Pas de panique, on va tout reprendre depuis le début. Tu n'as jamais entendu parler de variations et d'extremums, mais tu as un contrôle bientôt. On va d'abord réactiver les prérequis indispensables : les intervalles, la lecture d'un graphique, et les inégalités. Ensuite, on découvrira l'idée principale en mots simples. Tu vas voir, c'est une histoire de montée et de descente.
Prérequis 1 : les intervalles
Un intervalle est un ensemble de nombres entre deux bornes. Par exemple, $[-2;3]$ contient tous les nombres de $-2$ à $3$ inclus. On le lit sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal).
Les crochets sont fermés $[$ ou $]$ quand la borne est incluse, ouverts $]$ ou $[$ quand elle est excluse. Ici on utilise surtout des intervalles fermés.
Prérequis 2 : lire un graphique
Sur un graphique, l'axe horizontal donne les valeurs de $x$ (les antécédents), et l'axe vertical donne les valeurs de $f(x)$ (les images).
Quand on se déplace de gauche à droite, on lit les $x$ qui augmentent. Si la courbe monte, les images augmentent : la fonction croît. Si la courbe descend, les images diminuent : la fonction décroît.
Prérequis 3 : comparer avec des inégalités
Pour dire qu'une fonction est croissante sur un intervalle, on utilise la règle : si $x_1 < x_2$, alors $f(x_1) < f(x_2)$. Les images et les $x$ vont dans le même sens.
Pour dire qu'elle est décroissante : si $x_1 < x_2$, alors $f(x_1) > f(x_2)$. Les images vont en sens inverse des $x$.
L'idée principale : variations et extremums
Étudier les variations d'une fonction $f$, c'est dire sur quels intervalles elle monte (croissante) et sur quels intervalles elle descend (décroissante).
Un extremum est une valeur maximale (le plus haut) ou minimale (le plus bas) atteinte par la fonction sur un intervalle. On parle de maximum et de minimum.
Le tableau de variations résume tout ça : une ligne pour $x$ avec les bornes de l'intervalle, une ligne pour $f(x)$ avec des flèches qui montent ($ earrow$) ou descendent ($\searrow$), et les valeurs de $f$ aux bornes et aux changements de sens.
À toi de jouer
1. On te donne les valeurs de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-2;3]$ : $g(-2) = -3$, $g(-1) = 1$, $g(0) = 4$, $g(1) = 6$, $g(2) = 3$, $g(3) = -1$.
Complète les phrases avec les mots croissante ou décroissante. De $x=-2$ à $x=1$, les images augmentent : $g$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $[-2;1]$. De $x=1$ à $x=3$, les images diminuent : $g$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $[1;3]$. Le maximum de $g$ sur $[-2;3]$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Le minimum de $g$ sur $[-2;3]$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
De $x=-2$ à $x=1$, les images augmentent : $g$ est croissante sur $[-2;1]$. De $x=1$ à $x=3$, les images diminuent : $g$ est décroissante sur $[1;3]$. Le maximum de $g$ sur $[-2;3]$ est 6, atteint en $x = 1. Le minimum de $g$ sur $[-2;3]$ est -3, atteint en $x = -2.
2. On a tracé la courbe d'une fonction $f$ sur $[0;4]$. Observe le graphique et complète.
Sur $[0;2]$, la courbe $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$. Sur $[2;4]$, la courbe $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$. Le minimum sur $[0;4]$ semble être $\underline{\hspace{1.1em}}$, atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Le maximum sur $[0;4]$ semble être $\underline{\hspace{1.1em}}$, atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Sur $[0;2]$, la courbe monte : $f$ est croissante. Sur $[2;4]$, la courbe descend : $f$ est décroissante. Le minimum sur $[0;4]$ semble être 0, atteint en $x = 0. Le maximum sur $[0;4]$ semble être 4, atteint en $x = 4.
3. Complète la définition avec les symboles $\lt$ ou $\gt$. Si $f$ est croissante sur un intervalle, quand $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \underline{\hspace{1.1em}} f(x_2)$. Si $f$ est décroissante sur un intervalle, quand $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \underline{\hspace{1.1em}} f(x_2)$.
Corrigé
Si $f$ est croissante sur un intervalle, quand $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \lt f(x_2)$. Si $f$ est décroissante sur un intervalle, quand $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \gt f(x_2)$.
Ah oui, c'est ça ! Tu te souviens maintenant : une fonction croissante, c'est quand ça monte ; décroissante, quand ça descend. Et le tableau de variations, c'est la carte qui résume le parcours. On va rappeler la méthode pas-à-pas pour le construire, et s'entraîner à l'appliquer. Tu vas voir, c'est comme une recette de cuisine.
Rappel : les définitions
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
$f$ est croissante sur $I$ si pour tous $x_1, x_2$ dans $I$, $x_1 \lt x_2$ implique $f(x_1) \lt f(x_2)$. Les images augmentent avec $x$.
$f$ est décroissante sur $I$ si pour tous $x_1, x_2$ dans $I$, $x_1 \lt x_2$ implique $f(x_1) \gt f(x_2)$. Les images diminuent quand $x$ augmente.
Un maximum sur $I$ est une valeur $M = f(a)$ telle que pour tout $x$ dans $I$, $f(x) \le M$. C'est le point le plus haut.
Un minimum sur $I$ est une valeur $m = f(a)$ telle que pour tout $x$ dans $I$, $f(x) \ge m$. C'est le point le plus bas.
Méthode : dresser un tableau de variations
Étape 1 : Calculer les images de $f$ aux bornes de l'intervalle et en quelques points clés (souvent là où la fonction change de sens).
Étape 2 : Comparer ces valeurs dans l'ordre des $x$ croissants. Repérer les sous-intervalles où les images augmentent (croissance) et ceux où elles diminuent (décroissance).
Étape 3 : Tracer le tableau : une ligne pour $x$ avec les bornes et les points de changement ; une ligne pour les variations avec des flèches $ earrow$ (monte) ou $\searrow$ (descend).
Étape 4 : Écrire les valeurs de $f(x)$ sous les flèches, aux bornes et aux extremums.
Étape 5 : Identifier le minimum (valeur la plus basse dans le tableau) et le maximum (valeur la plus haute). Attention : le maximum n'est pas forcément une borne, il peut être au sommet d'une bosse.
Exemple type commenté
Soit $f(x) = x^2 - 4x$ sur $[0;5]$. Calculons : $f(0)=0$, $f(1)=1-4=-3$, $f(2)=4-8=-4$, $f(3)=9-12=-3$, $f(4)=16-16=0$, $f(5)=25-20=5$.
De $0$ à $2$ : $0 \to -3 \to -4$ (diminue) $\Rightarrow$ décroissante sur $[0;2]$. De $2$ à $5$ : $-4 \to -3 \to 0 \to 5$ (augmente) $\Rightarrow$ croissante sur $[2;5]$.
Minimum : $f(3) = -9$. Maximum : $f(0) = 0$ ou $f(6) = 0$ (les deux bornes donnent 0, c'est le maximum).
2. On donne le tableau de variations d'une fonction $g$ sur $[-3;4]$ :
$x$
$-3$
$1$
$4$
Variations
$5$
$ earrow$
$8$
$\searrow$
$2$
Complète : $g$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $[-3;1]$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur $[1;4]$. Le maximum de $g$ sur $[-3;4]$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Le minimum de $g$ sur $[-3;4]$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, atteint en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$g$ est croissante sur $[-3;1]$ et décroissante sur $[1;4]$. Le maximum de $g$ sur $[-3;4]$ est 8, atteint en $x = 1$. Le minimum de $g$ sur $[-3;4]$ est 2, atteint en $x = 4$ (ou comparer avec 5 : 5 > 2, donc 2 est bien le minimum).
3. Complète la phrase de méthode : Pour trouver le maximum d'une fonction sur un intervalle, on regarde la valeur la plus $\underline{\hspace{1.1em}}$ dans la ligne des variations. Pour le minimum, on regarde la valeur la plus $\underline{\hspace{1.1em}}$. Attention à ne pas confondre la valeur de l'extremum avec l'$\underline{\hspace{1.1em}}$ en lequel il est atteint.
Corrigé
Pour trouver le maximum d'une fonction sur un intervalle, on regarde la valeur la plus haute dans la ligne des variations. Pour le minimum, on regarde la valeur la plus basse. Attention à ne pas confondre la valeur de l'extremum avec l'antécédent en lequel il est atteint.
Maintenant, on répète le même geste cinq fois pour que ça devienne automatique. Tu vas calculer des images, repérer les variations, et remplir des tableaux. C'est toujours la même logique, avec des nombres différents. Tu es en terrain connu.
Tu maîtrises le tableau de variations. Maintenant, on passe aux exercices type contrôle : lire des variations, utiliser les définitions pour comparer, résoudre des problèmes concrets, et raisonner sur les extremums. Tu vas devoir justifier tes réponses, comme en devoir. C'est le moment de montrer que tu as tout compris.
À toi de jouer
1. On donne les valeurs de la fonction $g$ définie sur $[-3;4]$ : $g(-3) = 5$, $g(-2) = 2$, $g(0) = -1$, $g(1) = 0$, $g(2) = 4$, $g(3) = 6$, $g(4) = 1$.
a) Sur quel(s) intervalle(s) $g$ semble-t-elle croissante ? Décroissante ? b) Quel est le maximum de $g$ sur $[-3;4]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ? c) Quel est le minimum de $g$ sur $[-3;4]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ? d) Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-3;4]$.
Corrigé
a) On regarde l'évolution des images : De $-3$ à $0$ : $5 \to 2 \to -1$ (diminue) $\Rightarrow$ $g$ est décroissante sur $[-3;0]$. De $0$ à $3$ : $-1 \to 0 \to 4 \to 6$ (augmente) $\Rightarrow$ $g$ est croissante sur $[0;3]$. De $3$ à $4$ : $6 \to 1$ (diminue) $\Rightarrow$ $g$ est décroissante sur $[3;4]$.
b) La valeur la plus haute est $g(3) = 6$. Maximum = 6, atteint en $x = 3$.
c) La valeur la plus basse est $g(0) = -1$. Minimum = -1, atteint en $x = 0$.
d) Tableau de variations :
$x$
$-3$
$0$
$3$
$4$
Variations
$5$
$\searrow$
$-1$
$ earrow$
$6$
$\searrow$
$1$
2. Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ définie sur $[0;4]$. a) Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$ et $f(4)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;4]$. c) Quel est le minimum de $f$ sur $[0;4]$ ? Son maximum ? d) La fonction $f$ admet-elle un maximum sur $[0;4]$ différent des valeurs aux bornes ?
b) De $0$ à $2$ : $-5 \to 1 \to 3$ (augmente) $\Rightarrow$ croissante sur $[0;2]$. De $2$ à $4$ : $3 \to 1 \to -5$ (diminue) $\Rightarrow$ décroissante sur $[2;4]$. Tableau :
$x$
$0$
$2$
$4$
Variations
$-5$
$ earrow$
$3$
$\searrow$
$-5$
c) Minimum : comparer $-5$ (bornes) et $3$ (sommet). Le minimum est $-5$ atteint en $x=0$ et $x=4$. Maximum : $3$ atteint en $x=2$.
d) Oui, le maximum est $f(2)=3$, c'est un maximum local différent des valeurs aux bornes qui sont $-5$.
3. La fonction $h$ est croissante sur $[2;8]$. On sait que $h(5) = 12$. a) Comparer $h(6)$ et $h(5)$. Justifier. b) Comparer $h(3)$ et $h(5)$. Justifier. c) Peut-on affirmer que $h(2) \lt 0$ ? Justifier. d) Peut-on affirmer que $h(8)$ est le maximum de $h$ sur $[2;8]$ ? Justifier.
Corrigé
a) $6 \gt 5$ et $h$ est croissante sur $[2;8]$. Donc $h(6) \gt h(5)$, soit $h(6) \gt 12$.
b) $3 \lt 5$ et $h$ est croissante sur $[2;8]$. Donc $h(3) \lt h(5)$, soit $h(3) \lt 12$.
c) Non. On sait seulement que $h(2) \le h(5) = 12$ (car $2 \lt 5$ et $h$ croissante). Mais $h(2)$ peut être positif, nul ou négatif, on n'a pas d'information sur son signe.
d) Oui. Comme $h$ est croissante sur $[2;8]$, pour tout $x$ dans $[2;8]$, $x \le 8$ implique $h(x) \le h(8)$. Donc $h(8)$ est bien le maximum de $h$ sur cet intervalle.
4. On lance une balle verticalement. Sa hauteur (en mètres) à l'instant $t$ (en secondes) est modélisée par $h(t) = -5t^2 + 30t$, pour $t \in [0;6]$. a) Calculer $h(0)$, $h(1)$, $h(2)$, $h(3)$, $h(4)$, $h(5)$ et $h(6)$. b) Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[0;6]$. c) À quelle hauteur maximale la balle s'élève-t-elle ? À quel instant cela se produit-il ? d) Sur quel intervalle de temps la balle monte-t-elle ? Descend-elle ?
b) De $0$ à $3$ : $0 \to 25 \to 40 \to 45$ (augmente) $\Rightarrow$ croissante sur $[0;3]$. De $3$ à $6$ : $45 \to 40 \to 25 \to 0$ (diminue) $\Rightarrow$ décroissante sur $[3;6]$. Tableau :
$t$
$0$
$3$
$6$
Variations
$0$
$ earrow$
$45$
$\searrow$
$0$
c) Hauteur maximale : 45 mètres, atteinte à $t = 3$ secondes.
d) La balle monte sur $[0;3]$ et descend sur $[3;6]$.
5. La fonction $f$ est définie sur $[-2;6]$. Elle est décroissante sur $[-2;1]$ et croissante sur $[1;6]$. On sait que $f(-2) = 10$, $f(1) = -4$ et $f(6) = 8$. a) Quel est le minimum de $f$ sur $[-2;6]$ ? Justifier. b) Comparer $f(0)$ et $f(2)$. Justifier. c) Peut-on déterminer le maximum de $f$ sur $[-2;6]$ ? Si oui, lequel ?
Corrigé
a) Sur $[-2;1]$, $f$ est décroissante, donc elle atteint son minimum à l'extrémité droite, en $x = 1$ : $f(1) = -4$. Sur $[1;6]$, $f$ est croissante, donc $f(x) \ge f(1) = -4$ pour tout $x \in [1;6]$. Ainsi, sur tout l'intervalle $[-2;6]$, la valeur la plus basse est $-4$. Le minimum de $f$ sur $[-2;6]$ est $-4$, atteint en $x = 1$.
b) On remarque que $0 \in [-2;1]$ et $2 \in [1;6]$ : ces deux points n'appartiennent pas au même intervalle de monotonie. $f$ est décroissante sur $[-2;1]$ et $0 < 1$, donc $f(0) > f(1) = -4$. $f$ est croissante sur $[1;6]$ et $1 < 2$, donc $f(2) > f(1) = -4$. Les deux images sont supérieures à $-4$, mais comme $0$ et $2$ sont dans des intervalles de variations distincts, on ne dispose pas d'assez d'informations pour déterminer lequel de $f(0)$ ou $f(2)$ est le plus grand.
c) $f$ décroît sur $[-2;1]$ puis croît sur $[1;6]$ : le maximum est donc nécessairement atteint en l'une des deux extrémités de l'intervalle. On compare $f(-2) = 10$ et $f(6) = 8$. Comme $10 > 8$, le maximum de $f$ sur $[-2;6]$ est $10$, atteint en $x = -2$.
Tu es prêt pour le contrôle, mais on va aller un peu plus loin pour préparer la première. On va explorer la notion de taux de variation, qui permet de quantifier la pente d'une fonction entre deux points, et on va toucher du doigt la dérivation, qui sera au coeur du programme l'an prochain. C'est un avant-goût, sans pression.
Taux de variation : la pente entre deux points
Le taux de variation d'une fonction $f$ entre deux valeurs $a$ et $b$ (avec $a eq b$) est le quotient :
$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
Il mesure la « vitesse » moyenne d'évolution de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$. Si ce taux est positif, $f$ a globalement augmenté entre $a$ et $b$ (elle est croissante en moyenne). S'il est négatif, $f$ a globalement diminué (elle est décroissante en moyenne).
Ce taux est aussi le coefficient directeur de la droite qui relie les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ sur le graphique.
Vers la dérivation : taux instantané
En première, on s'intéressera au taux de variation instantané : on rapproche $b$ de $a$ jusqu'à ce que l'intervalle devienne infiniment petit. Ce taux limite s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$. Il donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Le signe de $f'(x)$ sur un intervalle permet de déterminer directement les variations de $f$ : si $f'(x) \gt 0$, $f$ est croissante ; si $f'(x) \lt 0$, $f$ est décroissante. C'est un outil puissant qui évite de calculer des tas d'images.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. a) Calculer le taux de variation de $f$ entre $x=1$ et $x=4$. Interpréter le signe du résultat : $f$ est-elle plutôt croissante ou décroissante sur $[1;4]$ ? b) Calculer le taux de variation de $f$ entre $x=0$ et $x=2$. Même interprétation. c) Que vaut le taux de variation entre $x=2$ et $x=2+h$ (avec $h eq 0$) ? Simplifier l'expression.
Corrigé
a) $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ ; $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3$. Taux = $\frac{3 - 0}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$. Le taux est positif : $f$ a globalement augmenté entre $1$ et $4$, elle est croissante en moyenne sur $[1;4]$.
b) $f(0) = 3$ ; $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Taux = $\frac{-1 - 3}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$. Le taux est négatif : $f$ a globalement diminué entre $0$ et $2$, elle est décroissante en moyenne sur $[0;2]$.
c) $f(2) = -1$. $f(2+h) = (2+h)^2 - 4(2+h) + 3 = 4 + 4h + h^2 - 8 - 4h + 3 = h^2 - 1$. Taux = $\frac{(h^2 - 1) - (-1)}{h} = \frac{h^2}{h} = h$ (pour $h eq 0$). Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $0$, ce qui est le nombre dérivé de $f$ en $2$.
2. On donne le tableau de variations d'une fonction $g$ sur $[-5;5]$ :
$x$
$-5$
$-2$
$3$
$5$
Variations
$-3$
$ earrow$
$4$
$\searrow$
$-1$
$ earrow$
$2$
a) Sans calculer les images, déterminer le signe du taux de variation de $g$ entre $x=-4$ et $x=-1$. Justifier. b) Déterminer le signe du taux de variation de $g$ entre $x=0$ et $x=4$. Justifier. c) Peut-on dire que $g$ est croissante sur $[-5;5]$ ? Justifier.
Corrigé
a) $-4$ appartient à l'intervalle $[-5\,;\,-2]$, sur lequel $g$ est croissante. En revanche, $-1$ appartient à l'intervalle $[-2\,;\,3]$, sur lequel $g$ est décroissante (car $-1 > -2$). Ces deux valeurs ne sont donc pas dans le même intervalle de monotonie. Sans calculer les images de $-4$ et de $-1$, on ne peut pas comparer $g(-4)$ et $g(-1)$, et on ne peut pas déterminer le signe du taux de variation $\dfrac{g(-1)-g(-4)}{-1-(-4)}$ : il pourrait être positif, nul ou négatif selon les valeurs exactes prises par $g$.
b) $0$ appartient à l'intervalle $[-2\,;\,3]$ (où $g$ est décroissante) et $4$ appartient à l'intervalle $[3\,;\,5]$ (où $g$ est croissante). Ces deux valeurs ne sont pas dans le même intervalle de monotonie. Sans calculer les images, on ne peut pas déterminer le signe du taux de variation entre $x=0$ et $x=4$ : il pourrait être positif, nul ou négatif selon les valeurs de $g(0)$ et $g(4)$.
c) Non, on ne peut pas dire que $g$ est croissante sur $[-5\,;\,5]$. Le tableau de variations montre que $g$ est décroissante sur $[-2\,;\,3]$ (la flèche descend). Pour qu'une fonction soit croissante sur un intervalle, il faut qu'elle le soit partout sur cet intervalle : ce n'est pas le cas ici.
3. Soit $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2;2]$. a) Calculer $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;2]$. c) Calculer le taux de variation entre $x=-2$ et $x=0$, puis entre $x=0$ et $x=2$. Interpréter en lien avec le tableau. d) (Pour les curieux) Le taux de variation entre $x=1$ et $x=1+h$ tend-il vers une valeur positive ou négative quand $h$ tend vers $0$ ?
b) De $-2$ à $-1$ : $-2 \to 2$ (augmente) ; de $-1$ à $1$ : $2 \to 0 \to -2$ (diminue) ; de $1$ à $2$ : $-2 \to 2$ (augmente). Tableau :
$x$
$-2$
$-1$
$1$
$2$
Variations
$-2$
$ earrow$
$2$
$\searrow$
$-2$
$ earrow$
$2$
c) Taux entre $-2$ et $0$ : $\frac{0 - (-2)}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Positif, cohérent avec une tendance globale à monter malgré la bosse. Taux entre $0$ et $2$ : $\frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$. Positif aussi, alors que la fonction descend puis monte : le taux moyen ne voit pas les variations locales.
d) $f(1) = -2$. $f(1+h) = (1+h)^3 - 3(1+h) = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 - 3 - 3h = -2 + 3h^2 + h^3$. Taux = $\frac{(-2 + 3h^2 + h^3) - (-2)}{h} = \frac{3h^2 + h^3}{h} = 3h + h^2$. Quand $h \to 0$, ce taux tend vers $0$. La limite est $0$, donc le nombre dérivé en $1$ est $0$ : la tangente est horizontale au point où $f$ change de sens (minimum local).
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