Généralités sur les fonctions

Domaine de définition, image, antécédent : les trois notions clés pour décrire le comportement d'une fonction.

1 L'idée

Une fonction $f$ est une règle qui associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ exactement un réel noté $f(x)$. On note $f : D_f \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$.

L'ensemble $D_f$ est le domaine de définition de $f$ : c'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ a un sens. Par défaut, on prend le plus grand sous-ensemble possible de $\mathbb{R}$. Deux cas courants :

Fraction $\dfrac{1}{g(x)}$ : on exclut les $x$ tels que $g(x) = 0$.
Racine carrée $\sqrt{g(x)}$ : on garde les $x$ tels que $g(x) \ge 0$.

2 Vocabulaire essentiel

Image de a

$f(a) = b \quad (a \in D_f)$

Antécédent de b

$f(x) = b \quad \Longleftrightarrow \quad x \text{ est un antécédent de } b$

Domaine de définition

$D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe} \}$

3 Calcul algébrique

Soit $f(x) = 2x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$

Image de 3 : $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$. L'image de $3$ par $f$ est $7$.

Antécédent de 7 : on résout $f(x) = 7$, soit $2x + 1 = 7 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. L'antécédent de $7$ est $3$.

Antécédent de $-3$ : $2x + 1 = -3 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.

Soit $g(x) = x^2$ définie sur $\mathbb{R}$

Antécédents de 9 : $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ou $x = -3$. Il y a deux antécédents.

Antécédents de $-1$ : $x^2 = -1$ est impossible car $x^2 \ge 0$ pour tout $x$. Il n'y a aucun antécédent.

4 Lecture graphique

Sur la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère :

Image de $a$ : repérer le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$, tracer un trait vertical jusqu'à la courbe, puis lire l'ordonnée $f(a)$ sur l'axe des ordonnées.
Antécédents de $b$ : tracer la droite horizontale d'équation $y = b$, puis lire les abscisses de chaque point d'intersection avec $\mathcal{C}_f$. Il peut y en avoir $0$, $1$ ou plusieurs.

Méthode pas-à-pas

Calculer $f(a)$ : substituer $x = a$ dans l'expression de $f$ et simplifier.
Trouver les antécédents de $b$ : écrire l'équation $f(x) = b$, la résoudre, puis vérifier que chaque solution appartient à $D_f$.
Déterminer $D_f$ : repérer les valeurs interdites (dénominateur nul, radicande strictement négatif) et les exclure de $\mathbb{R}$.

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent : l'image de 2 est $f(2)$ ; un antécédent de 2 est un $x$ tel que $f(x) = 2$.
Croire qu'un antécédent est toujours unique : une valeur peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
Oublier de vérifier le domaine : si $x \notin D_f$, la valeur $f(x)$ n'existe pas.