Généralités sur les fonctions

Trois mots, et tu as compris l'essentiel

Prérequis : savoir remplacer $x$ par un nombre dans une expression, et résoudre une petite équation du type $ax+b=c$. C'est tout ce dont tu as besoin ce soir.

Une fonction $f$, c'est une machine à nombres : tu lui donnes un nombre $x$, elle te rend un seul nombre, noté $f(x)$. On écrit $f : x \mapsto f(x)$.

Les trois mots à retenir :

• Image de $a$ : le nombre qui sort quand tu entres $a$. C'est $f(a)$ : tu remplaces et tu calcules.
• Antécédent de $b$ : le nombre qu'il faut entrer pour que $b$ sorte. Tu le trouves en résolvant l'équation $f(x)=b$.
• Ensemble de définition $D_f$ : la liste de tous les $x$ que la machine accepte à l'entrée. On dit aussi domaine de définition ; le mot du programme est « ensemble de définition ».

Le truc anti-panique : image, on calcule (sens direct, facile) ; antécédent, on résout (sens inverse).

Et surveille l'article : un nombre a une seule image, donc on dit « l'image de $3$ » ; mais il peut avoir plusieurs antécédents, donc on dit « un antécédent de $7$ ». Cette dissymétrie, c'est la définition même d'une fonction.

Un exemple, du début à la fin

Prenons $f(x)=2x+1$, définie sur $\mathbb{R}$ (tous les réels sont acceptés).

Image de $3$ — on remplace $x$ par $3$ :

$f(3)=2\times 3+1$
$f(3)=6+1$
$f(3)=7$.
L'image de $3$ est donc $7$.

Antécédent de $7$ — on résout $f(x)=7$ :

$2x+1=7$
$2x=7-1$
$2x=6$
$x=3$.
L'équation n'a qu'une solution : $7$ a donc un seul antécédent, $3$.

Et voilà : calculer pour une image, résoudre pour un antécédent. Si tu tiens ces deux réflexes, tu tiens ton contrôle.

Fonction, image, antécédent : les définitions propres

Une fonction $f$ associe à chaque réel $x$ d'un ensemble $D_f$ exactement un réel, noté $f(x)$. On note $f : D_f \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)$. Le mot qui compte est exactement un : une même entrée ne peut pas donner deux sorties différentes.

L'ensemble $D_f$ s'appelle l'ensemble de définition de $f$ (l'ancien nom, « domaine de définition », veut dire la même chose). En seconde, c'est un intervalle de $\mathbb{R}$, ou une réunion d'un nombre fini d'intervalles : par exemple $\mathbb{R}$ tout entier, $[2 ; +\infty[$, ou encore $]-\infty ; 3[ \,\cup\, ]3 ; +\infty[$.

Image. Si $a \in D_f$, le nombre $f(a)$ s'appelle l'image de $a$ par $f$. Chaque $a$ du domaine possède une image, et une seule.

Antécédent. Un nombre $x$ vérifiant $f(x)=b$ s'appelle un antécédent de $b$. Attention : un même $b$ peut avoir $0$, $1$ ou plusieurs antécédents.

À garder en tête : l'égalité $f(a)=b$ se lit dans les deux sens — « $b$ est l'image de $a$ » et « $a$ est un antécédent de $b$ ». Même relation, deux points de vue.

D'où les articles, qui ne sont pas un détail de style : on écrit l'image (elle est unique, c'est la définition d'une fonction) et un antécédent (il peut y en avoir plusieurs, ou aucun). N'écris « l'antécédent » que si tu as montré qu'il n'y en a qu'un.

Méthode : image, antécédent, et ensemble de définition

1. Calculer une image $f(a)$. On substitue $x=a$ dans l'expression de $f$, puis on simplifie. Il n'y a jamais qu'une seule réponse.

Exemple : $f(x)=2x+1$, donc $f(3)=2\times 3+1=7$.

2. Trouver les antécédents de $b$. On écrit l'équation $f(x)=b$, on la résout, puis on vérifie que chaque solution appartient à $D_f$. Il peut y en avoir $0$, $1$ ou plusieurs.

Exemple : antécédent de $-3$ pour $f(x)=2x+1$ : $2x+1=-3 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2$.

3. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$. Quand l'énoncé ne l'impose pas, $D_f$ est le plus grand sous-ensemble de $\mathbb{R}$ sur lequel l'expression a un sens. On part donc de $\mathbb{R}$ et on écarte les valeurs interdites :

• Quotient. $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ n'existe pas quand le dénominateur s'annule : on résout $B(x)=0$ et on exclut les solutions trouvées.
• Racine carrée. $\sqrt{A(x)}$ n'existe que si son contenu est positif ou nul : on résout l'inéquation $A(x) \ge 0$ et on garde ces $x$-là. Comme aucun carré n'est négatif, il n'existe aucun nombre dont le carré serait négatif : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe donc pas.
• Ni l'un ni l'autre (une expression polynomiale comme $2x+1$ ou $x^2-3x$) : rien à exclure, $D_f = \mathbb{R}$.

La réponse s'écrit avec les notations d'ensembles : $\mathbb{R}$, un intervalle comme $[2 ; +\infty[$, ou $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ — qui se lit « $\mathbb{R}$ privé de $3$ » et vaut $]-\infty ; 3[ \,\cup\, ]3 ; +\infty[$.

Le branchement avec l'algèbre. L'ensemble de définition n'est pas une formalité de début d'exercice : il commande tout ce qui suit.

• Équation quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$ : sur $D_f$, elle équivaut à $A(x) = k\,B(x)$, qu'on sait résoudre. Mais l'équivalence ne vaut que là où $B(x) \ne 0$ : chaque solution trouvée doit être confrontée à $D_f$, et rejetée si elle n'y est pas.
• Étude de signe : dans un tableau de signes de $\dfrac{A(x)}{B(x)}$, les valeurs exclues de $D_f$ se marquent d'une double barre — la fonction n'y a pas de signe, puisqu'elle n'y a pas de valeur.

La courbe représentative : ce que « $y=f(x)$ » veut dire

Une fonction peut être donnée de quatre façons : une expression algébrique, un tableau de valeurs, un programme de calcul, ou une courbe. La courbe, justement, a une définition précise.

Définition. La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x ; y)$ vérifient $x \in D_f$ et $y = f(x)$. On dit que $\mathcal{C}_f$ a pour équation $y = f(x)$ : chaque point de la courbe porte, en abscisse, un nombre du domaine, et en ordonnée, son image.

Tester l'appartenance d'un point. Un point $A(a ; b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $a \in D_f$ et $b = f(a)$. On calcule $f(a)$, on compare à $b$, on conclut — pas besoin de tracer quoi que ce soit.

Exemple avec $f(x)=2x+1$ : $f(2)=5$, donc $A(2 ; 5)$ est sur $\mathcal{C}_f$ ; et $B(2 ; 6)$ ne l'est pas, puisque $f(2)=5 \ne 6$.

Calculer les coordonnées d'un point de la courbe. Si on connaît l'abscisse, l'ordonnée est son image : le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $4$ est $(4 ; f(4))$, soit $(4 ; 9)$. Si on connaît l'ordonnée, on cherche les abscisses en résolvant $f(x)=b$ : c'est encore une recherche d'antécédents.

Le tableau de valeurs n'est rien d'autre qu'une petite liste de points de la courbe, qu'on reporte ensuite dans le repère :

Attention : un tableau de valeurs ne montre que quelques points. Il ne prouve jamais à lui seul l'allure de la courbe entre ces points.

Lecture graphique

Sur la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ tracée dans un repère, on lit tout géométriquement.

Image de $a$ : on repère l'abscisse $a$ sur l'axe horizontal, on se déplace verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée $f(a)$ sur l'axe vertical.

Antécédents de $b$ : on trace la droite horizontale d'équation $y=b$, et on lit les abscisses de tous ses points d'intersection avec $\mathcal{C}_f$. Il peut y en avoir $0$, $1$ ou plusieurs.

Le sens est le même qu'en algèbre : l'image se lit en partant de $x$, l'antécédent se cherche en partant de $y$.

Ensemble de définition, à l'œil. $D_f$ se lit sur l'axe des abscisses : c'est l'ensemble des abscisses des points de la courbe, autrement dit l'ombre de la courbe projetée sur l'axe horizontal. Sur la figure ci-dessous, la courbe commence en $x=-2$ et s'arrête en $x=3$, extrémités comprises (les deux points sont pleins) : donc $D_f = [-2 ; 3]$. Un nombre situé hors de cette zone, comme $4$, n'a pas d'image : au-dessus de lui, il n'y a aucun point de la courbe.

Exemple 1 — une fonction affine, on déroule

On prend $f(x)=2x+1$, définie sur $\mathbb{R}$. On calcule une image, puis deux antécédents, en commentant chaque ligne.

Image de $3$. « Image » veut dire : je pars de $x=3$ et je calcule ce qui sort.

$f(3)=2\times 3+1$ (on a remplacé $x$ par $3$)
$f(3)=6+1$ (on fait la multiplication d'abord)
$f(3)=7$ (on additionne).
Conclusion : l'image de $3$ par $f$ est $7$.

Antécédent de $7$. « Antécédent » veut dire : quel $x$ donne $7$ ? On pose l'équation.

$f(x)=7$ (c'est ce qu'on cherche)
$2x+1=7$ (on remplace $f(x)$ par son expression)
$2x=7-1$ (le $+1$ passe de l'autre côté)
$2x=6$
$x=\dfrac{6}{2}=3$.
Conclusion : l'équation a une seule solution, donc $7$ a un seul antécédent, $3$. (C'est pour cela qu'on peut dire ici « l'antécédent ».)

Antécédent de $-3$. Même méthode, autre valeur.

$2x+1=-3$
$2x=-4$
$x=-2$.
Conclusion : l'équation a une seule solution, donc $-3$ a un seul antécédent, $-2$.

Le point $A(2 ; 5)$ est-il sur la courbe ? Un point appartient à $\mathcal{C}_f$ quand son ordonnée est l'image de son abscisse. On calcule donc l'image de l'abscisse.

$f(2)=2\times 2+1$ (on remplace $x$ par l'abscisse $2$)
$f(2)=5$.
L'ordonnée annoncée est $5$, et on trouve $5$ : les deux coïncident.
Conclusion : $A(2 ; 5)$ appartient à $\mathcal{C}_f$. En revanche $B(2 ; 6)$ n'y appartient pas, car $f(2)=5 \ne 6$.

Exemple 2 — la fonction carré, attention au nombre d'antécédents

On prend $g(x)=x^2$, définie sur $\mathbb{R}$. Ici, une même valeur peut avoir deux antécédents — ou aucun.

Antécédents de $9$. On résout $g(x)=9$.

$x^2=9$
$x^2-9=0$ (on ramène tout d'un côté)
$(x-3)(x+3)=0$ (on factorise avec $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
$x-3=0$ ou $x+3=0$ (équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul)
$x=3$ ou $x=-3$.
Conclusion : $9$ a deux antécédents, $3$ et $-3$. (Plus rapidement : $x^2=9 \Rightarrow x=3$ ou $x=-3$.)

Antécédents de $-1$. On résout $g(x)=-1$.

$x^2=-1$.
Or un carré est toujours positif ou nul : $x^2 \ge 0$ pour tout réel $x$.
L'équation $x^2=-1$ n'a donc aucune solution.
Conclusion : $-1$ n'a aucun antécédent par $g$.

Exemple 3 — chercher un ensemble de définition, puis s'en servir

On veut l'ensemble de définition de $h(x)=\dfrac{1}{x-3}$. La seule chose à surveiller sur un quotient : le dénominateur ne doit pas être nul.

On cherche la valeur interdite : $x-3=0$
$x=3$.
La valeur $x=3$ annule le dénominateur : on l'exclut.
Conclusion : $D_h = \mathbb{R} \setminus \{3\}$, c'est-à-dire tous les réels sauf $3$.

Autre exemple, avec une racine : $k(x)=\sqrt{x-2}$. Une racine carrée n'existe que si son contenu est positif ou nul.

On résout $x-2 \ge 0$
$x \ge 2$.
Conclusion : $D_k = [2 ; +\infty[$, tous les réels supérieurs ou égaux à $2$. Pour $x=1$, on aurait $\sqrt{-1}$ : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, donc $1$ n'a pas d'image par $k$.

Et maintenant, on s'en sert. Cherchons les antécédents de $4$ par $h$, c'est-à-dire résolvons l'équation quotient $\dfrac{1}{x-3}=4$.

On travaille sur $D_h$, donc avec $x-3 \ne 0$ : on peut multiplier les deux membres par $x-3$.

$1=4(x-3)$ (on a multiplié par $x-3$)
$1=4x-12$
$4x=13$
$x=\dfrac{13}{4}=3{,}25$.

Dernière étape, celle qu'on oublie : $3{,}25$ appartient-il à $D_h$ ? Oui, car $3{,}25 \ne 3$. La solution est donc valable.
Conclusion : $4$ a un seul antécédent par $h$, à savoir $\dfrac{13}{4}$.

Lire un graphique sans se tromper de sens

Voici la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$. On te demande de lire des images et des antécédents : c'est l'exercice le plus fréquent au contrôle.

Question 1 : quelle est l'image de $1$ ?

On part de $x=1$ sur l'axe horizontal, on monte verticalement jusqu'à la courbe (trait pointillé), puis on lit l'ordonnée : on tombe sur $3$.
Réponse : $f(1)=3$, l'image de $1$ est $3$.

Question 2 : quels sont les antécédents de $3$ ?

On trace la droite horizontale $y=3$ (trait pointillé) et on repère où elle coupe la courbe.
Elle la coupe en deux points, d'abscisses $1$ et $3$.
Réponse : $3$ a deux antécédents, $x=1$ et $x=3$.

Le réflexe qui sauve : image, on part de l'axe des $x$ ; antécédent, on part de l'axe des $y$. Se tromper de sens est l'erreur numéro un repérée par le correcteur.

Déterminer un ensemble de définition, proprement

Un grand classique : donner l'ensemble de définition et le rédiger correctement.

Cas quotient. Ensemble de définition de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-5}$.

Valeur interdite : le dénominateur s'annule pour $x-5=0$, soit $x=5$.
On l'exclut : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{5\}$.

Cas racine. Ensemble de définition de $g(x)=\sqrt{2x-6}$.

Le contenu de la racine doit être positif ou nul : $2x-6 \ge 0$
$2x \ge 6$
$x \ge 3$.
Donc $D_g = [3 ; +\infty[$.

Ce que le correcteur attend : la condition posée clairement (dénominateur à annuler et à exclure, ou radicande $\ge 0$), la résolution, puis l'ensemble final en notation correcte ($\mathbb{R} \setminus \{\dots\}$ ou un intervalle). Donner le bon résultat sans la justification coûte quand même des points.

Trois variantes à savoir traiter :

• Deux valeurs interdites. Pour $\dfrac{3x}{x^2-4}$, on résout $x^2-4=0$, soit $x=2$ ou $x=-2$ : $D = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 2\}$, c'est-à-dire une réunion de trois intervalles.
• L'énoncé impose le domaine. « Un bénéfice modélisé par $B(x)$ pour $0 \le x \le 150$ objets » : l'ensemble de définition est $[0 ; 150]$ même si l'expression, elle, aurait un sens ailleurs. La situation prime.
• Lecture graphique. $D_f$ est l'ensemble des abscisses des points de la courbe, donc sa projection sur l'axe horizontal.

Les pièges classiques (et comment on les évite)

Trois pièges reviennent à chaque contrôle. Coche-les mentalement avant de rendre ta copie.

Piège 1 : confondre image et antécédent. L'image de $2$, c'est $f(2)$ (on calcule). Un antécédent de $2$, c'est un $x$ tel que $f(x)=2$ (on résout). Si l'énoncé dit « antécédent » et que tu calcules $f(2)$, tout le raisonnement est faux.

Piège 2 : croire qu'un antécédent est unique. Une valeur peut avoir plusieurs antécédents (comme $9$ pour $x^2$) ou aucun (comme $-1$ pour $x^2$). Ne t'arrête pas à la première solution : cherche toutes les solutions. Écris « un antécédent de $9$ », et ne passe à « l'antécédent » que si tu as prouvé l'unicité. L'image, elle, est toujours unique : l'article défini y est justifié.

Piège 3 : oublier de vérifier le domaine. Si une solution trouvée n'appartient pas à $D_f$, elle ne compte pas : la valeur $f(x)$ n'existe pas pour ce $x$. On vérifie toujours l'appartenance à $D_f$ à la fin.

D'où vient la règle « une seule image » : le test de la droite verticale

Pourquoi insiste-t-on autant sur « exactement un $f(x)$ » ? Parce que c'est précisément ce qui distingue une fonction d'une simple relation entre $x$ et $y$.

Une justification visuelle : le test de la droite verticale. Si toute droite verticale d'équation $x=a$ coupe la courbe en au plus un point, alors chaque $x$ a une seule image : c'est bien une fonction. Si une droite verticale la coupe en deux points ou plus, un même $x$ aurait deux images différentes — interdit, ce n'est pas une fonction.

C'est pour cela qu'un cercle, par exemple, n'est pas la courbe d'une fonction : au-dessus d'un même $x$, il possède deux points.

À l'inverse, rien n'empêche une même valeur $y=b$ d'avoir plusieurs antécédents : plusieurs $x$ peuvent partager la même image. Le « une seule » ne concerne que le sens $x \to f(x)$, jamais le sens inverse.

Ce qui t'attend l'an prochain (et où tout ça mène)

Ces trois notions sont la fondation de tout ce qui suit. Quelques pistes pour voir plus loin :

• Fonctions de référence (cette année, dans un autre chapitre). La valeur absolue, le carré et l'inverse deviennent des fonctions à part entière, avec leurs courbes, leur signe et leurs variations à connaître par cœur.
• Sens de variation (cette année aussi). Une fois les images maîtrisées, on décrit comment $f(x)$ monte ou descend quand $x$ augmente : c'est l'étude des variations, résumée dans le tableau de variations.
• Ensemble image. L'ensemble de toutes les images $f(x)$ — le pendant de l'ensemble de définition, mais côté sortie — précise quelles valeurs $b$ ont au moins un antécédent.
• En Première. On apprend à dériver une fonction pour trouver ses variations par le calcul, sans tracer la courbe. La notion d'antécédent devient centrale quand on résout $f(x)=0$ : ce sont les « racines » de la fonction.

Autrement dit, « image, antécédent, ensemble de définition » n'est pas un chapitre isolé : c'est le vocabulaire de base de toute l'analyse des prochaines années. Solide ici, tranquille pour la suite.