Contrôle bientôt, chapitre pas encore ouvert, et le mot « extremum » qui sonne comme un sort de sorcier ? Respire. En vrai, tu sais déjà dire si quelque chose monte ou descend. On te donne les prérequis, l'essentiel, la formule, et un exemple fait en entier. Tu seras paré.
Les prérequis, en 30 secondes
Trois réflexes suffisent pour démarrer.
- Calculer une image : remplacer $x$ par un nombre dans l'expression. Par exemple si $f(x) = x^2 - 4$, alors $f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
- Lire un intervalle : $[-2\,;\,3]$ désigne tous les nombres compris entre $-2$ et $3$, les bornes incluses.
- Lire de gauche à droite : sur un graphique, $x$ augmente quand on avance vers la droite. Étudier les variations, c'est regarder si la courbe monte ou descend dans ce sens de lecture.
L'essentiel + la formule clé
Étudier les variations d'une fonction $f$, c'est décrire, quand $x$ augmente, si $f(x)$ monte ou descend sur un intervalle donné.
$f$ croissante : les valeurs vont dans le même sens que $x$ (ça monte). $f$ décroissante : elles vont dans le sens contraire (ça descend).
Un extremum, c'est la valeur la plus grande (le maximum) ou la plus petite (le minimum) atteinte par $f$ sur l'intervalle. Tout se résume dans un tableau de variations : une flèche qui monte pour la croissance, une flèche qui descend pour la décroissance.
Un exemple, du début à la fin
1. On calcule quelques valeurs : $f(-2) = 0$, $f(-1) = -3$, $f(0) = -4$, $f(1) = -3$, $f(2) = 0$, $f(3) = 5$.
2. De $-2$ à $0$ : les valeurs $0 \to -3 \to -4$ diminuent, donc $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,0]$.
3. De $0$ à $3$ : les valeurs $-4 \to -3 \to 0 \to 5$ augmentent, donc $f$ est croissante sur $[0\,;\,3]$.
4. La valeur la plus basse est $f(0) = -4$ : c'est le minimum, atteint en $x = 0$.
5. La valeur la plus haute est $f(3) = 5$ : c'est le maximum, atteint en $x = 3$.
On décrit toujours les variations sur un intervalle, et le minimum comme le maximum sont des valeurs ($-4$ et $5$), atteintes en un certain $x$ ($0$ et $3$).
Le brouillard se lève : tu as déjà croisé ces flèches quelque part. On reprend tout proprement, avec les vraies définitions et une méthode carrée, pour que tu ne bloques plus jamais devant un tableau de variations.
Croissante, décroissante, monotone : les définitions propres
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $x_1$, $x_2$ deux nombres quelconques de $I$.
- $f$ est (strictement) croissante sur $I$ si elle range les valeurs dans le même ordre que $x$ : dès que $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \lt f(x_2)$.
- $f$ est (strictement) décroissante sur $I$ si elle inverse l'ordre : dès que $x_1 \lt x_2$, alors $f(x_1) \gt f(x_2)$.
- Une fonction croissante sur $I$, ou décroissante sur $I$, est dite monotone sur $I$.
Point capital : les variations se disent sur un intervalle. Une même fonction peut très bien être décroissante puis croissante ; c'est justement ce que le tableau de variations va découper.
Maximum, minimum : les extremums
$f$ admet un maximum en $a$ lorsque aucune valeur ne dépasse $f(a)$ : la valeur du maximum est $f(a)$, et elle est atteinte en $x = a$. De même pour le minimum avec l'inégalité inverse.
Ne confonds pas le lieu où l'extremum est atteint (l'antécédent $a$) et la valeur de l'extremum ($f(a)$). « Le maximum vaut $5$ » et « le maximum est atteint en $x = 3$ » disent deux choses différentes.
Repère utile : un changement de sens croissant puis décroissant produit un maximum ; un changement décroissant puis croissant produit un minimum.
Le tableau de variations : le lire et le dresser
- Calculer (ou lire graphiquement) les valeurs de $f$ en plusieurs points de l'intervalle.
- Repérer les sous-intervalles où les valeurs augmentent (croissance) et ceux où elles diminuent (décroissance).
- Tracer les flèches : une flèche montante pour la croissance, une flèche descendante pour la décroissance.
- Inscrire les valeurs de $f$ aux bornes et à chaque changement de sens (extremum).
- Lire le minimum (valeur placée en bas) et le maximum (valeur placée en haut).
Les valeurs calculées donnent : décroissance sur $[-2\,;\,0]$ (de $0$ jusqu'à $-4$), puis croissance sur $[0\,;\,3]$ (de $-4$ jusqu'à $5$).
Dans le tableau ci-contre : la ligne du haut porte les valeurs de $x$ ($-2$, $0$, $3$) ; la ligne du bas montre une flèche qui descend jusqu'à $-4$ (le minimum, en $x = 0$) puis une flèche qui monte jusqu'à $5$ (le maximum, en $x = 3$).
On met les mains dedans, mais ensemble : je rédige, tu regardes, tu piques la méthode. Trois exemples entièrement écrits, ligne à ligne. Rien à faire seul ici, juste du modèle propre à recopier.
Exemple 1 : dresser le tableau à partir des valeurs
On calcule. On remplace $x$ par plusieurs valeurs : $f(-2) = (-2)^2 - 4 = 0$, $f(-1) = -3$, $f(0) = -4$, $f(1) = -3$, $f(2) = 0$, $f(3) = 5$.
On regarde le sens. De $-2$ à $0$ : $0 \to -3 \to -4$, ça diminue. De $0$ à $3$ : $-4 \to -3 \to 0 \to 5$, ça augmente.
On rédige les variations. $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,3]$. Remarque le point commun $0$ : on écrit les intervalles fermés, ils se touchent au changement de sens.
On conclut sur les extremums. Le minimum vaut $f(0) = -4$ (atteint en $x = 0$) ; le maximum vaut $f(3) = 5$ (atteint en $x = 3$).
La courbe ci-contre confirme tout : elle plonge jusqu'au point $(0\,;\,-4)$, puis remonte jusqu'à $(3\,;\,5)$.
Exemple 2 : lire un tableau et en déduire les extremums
Cette fois on n'a pas d'expression : juste le tableau de variations ci-contre d'une fonction $g$ définie sur $[-3\,;\,4]$. On veut le traduire en phrases.
Les flèches d'abord. La flèche monte de $x = -3$ à $x = 1$, puis descend de $x = 1$ à $x = 4$. Donc $g$ est croissante sur $[-3\,;\,1]$ et décroissante sur $[1\,;\,4]$.
Le maximum. Le changement croissant puis décroissant se fait en $x = 1$ : c'est un maximum. Sa valeur (en haut du tableau) est $g(1) = 2$.
Le minimum. Attention, il n'est pas au milieu : la plus petite valeur du tableau est $-5$, tout à gauche. Le minimum vaut donc $g(-3) = -5$, atteint au bord de l'intervalle.
Bilan rédigé. Sur $[-3\,;\,4]$, $g$ admet un maximum égal à $2$ en $x = 1$ et un minimum égal à $-5$ en $x = -3$.
Un extremum peut être atteint à une borne de l'intervalle, pas seulement là où la flèche change de sens. On compare toujours toutes les valeurs inscrites.
Exemple 3 : les fonctions affines, sans effort
Pour une fonction affine $x \mapsto a\,x + b$, le sens de variation ne dépend que du coefficient directeur $a$ : elle est croissante si $a \gt 0$, décroissante si $a \lt 0$.
$h(x) = -2x + 1$. Ici $a = -2 \lt 0$, donc $h$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. On vérifie : $h(0) = 1$, $h(1) = -1$, $h(2) = -3$ ; quand $x$ monte, $h(x)$ descend. Cohérent.
$k(x) = 3x - 4$. Ici $a = 3 \gt 0$, donc $k$ est croissante sur $\mathbb{R}$. On vérifie : $k(0) = -4$, $k(1) = -1$, $k(2) = 2$ ; quand $x$ monte, $k(x)$ monte aussi. Cohérent.
Une fonction affine ne change jamais de sens : pas d'extremum au milieu, une seule flèche sur tout $\mathbb{R}$.
Le niveau attendu au contrôle, sans mauvaise surprise. On règle les subtilités qui coûtent des points, on résout deux problèmes types comme le correcteur veut les voir, et on désamorce les pièges classiques un par un.
Les subtilités qui rapportent (ou coûtent) des points
- Strict ou large. « Strictement croissante » utilise $\lt$ ; « croissante au sens large » autorise l'égalité ($\le$). Au lycée on travaille surtout la version stricte, mais lis bien l'énoncé.
- Local ou global. Un extremum global est le plus grand (ou plus petit) sur tout l'intervalle. Un extremum local ne l'est que dans un voisinage : un maximum local peut être plus bas qu'une autre valeur atteinte ailleurs.
- Bornes ouvertes ou fermées. Sur $[-2\,;\,0]$ (fermé) les bornes comptent ; sur $]-2\,;\,0[$ (ouvert) elles sont exclues. Un extremum situé sur une borne exclue n'est pas réellement atteint.
La courbe ci-contre montre bien la différence local / global : le maximum local (la première bosse) est plus bas que le maximum global (au bord droit), et le minimum local (le creux) est plus haut que le minimum global (au bord gauche).
Problème type 1 : étude complète et rédaction attendue
Étape 1 — variations. « La courbe descend de $x = -2$ à $x = 0$ puis monte de $x = 0$ à $x = 3$. Donc $f$ est décroissante sur $[-2\,;\,0]$ et croissante sur $[0\,;\,3]$. »
Étape 2 — le minimum. « $f$ change de sens en $x = 0$ en passant de décroissante à croissante : $f$ admet un minimum en $0$, de valeur $f(0) = -4$. »
Étape 3 — le maximum. « La plus grande valeur atteinte sur $[-2\,;\,3]$ est $f(3) = 5$ : $f$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x = 3$ (sur le bord). »
Étape 4 — tableau. On termine par le tableau de variations : ligne $x$ avec $-2$, $0$, $3$ ; flèche descendante jusqu'à $-4$ ; flèche montante jusqu'à $5$.
- Des intervalles précis et fermés pour chaque phase de monotonie.
- La valeur de l'extremum et l'abscisse où il est atteint, distinguées clairement.
- La formulation juste : « $f$ admet un maximum / minimum », pas seulement « il y a un point ».
Problème type 2 : démontrer le sens de variation
Quand l'énoncé demande de prouver (et pas seulement lire), on compare $f(x_1)$ et $f(x_2)$ en étudiant le signe de leur différence. C'est la méthode rigoureuse.
On pose le cadre. Soient $x_1$ et $x_2$ dans $[0\,;\,+\infty[$ avec $x_1 \lt x_2$ (donc $x_1 \ge 0$ et $x_2 \gt 0$).
On calcule la différence. $f(x_2) - f(x_1) = x_2^{\,2} - x_1^{\,2} = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.
On étudie le signe. Comme $x_1 \lt x_2$, on a $x_2 - x_1 \gt 0$. Comme $x_1 \ge 0$ et $x_2 \gt 0$, on a $x_2 + x_1 \gt 0$. Un produit de deux facteurs positifs est positif : $f(x_2) - f(x_1) \gt 0$.
On conclut. Donc $f(x_1) \lt f(x_2)$ : dès que $x_1 \lt x_2$, $f(x_1) \lt f(x_2)$. La fonction carré est bien croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
Sur $]-\infty\,;\,0]$, le même calcul donne $x_2 + x_1 \lt 0$ : le produit devient négatif, donc $f$ y est décroissante.
- Confondre la valeur du maximum $f(a)$ avec l'antécédent $a$ où il est atteint.
- Écrire les intervalles de monotonie ouverts $]-2\,;\,0[$ au lieu de fermés $[-2\,;\,0]$.
- Croire qu'une fonction croissante est forcément positive, ou qu'une fonction positive est forcément croissante : aucun rapport.
- Conclure sur les variations à partir de seulement deux points, sans vérifier les valeurs intermédiaires (ou sans démonstration).
Tu maîtrises le tableau de variations ? Voyons pourquoi cette notion est une des plus rentables du lycée : elle irrigue les fonctions de référence, elle prépare l'outil-roi de Première (la dérivée), et elle sert dès qu'on veut optimiser quelque chose.
Relier aux fonctions de référence
Les variations que tu viens d'apprendre décrivent aussi les fonctions de référence du programme de Seconde. Les connaître par cœur fait gagner un temps fou.
- Fonction carré $x \mapsto x^2$ : décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, minimum $0$ en $x = 0$ (c'est exactement notre exemple $x^2 - 4$, simplement descendu de $4$).
- Fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ : décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ (jamais sur $\mathbb{R}$ entier, à cause de la valeur interdite $0$).
- Fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ : croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
Chacune se démontre avec la méthode du signe de $f(x_2) - f(x_1)$ vue au palier précédent : la théorie est identique, seul le calcul change.
Du taux de variation à la dérivée (aperçu de la Première)
Comparer $f(x_1)$ et $f(x_2)$ revient à regarder le signe du taux de variation entre les deux points :
Si ce taux est toujours positif sur l'intervalle, $f$ y est croissante ; s'il est toujours négatif, $f$ y est décroissante. Pour une fonction affine $x \mapsto a\,x + b$, ce taux vaut exactement $a$ : voilà pourquoi le signe de $a$ décide de tout. Ce taux mesure une pente moyenne entre deux points de la courbe.
En Première, on fera « rétrécir » ce taux en rapprochant $x_2$ de $x_1$ : on obtient la dérivée $f'$, la pente de la tangente à la courbe en un point.
- Le signe de $f'$ donnera directement les variations : $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle entraîne $f$ croissante ; $f'(x) \lt 0$ entraîne $f$ décroissante.
- Si un extremum est atteint en un point $a$ intérieur à l'intervalle (pas à une borne) et que $f$ est dérivable en $a$, alors la tangente y est horizontale : $f'(a) = 0$. Le tableau de variations deviendra quasi automatique.
- Attention : ce résultat ne vaut pas pour un extremum atteint à une borne de l'intervalle. Sur notre exemple $f(x) = x^2 - 4$ sur $[-2\,;\,3]$, le maximum est atteint en $x = 3$, qui est une borne : la dérivée y vaut $f'(3) = 2 \times 3 = 6 \neq 0$, et la courbe monte encore franchement — la tangente n'y est pas horizontale.
Sur le schéma : au minimum de la courbe, atteint à l'intérieur de l'intervalle, la tangente est parfaitement horizontale — c'est le signal $f'(a) = 0$ que tu apprendras à exploiter.
À quoi ça sert vraiment
Étudier les variations, ce n'est pas qu'un exercice scolaire.
- Optimiser. Chercher l'aire maximale d'un enclos, le coût minimal d'une production, la meilleure trajectoire : dans tous ces cas, on cherche un extremum d'une fonction.
- Résoudre des inéquations. Connaître le sens de variation de $f$ permet de comparer $f(x_1)$ et $f(x_2)$ sans tout recalculer, et de savoir combien de solutions une équation $f(x) = k$ peut avoir.
Le tableau de variations est, au fond, un résumé visuel du comportement complet d'une fonction : une fois qu'on sait le lire et le construire, on tient un outil qui te suivra jusqu'au bac et au-delà.