Tableau de variations et courbe représentative

Résumer le comportement d'une fonction en un coup d'œil : sens de variation, extrema, lecture graphique.

1 L'idée

Une fonction peut croître, décroître ou être constante sur un intervalle. Le tableau de variations résume ces comportements avec des flèches et les valeurs aux points clés. La courbe représentative traduit visuellement le même contenu : elle monte là où $f$ croît, descend là où $f$ décroît.

2 Définitions

Croissante sur I

$\text{Pour tous } a, b \in I : a \lt b \Rightarrow f(a) \lt f(b)$

Décroissante sur I

$\text{Pour tous } a, b \in I : a \lt b \Rightarrow f(a) \gt f(b)$

Maximum de f sur I

$f(x_0) \ge f(x) \text{ pour tout } x \in I$

Minimum de f sur I

$f(x_0) \le f(x) \text{ pour tout } x \in I$

3 Structure d'un tableau de variations

Un tableau de variations comporte deux lignes :

Ligne $x$ : les valeurs remarquables de gauche à droite (ordre croissant).
Ligne $f(x)$ : des flèches — ↗ si $f$ croît, ↘ si $f$ décroît — et les valeurs aux bornes, placées en haut pour un maximum local, en bas pour un minimum local.

Une valeur placée en haut dans le tableau signifie que la fonction atteint ce niveau au point correspondant.

4 Lire un tableau de variations

Tableau de $f$ sur $[-2\,;\,4]$ : $f(-2)=6$ ↘ $f(1)=-1$ ↗ $f(4)=5$

$f$ est décroissante sur $[-2\,;\,1]$ et croissante sur $[1\,;\,4]$.

Le minimum est $-1$, atteint en $x=1$.

Le maximum global est $6$, atteint en $x=-2$ (car $f(-2)=6 \gt f(4)=5$).

Pour tout $x \in [1\,;\,4]$ : $f(1) \le f(x) \le f(4)$, soit $-1 \le f(x) \le 5$.

5 Dresser un tableau depuis une formule

Tableau de $f(x)=x^2-2x$ sur $[-1\,;\,3]$

Valeurs calculées : $f(-1)=1+2=3$, $f(1)=1-2=-1$, $f(3)=9-6=3$.

Axe de symétrie de la parabole : $x = -\dfrac{-2}{2} = 1$. Sommet en $x=1$.

La courbe descend de $x=-1$ à $x=1$, puis remonte de $x=1$ à $x=3$.

Tableau : $f(-1)=3$ ↘ $f(1)=-1$ ↗ $f(3)=3$. Minimum : $-1$ en $x=1$. Maximum : $3$, atteint en $x=-1$ et $x=3$.

Méthode — dresser un tableau depuis une courbe

Repérer les points hauts (maxima locaux) et les points bas (minima locaux) de la courbe.
Lire leurs coordonnées $(x_0,\, f(x_0))$ sur les axes.
Entre deux points successifs, placer une flèche ↗ si la courbe monte, ↘ si elle descend.
Écrire les valeurs $f(x_0)$ au bon niveau : en haut pour un maximum local, en bas pour un minimum local.
Inclure les bornes de l'intervalle d'étude, même si ce ne sont pas des extrema.

Erreurs fréquentes

Confondre le maximum (valeur de $f$, un $y$) avec l'abscisse du maximum (un $x$). Exemple : « le maximum est $x=2$ » est faux ; il faut dire « le maximum est $f(2)=8$ ».
Mettre la valeur au mauvais niveau : si $f$ est croissante sur $[a\,;\,b]$, alors $f(b) \gt f(a)$ — $f(b)$ est en haut, $f(a)$ en bas.
Oublier de comparer toutes les valeurs hautes du tableau pour trouver le maximum global.
Croire que $f(b) \gt f(a)$ suffit à prouver que $f$ est croissante sur $[a\,;\,b]$ : la fonction peut décroître et recroître entre les deux bornes.