Mathématiques · 2nde

Tableau de variations, courbe representative

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique. On va partir de zéro, mais de zéro vraiment. Avant de parler de tableau de variations, il faut savoir deux choses : lire un graphique et comprendre les mots 'croissant' et 'décroissant'. On fait ça en 10 minutes, et après, le tableau de variations te semblera presque évident. Promis.

Prérequis 1 : Lire les coordonnées sur un graphique

Un point sur une courbe se repère par deux nombres : son abscisse $x$ (horizontale) et son ordonnée $y$ (verticale). On écrit $A(x_A ; y_A)$. L'abscisse se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée sur l'axe vertical. Pour une fonction $f$, l'ordonnée d'un point d'abscisse $x$ est $f(x)$. Donc un point de la courbe s'écrit $(x ; f(x))$.

Prérequis 2 : Croissant, décroissant, constant

Imagine que tu suis la courbe de gauche à droite avec ton doigt.

Si ton doigt monte, la fonction est croissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ augmente aussi.
Si ton doigt descend, la fonction est décroissante : quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue.
Si ton doigt reste à la même hauteur (ligne horizontale), la fonction est constante.

On précise toujours sur quel intervalle de $x$ on regarde. Par exemple : « $f$ est croissante sur $[2 ; 5]$ » signifie qu'entre $x=2$ et $x=5$, la courbe monte.

La notion express : le tableau de variations

Un tableau de variations, c'est un résumé écrit du sens de variation d'une fonction. Il comporte deux lignes :

Ligne du haut : les valeurs de $x$ (abscisses) remarquables, dans l'ordre croissant de gauche à droite.
Ligne du bas : des flèches qui montent ↗ (croissante) ou descendent ↘ (décroissante), et les valeurs de $f(x)$ aux points clés.

Une valeur placée en haut dans le tableau est un maximum (local ou global). Une valeur placée en bas est un minimum.

Exemple : Tableau de $f$ sur $[-2 ; 4]$ :
$f(-2)=6$ ↘ $f(1)=-1$ ↗ $f(4)=5$
Cela signifie : $f$ décroît de $x=-2$ à $x=1$, puis croît de $x=1$ à $x=4$. Le minimum est $-1$ (en $x=1$). Le maximum est $6$ (en $x=-2$).

À toi de jouer

1. On te donne la phrase : « Sur l'intervalle $[-3 ; 0]$, quand $x$ augmente, $f(x)$ diminue. » Complète : Sur $[-3 ; 0]$, la fonction $f$ est .

Corrigé

Sur $[-3 ; 0]$, la fonction $f$ est décroissante.

2. Voici le tableau de variations de $g$ sur $[-1 ; 3]$ :
$g(-1)=4$ ↘ $g(2)=0$ ↗ $g(3)=2$
Complète les phrases :
a) $g$ est sur $[-1 ; 2]$.
b) $g$ est sur $[2 ; 3]$.
c) Le minimum de $g$ sur $[-1 ; 3]$ est , atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le maximum de $g$ sur $[-1 ; 3]$ est , atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $g$ est décroissante sur $[-1 ; 2]$.
b) $g$ est croissante sur $[2 ; 3]$.
c) Le minimum de $g$ sur $[-1 ; 3]$ est 0, atteint en $x = 2$.
d) Le maximum de $g$ sur $[-1 ; 3]$ est 4, atteint en $x = -1$.

3. On te donne la courbe ci-dessous. Complète le tableau de variations à trous.

Tableau : $f(-2)=4$ $f(0)=-1$ $f(2)=3$ $f(4)=0$ $f(5)=2$

Corrigé

Tableau : $f(-2)=4$ ↘ $f(0)=-1$ ↗ $f(2)=3$ ↘ $f(4)=0$ ↗ $f(5)=2$

Ah oui, c'est ça ! Le tableau de variations, c'est ce schéma avec des flèches qui résume si la courbe monte ou descend. On va reprendre la méthode calmement, dans les deux sens : lire un tableau déjà fait, et en construire un à partir d'une courbe ou d'une formule. Tu vas voir, c'est comme une recette de cuisine.

Rappel structuré : les deux lignes du tableau

Un tableau de variations se présente toujours ainsi :

Première ligne : les $x$ remarquables (bornes de l'intervalle d'étude, abscisses des maxima et minima), rangés dans l'ordre croissant.
Deuxième ligne : le sens de variation entre ces $x$ (flèche ↗ pour croissant, ↘ pour décroissant) et les valeurs de $f(x)$ correspondantes. Une valeur de $f(x)$ en haut de la flèche indique un maximum ; en bas, un minimum.

Ne confonds jamais le maximum (une valeur de $y$, $f(x)$) avec l'abscisse du maximum (le $x$ où il est atteint). Le maximum est un nombre, pas un $x$.

Méthode : lire un tableau de variations

Pour lire un tableau :

Repère les flèches : ↗ signifie croissante, ↘ décroissante. Note les intervalles correspondants.
Le minimum est la plus petite valeur écrite dans la ligne du bas (souvent en bas d'une flèche ↘↗).
Le maximum est la plus grande valeur écrite dans la ligne du bas (compare toutes les valeurs en haut de flèches et aux bornes).
Pour encadrer $f(x)$ sur un intervalle, regarde les bornes de cet intervalle dans le tableau.

Méthode : dresser un tableau depuis une courbe

À partir du graphique :

Repère les points les plus hauts (maxima locaux) et les plus bas (minima locaux).
Note leurs coordonnées $(x, f(x))$.
Entre deux points successifs, mets une flèche ↗ si la courbe monte, ↘ si elle descend.
Place les valeurs de $f(x)$ au bon niveau : en haut pour un maximum, en bas pour un minimum.
N'oublie pas les bornes de l'intervalle d'étude, même si ce ne sont pas des extrema.

À toi de jouer

1. On donne le tableau de variations de $f$ sur $[-4 ; 6]$ :
$f(-4)=2$ ↗ $f(-1)=5$ ↘ $f(3)=-3$ ↗ $f(6)=1$
a) Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
b) Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
c) Le minimum de $f$ sur $[-4 ; 6]$ est , atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le maximum de $f$ sur $[-4 ; 6]$ est , atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) Donne un encadrement de $f(0)$ sachant que $0 \in [-1 ; 3]$ : $\le f(0) \le$

Corrigé

a) $f$ est croissante sur $[-4 ; -1]$ et sur $[3 ; 6]$.
b) $f$ est décroissante sur $[-1 ; 3]$.
c) Le minimum est $-3$, atteint en $x = 3$.
d) Le maximum est $5$, atteint en $x = -1$ (car $5 > 2$ et $5 > 1$).
e) $-3 \le f(0) \le 5$ (car sur $[-1 ; 3]$, $f$ décroît de $5$ à $-3$).

2. La courbe de $g$ sur $[-5 ; 4]$ passe par les points suivants (dans l'ordre) : $A(-5 ; 0)$, $B(-2 ; 4)$, $C(1 ; -2)$, $D(4 ; 3)$. La courbe est continue et ne présente pas d'autre extremum.
Complète le tableau de variations :
$g(-5)=\underline{\hspace{1.1em}}$ $g(-2)=\underline{\hspace{1.1em}}$ $g(1)=\underline{\hspace{1.1em}}$ $g(4)=\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$g(-5)=0$ ↗ $g(-2)=4$ ↘ $g(1)=-2$ ↗ $g(4)=3$

3. On considère $f(x)=x^2-2x$ sur $[-1 ; 3]$. On a calculé : $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(3)=3$.
Complète le tableau : $f(-1)=\underline{\hspace{1.1em}}$ $f(1)=\underline{\hspace{1.1em}}$ $f(3)=\underline{\hspace{1.1em}}$
Quel est le minimum de $f$ ?
Quel est le maximum de $f$ ?

Corrigé

$f(-1)=3$ ↘ $f(1)=-1$ ↗ $f(3)=3$
Minimum : $-1$ (en $x=1$). Maximum : $3$ (atteint en $x=-1$ et $x=3$).

Cinq fois le même geste. Tu vas compléter cinq tableaux de variations quasi identiques, avec des nombres différents. Le but : que le mécanisme devienne automatique. Pas de piège, juste de la répétition.

À toi de jouer

1. Complète le tableau de $f$ sur $[-2 ; 5]$ :
$f(-2)=4$ $f(1)=-2$ $f(5)=3$
Minimum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$. Maximum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$f(-2)=4$ ↘ $f(1)=-2$ ↗ $f(5)=3$
Minimum : $-2$, atteint en $x=1$. Maximum : $4$, atteint en $x=-2$.

2. Complète le tableau de $g$ sur $[-3 ; 6]$ :
$g(-3)=1$ ↗ $g(0)=5$ ↘ $g(4)=-1$ ↗ $g(6)=2$
Minimum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$. Maximum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$g(-3)=1$ ↗ $g(0)=5$ ↘ $g(4)=-1$ ↗ $g(6)=2$
Minimum : $-1$, atteint en $x=4$. Maximum : $5$, atteint en $x=0$.

3. Complète le tableau de $h$ sur $[-5 ; 3]$ :
$h(-5)=0$ ↘ $h(-2)=-3$ ↗ $h(1)=4$ ↘ $h(3)=2$
Minimum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$. Maximum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$h(-5)=0$ ↘ $h(-2)=-3$ ↗ $h(1)=4$ ↘ $h(3)=2$
Minimum : $-3$, atteint en $x=-2$. Maximum : $4$, atteint en $x=1$.

4. Complète le tableau de $k$ sur $[-4 ; 4]$ :
$k(-4)=5$ ↘ $k(0)=1$ ↗ $k(2)=6$ ↘ $k(4)=0$
Minimum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$. Maximum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$k(-4)=5$ ↘ $k(0)=1$ ↗ $k(2)=6$ ↘ $k(4)=0$
Minimum : $0$, atteint en $x=4$. Maximum : $6$, atteint en $x=2$.

5. Complète le tableau de $m$ sur $[-6 ; 2]$ :
$m(-6)=-2$ ↗ $m(-3)=3$ ↘ $m(0)=0$ ↗ $m(2)=4$
Minimum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$. Maximum : , atteint en $x=\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$m(-6)=-2$ ↗ $m(-3)=3$ ↘ $m(0)=0$ ↗ $m(2)=4$
Minimum : $-2$, atteint en $x=-6$. Maximum : $4$, atteint en $x=2$.

Maintenant, on passe aux choses sérieuses : des exercices type contrôle. Tu vas devoir lire, construire, interpréter des tableaux de variations, et même utiliser la définition avec les inégalités. C'est exactement ce qu'on attend de toi en 2nde. Tu es prêt.

Point méthode : comparer sans calculer

Quand on te demande de comparer $f(a)$ et $f(b)$ sans calculer, utilise le tableau de variations. Si $a$ et $b$ sont dans un intervalle où $f$ est croissante, alors $a < b$ implique $f(a) < f(b)$. Si $f$ est décroissante, $a < b$ implique $f(a) > f(b)$. Si $a$ et $b$ sont dans des intervalles de sens différents, on ne peut pas conclure directement.

À toi de jouer

1. On donne le tableau de variations de $f$ sur $[-5 ; 7]$ :
$f(-5)=3$ ↗ $f(-2)=6$ ↘ $f(1)=-4$ ↗ $f(4)=0$ ↗ $f(7)=5$
a) Sur quel(s) intervalle(s) $f$ est-elle décroissante ?
b) Quel est le minimum de $f$ sur $[-5 ; 7]$ ? En quel $x$ est-il atteint ?
c) Quel est le maximum de $f$ sur $[-5 ; 7]$ ? Justifier en comparant les valeurs pertinentes.
d) Donner un encadrement de $f(3)$.
e) Un élève écrit : « $f(0) > f(5)$ car $0 < 5$. » Cette affirmation est-elle nécessairement correcte ? Justifier.

Corrigé

a) $f$ est décroissante sur $[-2 ; 1]$ uniquement.
b) Le minimum est $-4$, atteint en $x=1$.
c) Maximum : $6$, atteint en $x=-2$ (car $6 > 3$, $6 > 0$, $6 > 5$).
d) $3 ∈ [1 ; 4]$, $f$ croissante : $f(1) ≤ f(3) ≤ f(4)$ soit $-4 ≤ f(3) ≤ 0$.
e) Non. $0 ∈ [-2 ; 1]$ (décroissante) et $5 ∈ [4 ; 7]$ (croissante). Les deux abscisses sont dans des intervalles de sens différents, on ne peut pas comparer directement par l'ordre des $x$.

2. On considère la fonction $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ sur $[0 ; 6]$.
a) Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(5)$ et $f(6)$.
b) En déduire les intervalles de monotonie de $f$ (on admet que la courbe est une parabole de sommet en $x=3$).
c) Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[0 ; 6]$.
d) Quel est le maximum de $f$ sur $[0 ; 6]$ ? Quel est son minimum ?

Corrigé

a) $f(0) = -5$ ; $f(1) = -1+6-5 = 0$ ; $f(3) = -9+18-5 = 4$ ; $f(5) = -25+30-5 = 0$ ; $f(6) = -36+36-5 = -5$.
b) $f$ est croissante sur $[0 ; 3]$, décroissante sur $[3 ; 6]$.
c) Tableau : $f(0)=-5$ ↗ $f(3)=4$ ↘ $f(6)=-5$
d) Maximum : $4$ (en $x=3$). Minimum : $-5$ (en $x=0$ et $x=6$).

3. La courbe de $g$ sur $[-4 ; 5]$ passe par les points suivants (dans l'ordre) : $A(-4 ; 2)$, $B(-1 ; -3)$, $C(2 ; 5)$, $D(5 ; 1)$. La courbe est continue et ne présente pas d'autre extremum.
a) Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-4 ; 5]$.
b) Quel est le maximum de $g$ sur $[-4 ; 5]$ ? Justifier.
c) Donner un encadrement de $g(0)$.

Corrigé

a) $g(-4)=2$ ↘ $g(-1)=-3$ ↗ $g(2)=5$ ↘ $g(5)=1$
b) Maximum : $5$, atteint en $x=2$ (car $5 > 2$, $5 > -3$, $5 > 1$).
c) $0 ∈ [-1 ; 2]$, $g$ croissante : $g(-1) ≤ g(0) ≤ g(2)$ soit $-3 ≤ g(0) ≤ 5$.

4. La hauteur (en mètres) d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 + 20t$ pour $t ∈ [0 ; 4]$ (en secondes).
a) Calculer $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$, $h(3)$ et $h(4)$.
b) Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[0 ; 4]$.
c) À quel instant le ballon atteint-il sa hauteur maximale ? Quelle est cette hauteur ?
d) Sans calculer, comparer $h(1)$ et $h(3)$. Justifier à l'aide du tableau.

Corrigé

a) $h(0)=0$ ; $h(1)=-5+20=15$ ; $h(2)=-20+40=20$ ; $h(3)=-45+60=15$ ; $h(4)=-80+80=0$.
b) $h(0)=0$ ↗ $h(2)=20$ ↘ $h(4)=0$
c) Hauteur maximale : 20 m, atteinte à $t=2$ s.
d) $h(1)=h(3)=15$. Le tableau montre que $h(1)$ et $h(3)$ sont sur des branches symétriques par rapport à $t=2$.

Tu maîtrises le tableau de variations en 2nde ? Parfait. L'an prochain, en 1ère, on ira plus loin : démontrer les variations avec la dérivée, et étudier des fonctions plus complexes. Voici un avant-goût avec deux exercices qui te feront réfléchir au-delà du programme.

Ouverture : vers la dérivée

En 1ère, tu apprendras à calculer la dérivée $f'(x)$ d'une fonction. Le signe de $f'(x)$ donne directement le sens de variation : $f'(x) > 0$ sur un intervalle signifie $f$ croissante, $f'(x) < 0$ signifie $f$ décroissante. Le tableau de variations se construit alors à partir du signe de la dérivée, sans avoir besoin de la courbe.

À toi de jouer

1. On considère la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.
a) Calculer $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(-1)$, $f(-2)$, $f(-3)$.
b) En utilisant la définition, montrer que $f$ est décroissante sur $]0 ; +\infty[$ (prendre $0 < a < b$ et calculer $f(a)-f(b)$).
c) Montrer de même que $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 0[$.
d) Un élève affirme : « $f$ est décroissante sur tout $\mathbb{R}^*$ ». Réfuter par un contre-exemple.
e) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3 ; -1] \cup [1 ; 3]$.

Corrigé

a) $f(1)=1$, $f(2)=0,5$, $f(3)\approx 0,33$ ; $f(-1)=-1$, $f(-2)=-0,5$, $f(-3)\approx -0,33$.
b) $f(a)-f(b) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$. Comme $a>0$, $b>0$, $ab>0$ et $b-a>0$, donc $f(a)-f(b)>0$, soit $f(a)>f(b)$ : $f$ est décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
c) Même calcul avec $a0$, $b-a>0$, donc $f(a)-f(b)>0$, $f(a)>f(b)$ : décroissante.
d) Contre-exemple : $-1 < 1$ mais $f(-1) = -1 < f(1) = 1$. La fonction n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ entier car elle change de signe et l'ordre n'est pas conservé à travers $0$.
e) Tableau : $f(-3)=-1/3$ ↘ $f(-1)=-1$ (sur $[-3 ; -1]$) ; $f(1)=1$ ↘ $f(3)=1/3$ (sur $[1 ; 3]$).

2. Soit $g(x) = x^3 - 3x$ définie sur $[-2 ; 2]$. On admet que $g$ est croissante sur $[-2 ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 1]$, puis croissante sur $[1 ; 2]$.
a) Calculer $g(-2)$, $g(-1)$, $g(1)$ et $g(2)$.
b) Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-2 ; 2]$.
c) Quel est le maximum global de $g$ sur $[-2 ; 2]$ ? Quel est le minimum global ?
d) L'équation $g(x) = 0$ admet combien de solutions sur $[-2 ; 2]$ ? Justifier à l'aide du tableau.

Corrigé

a) $g(-2) = -8 + 6 = -2$ ; $g(-1) = -1 + 3 = 2$ ; $g(1) = 1 - 3 = -2$ ; $g(2) = 8 - 6 = 2$.
b) Tableau : $g(-2)=-2$ ↗ $g(-1)=2$ ↘ $g(1)=-2$ ↗ $g(2)=2$
c) Maximum global : $2$ (atteint en $x=-1$ et $x=2$). Minimum global : $-2$ (atteint en $x=-2$ et $x=1$).
d) $g(x)=0$ admet 3 solutions. Sur $[-2 ; -1]$, $g$ croît de $-2$ à $2$, passe par $0$ une fois. Sur $[-1 ; 1]$, $g$ décroît de $2$ à $-2$, repasse par $0$. Sur $[1 ; 2]$, $g$ croît de $-2$ à $2$, repasse par $0$. Trois traversées de l'axe horizontal.