Tu n'as jamais entendu parler de colinéarité ni de déterminant, et pourtant un contrôle arrive. Pas de panique : on part de zéro, on va droit au but. Avant de plonger, on va réactiver deux prérequis indispensables : les coordonnées d'un vecteur et la multiplication de deux nombres. Accroche-toi, on y va ensemble.

Prérequis 1 : les coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, un vecteur $\vec{AB}$ se calcule à partir des coordonnées de son origine $A$ et de son extrémité $B$.
Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, alors les coordonnées de $\vec{AB}$ sont :

$$ x_{\vec{AB}} = x_B - x_A \quad\text{et}\quad y_{\vec{AB}} = y_B - y_A $$

Exemple : $A(2\,;\,1)$ et $B(5\,;\,4)$ donnent $\vec{AB}(5-2\,;\,4-1) = \vec{AB}(3\,;\,3)$.

Un vecteur tout seul, comme $\vec{u}$, est souvent noté directement avec ses coordonnées : $\vec{u}(a\,;\,b)$.

Prérequis 2 : multiplier et soustraire

Le déterminant utilise une multiplication et une soustraction : $ad - bc$. C'est tout. Pas de panique, c'est du calcul mental. On multiplie deux nombres, on multiplie deux autres nombres, on soustrait les résultats. L'ordre est crucial : on fait $a \times d$ moins $b \times c$, dans cet ordre-là.

Le déterminant : l'outil magique

Deux vecteurs $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ sont colinéaires (c'est-à-dire parallèles, l'un est un multiple de l'autre) si et seulement si leur déterminant est nul.

Le déterminant se note $\det(\vec{u},\vec{v})$ et se calcule avec la formule unique :

$$ \det(\vec{u},\vec{v}) = a \times d - b \times c $$

Si le résultat est $0$, les vecteurs sont colinéaires. Si le résultat est différent de $0$, ils ne sont pas colinéaires.

Pour vérifier si trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, on calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis leur déterminant. S'il vaut $0$, les points sont alignés.

Il existe une deuxième façon de dire exactement la même chose, à connaître elle aussi : la proportionnalité des coordonnées. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires précisément quand on passe des coordonnées de l'un à celles de l'autre en multipliant par un seul et même nombre $k$ : si $\vec{u}(a\,;\,b)$, alors $k\,\vec{u}$ a pour coordonnées $(ka\,;\,kb)$. Exemple : $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,6)$ sont colinéaires, avec $k = 2$, puisque $\vec{v} = 2\,\vec{u}$.

Une précaution : on n'écrit pas cette proportionnalité avec des quotients quand une coordonnée est nulle, car $\dfrac{c}{a}$ n'existe pas si $a = 0$. Le calcul $ad - bc$, lui, se fait toujours.

À toi de jouer

1. Complète les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
$A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,7)$.
$x_{\vec{AB}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$y_{\vec{AB}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\vec{AB}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$x_{\vec{AB}} = 4 - 1 = 3$
$y_{\vec{AB}} = 7 - 3 = 4$
Donc $\vec{AB}(3\,;\,4)$.
2. On te donne $\vec{u}(2\,;\,5)$ et $\vec{v}(4\,;\,10)$. Complète le calcul du déterminant.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$= \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Le résultat est-il nul ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non)
Les vecteurs sont-ils colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 10 - 5 \times 4$
$= 20 - 20 = 0$
Le résultat est-il nul ? oui
Les vecteurs sont-ils colinéaires ? oui.
3. Même principe avec $\vec{u}(1\,;\,3)$ et $\vec{v}(2\,;\,6)$.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : les vecteurs sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (colinéaires / non colinéaires).
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 6 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0$
Conclusion : les vecteurs sont colinéaires.
4. On donne $\vec{u}(3\,;\,4)$ et $\vec{v}(9\,;\,12)$. Cherche le nombre $k$ qui permet de passer de $\vec{u}$ à $\vec{v}$.
$9 = k \times 3$ donc $k = \underline{\hspace{1.1em}}$
$12 = k \times 4$ donc $k = \underline{\hspace{1.1em}}$
Est-ce le même $k$ sur les deux lignes ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non)
Donc les coordonnées sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (proportionnelles / pas proportionnelles), et les vecteurs sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (colinéaires / non colinéaires).
Corrigé
$9 = k \times 3$ donc $k = 3$
$12 = k \times 4$ donc $k = 3$
C'est le même $k$ : oui.
Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires.
Contrôle par le déterminant : $3 \times 12 - 4 \times 9 = 36 - 36 = 0$.

Ah oui, ce fameux déterminant ! Tu te souviens maintenant : un calcul rapide $ad - bc$ qui dit tout sur la colinéarité. On va remettre tout ça au clair avec la méthode pas-à-pas pour ne plus jamais se tromper, et on s'entraîne sur des cas concrets.

Rappel structuré

Déterminant de deux vecteurs $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ :

$$ \det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc $$

Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires $\iff ad - bc = 0$.

Alignement de trois points : $A$, $B$, $C$ alignés $\iff \det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$.

Proportionnalité des coordonnées : pour $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ tous les deux non nuls, $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff$ il existe un réel $k \neq 0$ tel que $c = ka$ et $d = kb$. C'est le produit en croix du collège : les coordonnées forment un tableau de proportionnalité si et seulement si $a \times d = b \times c$, c'est-à-dire $ad - bc = 0$. Les deux caractérisations, déterminant nul et coordonnées proportionnelles, sont donc équivalentes.

Erreurs à éviter absolument :

  • Inverser la formule : c'est $ad - bc$, pas $bc - ad$.
  • Appliquer la formule directement aux points sans calculer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
  • Confondre les coordonnées : bien repérer $a,b$ pour le premier vecteur, $c,d$ pour le second.
  • Écrire $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$ alors que $a$ ou $b$ vaut $0$ : la division par $0$ n'existe pas. Dans ce cas, seul le calcul $ad - bc$ répond.

Méthode pas-à-pas : vérifier un alignement

1. Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ : $x_B - x_A$, $y_B - y_A$.
2. Calculer les coordonnées de $\vec{AC}$ : $x_C - x_A$, $y_C - y_A$.
3. Calculer $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = x_{\vec{AB}} \times y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}} \times x_{\vec{AC}}$.
4. Si le résultat est $0$, les points sont alignés. Sinon, ils ne le sont pas.

À toi de jouer

1. On te donne $\vec{u}(3\,;\,5)$ et $\vec{v}(6\,;\,10)$. On va vérifier la colinéarité ensemble.
Étape 1 : identifie $a$, $b$, $c$, $d$.
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$, $d = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 2 : calcule $ad = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $bc = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 3 : $\det = ad - bc = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 4 : le déterminant est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (nul / non nul), donc les vecteurs sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (colinéaires / non colinéaires).
Corrigé
$a = 3$, $b = 5$, $c = 6$, $d = 10$.
$ad = 3 \times 10 = 30$ et $bc = 5 \times 6 = 30$.
$\det = 30 - 30 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires.
2. Vérifie si les points $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$ et $C(5\,;\,8)$ sont alignés. Complète.
$\vec{AB} : x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $\vec{AB}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\vec{AC} : x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $\vec{AC}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Résultat $= \underline{\hspace{1.1em}}$ donc les points sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (alignés / non alignés).
Corrigé
$\vec{AB} : x = 3 - 1 = 2$, $y = 5 - 2 = 3$ donc $\vec{AB}(2\,;\,3)$.
$\vec{AC} : x = 5 - 1 = 4$, $y = 8 - 2 = 6$ donc $\vec{AC}(4\,;\,6)$.
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$.
Résultat $= 0$ donc les points sont alignés.
3. À toi : $M(0\,;\,2)$, $N(3\,;\,5)$, $P(4\,;\,9)$. Calcule $\det(\vec{MN},\vec{MP})$ et conclus.
$\vec{MN}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$, $\vec{MP}(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
$\det = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Ce déterminant est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (nul / non nul), donc $M$, $N$, $P$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (alignés / non alignés).
Corrigé
$\vec{MN}(3\,;\,3)$, $\vec{MP}(4\,;\,7)$.
$\det = 3 \times 7 - 3 \times 4 = 21 - 12 = 9$.
Ce déterminant est non nul, donc $M$, $N$, $P$ ne sont pas alignés.
4. Soient $\vec{u}(-2\,;\,5)$ et $\vec{v}(6\,;\,-15)$.
a) Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$ et conclus.
b) Retrouve la même conclusion par la proportionnalité des coordonnées : trouve le réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$.
Corrigé
a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = (-2) \times (-15) - 5 \times 6 = 30 - 30 = 0$. Le déterminant est nul et les deux vecteurs sont non nuls : ils sont colinéaires.
b) $6 = k \times (-2)$ donne $k = -3$ ; on vérifie sur l'autre coordonnée : $-3 \times 5 = -15$. C'est bien le même $k$, donc $\vec{v} = -3\,\vec{u}$ et les coordonnées sont proportionnelles.

Maintenant que la mécanique est en place, on va répéter le même geste cinq fois pour que ça devienne un réflexe. Que des calculs de déterminant, tous sur le même modèle. Tu vas voir, c'est presque automatique.

À toi de jouer

1. Calcule le déterminant de $\vec{u}(4\,;\,6)$ et $\vec{v}(2\,;\,3)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0$
Colinéaires ? Oui.
2. Calcule le déterminant de $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,5)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1$
Colinéaires ? Non.
3. Calcule le déterminant de $\vec{u}(-3\,;\,1)$ et $\vec{v}(6\,;\,-2)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = (-3) \times (-2) - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0$
Colinéaires ? Oui.
4. Calcule le déterminant de $\vec{u}(5\,;\,10)$ et $\vec{v}(2\,;\,4)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 5 \times 4 - 10 \times 2 = 20 - 20 = 0$
Colinéaires ? Oui.
5. Calcule le déterminant de $\vec{u}(-2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,-6)$. Indique s'ils sont colinéaires.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Colinéaires ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = (-2) \times (-6) - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$
Colinéaires ? Oui.
6. Cette fois une coordonnée est nulle : $\vec{u}(0\,;\,4)$ et $\vec{v}(0\,;\,-7)$.
a) Peux-tu écrire $\dfrac{0}{0} = \dfrac{-7}{4}$ pour tester la proportionnalité des coordonnées ? Explique en une ligne.
b) Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$ et conclus.
Corrigé
a) Non : $\dfrac{0}{0}$ n'existe pas, on ne divise jamais par $0$. L'écriture en quotients est interdite ici.
b) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0 \times (-7) - 4 \times 0 = 0 - 0 = 0$. Les deux vecteurs sont non nuls et le déterminant est nul : ils sont colinéaires. On le voit d'ailleurs sans quotient, avec $k = -\dfrac{7}{4}$ : $-\dfrac{7}{4} \times 0 = 0$ et $-\dfrac{7}{4} \times 4 = -7$, donc $\vec{v} = -\dfrac{7}{4}\,\vec{u}$.
7. Soient $\vec{u}(2\,;\,0)$ et $\vec{v}(0\,;\,5)$. Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$, puis dis si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Corrigé
$\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 5 - 0 \times 0 = 10 - 0 = 10$.
Le déterminant n'est pas nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. C'est cohérent : le premier est horizontal, le second vertical. Une coordonnée nulle ne signifie donc pas « colinéaires » : il faut toujours faire le calcul.

Tu maîtrises le calcul brut. Passons aux choses sérieuses : des exercices type contrôle, où il faut interpréter le déterminant pour résoudre des problèmes d'alignement, trouver un paramètre inconnu, ou analyser une figure géométrique. C'est le moment de tout consolider.

À toi de jouer

1. Les points $A(2\,;\,1)$, $B(5\,;\,4)$ et $C(8\,;\,7)$ sont-ils alignés ? Justifie par le calcul du déterminant.
Corrigé
$\vec{AB}(5-2\,;\,4-1) = \vec{AB}(3\,;\,3)$
$\vec{AC}(8-2\,;\,7-1) = \vec{AC}(6\,;\,6)$
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$
Le déterminant est nul, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.
2. Les points $M(0\,;\,2)$, $N(3\,;\,5)$ et $P(4\,;\,9)$ sont-ils alignés ? Justifie.
Corrigé
$\vec{MN}(3-0\,;\,5-2) = \vec{MN}(3\,;\,3)$
$\vec{MP}(4-0\,;\,9-2) = \vec{MP}(4\,;\,7)$
$\det(\vec{MN},\vec{MP}) = 3 \times 7 - 3 \times 4 = 21 - 12 = 9 \neq 0$
Le déterminant est non nul, donc $M$, $N$, $P$ ne sont pas alignés.
3. Trouve la valeur de $k$ pour que les vecteurs $\vec{u}(2\,;\,k)$ et $\vec{v}(5\,;\,10)$ soient colinéaires.
Corrigé
Condition de colinéarité : $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$
$2 \times 10 - k \times 5 = 0 \iff 20 - 5k = 0 \iff 5k = 20 \iff k = 4$
Pour $k=4$, les vecteurs sont colinéaires.
4. Trouve la valeur de $k$ pour que les points $A(1\,;\,3)$, $B(k\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ soient alignés.
Corrigé
$\vec{AB}(k-1\,;\,7-3) = \vec{AB}(k-1\,;\,4)$
$\vec{AC}(5-1\,;\,11-3) = \vec{AC}(4\,;\,8)$
Alignement : $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$
$(k-1) \times 8 - 4 \times 4 = 0 \iff 8k - 8 - 16 = 0 \iff 8k - 24 = 0 \iff 8k = 24 \iff k = 3$
Pour $k=3$, les points sont alignés.
5. On place les points $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$, $C(4\,;\,3)$, $D(1\,;\,3)$ dans un repère.
a) Calcule $\det(\vec{AB},\vec{DC})$. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(DC)$ ?
b) Calcule $\det(\vec{AD},\vec{BC})$. Que peut-on en déduire pour les droites $(AD)$ et $(BC)$ ?
c) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
Corrigé
a) $\vec{AB}(6-0\,;\,0-0) = \vec{AB}(6\,;\,0)$
$\vec{DC}(4-1\,;\,3-3) = \vec{DC}(3\,;\,0)$
$\det(\vec{AB},\vec{DC}) = 6 \times 0 - 0 \times 3 = 0$. Le déterminant est nul, donc $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles.

b) $\vec{AD}(1-0\,;\,3-0) = \vec{AD}(1\,;\,3)$
$\vec{BC}(4-6\,;\,3-0) = \vec{BC}(-2\,;\,3)$
$\det(\vec{AD},\vec{BC}) = 1 \times 3 - 3 \times (-2) = 3 + 6 = 9 \neq 0$. Le déterminant est non nul, donc $(AD)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

c) Le quadrilatère $ABCD$ possède exactement une paire de côtés parallèles : $(AB) \parallel (DC)$. Les deux autres côtés ne sont pas parallèles. Donc $ABCD$ est un trapèze.
6. Soient $\vec{u}(a\,;\,6)$ et $\vec{v}(-2\,;\,-3)$, où $a$ est un réel.
a) Écris la condition de colinéarité avec le déterminant, puis trouve $a$.
b) Vérifie ta réponse par la proportionnalité des coordonnées : donne le réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$.
Corrigé
a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = a \times (-3) - 6 \times (-2) = -3a + 12$.
La colinéarité impose $-3a + 12 = 0$, donc $3a = 12$ et $a = 4$.
b) Avec $a = 4$ : $\vec{u}(4\,;\,6)$ et $\vec{v}(-2\,;\,-3)$. De $-2 = k \times 4$ on tire $k = -\dfrac{1}{2}$, et $-\dfrac{1}{2} \times 6 = -3$ : c'est bien le même $k$. Donc $\vec{v} = -\dfrac{1}{2}\,\vec{u}$, les coordonnées sont proportionnelles.

Le déterminant ne sert pas qu'à répondre « colinéaires ou pas ». Sa valeur absolue mesure une aire, et le fait que deux vecteurs ne soient PAS colinéaires est justement ce qui permet de repérer tout le plan avec eux. Deux idées que tu recroiseras en Première, et trois exercices pour les toucher du doigt dès maintenant.

Ouverture : déterminant et aire

En Première, tu apprendras que, dans un repère orthonormé, la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est égale à l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. En 2nde, on peut déjà le sentir : si $\det \neq 0$, les vecteurs ne sont pas colinéaires et forment un vrai parallélogramme. Si $\det = 0$, l'aire est nulle car les vecteurs sont portés par la même droite.

Ouverture : deux vecteurs non colinéaires, et tout le plan se décrit

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires — autrement dit si leur déterminant n'est pas nul — alors tout vecteur du plan s'écrit comme une combinaison $x\,\vec{u} + y\,\vec{v}$, et d'une seule manière. On dit que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base du plan. Si au contraire ils sont colinéaires, toutes leurs combinaisons restent sur une même droite et le reste du plan devient inatteignable. Le déterminant est donc aussi le test qui dit si un couple de vecteurs peut servir de repère.

À toi de jouer

1. On considère les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(1\,;\,2)$.
a) Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$. Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
b) On admet que l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est la valeur absolue du déterminant. Quelle est cette aire ?
c) Si on avait pris $\vec{w}(6\,;\,2)$, colinéaire à $\vec{u}$, quelle serait l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ?
Corrigé
a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5 \neq 0$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
b) L'aire du parallélogramme est $|\det(\vec{u},\vec{v})| = |5| = 5$ unités d'aire.
c) $\vec{w}$ est colinéaire à $\vec{u}$, donc $\det(\vec{u},\vec{w}) = 0$. L'aire du parallélogramme serait nulle (les deux vecteurs sont portés par la même droite, le parallélogramme est aplati).
2. Soient $\vec{u}(2\,;\,1)$ et $\vec{v}(1\,;\,3)$.
a) Calcule $\det(\vec{u},\vec{v})$. Ce couple de vecteurs peut-il servir de base du plan ?
b) Calcule les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 2\,\vec{u} + 3\,\vec{v}$.
c) On pose maintenant $\vec{t}(4\,;\,2)$, qui est colinéaire à $\vec{u}$. Montre que toute combinaison $x\,\vec{u} + y\,\vec{t}$ est colinéaire à $\vec{u}$, puis explique pourquoi on ne pourra jamais obtenir $\vec{w}$ de cette façon.
Corrigé
a) $\det(\vec{u},\vec{v}) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5$. Le déterminant n'est pas nul, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires : ils forment bien une base du plan.
b) $2\,\vec{u}$ a pour coordonnées $(4\,;\,2)$ et $3\,\vec{v}$ a pour coordonnées $(3\,;\,9)$, donc $\vec{w}(4+3\,;\,2+9) = \vec{w}(7\,;\,11)$.
c) $x\,\vec{u} + y\,\vec{t}$ a pour coordonnées $(2x + 4y\,;\,x + 2y)$, c'est-à-dire $\big(2(x+2y)\,;\,1 \times (x+2y)\big)$ : ce vecteur vaut $(x+2y)\,\vec{u}$, il est donc colinéaire à $\vec{u}$ quels que soient $x$ et $y$.
Or $\det(\vec{u},\vec{w}) = 2 \times 11 - 1 \times 7 = 22 - 7 = 15$, qui n'est pas nul : $\vec{w}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$. Il est donc impossible de l'écrire sous la forme $x\,\vec{u} + y\,\vec{t}$. C'est exactement ce qu'on perd quand les deux vecteurs de départ sont colinéaires.
3. Soient $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$ et $C(5\,;\,8)$. On a montré qu'ils sont alignés. Imagine qu'on ajoute un point $D(2\,;\,4)$.
a) Calcule $\det(\vec{AB},\vec{AD})$. Les points $A$, $B$, $D$ sont-ils alignés ?
b) Calcule $\det(\vec{AC},\vec{AD})$. Les points $A$, $C$, $D$ sont-ils alignés ?
c) Que peux-tu dire de la position de $D$ par rapport à la droite $(AB)$ ?
Corrigé
a) $\vec{AB}(2\,;\,3)$, $\vec{AD}(2-1\,;\,4-2) = \vec{AD}(1\,;\,2)$.
$\det(\vec{AB},\vec{AD}) = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 4 - 3 = 1 \neq 0$. $A$, $B$, $D$ ne sont pas alignés.
b) $\vec{AC}(4\,;\,6)$, $\vec{AD}(1\,;\,2)$.
$\det(\vec{AC},\vec{AD}) = 4 \times 2 - 6 \times 1 = 8 - 6 = 2 \neq 0$. $A$, $C$, $D$ ne sont pas alignés.
c) $D$ n'appartient pas à la droite $(AB)$ (ni à $(AC)$, qui est la même droite puisque $A,B,C$ sont alignés). Le déterminant non nul confirme que $D$ est en dehors de l'alignement.