Équation de droite — Exercices

De la lecture d'équation au problème concret. Corrigé en fin de fiche.

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1Lire une équation/ 4 pts

Pour chaque droite, identifie le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$. Puis indique quelles droites sont parallèles et justifie.

$(d_1) : y = 2x + 1$
$(d_2) : y = 2x - 3$
$(d_3) : y = -x + 4$
$(d_4) : y = \dfrac{3}{2}x$

2Équation à partir du coefficient directeur et d'un point/ 4 pts

Détermine l'équation réduite de chaque droite.

Coefficient directeur $m = 3$, passe par $A(1\,;\,5)$.
Coefficient directeur $m = -2$, passe par $B(3\,;\,1)$.

3Équation à partir de deux points/ 6 pts

Détermine l'équation réduite de la droite passant par les deux points donnés. Vérifie ton résultat avec le deuxième point.

$A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,9)$
$C(-1\,;\,5)$ et $D(2\,;\,-1)$

4Appartenance et intersection/ 6 pts

On considère les droites $(d_1) : y = 2x + 1$ et $(d_2) : y = -x + 4$.

Le point $E(3\,;\,7)$ appartient-il à $(d_1)$ ? Justifie.
Le point $F(2\,;\,4)$ appartient-il à $(d_1)$ ? Justifie.
Calcule les coordonnées du point d'intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$.

5Problème concret — location de vélos/ 5 pts

Une société de location de vélos facture 5 € de frais fixes plus 2 € par heure de location. On note $C(x)$ le coût total (en euros) pour $x$ heures de location.

Exprime $C(x)$ sous la forme $mx + p$.
Que représentent concrètement $m$ et $p$ dans ce contexte ?
Pour quelle durée le coût est-il exactement 15 € ?
Un client dispose de 21 €. Combien d'heures peut-il louer au maximum ?

Corrigé détaillé

1Lire une équation

d1 $y = 2x + 1 \Rightarrow$ $m = 2,\; p = 1$

d2 $y = 2x - 3 \Rightarrow$ $m = 2,\; p = -3$

d3 $y = -x + 4 \Rightarrow$ $m = -1,\; p = 4$

d4 $y = \tfrac{3}{2}x + 0 \Rightarrow$ $m = \tfrac{3}{2},\; p = 0$

Parallèles $(d_1) \text{ et } (d_2) \text{ ont le même coeff. directeur } m = 2 \Rightarrow$ $(d_1) \parallel (d_2)$

2Équation à partir du coefficient directeur et d'un point

a) $y = 3x + p.\quad A(1\,;\,5) : 5 = 3 \times 1 + p \Rightarrow p = 2 \Rightarrow$ $y = 3x + 2$

b) $y = -2x + p.\quad B(3\,;\,1) : 1 = -2 \times 3 + p \Rightarrow 1 = -6 + p \Rightarrow p = 7 \Rightarrow$ $y = -2x + 7$

3Équation à partir de deux points

a) m $m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} =$ $2$

a) p $y = 2x + p.\quad A(1\,;\,3) : 3 = 2 \times 1 + p \Rightarrow p = 1 \Rightarrow$ $y = 2x + 1$

a) vérif. $B(4\,;\,9) : 2 \times 4 + 1 =$ $9 \checkmark$

b) m $m = \dfrac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \dfrac{-6}{3} =$ $-2$

b) p $y = -2x + p.\quad C(-1\,;\,5) : 5 = -2 \times (-1) + p \Rightarrow 5 = 2 + p \Rightarrow p = 3 \Rightarrow$ $y = -2x + 3$

b) vérif. $D(2\,;\,-1) : -2 \times 2 + 3 =$ $-1 \checkmark$

4Appartenance et intersection

a) $x = 3 : 2 \times 3 + 1 = 7 = y_E \Rightarrow$ $E \in (d_1) \checkmark$

b) $x = 2 : 2 \times 2 + 1 = 5 \neq 4 = y_F \Rightarrow$ $F \notin (d_1)$

c) x $2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow$ $x = 1$

c) y $y = 2 \times 1 + 1 =$ $3 \quad (\text{vérif. : } -1 + 4 = 3 \checkmark)$

c) résultat $\text{Point d'intersection :}$ $(1\,;\,3)$

5Problème concret — location de vélos

a) $C(x) =$ $2x + 5$

b) m $m = 2 :$ $\text{coût par heure supplementaire (2 euros/h)}$

b) p $p = 5 :$ $\text{frais fixes (5 euros, independants de la duree)}$

c) $2x + 5 = 15 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x =$ $5 \text{ heures}$

d) $2x + 5 \le 21 \Rightarrow 2x \le 16 \Rightarrow x \le 8 \Rightarrow$ $8 \text{ heures au maximum}$