V VIDYALAYA · Soutien scolaire
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Variations d'une fonction — Exercices

Tableau de valeurs, variations, extremums et raisonnement. Corrigé en fin de fiche.
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1Lire les variations/ 4 pts

On donne les valeurs de la fonction $g$ définie sur $[-2\,;\,3]$ :

  • $g(-2) = -3$
  • $g(-1) = 1$
  • $g(0) = 4$
  • $g(1) = 6$
  • $g(2) = 3$
  • $g(3) = -1$
  1. Sur quel(s) intervalle(s) $g$ semble-t-elle croissante ? Décroissante ?
  2. Quel est le maximum de $g$ sur $[-2\,;\,3]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
  3. Quel est le minimum de $g$ sur $[-2\,;\,3]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
2Dresser un tableau de variations/ 5 pts
Soit $f(x) = x^2 - 4x$ définie sur $[0\,;\,5]$.
  1. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, $f(4)$ et $f(5)$.
  2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,5]$.
  3. Quel est le minimum de $f$ sur $[0\,;\,5]$ ? Son maximum ?
3Utiliser les variations pour comparer/ 3 pts
La fonction $h$ est croissante sur $[1\,;\,5]$. On sait que $h(3) = 7$.
  1. Comparer $h(4)$ et $h(3)$. Justifier.
  2. Comparer $h(2)$ et $h(3)$. Justifier.
  3. Peut-on affirmer que $h(2) \lt 0$ ? Justifier.
4Problème : hauteur d'un projectile/ 5 pts
On lance une balle verticalement. Sa hauteur (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes) est modélisée par $h(t) = -5t^2 + 20t$, pour $t \in [0\,;\,4]$.
  1. Calculer $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$, $h(3)$ et $h(4)$.
  2. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[0\,;\,4]$.
  3. À quelle hauteur maximale la balle s'élève-t-elle ? À quel instant cela se produit-il ?
  4. Sur quel intervalle de temps la balle monte-t-elle ? Descend-elle ?
5Raisonnement sur les variations/ 3 pts
La fonction $f$ est définie sur $[-1\,;\,5]$. Elle est décroissante sur $[-1\,;\,2]$ et croissante sur $[2\,;\,5]$. On sait que $f(-1) = 8$, $f(2) = -3$ et $f(5) = 6$.
  1. Quel est le minimum de $f$ sur $[-1\,;\,5]$ ? Justifier.
  2. Comparer $f(0)$ et $f(1)$. Justifier.
  3. Peut-on déterminer le maximum de $f$ sur $[-1\,;\,5]$ ? Si oui, lequel ?
Corrigé détaillé
1Lire les variations
a) \(g(-2)=-3 \lt g(-1)=1 \lt g(0)=4 \lt g(1)=6 \text{ (croissant) ;} \quad g(1)=6 \gt g(2)=3 \gt g(3)=-1 \text{ (décroissant)}\) \(g \text{ croissante sur } [-2\,;\,1] \text{ ; décroissante sur } [1\,;\,3]\)
b) \(\text{Valeur la plus haute : } g(1) = 6\) \(\text{Maximum} = 6,\text{ atteint en } x = 1\)
c) \(\text{Valeur la plus basse : } g(-2) = -3\) \(\text{Minimum} = -3,\text{ atteint en } x = -2\)
2Dresser un tableau de variations
a) \(f(0)=0,\; f(1)=1-4=-3,\; f(2)=4-8=-4,\; f(3)=9-12=-3,\; f(4)=16-16=0,\; f(5)=25-20=5\) \(f(0)=0,\; f(1)=-3,\; f(2)=-4,\; f(3)=-3,\; f(4)=0,\; f(5)=5\)
b) \(0 \gt -3 \gt -4 \text{ (décroissant de 0 à 2)} \;; \quad -4 \lt -3 \lt 0 \lt 5 \text{ (croissant de 2 à 5)}\) \(f \text{ décroissante sur } [0\,;\,2],\text{ croissante sur } [2\,;\,5]\)
c) \(\text{Minimum : } f(2)=-4. \quad \text{Maximum : comparer les bornes } f(0)=0 \text{ et } f(5)=5 \Rightarrow 5 \gt 0.\) \(\text{Minimum} = -4 \text{ en } x=2 \;; \quad \text{Maximum} = 5 \text{ en } x=5\)
3Utiliser les variations pour comparer
a) \(4 \gt 3 \text{ et } h \text{ croissante sur } [1\,;\,5]\) \(h(4) \gt h(3) = 7\)
b) \(2 \lt 3 \text{ et } h \text{ croissante sur } [1\,;\,5]\) \(h(2) \lt h(3) = 7\)
c) \(\text{On sait seulement que } h(2) \lt 7. \text{ Les variations n'informent pas sur le signe de } h(2).\) \(\text{Non : } h(2) \lt 7 \text{ mais } h(2) \text{ peut être positif, nul ou négatif.}\)
4Problème : hauteur d'un projectile
a) \(h(0)=0,\; h(1)=-5+20=15,\; h(2)=-20+40=20,\; h(3)=-45+60=15,\; h(4)=-80+80=0\) \(h(0)=0\;\text{m},\; h(1)=15\;\text{m},\; h(2)=20\;\text{m},\; h(3)=15\;\text{m},\; h(4)=0\;\text{m}\)
b) \(0 \to 15 \to 20 \text{ (croissant)} \;; \quad 20 \to 15 \to 0 \text{ (décroissant)}\) \(h \text{ croissante sur } [0\,;\,2],\text{ décroissante sur } [2\,;\,4]\)
c) \(\text{Maximum du tableau : } h(2) = 20\) \(\text{Hauteur maximale : } 20\;\text{m, atteinte à } t = 2\;\text{s}\)
d) \(h \text{ croissante sur } [0\,;\,2] \Rightarrow \text{monte} \;; \quad h \text{ décroissante sur } [2\,;\,4] \Rightarrow \text{descend}\) \(\text{Monte sur } [0\,;\,2] \;; \quad \text{descend sur } [2\,;\,4]\)
5Raisonnement sur les variations
a) \(f \text{ décroissante puis croissante, avec creux en } x=2 \Rightarrow f(2) \text{ est la valeur la plus basse}\) \(\text{Minimum} = f(2) = -3\)
b) \(-1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \text{ et } f \text{ décroissante sur } [-1\,;\,2] \Rightarrow 0 \lt 1 \Rightarrow f(0) \gt f(1)\) \(f(0) \gt f(1)\)
c) \(\text{Max sur } [-1\,;\,2] : f(-1)=8. \quad \text{Max sur } [2\,;\,5] : f(5)=6. \quad 8 \gt 6.\) \(\text{Oui : maximum} = f(-1) = 8 \text{ sur } [-1\,;\,5]\)