Salut ! Alors comme ça, tu n'as jamais entendu parler d'équation de droite et pourtant... contrôle imminent ? Pas de panique. On va s'appuyer sur ce que tu sais déjà des fonctions linéaires et affines (souvenir de 3ème) pour tout construire en un temps record. Accroche-toi, on y va ensemble.
Rappel express : fonctions linéaires et affines
En 3ème, tu as vu qu'une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$.
Sa représentation graphique est une droite.
Le nombre $a$ s'appelle le coefficient directeur : il contrôle l'inclinaison de la droite (si $a > 0$, la droite monte ; si $a < 0$, elle descend ; si $a = 0$, elle est horizontale).
Le nombre $b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $f(0)$, donc le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Exemple : $f(x) = 2x - 1$ est représentée par une droite qui monte et passe par le point $(0;-1)$.
L'équation de droite $y = mx + p$
Quand on parle de « droite » en géométrie, on utilise les lettres $m$ et $p$ plutôt que $a$ et $b$ : c'est la même idée.
Toute droite non verticale a une équation réduite de la forme $y = mx + p$.
$m$ = coefficient directeur (pente)
$p$ = ordonnée à l'origine (intersection avec l'axe des $y$)
À toi de jouer
1. Soit la droite $(d)$ d'équation $y = 4x - 3$.
Complète :
- $m = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $p = \underline{\hspace{1.1em}}$
- La droite est (croissante / décroissante / horizontale) car $m \underline{\hspace{1.1em}} 0$.
- Elle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$m = 4$, $p = -3$ ; croissante car $m > 0$ ; point $(0;-3)$.
2. Voici l'équation $y = -x + 2$.
Complète de même :
$m = \underline{\hspace{1.1em}}$, $p = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; la droite est (car $m \underline{\hspace{1.1em}} 0$) ; ordonnée à l'origine $(0; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$m = -1$, $p = 2$ ; décroissante car $m < 0$ ; $(0;2)$.
3. Associe chaque équation à la bonne description en écrivant la lettre dans la case :
(a) $y = 3$
(b) $y = 2x$
(c) $y = -0{,}5x + 4$
(d) $x = 5$
(1) Droite horizontale →
(2) Droite passant par l'origine, croissante →
(3) Droite décroissante qui coupe l'axe en $ (0;4) $ →
(4) Droite verticale →
Corrigé
(a)→(1), (b)→(2), (c)→(3), (d)→(4).
Ah oui, ça te revient ? C'est reparti pour structurer tout ça avec une méthode claire. On va apprendre à trouver l'équation d'une droite quand on connaît deux points, ou un point et la pente. Suis le guide.
La méthode pas à pas
Objectif : trouver $y = mx + p$.
1. Calculer le coefficient directeur avec la formule : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (où $A$ et $B$ sont deux points distincts).
2. Écrire l'équation provisoire $y = m x + p$ en remplaçant $m$ par la valeur trouvée.
3. Déterminer $p$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des points. On résout l'équation pour obtenir $p$.
Vérification : on contrôle avec les coordonnées de l'autre point.
À toi de jouer
1. Détermine l'équation réduite de la droite $(\Delta)$ de coefficient directeur $m = -2$ et passant par $A(1 ; 5)$.
On le fait ensemble.
Forme générale avec le coefficient directeur : $y = \underline{\hspace{1.1em}} x + p$.
Remplace $x$ et $y$ par $A$ : $5 = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + p$.
Calcule : $5 = \underline{\hspace{1.1em}} + p$, donc $p = \underline{\hspace{1.1em}}$.
L'équation réduite est $y = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Forme : $y = -2x + p$ ; $5 = -2 \times 1 + p$ ; $5 = -2 + p$ donc $p = 7$ ; équation $y = -2x + 7$.
2. Trouve l'équation de la droite passant par $A(2;3)$ et $B(6;11)$.
1) Calcule $m$ : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2) Écris l'équation provisoire $y = \underline{\hspace{1.1em}} x + p$ et utilise $A$ : $3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 + p$ → $p = \underline{\hspace{1.1em}}$.
3) Vérifie avec $B$ : $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (doit valoir 11).
Équation finale : $y = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$ ; $y = 2x + p$, $3 = 2 \times 2 + p \Rightarrow p = -1$ ; vérif : $2 \times 6 - 1 = 11$ ; $y = 2x - 1$.
On s'échauffe. Cinq exercices quasi identiques pour que le calcul de $m$ et $p$ devienne un réflexe. Remplis les trous sans hésiter.
À toi de jouer
1. Soient $A(0;1)$ et $B(2;5)$.
$m = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Avec $A$ : $1 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + p \Rightarrow p = \underline{\hspace{1.1em}}$
Équation : $y = \underline{\hspace{1.1em}}$ (complète avec $x$ et le terme constant).
Corrigé
$m = \dfrac{5-1}{2-0} = 2$ ; $p = 1$ ; $y = 2x + 1$.
2. Soient $A(1;4)$ et $B(3;10)$.
$m = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Avec $A$ : $4 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 1 + p \Rightarrow p = \underline{\hspace{1.1em}}$
Équation : $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$m = \dfrac{10-4}{3-1} = 3$ ; $p = 1$ ; $y = 3x + 1$.
3. Soient $A(2;0)$ et $B(5;6)$.
$m = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Avec $A$ : $0 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 + p \Rightarrow p = \underline{\hspace{1.1em}}$
Équation : $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$m = \dfrac{6-0}{5-2} = 2$ ; $p = -4$ ; $y = 2x - 4$.
4. Soient $A(-1;3)$ et $B(1;7)$.
$m = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Avec $A$ : $3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times (-1) + p \Rightarrow p = \underline{\hspace{1.1em}}$
Équation : $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$m = \dfrac{7-3}{1-(-1)} = 2$ ; $3 = 2 \times (-1) + p \Rightarrow p = 5$ ; $y = 2x + 5$.
5. Soient $A(0;-2)$ et $B(4;2)$.
$m = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Avec $A$ : $-2 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + p \Rightarrow p = \underline{\hspace{1.1em}}$
Équation : $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$m = \dfrac{2-(-2)}{4-0} = 1$ ; $p = -2$ ; $y = x - 2$.
Tu es prêt pour des exercices de contrôle. On va reprendre tout le spectre : lecture d'équations, parallélisme, détermination d'équation avec deux points, appartenance, intersection, problème concret. Sans filet.
À toi de jouer
1. Pour chaque droite, identifie le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$. Les droites sont-elles parallèles entre elles ? Justifie ta réponse.
$(d_1) : y = 3x + 2$ ; $(d_2) : y = -x + 5$ ; $(d_3) : y = 3x - 4$ ; $(d_4) : y = \frac{1}{2}x$.
Corrigé
$d_1: m=3, p=2$ ; $d_2: m=-1, p=5$ ; $d_3: m=3, p=-4$ ; $d_4: m=\frac{1}{2}, p=0$. Parallèles : $d_1$ et $d_3$ car même coefficient directeur $3$ et ordonnées à l'origine différentes.
2. Détermine l'équation réduite de la droite :
a) de coefficient directeur $m = 4$ et passant par $A(2;7)$ ;
b) de coefficient directeur $m = -3$ et passant par $B(1;-2)$.
Corrigé
a) $y = 4x + p$, $7 = 4 \times 2 + p \Rightarrow p = -1$, donc $y = 4x - 1$ ;
b) $y = -3x + p$, $-2 = -3 \times 1 + p \Rightarrow p = 1$, donc $y = -3x + 1$.
3. Détermine l'équation réduite de la droite passant par :
a) $A(1;4)$ et $B(3;10)$ ;
b) $C(-2;5)$ et $D(2;1)$.
Corrigé
a) $m = \dfrac{10-4}{3-1}=3$, $4 = 3 \times 1 + p \Rightarrow p=1$, $y=3x+1$ ;
b) $m = \dfrac{1-5}{2-(-2)} = -1$, $5 = -1 \times (-2) + p \Rightarrow p=3$, $y=-x+3$.
4. On donne $(d_1): y = 2x - 3$ et $(d_2): y = -x + 3$.
a) Le point $E(2;1)$ appartient-il à $(d_1)$ ? Justifie par un calcul.
b) Le point $F(1;4)$ appartient-il à $(d_2)$ ? Justifie.
c) Détermine les coordonnées du point d'intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$.
Corrigé
a) Pour $x=2$, $y=2 \times 2 -3 =1$ ; oui, $E \in (d_1)$.
b) Pour $x=1$, $y = -1+3 =2$ ; or $y_F=4$, donc $F
otin (d_2)$.
c) On résout $2x-3 = -x+3$ → $3x = 6$ → $x=2$, $y=1$. Point $(2;1)$.
5. Une boutique de location de skis propose un tarif avec 8 € d'assurance forfaitaire plus 3 € par jour de location. On note $P(n)$ le prix total (en euros) pour $n$ jours de location.
a) Exprime $P(n)$ en fonction de $n$.
b) Que représentent concrètement les nombres 3 et 8 dans ce tarif ?
c) Calcule le prix pour 5 jours de location.
d) Avec un budget de 29 €, combien de jours peut-on skier au maximum ?
Corrigé
a) $P(n) = 3n + 8$ ;
b) 3 est le prix par jour de location, 8 est le montant forfaitaire de l'assurance ;
c) $P(5) = 3 \times 5 + 8 = 23$ € ;
d) On résout $3n + 8 \le 29 \Rightarrow 3n \le 21 \Rightarrow n \le 7$. On peut louer au maximum 7 jours.
Tu maîtrises la base. Découvre comment prolonger tout ça : droites parallèles sans calcul, introduction d'un paramètre, et un avant-goût du programme de 1ère avec les équations cartésiennes et la perpendicularité.
À toi de jouer
1. Approfondissement — Droite parallèle : Donne l'équation réduite de la droite parallèle à $(d): y = -2x + 5$ et passant par $A(3;1)$.
Corrigé
Deux droites parallèles ont même coefficient directeur, donc $m = -2$. L'équation cherchée est $y = -2x + p$. Avec $A$ : $1 = -2 \times 3 + p \Rightarrow 1 = -6 + p \Rightarrow p = 7$. Donc $y = -2x + 7$.
2. Avec paramètre : Soit $(d_1): y = 2x + 1$ et $(d_2): y = mx - 3$, où $m$ est un nombre réel.
a) Pour quelle valeur de $m$ les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ?
b) Pour quelle valeur de $m$ le point $M(2;5)$ appartient-il à $(d_2)$ ?
Corrigé
a) Parallèles si $m = 2$ (même coefficient directeur).
b) $M \in (d_2) \iff 5 = m \times 2 - 3 \iff 5 = 2m - 3 \iff 2m = 8 \iff m = 4$.
3. Avant-goût de Première : En 1ère, tu verras les droites perpendiculaires et l'équation cartésienne.
a) On admettra que deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$. Détermine l'équation réduite de la droite perpendiculaire à $(d): y = 3x - 2$ et passant par l'origine $O(0;0)$.
b) Une droite peut aussi s'écrire sous la forme $ax + by + c = 0$ (équation cartésienne). Écris l'équation cartésienne de la droite $y = 2x - 4$.
Corrigé
a) Coefficient directeur de la perpendiculaire : $m' = -\frac{1}{3}$ (car $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$). Passant par $O$, $p=0$. Équation : $y = -\frac{1}{3}x$.
b) $y = 2x - 4$ → $2x - y - 4 = 0$. Équation cartésienne : $2x - y - 4 = 0$.