Colinéarité et déterminant — Exercices

Du calcul direct au problème géométrique. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Calculatrice inutile

1Calcul de déterminant/ 3 pts

Pour chaque paire de vecteurs, calcule le déterminant et indique si les vecteurs sont colinéaires.

$\vec{u}(4\,;\,6)$ et $\vec{v}(2\,;\,3)$
$\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,5)$
$\vec{u}(-3\,;\,1)$ et $\vec{v}(6\,;\,-2)$

2Points alignés/ 4 pts

Détermine, dans chaque cas, si les trois points sont alignés. Justifie par le calcul du déterminant.

$A(2\,;\,1)$, $B(5\,;\,4)$, $C(8\,;\,7)$
$M(0\,;\,2)$, $N(3\,;\,5)$, $P(4\,;\,9)$

3Trouver un paramètre/ 4 pts

Détermine la valeur du paramètre réel $k$ dans chaque cas.

Trouver $k$ tel que $\vec{u}(2\,;\,k)$ et $\vec{v}(5\,;\,10)$ soient colinéaires.
Trouver $k$ tel que les points $A(1\,;\,3)$, $B(k\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ soient alignés.

4Problème — Trapèze/ 5 pts

On place les points $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$, $C(4\,;\,3)$, $D(1\,;\,3)$ dans un repère orthonormé.

Calcule $\det(\vec{AB},\vec{DC})$ et montre que les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
Calcule $\det(\vec{AD},\vec{BC})$ et montre que les droites $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
Conclure sur la nature du quadrilatère $ABCD$.

Corrigé détaillé

1Calcul de déterminant

a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0$ $\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}$

b) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1 \neq 0$ $\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ ne sont pas colinéaires}$

c) $\det(\vec{u},\vec{v}) = (-3) \times (-2) - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0$ $\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires}$

2Points alignés

a) $\vec{AB}(3\,;\,3),\ \vec{AC}(6\,;\,6) \Rightarrow \det = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ $A,\ B,\ C \text{ sont alignés}$

b) $\vec{MN}(3\,;\,3),\ \vec{MP}(4\,;\,7) \Rightarrow \det = 3 \times 7 - 3 \times 4 = 21 - 12 = 9 \neq 0$ $M,\ N,\ P \text{ ne sont pas alignés}$

3Trouver un paramètre

a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 10 - k \times 5 = 20 - 5k = 0 \Rightarrow 5k = 20$ $k = 4$

b) $\vec{AB}(k-1\,;\,4),\ \vec{AC}(4\,;\,8) \Rightarrow (k-1) \times 8 - 4 \times 4 = 8k - 8 - 16 = 8k - 24 = 0$ $k = 3$

4Problème — Trapèze

a) $\vec{AB}(6\,;\,0),\ \vec{DC}(3\,;\,0) \Rightarrow \det = 6 \times 0 - 0 \times 3 = 0$ $\det = 0 \Rightarrow (AB) \parallel (DC)$

b) $\vec{AD}(1\,;\,3),\ \vec{BC}(-2\,;\,3) \Rightarrow \det = 1 \times 3 - 3 \times (-2) = 3 + 6 = 9 \neq 0$ $(AD) \text{ et } (BC) \text{ ne sont pas parallèles}$

c) $ABCD \text{ possède exactement une paire de côtés parallèles : } (AB) \parallel (DC).$ $ABCD \text{ est un trapèze}$