V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques2ndeFonctionsExercices + corrigé

Tableau de variations et courbe représentative — Exercices

Lire, construire, interpréter. Corrigé détaillé en fin de document.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée
1Lire un tableau de variations/ 5 pts

On donne le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;\,5]$ : $f$ est décroissante de $f(-3)=5$ à $f(1)=-2$, puis croissante de $f(1)=-2$ à $f(5)=4$.

  1. Sur quel(s) intervalle(s) $f$ est-elle décroissante ? croissante ?
  2. Quel est le minimum de $f$ sur $[-3\,;\,5]$ ? En quel $x$ est-il atteint ?
  3. Quel est le maximum de $f$ sur $[-3\,;\,5]$ ? Justifier en comparant les valeurs pertinentes.
  4. Donner un encadrement de $f(3)$.
  5. Un élève écrit : « $f(0) \gt f(4)$ car $0 \lt 4$. » Cette affirmation est-elle nécessairement correcte ? Justifier.
2Dresser un tableau de variations/ 4 pts
Calculer les valeurs nécessaires et dresser le tableau de variations de $f(x)=-x^2+4x$ sur $[0\,;\,4]$.
  1. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$ et $f(4)$.
  2. En déduire les intervalles de monotonie de $f$.
  3. Dresser le tableau de variations complet.
  4. Quel est le maximum de $f$ sur $[0\,;\,4]$ ? Quel est son minimum ?
3Depuis une courbe/ 3 pts

La courbe de $g$ sur $[-4\,;\,6]$ passe par les points suivants (dans l'ordre) : $A(-4\,;\,-1)$, $B(-1\,;\,3)$, $C(2\,;\,-2)$, $D(6\,;\,5)$. La courbe est continue et ne présente pas d'autre extremum.

  1. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-4\,;\,6]$.
  2. Quel est le maximum de $g$ sur $[-4\,;\,6]$ ? Justifier.
  3. Donner un encadrement de $g(0)$.
4Problème concret — lancer de ballon/ 4 pts

La hauteur (en mètres) d'un ballon est modélisée par $h(t)=-2t^2+8t$ pour $t \in [0\,;\,4]$ (en secondes).

  1. Calculer $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$, $h(3)$ et $h(4)$.
  2. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[0\,;\,4]$.
  3. À quel instant le ballon atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?
  4. Sans calculer, comparer $h(1)$ et $h(3)$. Justifier à l'aide du tableau.
5Calcul malin — fonction inverse/ 5 pts
On considère $f(x)=\dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.
  1. Calculer $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(-1)$, $f(-2)$, $f(-3)$.
  2. Montrer, en utilisant la définition, que $f$ est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$. (Prendre $0 \lt a \lt b$ et calculer $f(a)-f(b)$.)
  3. Montrer de même que $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$. (Prendre $a \lt b \lt 0$.)
  4. Un élève affirme : « $f$ est décroissante sur tout $\mathbb{R}^*$. » Réfuter par un contre-exemple.
  5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;\,-1] \cup [1\,;\,3]$.
Corrigé détaillé
1Lire un tableau de variations
1) \(\text{Lecture directe du tableau.}\) \(f \text{ est décroissante sur } [-3\,;\,1] \text{ et croissante sur } [1\,;\,5].\)
2) \(\text{La valeur la plus basse dans la ligne } f(x) \text{ est } {-2}, \text{ placée en bas de la flèche.}\) \(\text{Minimum} = -2, \text{ atteint en } x=1.\)
3) \(\text{Valeurs hautes : } f(-3)=5 \text{ et } f(5)=4.\; 5 \gt 4.\) \(\text{Maximum} = 5, \text{ atteint en } x=-3.\)
4) \(3 \in [1\,;\,5] \text{ et } f \text{ croissante sur } [1\,;\,5] \Rightarrow f(1) \le f(3) \le f(5),\text{ soit } -2 \le f(3) \le 4.\) \(-2 \le f(3) \le 4.\)
5) \(0 \in [-3\,;\,1] \text{ (décroissante) et } 4 \in [1\,;\,5] \text{ (croissante) : les deux abscisses sont sur des intervalles de sens différents.}\) \(\text{Non. L'ordre des } x \text{ ne suffit pas si } f \text{ change de sens de variation entre les deux.}\)
2Dresser un tableau de variations
1) \(f(0)=0,\; f(1)=-1+4=3,\; f(2)=-4+8=4,\; f(3)=-9+12=3,\; f(4)=-16+16=0.\) \(f(0)=0,\; f(1)=3,\; f(2)=4,\; f(3)=3,\; f(4)=0.\)
2) \(\text{Les valeurs croissent de 0 à 4 pour } x \in [0\,;\,2], \text{ puis décroissent de 4 à 0 pour } x \in [2\,;\,4].\) \(f \text{ croissante sur } [0\,;\,2], \text{ décroissante sur } [2\,;\,4].\)
3) \(x : 0 \longrightarrow 2 \longrightarrow 4\) \(f(x) : 0 \nearrow 4 \searrow 0.\; \text{Flèche montante de } f(0)=0 \text{ à } f(2)=4, \text{ puis descendante de } f(2)=4 \text{ à } f(4)=0.\)
4) \(\text{Valeur la plus haute : } f(2)=4.\; \text{Valeurs les plus basses : } f(0)=f(4)=0.\) \(\text{Maximum} = 4 \text{ en } x=2.\; \text{Minimum} = 0 \text{ en } x=0 \text{ et en } x=4.\)
3Depuis une courbe
1) \(A(-4,-1) \to B(-1,3) : \text{courbe monte} \Rightarrow \nearrow.\; B(-1,3) \to C(2,-2) : \text{courbe descend} \Rightarrow \searrow.\; C(2,-2) \to D(6,5) : \text{courbe monte} \Rightarrow \nearrow.\) \(g \text{ croissante sur } [-4\,;\,-1], \text{ décroissante sur } [-1\,;\,2], \text{ croissante sur } [2\,;\,6].\)
2) \(\text{Valeurs hautes dans le tableau : } g(-1)=3 \text{ et } g(6)=5.\; 5 \gt 3.\) \(\text{Maximum} = 5, \text{ atteint en } x=6.\)
3) \(0 \in [-1\,;\,2] \text{ et } g \text{ décroissante sur } [-1\,;\,2] \Rightarrow g(-1) \ge g(0) \ge g(2), \text{ soit } -2 \le g(0) \le 3.\) \(-2 \le g(0) \le 3.\)
4Lancer de ballon
1) \(h(0)=0,\; h(1)=-2+8=6,\; h(2)=-8+16=8,\; h(3)=-18+24=6,\; h(4)=-32+32=0.\) \(h(0)=0,\; h(1)=6,\; h(2)=8,\; h(3)=6,\; h(4)=0.\)
2) \(\text{Les valeurs croissent de 0 à 8 pour } t \in [0\,;\,2], \text{ puis décroissent de 8 à 0 pour } t \in [2\,;\,4].\) \(h \text{ croissante sur } [0\,;\,2], \text{ décroissante sur } [2\,;\,4].\)
3) \(\text{Le maximum du tableau est } h(2)=8.\) \(\text{Le ballon est le plus haut à } t=2 \text{ s, à une hauteur de } 8 \text{ m.}\)
4) \(t=1 \in [0\,;\,2] \text{ (croissant) et } t=3 \in [2\,;\,4] \text{ (décroissant). D'après le tableau : } h(1)=6 \text{ et } h(3)=6.\) \(h(1)=h(3)=6 \text{ m : le ballon est à la même hauteur à } t=1 \text{ s et à } t=3 \text{ s.}\)
5Fonction inverse
1) \(f(1)=1,\; f(2)=\tfrac{1}{2},\; f(3)=\tfrac{1}{3},\; f(-1)=-1,\; f(-2)=-\tfrac{1}{2},\; f(-3)=-\tfrac{1}{3}.\) \(\text{Tableau complété.}\)
2) \(\text{Soient } 0 \lt a \lt b.\; f(a)-f(b) = \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} = \dfrac{b-a}{ab}.\; b-a \gt 0 \text{ et } ab \gt 0 \Rightarrow \dfrac{b-a}{ab} \gt 0.\) \(f(a) \gt f(b) \text{ : } f \text{ est décroissante sur } ]0\,;\,+\infty[.\)
3) \(\text{Soient } a \lt b \lt 0.\; f(a)-f(b) = \dfrac{b-a}{ab}.\; b-a \gt 0 \text{ et } ab \gt 0 \text{ (produit de deux négatifs)} \Rightarrow \dfrac{b-a}{ab} \gt 0.\) \(f(a) \gt f(b) \text{ : } f \text{ est décroissante sur } ]-\infty\,;\,0[.\)
4) \(\text{Contre-exemple : } a=-1 \lt 1=b.\; f(-1)=-1 \text{ et } f(1)=1.\; f(-1) \lt f(1) \text{ alors que } a \lt b.\) \(f \text{ n'est pas décroissante sur } \mathbb{R}^* \text{ : elle l'est sur chaque intervalle } ]-\infty\,;\,0[ \text{ et } ]0\,;\,+\infty[ \text{ séparément, mais pas globalement.}\)
5) \(\text{Sur } [-3\,;\,-1] : f(-3)=-\tfrac{1}{3} \gt f(-1)=-1 \Rightarrow \searrow.\; \text{Sur } [1\,;\,3] : f(1)=1 \gt f(3)=\tfrac{1}{3} \Rightarrow \searrow.\) \(\text{Sur } [-3\,;\,-1] : {-\tfrac{1}{3}} \searrow {-1}.\; \text{Sur } [1\,;\,3] : 1 \searrow \tfrac{1}{3}.\; f \text{ est décroissante sur chacun des deux intervalles.}\)