Variations d'une fonction — Extremums

Croissance, décroissance, maximum et minimum : lire et dresser un tableau de variations.

1 L'idée

Étudier les variations d'une fonction $f$, c'est décrire si ses valeurs augmentent ou diminuent lorsque $x$ augmente sur un intervalle donné. On dit que $f$ est croissante si ses valeurs vont dans le même sens que $x$, et décroissante dans le cas contraire. Un extremum est la valeur maximale (maximum) ou minimale (minimum) atteinte par $f$ sur l'intervalle étudié.

Toutes ces informations se résument dans un tableau de variations.

2 Définitions

Croissante sur I

$x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2)$

Décroissante sur I

$x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \gt f(x_2)$

Maximum en a

$\forall\, x \in I,\quad f(x) \le f(a)$

Minimum en a

$\forall\, x \in I,\quad f(x) \ge f(a)$

3 Construire un tableau de variations

Exemple : $f(x) = x^2 - 4$ sur $[-2\,;\,3]$

Valeurs : $f(-2) = 0$, $f(-1) = -3$, $f(0) = -4$, $f(1) = -3$, $f(2) = 0$, $f(3) = 5$.

De $-2$ à $0$ : les valeurs $0 \to -3 \to -4$ diminuent → $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,0]$.

De $0$ à $3$ : les valeurs $-4 \to -3 \to 0 \to 5$ augmentent → $f$ est croissante sur $[0\,;\,3]$.

Minimum : $f(0) = -4$ (valeur la plus basse, atteinte en $x = 0$).

Maximum : $f(3) = 5$ (valeur la plus haute sur $[-2\,;\,3]$, atteinte en $x = 3$).

Méthode — dresser un tableau de variations

Calculer (ou lire graphiquement) les valeurs de $f$ en plusieurs points de l'intervalle.
Repérer les sous-intervalles où les valeurs augmentent (croissance) et ceux où elles diminuent (décroissance).
Tracer les flèches : ↗ pour croissant, ↘ pour décroissant.
Inscrire les valeurs de $f$ aux bornes et à chaque changement de sens (extremum local).
Lire le minimum (valeur placée en bas du tableau) et le maximum (valeur placée en haut).

Erreurs fréquentes

Confondre la valeur du maximum $f(a)$ avec l'antécédent $a$ en lequel il est atteint.
Omettre les bornes des intervalles de monotonie : écrire $[-2\,;\,0]$ (fermé) et non $]-2\,;\,0[$ (ouvert).
Croire qu'une fonction croissante est forcément positive, ou qu'une fonction positive est forcément croissante.
Conclure sur les variations à partir de seulement deux points sans vérifier les valeurs intermédiaires.