) = 2x \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2x \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-1) \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-1) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x^2 + \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} = 2x^2 + \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$(2x - 1)(x + 4) = 2x \times x + 2x \times 4 + (-1) \times x + (-1) \times 4 = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$
2. Exercice 2. Factoriser (à trous). Factorise au maximum : $4x^2 - 6x$. Le facteur commun est $2x$ car $4x^2 = 2x \times \underline{\hspace{1.1em}}$ et $-6x = 2x \times (\underline{\hspace{1.1em}})$. Donc $4x^2 - 6x = 2x(\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$4x^2 - 6x = 2x(2x - 3)$
C'est l'heure de la mécanique : même type d'exo cinq fois de suite, pour que ça devienne automatique.
À toi de jouer
1. 1. Développe : $2(3x - 1)$
$2(3x - 1) = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$2(3x - 1) = 2 \times 3x - 2 \times 1 = 6x - 2$
2. 2. Développe : $-3(2x + 5)$
$-3(2x + 5) = (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$-3(2x + 5) = (-3) \times 2x + (-3) \times 5 = -6x - 15$
3. 3. Factorise : $5x^2 - 10x$
Le facteur commun est $5x$ car $5x^2 = 5x \times \underline{\hspace{1.1em}}$ et $-10x = 5x \times (\underline{\hspace{1.1em}})$. Donc $5x^2 - 10x = 5x(\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}})$
Corrigé
$5x^2 - 10x = 5x(x - 2)$
4. 4. Factorise : $3x + 9$
$3x + 9 = 3(\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}})$
Corrigé
$3x + 9 = 3(x + 3)$
5. 5. Développe : $-4(x - 3)$
$-4(x - 3) = -4 \times \underline{\hspace{1.1em}} - (-4) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$-4(x - 3) = -4 \times x - (-4) \times 3 = -4x + 12$
On passe à des exercices de type contrôle, sans trous cette fois. Tu peux le faire, tu as toutes les cartes. Montre que tu sais développer et factoriser sans filet.
À toi de jouer
1. 1. Développe et réduis : $(x + 5)(x - 3)$
Corrigé
$(x + 5)(x - 3) = x \times x + x \times (-3) + 5 \times x + 5 \times (-3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$
2. 2. Développe et réduis (identité remarquable) : $(2x - 3)^2$
Corrigé
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \times (2x) \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
3. 3. Factorise au maximum : $x^2 - 25$
Corrigé
$x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)$
4. 4. Factorise au maximum : $x^2 + 8x + 16$
Corrigé
$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$
5. 5. Sans calculatrice, utilise une identité remarquable pour calculer astucieusement : $99 \times 101$
Corrigé
$99 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10\,000 - 1 = 9\,999$
Bravo ! Tu gères le programme. Maintenant, on va titiller ce qu'on voit l'an prochain en Première : des factorisations plus malines et leur utilisation pour résoudre des équations. Rien d'insurmontable, mais ça te fera une longueur d'avance.
À toi de jouer
1. 1. Factorise $x^3 - x$ en deux étapes : d'abord repère un facteur commun, puis utilise une identité remarquable.
Corrigé
$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$
2. 2. Factorise $x^2 + 2x + 1 - 9$ en reconnaissant une identité remarquable dans la première partie, puis une différence de carrés.
Corrigé
$x^2 + 2x + 1 - 9 = (x + 1)^2 - 3^2 = [(x+1) - 3][(x+1) + 3] = (x - 2)(x + 4)$
3. 3. Résous l'équation $(2x - 4)(x + 3) = 0$ en utilisant la règle du produit nul (rappel : un produit est nul si l'un des facteurs est nul).
Corrigé
$(2x - 4)(x + 3) = 0$ ⇒ soit $2x - 4 = 0$ soit $x + 3 = 0$. Donc $2x = 4$ ou $x = -3$ ⇒ $x = 2$ ou $x = -3$. Les solutions sont 2 et -3.