Tableau de variations et courbe représentative

Les prérequis à avoir sous la main

Avant de te lancer, trois réflexes suffisent.

• Lire des coordonnées : un point se repère par son abscisse (le $x$, horizontal) et son ordonnée (le $y$, vertical).
• Calculer une image : $f(3)$, c'est le nombre obtenu en remplaçant $x$ par $3$ dans la formule de $f$.
• Lire un intervalle : $[-2\,;\,4]$ désigne tous les nombres compris entre $-2$ et $4$, bornes incluses.

Si ces trois points te parlent, tu as tout ce qu'il faut.

L'essentiel en une minute

Sur un intervalle, une fonction ne peut faire que trois choses : croître (elle monte), décroître (elle descend) ou rester constante (elle reste plate).

Le tableau de variations résume ce comportement avec des flèches : une flèche qui monte quand $f$ croît, une flèche qui descend quand $f$ décroît. La courbe représentative raconte exactement la même chose, en dessin : elle monte là où $f$ croît, elle descend là où $f$ décroît.

Les quatre formules à connaître :

• $f$ croissante sur $I$ : si $a \lt b$ alors $f(a) \lt f(b)$ (l'ordre est conservé).
• $f$ décroissante sur $I$ : si $a \lt b$ alors $f(a) \gt f(b)$ (l'ordre est inversé).
• Maximum : $f(x_0) \ge f(x)$ pour tout $x$ de $I$ (la plus grande valeur).
• Minimum : $f(x_0) \le f(x)$ pour tout $x$ de $I$ (la plus petite valeur).

Un exemple lu du début à la fin

On te donne le tableau de variations de $f$ sur $[-2\,;\,4]$ : $f(-2)=6$ puis flèche vers le bas jusqu'à $f(1)=-1$, puis flèche vers le haut jusqu'à $f(4)=5$.

Étape 1. La flèche descend de $-2$ à $1$ : $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,1]$.

Étape 2. La flèche monte de $1$ à $4$ : $f$ est croissante sur $[1\,;\,4]$.

Étape 3. Le point le plus bas vaut $-1$ : c'est le minimum, atteint en $x=1$.

Étape 4. Pour le maximum, on compare les deux valeurs hautes : $f(-2)=6$ et $f(4)=5$. Comme $6 \gt 5$, le maximum est $6$, atteint en $x=-2$.

Et voilà : tu viens de lire un tableau de variations en entier.

Croître et décroître : les définitions exactes

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

• $f$ est croissante sur $I$ lorsque, pour tous $a$ et $b$ de $I$ : $a \lt b \Rightarrow f(a) \lt f(b)$. Ranger les $x$ dans l'ordre revient à ranger les images dans le même ordre : l'ordre est conservé.
• $f$ est décroissante sur $I$ lorsque, pour tous $a$ et $b$ de $I$ : $a \lt b \Rightarrow f(a) \gt f(b)$. L'ordre est inversé.
• $f$ est constante sur $I$ lorsqu'elle garde la même valeur : $f(a)=f(b)$ pour tous $a$, $b$ de $I$.

Attention à un détail qui compte : on dit croissante sur un intervalle. Une même fonction peut être décroissante sur une partie et croissante sur une autre.

Comment se construit un tableau de variations

Un tableau de variations tient sur deux lignes.

• Ligne des $x$ : on inscrit les valeurs remarquables de la gauche vers la droite, dans l'ordre croissant. On y met les bornes de l'intervalle d'étude et les abscisses des extrema.
• Ligne des $f(x)$ : entre deux valeurs successives, on trace une flèche montante si $f$ croît, descendante si $f$ décroît. Aux extrémités des flèches, on écrit les images $f(x)$.

La hauteur à laquelle on écrit une valeur a un sens : une image écrite en haut correspond à un maximum local (la fonction atteint son sommet là), une image écrite en bas correspond à un minimum local.

On n'oublie jamais d'inclure les bornes de l'intervalle, même quand ce ne sont pas des extrema : elles ferment le tableau.

Maximum et minimum : définir et lire

Sur un intervalle $I$, la fonction $f$ admet :

• un maximum en $x_0$ si $f(x_0) \ge f(x)$ pour tout $x$ de $I$ : aucune image ne dépasse $f(x_0)$ ;
• un minimum en $x_0$ si $f(x_0) \le f(x)$ pour tout $x$ de $I$ : aucune image ne descend en dessous de $f(x_0)$.

Le maximum (ou le minimum) est une valeur de $f$, donc un nombre du côté des $y$. Le $x_0$ est seulement l'endroit où il est atteint.

Lecture guidée. Reprenons $f$ sur $[-2\,;\,4]$ : $f(-2)=6$ (haut), $f(1)=-1$ (bas), $f(4)=5$ (haut).

Le minimum est la plus petite image : $-1$, atteint en $x=1$.

Le maximum est la plus grande des valeurs hautes : on compare $6$ et $5$, on garde $6$, atteint en $x=-2$.

On peut même encadrer $f$ sur $[1\,;\,4]$ : la fonction y est croissante, donc $f(1) \le f(x) \le f(4)$, c'est-à-dire $-1 \le f(x) \le 5$.

On lit un tableau ensemble

Voici le tableau de $f$ sur $[-2\,;\,4]$ : $f(-2)=6$, flèche descendante jusqu'à $f(1)=-1$, flèche montante jusqu'à $f(4)=5$. On répond à tout, pas à pas.

Sens de variation. La première flèche descend : $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,1]$. La seconde monte : $f$ est croissante sur $[1\,;\,4]$.

Extremum bas. La plus petite image lisible est $-1$ : c'est le minimum de $f$ sur $[-2\,;\,4]$, atteint en $x=1$.

Extremum haut. Deux images sont en haut : $6$ et $5$. On les compare : $6 \gt 5$. Le maximum est donc $6$, atteint en $x=-2$.

Encadrement sur $[1\,;\,4]$. Sur cet intervalle $f$ est croissante, donc pour tout $x$ de $[1\,;\,4]$ : $f(1) \le f(x) \le f(4)$, soit $-1 \le f(x) \le 5$.

Comparer deux images. Prenons $2$ et $3$ dans $[1\,;\,4]$. Là $f$ est croissante et $2 \lt 3$, donc $f(2) \lt f(3)$, sans même calculer.

On dresse un tableau depuis une formule

On veut le tableau de variations de $f(x)=x^2-2x$ sur $[-1\,;\,3]$. On avance calmement.

Étape 1 — calculer les images utiles. $f(-1)=(-1)^2-2\times(-1)=1+2=3$.

$f(1)=1^2-2\times 1=1-2=-1$.

$f(3)=3^2-2\times 3=9-6=3$.

Étape 2 — trouver le sommet. La courbe de $f(x)=x^2-2x$ est une parabole tournée vers le haut. Son axe de symétrie a pour abscisse $x=-\dfrac{-2}{2}=1$. Le sommet est donc en $x=1$, où $f(1)=-1$.

Étape 3 — décrire les variations. Avant le sommet, la parabole descend : $f$ décroît sur $[-1\,;\,1]$. Après le sommet, elle remonte : $f$ croît sur $[1\,;\,3]$.

Étape 4 — écrire le tableau. $f(-1)=3$ (haut), flèche descendante jusqu'à $f(1)=-1$ (bas), flèche montante jusqu'à $f(3)=3$ (haut).

Étape 5 — conclure sur les extrema. Le minimum est $-1$, atteint en $x=1$. Le maximum est $3$, atteint à la fois en $x=-1$ et en $x=3$ (les deux bornes montent à la même hauteur).

On passe de la courbe au tableau

Cette fois on part d'un dessin. La démarche est toujours la même.

1. On repère les points hauts (maxima locaux) et les points bas (minima locaux) de la courbe.

2. On lit leurs coordonnées $(x_0\,;\,f(x_0))$ sur les deux axes.

3. Entre deux points successifs, on place une flèche montante si la courbe grimpe, descendante si elle plonge.

4. On écrit chaque image au bon niveau : en haut pour un maximum local, en bas pour un minimum local.

5. On n'oublie pas les bornes de l'intervalle d'étude, même si ce ne sont pas des extrema.

Application. Reprenons la parabole de $f(x)=x^2-2x$ sur $[-1\,;\,3]$. Le seul point bas est le sommet $(1\,;\,-1)$. Aux bornes, la courbe est à la même hauteur $3$. On lit donc directement : descente de $(-1\,;\,3)$ jusqu'à $(1\,;\,-1)$, puis montée jusqu'à $(3\,;\,3)$. C'est exactement le tableau de l'exemple précédent : la courbe et le tableau disent la même chose.

Le problème type, résolu en entier

Énoncé. On donne le tableau de variations d'une fonction $g$ sur $[-3\,;\,5]$ : $g(-3)=2$, flèche montante jusqu'à $g(0)=7$, puis flèche descendante jusqu'à $g(5)=-4$.

Question 1 — sens de variation. La première flèche monte : $g$ est croissante sur $[-3\,;\,0]$. La seconde descend : $g$ est décroissante sur $[0\,;\,5]$.

Question 2 — maximum. La seule valeur haute est $7$ : le maximum de $g$ sur $[-3\,;\,5]$ est $7$, atteint en $x=0$.

Question 3 — minimum. On compare les deux valeurs basses $g(-3)=2$ et $g(5)=-4$. Comme $-4 \lt 2$, le minimum est $-4$, atteint en $x=5$.

Question 4 — encadrement sur $[0\,;\,5]$. Sur cet intervalle $g$ est décroissante, donc pour tout $x$ de $[0\,;\,5]$ : $g(5) \le g(x) \le g(0)$, c'est-à-dire $-4 \le g(x) \le 7$.

Question 5 — comparer sans calcul. Comparons $g(-2)$ et $g(-1)$. Ces deux nombres sont dans $[-3\,;\,0]$ où $g$ est croissante, et $-2 \lt -1$, donc $g(-2) \lt g(-1)$.

Ce que le correcteur attend

Quelques réflexes qui font gagner des points :

• Un extremum est une valeur de $f$, pas une abscisse. On écrit « le maximum est $g(0)=7$ », jamais « le maximum est $0$ ». Le $0$, c'est seulement là où il est atteint.
• On précise toujours l'intervalle. « $g$ est croissante sur $[-3\,;\,0]$ » et non « $g$ est croissante » tout court.
• On justifie une comparaison par la monotonie. Pour dire $g(-2) \lt g(-1)$, on cite : sur $[-3\,;\,0]$, $g$ est croissante.
• On distingue local et global. Un maximum local est le plus haut dans son coin ; pour le maximum global, il faut comparer toutes les valeurs hautes du tableau.

Les pièges classiques

Les quatre erreurs qui reviennent le plus souvent, et comment les éviter.

• Confondre le maximum et son abscisse. « Le maximum est $x=2$ » est faux. La bonne phrase : « le maximum est $f(2)=8$ ».
• Écrire la valeur au mauvais niveau. Si $f$ croît sur $[a\,;\,b]$, alors $f(b) \gt f(a)$ : c'est $f(b)$ qui va en haut, $f(a)$ en bas.
• Oublier de comparer toutes les valeurs hautes. Un tableau peut avoir plusieurs sommets ; le maximum global est le plus grand d'entre eux.
• Croire que $f(b) \gt f(a)$ prouve la croissance. Faux : entre $a$ et $b$, la fonction peut très bien redescendre puis remonter. La monotonie se lit sur tout l'intervalle, pas seulement aux deux bornes.

Prouver qu'une fonction varie dans un sens

Jusqu'ici on lit les variations. On peut aussi les démontrer. L'idée : prendre deux nombres $a \lt b$ de l'intervalle et comparer $f(a)$ et $f(b)$.

Sur $f(x)=x^2-2x$, la forme canonique aide énormément : $x^2-2x=(x-1)^2-1$. On lit tout de suite le sommet $(1\,;\,-1)$, car $(x-1)^2 \ge 0$ et vaut $0$ seulement en $x=1$. La plus petite valeur possible de $f$ est donc $-1$ : c'est le minimum, et il confirme le tableau.

Pour le sens de variation : si $x \ge 1$, alors $(x-1)^2$ grandit quand $x$ grandit, donc $f$ croît ; si $x \le 1$, $(x-1)^2$ diminue quand $x$ s'approche de $1$, donc $f$ décroît. Le tableau n'était pas une observation au hasard : il se justifie.

L'an prochain : la dérivée

En 1ère, tu rencontreras un outil qui donne les variations sans tracer la courbe : la dérivée. À chaque fonction $f$ on associe une fonction $f'$ dont le signe commande les variations.

• Là où $f'(x) \gt 0$, la fonction $f$ est croissante.
• Là où $f'(x) \lt 0$, la fonction $f$ est décroissante.
• Là où $f'(x)=0$, on trouve souvent un extremum.

Pour $f(x)=x^2-2x$, la dérivée sera $f'(x)=2x-2$. Elle s'annule en $x=1$, est négative avant, positive après : décroissante puis croissante. On retombe exactement sur notre tableau. Le tableau de variations restera l'outil de présentation, mais la dérivée deviendra le moteur qui le remplit.

Les ponts avec le reste du programme

Le tableau de variations n'est pas une île. Il se connecte à plusieurs notions.

• Les fonctions de référence. Carré, inverse, racine carrée : tu connais déjà leurs variations. Un tableau ne fait que les résumer.
• La symétrie. Une parabole possède un axe de symétrie vertical ; le sommet tombe dessus. Repérer cet axe donne l'abscisse de l'extremum d'un coup.
• Les inéquations et l'encadrement. Savoir que $f$ est croissante sur un intervalle permet de comparer des images ou d'encadrer $f(x)$ sans calcul, un réflexe très utile.
• L'optimisation. Chercher la plus grande aire ou le coût minimal, c'est chercher un extremum : exactement ce que le tableau met en évidence.