Colinéarité et déterminant

Un seul calcul — le déterminant — suffit à décider si deux vecteurs sont colinéaires ou si trois points sont alignés.

1 L'idée

Dans un repère, deux vecteurs $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ sont colinéaires s'ils sont parallèles (l'un est multiple de l'autre). Le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\det(\vec{u},\vec{v})$, est le réel $ad - bc$. Il est nul si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$.

2 Formules

Déterminant

$\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc \quad \text{pour } \vec{u}(a\,;\,b) \text{ et } \vec{v}(c\,;\,d)$

Colinéarité

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff ad - bc = 0$

Alignement

$A,\ B,\ C \text{ alignés} \iff \det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$

3 Exemples

Exemple A — Vecteurs colinéaires

$\vec{u}(4\,;\,6)$ et $\vec{v}(2\,;\,3)$ : $\det(\vec{u},\vec{v}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Exemple B — Vecteurs non colinéaires

$\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,5)$ : $\det(\vec{u},\vec{v}) = 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 - 6 = -1 \neq 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Exemple C — Points alignés

Soient $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(5\,;\,8)$.

$\vec{AB}(2\,;\,3)$ et $\vec{AC}(4\,;\,6)$.

$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$ : les trois points sont alignés.

Méthode — Vérifier si trois points sont alignés

Calculer $\vec{AB}$ : $x_{\vec{AB}} = x_B - x_A$, $y_{\vec{AB}} = y_B - y_A$. Faire de même pour $\vec{AC}$.
Calculer $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = x_{\vec{AB}} \times y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}} \times x_{\vec{AC}}$.
Conclure : résultat $= 0 \Rightarrow$ alignés ; résultat $\neq 0 \Rightarrow$ non alignés.

Erreurs fréquentes

Inverser les termes : $ad - bc \neq bc - ad$ (le signe change). Adopter un ordre fixe et s'y tenir.
Appliquer la formule directement aux coordonnées des points sans calculer $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ au préalable : on travaille toujours avec des vecteurs.
Confondre les coordonnées des deux vecteurs : bien identifier $a, b$ (1er vecteur) et $c, d$ (2e vecteur) avant de calculer.