Tu n'as jamais entendu parler de colinéarité ni de déterminant, et pourtant un contrôle arrive. Pas de panique : on part de zéro, on va droit au but. Avant de plonger, on va réactiver deux prérequis indispensables : les coordonnées d'un vecteur et la multiplication de deux nombres. Accroche-toi, on y va ensemble.
Prérequis 1 : les coordonnées d'un vecteur
Dans un repère, un vecteur $\vec{AB}$ se calcule à partir des coordonnées de son origine $A$ et de son extrémité $B$.
Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors les coordonnées de $\vec{AB}$ sont :
$$ x_{\vec{AB}} = x_B - x_A \quad\text{et}\quad y_{\vec{AB}} = y_B - y_A $$
Exemple : $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,4)$ donnent $\vec{AB}(5-2\,;\,4-1) = \vec{AB}(3\,;\,3)$.
Un vecteur tout seul, comme $\vec{u}$, est souvent noté directement avec ses coordonnées : $\vec{u}(a\,;\,b)$.
Prérequis 2 : multiplier et soustraire
Le déterminant utilise une multiplication et une soustraction : $ad - bc$. C'est tout. Pas de panique, c'est du calcul mental. On multiplie deux nombres, on multiplie deux autres nombres, on soustrait les résultats. L'ordre est crucial : on fait $a \times d$ moins $b \times c$, dans cet ordre-là.
Le déterminant : l'outil magique
Deux vecteurs $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ sont colinéaires (c'est-à-dire parallèles, l'un est un multiple de l'autre) si et seulement si leur déterminant est nul.
Le déterminant se note $\det(\vec{u},\vec{v})$ et se calcule avec la formule unique :
$$ \det(\vec{u},\vec{v}) = a \times d - b \times c $$
Si le résultat est $0$, les vecteurs sont colinéaires. Si le résultat est différent de $0$, ils ne sont pas colinéaires.
Pour vérifier si trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, on calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis leur déterminant. S'il vaut $0$, les points sont alignés.
À toi de jouer
1. Complète les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
$A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,7)$.
$x_{\vec{AB}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$y_{\vec{AB}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\vec{AB}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$x_{\vec{AB}} = 4 - 1 = 3$
$y_{\vec{AB}} = 7 - 3 = 4$
Donc $\vec{AB}(3\,;\,4)$.
2. On te donne $\vec{u}(2\,;\,5)$ et $\vec{v}(4\,;\,10)$. Complète le calcul du déterminant.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$= \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Le résultat est-il nul ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non)
Les vecteurs sont-ils colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 10 - 5 \times 4$
$= 20 - 20 = 0$
Le résultat est-il nul ? oui
Les vecteurs sont-ils colinéaires ? oui.
3. Même principe avec $\vec{u}(1\,;\,3)$ et $\vec{v}(2\,;\,6)$.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : les vecteurs sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (colinéaires / non colinéaires).
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 6 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0$
Conclusion : les vecteurs sont colinéaires.
Ah oui, ce fameux déterminant ! Tu te souviens maintenant : un calcul rapide $ad - bc$ qui dit tout sur la colinéarité. On va remettre tout ça au clair avec la méthode pas-à-pas pour ne plus jamais se tromper, et on s'entraîne sur des cas concrets.
Rappel structuré
Déterminant de deux vecteurs $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ :
$$ \det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc $$
Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff ad - bc = 0$.
Alignement de trois points : $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$.
Erreurs à éviter absolument :
- Inverser la formule : c'est $ad - bc$, pas $bc - ad$.
- Appliquer la formule directement aux points sans calculer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
- Confondre les coordonnées : bien repérer $a,b$ pour le premier vecteur, $c,d$ pour le second.
Méthode pas-à-pas : vérifier un alignement
1. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ : $x_B - x_A$, $y_B - y_A$.
2. Calculer les coordonnées de $\vec{AC}$ : $x_C - x_A$, $y_C - y_A$.
3. Calculer $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = x_{\vec{AB}} \times y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}} \times x_{\vec{AC}}$.
4. Si le résultat est $0$, les points sont alignés. Sinon, ils ne le sont pas.
À toi de jouer
1. On te donne $\vec{u}(3\,;\,5)$ et $\vec{v}(6\,;\,10)$. On va vérifier la colinéarité ensemble.
Étape 1 : identifie $a$, $b$, $c$, $d$.
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$, $d = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 2 : calcule $ad = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $bc = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 3 : $\det = ad - bc = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 4 : le déterminant est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (nul / non nul), donc les vecteurs sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (colinéaires / non colinéaires).
Corrigé
$a = 3$, $b = 5$, $c = 6$, $d = 10$.
$ad = 3 \times 10 = 30$ et $bc = 5 \times 6 = 30$.
$\det = 30 - 30 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.
2. Vérifie si les points $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$ et $C(5\,;\,8)$ sont alignés. Complète.
$\vec{AB} : x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $\vec{AB}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\vec{AC} : x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $\vec{AC}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Résultat $= \underline{\hspace{1.1em}}$ donc les points sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (alignés / non alignés).
Corrigé
$\vec{AB} : x = 3 - 1 = 2$, $y = 5 - 2 = 3$ donc $\vec{AB}(2\,;\,3)$.
$\vec{AC} : x = 5 - 1 = 4$, $y = 8 - 2 = 6$ donc $\vec{AC}(4\,;\,6)$.
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$.
Résultat $= 0$ donc les points sont alignés.
3. À toi : $M(0\,;\,2)$, $N(3\,;\,5)$, $P(4\,;\,9)$. Calcule $\det(\vec{MN},\vec{MP})$ et conclus.
$\vec{MN}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$, $\vec{MP}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\det = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Ce déterminant est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (nul / non nul), donc $M$, $N$, $P$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (alignés / non alignés).
Corrigé
$\vec{MN}(3\,;\,3)$, $\vec{MP}(4\,;\,7)$.
$\det = 3 \times 7 - 3 \times 4 = 21 - 12 = 9$.
Ce déterminant est non nul, donc $M$, $N$, $P$ ne sont pas alignés.
Maintenant que la mécanique est en place, on va répéter le même geste cinq fois pour que ça devienne un réflexe. Que des calculs de déterminant, tous sur le même modèle. Tu vas voir, c'est presque automatique.
À toi de jouer
1. Calcule le déterminant de $\vec{u}(4\,;\,6)$ et $\vec{v}(2\,;\,3)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0$
Colinéaires ? Oui.
2. Calcule le déterminant de $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,5)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1$
Colinéaires ? Non.
3. Calcule le déterminant de $\vec{u}(-3\,;\,1)$ et $\vec{v}(6\,;\,-2)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = (-3) \times (-2) - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0$
Colinéaires ? Oui.
4. Calcule le déterminant de $\vec{u}(5\,;\,10)$ et $\vec{v}(2\,;\,4)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 5 \times 4 - 10 \times 2 = 20 - 20 = 0$
Colinéaires ? Oui.
5. Calcule le déterminant de $\vec{u}(-2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,-6)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = (-2) \times (-6) - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$
Colinéaires ? Oui.
Tu maîtrises le calcul brut. Passons aux choses sérieuses : des exercices type contrôle, où il faut interpréter le déterminant pour résoudre des problèmes d'alignement, trouver un paramètre inconnu, ou analyser une figure géométrique. C'est le moment de tout consolider.
À toi de jouer
1. Les points $A(2\,;\,1)$, $B(5\,;\,4)$ et $C(8\,;\,7)$ sont-ils alignés ? Justifie par le calcul du déterminant.
Corrigé
$\vec{AB}(5-2\,;\,4-1) = \vec{AB}(3\,;\,3)$
$\vec{AC}(8-2\,;\,7-1) = \vec{AC}(6\,;\,6)$
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$
Le déterminant est nul, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.
2. Les points $M(0\,;\,2)$, $N(3\,;\,5)$ et $P(4\,;\,9)$ sont-ils alignés ? Justifie.
Corrigé
$\vec{MN}(3-0\,;\,5-2) = \vec{MN}(3\,;\,3)$
$\vec{MP}(4-0\,;\,9-2) = \vec{MP}(4\,;\,7)$
$\det(\vec{MN},\vec{MP}) = 3 \times 7 - 3 \times 4 = 21 - 12 = 9
eq 0$
Le déterminant est non nul, donc $M$, $N$, $P$ ne sont pas alignés.
3. Trouve la valeur de $k$ pour que les vecteurs $\vec{u}(2\,;\,k)$ et $\vec{v}(5\,;\,10)$ soient colinéaires.
Corrigé
Condition de colinéarité : $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$
$2 \times 10 - k \times 5 = 0 \iff 20 - 5k = 0 \iff 5k = 20 \iff k = 4$
Pour $k=4$, les vecteurs sont colinéaires.
4. Trouve la valeur de $k$ pour que les points $A(1\,;\,3)$, $B(k\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ soient alignés.
Corrigé
$\vec{AB}(k-1\,;\,7-3) = \vec{AB}(k-1\,;\,4)$
$\vec{AC}(5-1\,;\,11-3) = \vec{AC}(4\,;\,8)$
Alignement : $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$
$(k-1) \times 8 - 4 \times 4 = 0 \iff 8k - 8 - 16 = 0 \iff 8k - 24 = 0 \iff 8k = 24 \iff k = 3$
Pour $k=3$, les points sont alignés.
5. On place les points $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$, $C(4\,;\,3)$, $D(1\,;\,3)$ dans un repère.
a) Calcule $\det(\vec{AB},\vec{DC})$. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(DC)$ ?
b) Calcule $\det(\vec{AD},\vec{BC})$. Que peut-on en déduire pour les droites $(AD)$ et $(BC)$ ?
c) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
Corrigé
a) $\vec{AB}(6-0\,;\,0-0) = \vec{AB}(6\,;\,0)$
$\vec{DC}(4-1\,;\,3-3) = \vec{DC}(3\,;\,0)$
$\det(\vec{AB},\vec{DC}) = 6 \times 0 - 0 \times 3 = 0$. Le déterminant est nul, donc $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
b) $\vec{AD}(1-0\,;\,3-0) = \vec{AD}(1\,;\,3)$
$\vec{BC}(4-6\,;\,3-0) = \vec{BC}(-2\,;\,3)$
$\det(\vec{AD},\vec{BC}) = 1 \times 3 - 3 \times (-2) = 3 + 6 = 9
eq 0$. Le déterminant est non nul, donc $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
c) Le quadrilatère $ABCD$ possède exactement une paire de côtés parallèles : $(AB) \parallel (DC)$. Les deux autres côtés ne sont pas parallèles. Donc $ABCD$ est un trapèze.
Le déterminant, tu le retrouveras en Première, mais avec une dimension supplémentaire : pour deux vecteurs du plan, il sert aussi à calculer des aires et à résoudre des systèmes d'équations. On va effleurer ces idées avec deux exercices qui te montrent que le déterminant n'est pas qu'un test de colinéarité.
Ouverture : déterminant et aire
En Première, tu apprendras que la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égale à l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. En 2nde, on peut déjà le sentir : si $\det
eq 0$, les vecteurs ne sont pas colinéaires et forment un vrai parallélogramme. Si $\det = 0$, l'aire est nulle car les vecteurs sont portés par la même droite.
Ouverture : déterminant et systèmes d'équations
Quand tu résous un système de deux équations à deux inconnues, le déterminant des coefficients permet de savoir s'il y a une solution unique (déterminant non nul) ou pas. C'est le même outil, utilisé autrement.
À toi de jouer
1. On considère les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(1\,;\,2)$.
a) Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
b) On admet que l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est la valeur absolue du déterminant. Quelle est cette aire ?
c) Si on avait pris $\vec{w}(6\,;\,2)$, colinéaire à $\vec{u}$, quelle serait l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ?
Corrigé
a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5
eq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
b) L'aire du parallélogramme est $|\det(\vec{u},\vec{v})| = |5| = 5$ unités d'aire.
c) $\vec{w}$ est colinéaire à $\vec{u}$, donc $\det(\vec{u},\vec{w}) = 0$. L'aire du parallélogramme serait nulle (les deux vecteurs sont portés par la même droite, le parallélogramme est aplati).
2. On considère le système suivant, où $x$ et $y$ sont les inconnues :
$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$
a) Écris les coefficients de $x$ et $y$ dans la première équation sous forme d'un vecteur $\vec{u}(2\,;\,3)$ et ceux de la seconde sous forme d'un vecteur $\vec{v}(4\,;\,6)$.
b) Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$. Que remarques-tu ?
c) Sais-tu combien de solutions possède ce système ? (Indice : les deux équations sont-elles vraiment différentes ?)
Corrigé
a) $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,6)$.
b) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$. Le déterminant est nul, les vecteurs de coefficients sont colinéaires.
c) La seconde équation est exactement le double de la première ($4x+6y=10$ c'est $2(2x+3y)=2\times5$). Les deux équations sont proportionnelles, donc le système a une infinité de solutions (tous les couples $(x,y)$ vérifiant $2x+3y=5$). Un déterminant nul des coefficients signale que le système n'a pas une solution unique.
3. Soient $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$ et $C(5\,;\,8)$. On a montré qu'ils sont alignés. Imagine qu'on ajoute un point $D(2\,;\,4)$.
a) Calcule $\det(\vec{AB},\vec{AD})$. Les points $A$, $B$, $D$ sont-ils alignés ?
b) Calcule $\det(\vec{AC},\vec{AD})$. Les points $A$, $C$, $D$ sont-ils alignés ?
c) Que peux-tu dire de la position de $D$ par rapport à la droite $(AB)$ ?
Corrigé
a) $\vec{AB}(2\,;\,3)$, $\vec{AD}(2-1\,;\,4-2) = \vec{AD}(1\,;\,2)$.
$\det(\vec{AB},\vec{AD}) = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 4 - 3 = 1
eq 0$. $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés.
b) $\vec{AC}(4\,;\,6)$, $\vec{AD}(1\,;\,2)$.
$\det(\vec{AC},\vec{AD}) = 4 \times 2 - 6 \times 1 = 8 - 6 = 2
eq 0$. $A$, $C$, $D$ ne sont pas alignés.
c) $D$ n'appartient pas à la droite $(AB)$ (ni à $(AC)$, qui est la même droite puisque $A,B,C$ sont alignés). Le déterminant non nul confirme que $D$ est en dehors de l'alignement.