Contrôle bientôt, et cette histoire de déterminant tu ne l'as jamais vue en vrai ? Respire. Derrière le grand mot se cache une seule petite soustraction bien rangée. En cinq minutes tu sauras t'en servir. On va droit à l'essentiel.
Les 3 prérequis à avoir en tête
Avant la formule, trois choses toutes simples que tu connais déjà.
1. Un vecteur a deux coordonnées. On écrit $\vec{u}(a\,;\,b)$ : $a$ dit de combien on avance horizontalement, $b$ de combien on monte verticalement.
2. Le vecteur qui va d'un point à un autre. Pour $\vec{AB}$, on fait « arrivée moins départ » : $\vec{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$.
3. « Colinéaires » = parallèles. Deux vecteurs sont colinéaires quand ils ont la même direction (l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre, éventuellement dans l'autre sens).
L'essentiel + la formule qui sauve
Le déterminant, c'est UN seul nombre qui décide si deux vecteurs sont colinéaires. Pour $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ :
Traduction : tu multiplies en croix, puis tu soustrais. Si tu tombes sur 0, ils sont colinéaires. Si c'est autre chose que 0, ils ne le sont pas.
Sont-ils colinéaires : $\vec{u}(4\,;\,6)$ et $\vec{v}(2\,;\,3)$ ?
Ici $a = 4$, $b = 6$, $c = 2$, $d = 3$.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 4 \times 3 - 6 \times 2$
$= 12 - 12 = 0$.
Le déterminant vaut $0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Reprends l'exemple : on passe de $\vec{v}(2\,;\,3)$ à $\vec{u}(4\,;\,6)$ en multipliant les deux coordonnées par le même nombre $2$. C'est la proportionnalité des coordonnées, la seconde façon de dire « colinéaires » : deux vecteurs non nuls sont colinéaires exactement quand on passe des coordonnées de l'un à celles de l'autre en multipliant par un seul et même nombre. Déterminant nul et coordonnées proportionnelles, c'est le même fait vu de deux côtés.
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés exactement quand $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc quand $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$. Même formule, tu calcules juste d'abord les deux vecteurs.
Ça commence à te revenir : les vecteurs, leurs coordonnées, ce fameux « produit en croix »... On remet tout au propre, dans l'ordre, avec les vraies définitions. Rien de neuf de méchant, juste bien rangé pour que ça tienne.
Les définitions au propre
Colinéarité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{u} \neq \vec{0}$) sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$. Géométriquement : ils ont la même direction, ils sont parallèles.
Déterminant. Pour $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$, le déterminant est le réel $\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc$.
Le critère central. Pour deux vecteurs non nuls, ce nombre est nul si et seulement si ils sont colinéaires. Un seul calcul répond à la question. Le cas du vecteur nul est réglé plus bas : il est colinéaire à tous les vecteurs, et son déterminant avec n'importe quel vecteur vaut $0$.
Alignement de trois points. $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 0$. C'est le même outil, appliqué à deux vecteurs qu'on fabrique à partir des points.
Deuxième caractérisation : la proportionnalité des coordonnées
Produit d'un vecteur par un réel. Si $\vec{u}(a\,;\,b)$ et si $k$ est un réel, le vecteur $k\,\vec{u}$ a pour coordonnées $(ka\,;\,kb)$ : on multiplie les deux coordonnées par le même $k$.
L'énoncé du programme. Soient $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$ tous les deux non nuls. Il y a deux caractérisations de leur colinéarité, et elles sont équivalentes.
La seconde s'appelle la proportionnalité des coordonnées : le tableau des coordonnées est un tableau de proportionnalité, de coefficient $k$.
| abscisse | ordonnée | |
| $\vec{u}$ | $a$ | $b$ |
| $\vec{v}$ | $c$ | $d$ |
Et le test d'un tableau de proportionnalité, tu le connais depuis le collège : c'est le produit en croix. Le tableau est proportionnel si et seulement si $a \times d = b \times c$, c'est-à-dire $ad - bc = 0$ — toujours sous l'hypothèse que les deux vecteurs sont non nuls, sans laquelle l'équivalence tombe. Les deux caractérisations sont donc le même calcul, avec deux vocabulaires — et c'est démontré au dernier palier.
- « Non nuls » n'est pas décoratif. Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur, et $\det(\vec{0},\vec{v}) = 0$ quel que soit $\vec{v}$. Mais aucun réel $k$ ne vérifie $\vec{v} = k\,\vec{0}$ dès que $\vec{v} \neq \vec{0}$ : le coefficient de proportionnalité, lui, n'existe plus. D'où l'hypothèse « deux vecteurs non nuls » dans l'énoncé.
- Ne divise pas par une coordonnée nulle. On lit souvent la proportionnalité sous la forme $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$ : cette écriture n'a de sens que si $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Avec $\vec{u}(0\,;\,3)$ et $\vec{v}(0\,;\,-5)$, les quotients sont interdits, alors que les deux vecteurs sont bel et bien colinéaires : $\vec{v} = -\dfrac{5}{3}\,\vec{u}$. Le produit en croix, lui, se calcule toujours : $0 \times (-5) - 3 \times 0 = 0$.
Retiens la hiérarchie : la forme sûre est le produit en croix $ad = bc$ ; la forme en quotients n'est qu'un raccourci, réservé au cas où l'on ne divise par rien de nul.
La méthode pas à pas
Deux situations reviennent tout le temps. On les traite séparément mais avec le même déterminant.
- Repère bien $a$, $b$ (premier vecteur) et $c$, $d$ (second vecteur).
- Calcule $\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc$.
- Conclus : résultat $= 0 \Rightarrow$ colinéaires ; résultat $\neq 0 \Rightarrow$ non colinéaires.
- Calcule $\vec{AB}$ : $x_{\vec{AB}} = x_B - x_A$ et $y_{\vec{AB}} = y_B - y_A$. Fais pareil pour $\vec{AC}$.
- Calcule $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = x_{\vec{AB}} \times y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}} \times x_{\vec{AC}}$.
- Conclus : $= 0 \Rightarrow$ alignés ; $\neq 0 \Rightarrow$ non alignés.
Le réflexe à garder : dès qu'on parle de points, on commence toujours par fabriquer des vecteurs. Le déterminant, lui, ne mange que des vecteurs.
Deux exemples traités
Soit $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,5)$.
$\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 1 \times 5 - 2 \times 3$
$= 5 - 6 = -1$.
$-1 \neq 0$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
Soient $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(5\,;\,8)$.
$\vec{AB}(3-1\,;\,5-2) = \vec{AB}(2\,;\,3)$.
$\vec{AC}(5-1\,;\,8-2) = \vec{AC}(4\,;\,6)$.
$\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est nul, donc les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.
On enfile le survêt et on refait la méthode ensemble, à voix haute. Je pose chaque ligne, tu suis le geste. Trois exemples entièrement rédigés, commentés au fur et à mesure — y compris celui où une coordonnée nulle vient tout compliquer.
Ex 1 — Deux vecteurs, colinéaires ou pas ?
On regarde $\vec{u}(-3\,;\,2)$ et $\vec{v}(6\,;\,-4)$. Attention, il y a des nombres négatifs : on va être soigneux.
On identifie d'abord : $a = -3$, $b = 2$ pour le premier ; $c = 6$, $d = -4$ pour le second.
On écrit la formule sans rien remplacer encore : $\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc$.
On remplace, en gardant les parenthèses autour des négatifs : $= (-3) \times (-4) - (2) \times (6)$.
On calcule chaque produit. « Moins par moins font plus » : $(-3) \times (-4) = 12$. Et $2 \times 6 = 12$.
Donc $\det(\vec{u},\vec{v}) = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant vaut $0$ : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Deuxième rédaction possible, par la proportionnalité des coordonnées : on passe de $\vec{u}(-3\,;\,2)$ à $\vec{v}(6\,;\,-4)$ en multipliant les deux coordonnées par $-2$, car $-2 \times (-3) = 6$ et $-2 \times 2 = -4$. Donc $\vec{v} = -2\,\vec{u}$ : même droite, sens opposé — colinéaires quand même. Les deux caractérisations donnent la même conclusion, tu choisis celle que tu préfères.
Ex 2 — Trois points sont-ils alignés ?
On teste $A(-1\,;\,2)$, $B(1\,;\,3)$ et $C(5\,;\,5)$. On parle de points, donc premier réflexe : fabriquer des vecteurs.
Vecteur $\vec{AB}$, « arrivée moins départ » : $\vec{AB}(1-(-1)\,;\,3-2) = \vec{AB}(2\,;\,1)$.
Vecteur $\vec{AC}$, pareil depuis $A$ : $\vec{AC}(5-(-1)\,;\,5-2) = \vec{AC}(6\,;\,3)$.
On applique le déterminant à ces deux vecteurs : $\det(\vec{AB},\vec{AC}) = 2 \times 3 - 1 \times 6$.
$= 6 - 6 = 0$.
Le déterminant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.
Contrôle par la proportionnalité des coordonnées : $\vec{AC}(6\,;\,3)$ est bien $3\,\vec{AB}$, puisque $3 \times 2 = 6$ et $3 \times 1 = 3$. Le coefficient est le même sur les deux coordonnées.
Ex 3 — Quand une coordonnée est nulle
Le cas qui piège la moitié de la classe : $\vec{u}(0\,;\,3)$ et $\vec{v}(0\,;\,-5)$. Impossible d'écrire des quotients, il faut passer par le produit en croix.
On identifie : $a = 0$, $b = 3$ pour $\vec{u}$ ; $c = 0$, $d = -5$ pour $\vec{v}$. Les deux vecteurs sont non nuls, l'énoncé s'applique.
Tentation à écarter : écrire la proportionnalité en quotients, $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$, c'est-à-dire $\dfrac{0}{0} = \dfrac{-5}{3}$. Le quotient $\dfrac{0}{0}$ n'existe pas : cette écriture est interdite, on ne divise jamais par $0$.
On calcule donc le déterminant, qui ne demande aucune division : $\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0 \times (-5) - 3 \times 0$.
$= 0 - 0 = 0$.
Le déterminant est nul et les deux vecteurs sont non nuls : ils sont colinéaires. La proportionnalité des coordonnées se lit d'ailleurs très bien sans quotient, avec $k = -\dfrac{5}{3}$ : $-\dfrac{5}{3} \times 0 = 0$ et $-\dfrac{5}{3} \times 3 = -5$, donc $\vec{v} = -\dfrac{5}{3}\,\vec{u}$.
Contre-exemple à garder en tête : avec $\vec{u}(0\,;\,3)$ et $\vec{w}(2\,;\,5)$, on obtient $\det(\vec{u},\vec{w}) = 0 \times 5 - 3 \times 2 = -6$. Ce n'est pas $0$ : ces deux-là ne sont pas colinéaires. Une coordonnée nulle n'entraîne donc rien à elle seule.
Niveau contrôle maintenant : ce n'est pas plus dur, c'est juste qu'il faut bien rédiger et éviter les deux-trois pièges que tout le monde connaît. On blinde la copie pour rafler tous les points.
Ce que le correcteur attend + les pièges
Le bon calcul ne suffit pas : le correcteur veut une rédaction complète. La trame gagnante :
- Annonce les vecteurs avec leurs coordonnées (les calculer si on part de points).
- Écris la formule $\det = ad - bc$, puis remplace les valeurs.
- Donne le résultat, puis conclus avec le lien logique : « le déterminant est nul donc ... colinéaires / alignés » (ou « non nul donc non »).
- Tu peux aussi conclure par la proportionnalité des coordonnées : « $\vec{v} = k\,\vec{u}$ avec $k = ...$, donc colinéaires ». Les deux caractérisations sont au programme et valent les mêmes points, à condition d'écrire le calcul qui va avec.
- Croiser les mauvaises coordonnées. Le déterminant croise $a$ (abscisse de $\vec{u}$) avec $d$ (ordonnée de $\vec{v}$), et $b$ avec $c$ : c'est $ad - bc$, jamais $ac - bd$. Si tu échanges les deux vecteurs tu obtiens l'opposé, $bc - ad$ : la conclusion « nul ou pas » ne bouge pas, mais la valeur change de signe. Fixe un ordre et garde-le.
- Points au lieu de vecteurs. On n'applique jamais la formule aux coordonnées des points : on calcule d'abord $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
- Coordonnées mélangées. Identifie clairement $a$, $b$ (1er vecteur) et $c$, $d$ (2e vecteur) avant de te lancer.
- Diviser par une coordonnée nulle. La proportionnalité des coordonnées s'écrit sans risque avec le produit en croix $ad = bc$. Les quotients $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$ ne sont légitimes que si $a \neq 0$ et $b \neq 0$ — sinon la division n'existe pas.
- Oublier de conclure. Un déterminant tout seul ne vaut rien : la phrase « donc ... colinéaires / alignés » fait partie de la réponse.
Problème type 1 — Deux droites parallèles
Soient $A(1\,;\,-1)$, $B(4\,;\,5)$, $C(-1\,;\,2)$ et $D(1\,;\,6)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement quand $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires. On retombe sur notre déterminant.
$\vec{AB}(4-1\,;\,5-(-1)) = \vec{AB}(3\,;\,6)$.
$\vec{CD}(1-(-1)\,;\,6-2) = \vec{CD}(2\,;\,4)$.
$\det(\vec{AB},\vec{CD}) = 3 \times 4 - 6 \times 2$.
$= 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Problème type 2 — Un paramètre à déterminer
Soient $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,4)$. Pour quelle valeur de $m$ le point $M(m\,;\,7)$ est-il aligné avec $A$ et $B$ ?
On veut $A$, $B$, $M$ alignés, c'est-à-dire $\det(\vec{AB},\vec{AM}) = 0$.
$\vec{AB}(3-1\,;\,4-1) = \vec{AB}(2\,;\,3)$.
$\vec{AM}(m-1\,;\,7-1) = \vec{AM}(m-1\,;\,6)$.
$\det(\vec{AB},\vec{AM}) = 2 \times 6 - 3 \times (m-1)$.
$= 12 - 3(m-1) = 12 - 3m + 3 = 15 - 3m$.
On pose la condition d'alignement : $15 - 3m = 0$, d'où $3m = 15$ et $m = 5$.
Vérification par la proportionnalité des coordonnées : pour $m = 5$, $\vec{AM}(4\,;\,6)$ et $\vec{AB}(2\,;\,3)$, avec $2 \times 2 = 4$ et $2 \times 3 = 6$ : donc $\vec{AM} = 2\,\vec{AB}$, bien colinéaires. Conclusion : $m = 5$.
Garde bien les parenthèses autour de $(m-1)$ avant de distribuer le $-3$ : $-3 \times (m-1) = -3m + 3$, et non $-3m - 3$. C'est là que se perdent la moitié des points.
Tu maîtrises la mécanique ? Alors regardons sous le capot : pourquoi la formule marche vraiment, ce que le déterminant cache en douce (une aire !), et où tu vas le recroiser plus tard. Bonus culture — au-delà du contrôle.
Pourquoi ça marche : les deux caractérisations, démontrées
Le programme demande de démontrer les caractérisations de la colinéarité de deux vecteurs non nuls : la nullité du déterminant, et la proportionnalité des coordonnées. Prenons donc $\vec{u}(a\,;\,b)$ et $\vec{v}(c\,;\,d)$, tous les deux différents du vecteur nul, et montrons que ces trois énoncés disent la même chose.
- (1) $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires ;
- (2) il existe un réel $k$ tel que $c = ka$ et $d = kb$ — c'est la proportionnalité des coordonnées ;
- (3) $ad - bc = 0$ — c'est la nullité du déterminant.
Dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, c'est dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$. Or $k\,\vec{u}$ a pour coordonnées $(ka\,;\,kb)$, et deux vecteurs sont égaux exactement quand leurs coordonnées sont égales une à une. L'égalité $\vec{v} = k\,\vec{u}$ équivaut donc au couple d'égalités $c = ka$ et $d = kb$ : c'est bien (2).
Comme $\vec{v} \neq \vec{0}$, ce $k$ ne peut pas être nul, et on peut aussi retourner la relation : $\vec{u} = \dfrac{1}{k}\,\vec{v}$. La colinéarité est donc bien une relation symétrique entre les deux vecteurs.
Si $c = ka$ et $d = kb$, alors $ad - bc = a(kb) - b(ka) = kab - kab = 0$.
On suppose $ad - bc = 0$, autrement dit $ad = bc$. Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$, l'une au moins de ses deux coordonnées est non nulle. Il y a deux cas, et il faut les traiter tous les deux — c'est exactement là que la plupart des rédactions sautent une étape.
Cas $a \neq 0$. Posons $k = \dfrac{c}{a}$, ce qui donne déjà $c = ka$. De $ad = bc$ on tire $ad = b(ka) = a(kb)$, puis, en divisant par $a \neq 0$, $d = kb$. Les deux égalités voulues sont écrites.
Cas $a = 0$. Alors $b \neq 0$, puisque $\vec{u}$ n'est pas le vecteur nul. L'hypothèse $ad - bc = 0$ devient $0 \times d - bc = -bc = 0$, donc $c = 0$. Posons cette fois $k = \dfrac{d}{b}$ : on a $ka = k \times 0 = 0 = c$ et $kb = d$. Les deux égalités sont encore écrites.
Dans les deux cas on obtient (2), donc (1) : les vecteurs sont colinéaires.
Bilan, pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls : ils sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles $\iff$ $ad - bc = 0$. Tu peux conclure avec l'une ou l'autre des deux caractérisations, elles viennent d'être démontrées équivalentes. La formule n'est plus une recette magique, tu sais d'où elle vient.
Par convention, $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur ; et le déterminant $\det(\vec{0},\vec{v}) = 0 \times d - 0 \times c = 0$ est automatiquement nul. Le critère du déterminant reste donc juste. Ce qui tombe, c'est le coefficient $k$ : si $\vec{v} \neq \vec{0}$, aucun réel ne vérifie $\vec{v} = k\,\vec{0}$, puisque $k\,\vec{0} = \vec{0}$. La proportionnalité des coordonnées perd son coefficient, et c'est précisément pour cela que l'énoncé démontré ci-dessus se place sous l'hypothèse « deux vecteurs non nuls ».
Le sens caché du déterminant : une aire
Le déterminant n'est pas qu'un test « oui / non ». Sa valeur absolue mesure quelque chose de concret : dans un repère orthonormé, c'est l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\text{aire du parallélogramme} = \left| \det(\vec{u},\vec{v}) \right|$.
Du coup, la colinéarité se relit d'un coup d'œil : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, le « parallélogramme » est complètement aplati, son aire est nulle... et le déterminant aussi. Tout se tient.
Avec $\vec{u}(3\,;\,1)$ et $\vec{v}(1\,;\,2)$ : $\det(\vec{u},\vec{v}) = 3 \times 2 - 1 \times 1 = 6 - 1 = 5$.
L'aire du parallélogramme vaut donc $|5| = 5$ unités d'aire. Non nul : les vecteurs ne sont pas colinéaires, ils délimitent bien une surface.
Rendez-vous l'an prochain
Ce petit $ad - bc$ va te suivre longtemps. Quelques rendez-vous à venir :
- Vecteurs directeurs et équations de droites. Une droite a une « direction » portée par un vecteur ; deux droites sont parallèles quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires — exactement l'outil d'aujourd'hui.
- Combinaison de deux vecteurs. Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan : tout vecteur s'écrit alors, et d'une seule manière, comme combinaison de ces deux-là. Le déterminant est le test qui dit si un couple de vecteurs peut jouer ce rôle.
- Produit scalaire (1re). Une autre opération sur deux vecteurs, qui teste cette fois la perpendicularité — le complément naturel du déterminant qui, lui, teste le parallélisme.
- Déterminants plus grands (après le bac). On les étend à trois vecteurs de l'espace — le déterminant mesure alors un volume au lieu d'une aire — puis aux matrices, en algèbre linéaire.
Bref, tu ne viens pas d'apprendre une astuce isolée : tu viens de poser une brique qui revient dans presque toute la géométrie qui suit.