Équation de droite : y = mx + p et ax + by + c = 0

Les prérequis à avoir sous la main

Avant de parler de droites, il faut savoir se repérer dans le plan.

Un repère est formé de deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical). Ils se croisent en un point appelé l'origine $O$.

Tout point $M$ du plan est repéré par deux nombres, ses coordonnées $(x\,;\,y)$ : $x$ est l'abscisse (déplacement horizontal) et $y$ est l'ordonnée (déplacement vertical).

Par exemple, $M(3\,;\,2)$ se lit : $3$ vers la droite, puis $2$ vers le haut. C'est tout ce dont tu as besoin pour attaquer la suite.

L'essentiel, en mots simples

Toute droite qui n'est pas verticale peut s'écrire sous la forme $y = mx + p$. On l'appelle son équation réduite. Deux nombres, $m$ et $p$, suffisent à la décrire entièrement.

$m$ est le coefficient directeur : c'est la pente de la droite, il dit à quel point elle monte ou descend.

$p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $y$ quand $x = 0$, autrement dit la hauteur à laquelle la droite coupe l'axe des ordonnées.

Le signe de $m$ donne le sens : si $m \gt 0$ la droite monte (croissante), si $m \lt 0$ elle descend (décroissante), et si $m = 0$ elle est horizontale (équation $y = p$).

La formule à graver dans ta tête : $y = mx + p$.

Un exemple fait en entier

On te donne la droite $(d) : y = -3x + 7$. Question : lire son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

Étape 1. On compare avec la forme $y = mx + p$ : le nombre devant $x$ est $-3$, et le nombre tout seul est $+7$.

Étape 2. Donc le coefficient directeur est $m = -3$.

Étape 3. Comme $m = -3 \lt 0$, la droite est décroissante : elle descend de gauche à droite.

Étape 4. L'ordonnée à l'origine est $p = 7$ : la droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,7)$.

Vérification express. Quand $x = 0$ : $y = -3 \times 0 + 7 = 7$. On retombe bien sur $p = 7$.

Les définitions, au propre

Une droite non verticale admet une unique équation réduite de la forme $y = mx + p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels.

Le nombre $m$ est le coefficient directeur de la droite : il mesure son inclinaison.

Le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées, obtenue pour $x = 0$.

Le signe de $m$ indique le sens de variation : $m \gt 0$ donne une droite croissante, $m \lt 0$ une droite décroissante, et $m = 0$ une droite horizontale d'équation $y = p$.

Le cas à part. Une droite verticale a pour équation $x = a$ (avec $a$ un nombre constant). Elle ne peut pas s'écrire sous la forme $y = mx + p$ et n'a pas de coefficient directeur : c'est pour cela que le programme parle de la pente d'une droite « non parallèle à l'axe des ordonnées ». Pour englober aussi les verticales, il existe une seconde écriture, l'équation cartésienne — c'est la section suivante.

L'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ et le vecteur directeur

Vecteur directeur. Un vecteur directeur d'une droite $(d)$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $(d)$ : si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $(d)$, alors $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$. Une droite en admet une infinité, tous colinéaires entre eux.

Équation cartésienne. Toute droite du plan — verticale ou non — admet une équation de la forme $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels tels que $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$. Réciproquement, l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ vérifiant $ax + by + c = 0$ est une droite. Une telle égalité s'appelle une équation cartésienne de la droite.

Le lien avec le vecteur directeur. La droite d'équation $ax + by + c = 0$ admet pour vecteur directeur $\vec{u}\,(-b\,;\,a)$ : le coefficient de $y$ changé de signe, puis le coefficient de $x$. Attention à l'ordre et au signe : ce n'est pas $(a\,;\,b)$.

De la cartésienne à la réduite. Si $b \neq 0$, on isole $y$ : $by = -ax - c$, donc $y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$. La droite n'est alors pas verticale, avec $m = -\dfrac{a}{b}$ et $p = -\dfrac{c}{b}$. Si $b = 0$, l'équation devient $ax + c = 0$ avec $a \neq 0$, c'est-à-dire $x = -\dfrac{c}{a}$ : la droite est verticale.

Exemple. Soit $(d) : 2x - 3y + 6 = 0$, donc $a = 2$, $b = -3$ et $c = 6$.

Étape 1. $b = -3 \neq 0$ : la droite n'est pas verticale, elle a une équation réduite.

Étape 2. On isole $y$ : $-3y = -2x - 6$, donc $y = \dfrac{2}{3}x + 2$.

Étape 3. On lit $m = \dfrac{2}{3}$ et $p = 2$.

Étape 4. Vecteur directeur : $\vec{u}\,(-b\,;\,a) = (3\,;\,2)$. Cohérent avec la pente : j'avance de $3$, je monte de $2$, soit $\dfrac{2}{3}$.

De la réduite à la cartésienne. On ramène tout du même côté : $y = -2x + 2$ s'écrit $2x + y - 2 = 0$. Attention, une équation cartésienne n'est pas unique : en multipliant les trois coefficients par un même nombre non nul, $-2x - y + 2 = 0$ décrit exactement la même droite.

Et les verticales ? La droite $x = 5$ s'écrit $1 \times x + 0 \times y - 5 = 0$ : elle a bien une équation cartésienne ($a = 1$, $b = 0$, $c = -5$), et pour vecteur directeur $(-b\,;\,a) = (0\,;\,1)$, qui est bien vertical. C'est tout l'intérêt de cette écriture : elle ne laisse aucune droite de côté.

Calculer le coefficient directeur à partir de deux points

Si une droite passe par deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ avec $x_A \neq x_B$, son coefficient directeur vaut :

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Cette fraction se lit « variation des $y$ divisée par variation des $x$ » : quand on avance de $A$ vers $B$, on regarde de combien monte (ou descend) l'ordonnée.

Exemple. Prenons $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,8)$.

Étape 1. Variation des ordonnées : $y_B - y_A = 8 - 2 = 6$.

Étape 2. Variation des abscisses : $x_B - x_A = 4 - 1 = 3$.

Étape 3. On divise : $m = \dfrac{6}{3} = 2$.

La droite a donc pour coefficient directeur $m = 2$ : chaque fois que $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $2$.

Trouver l'équation complète d'une droite

Méthode pour une droite passant par deux points :

1. Calculer le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

2. Écrire $y = mx + p$ puis remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points.

3. Résoudre l'équation obtenue pour trouver $p$.

4. Vérifier avec les coordonnées du second point.

Exemple. Une droite de coefficient directeur $m = 2$ passe par $A(1\,;\,2)$. Quelle est son équation ?

Étape 1. On sait déjà $m = 2$, donc l'équation est de la forme $y = 2x + p$.

Étape 2. On remplace par les coordonnées de $A$ : $2 = 2 \times 1 + p$.

Étape 3. On résout : $2 = 2 + p$, donc $p = 0$.

Conclusion. L'équation de la droite est $y = 2x$.

Parallèles ou sécantes ? On compare les coefficients directeurs. Deux droites sont parallèles lorsque $m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$. Elles sont sécantes (un unique point commun) dès que $m_1 \neq m_2$.

Avec les vecteurs directeurs. Le même test marche quand les droites sont données en cartésienne, et il couvre les verticales : $(d) : ax + by + c = 0$ et $(d') : a'x + b'y + c' = 0$ sont parallèles exactement lorsque leurs vecteurs directeurs $(-b\,;\,a)$ et $(-b'\,;\,a')$ sont colinéaires, c'est-à-dire lorsque leur déterminant $(-b) \times a' - a \times (-b') = ab' - a'b$ est nul.

On lit une droite sur un graphique

Sur le graphique, une droite est tracée. On veut retrouver son équation $y = mx + p$.

On lit d'abord $p$. La droite coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $3$, donc $p = 3$.

On lit ensuite $m$. On part d'un point de la droite et on avance de $1$ vers la droite : l'ordonnée descend de $2$. Une descente, c'est un signe moins : $m = \dfrac{-2}{1} = -2$.

On assemble. L'équation de la droite est donc $y = -2x + 3$.

On vérifie sur un point. Pour $x = 1$ : $y = -2 \times 1 + 3 = 1$. Le point $(1\,;\,1)$ est bien sur la droite, tout colle.

On trouve l'équation à partir de deux points

Une droite passe par $A(-1\,;\,4)$ et $B(2\,;\,-2)$. On cherche son équation.

Étape 1 — le coefficient directeur. $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \dfrac{-6}{3} = -2$.

Étape 2 — la forme. On écrit $y = -2x + p$.

Étape 3 — on utilise un point. Avec $A(-1\,;\,4)$ : $4 = -2 \times (-1) + p$, c'est-à-dire $4 = 2 + p$.

Étape 4 — on isole $p$. $p = 4 - 2 = 2$.

Conclusion. L'équation est $y = -2x + 2$.

On vérifie avec $B$. $-2 \times 2 + 2 = -4 + 2 = -2 = y_B$. Le point $B$ est bien sur la droite : c'est gagné.

On teste si deux droites sont parallèles

On regarde $(d_1) : y = 3x - 2$ et $(d_2) : y = 3x + 5$.

Étape 1. Coefficient directeur de $(d_1)$ : $m_1 = 3$. Coefficient directeur de $(d_2)$ : $m_2 = 3$.

Étape 2. Les coefficients sont égaux ($m_1 = m_2 = 3$) et les ordonnées à l'origine diffèrent ($-2 \neq 5$).

Conclusion. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles et distinctes.

Étape 3 — et une droite donnée en cartésienne ? Prenons $(d_3) : 6x - 2y + 1 = 0$. Ici $a = 6$ et $b = -2$, donc $b \neq 0$ : on isole $y$. De $-2y = -6x - 1$ on tire $y = 3x + \dfrac{1}{2}$. Son coefficient directeur est $m_3 = 3$ : $(d_3)$ est elle aussi parallèle aux deux premières, et distincte d'elles car $\dfrac{1}{2} \neq -2$ et $\dfrac{1}{2} \neq 5$.

Le même résultat par le vecteur directeur. $(d_3)$ a pour vecteur directeur $(-b\,;\,a) = (2\,;\,6)$, et $(d_1)$ a pour vecteur directeur $(1\,;\,m_1) = (1\,;\,3)$. Leur déterminant vaut $1 \times 6 - 3 \times 2 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, les droites sont bien parallèles.

Et une quatrième ? Prenons $(d_4) : y = -x + 5$. Son coefficient directeur est $m_4 = -1$, différent de $3$. Donc $(d_4)$ n'est parallèle à aucune des trois autres : elle leur est sécante, avec un unique point commun à chacune.

Problème 1 — le point d'intersection de deux droites

Énoncé. On donne $(d_1) : y = 2x - 1$ et $(d_2) : y = -x + 5$. Trouver leur point d'intersection.

Étape 1 — sécantes ? Les coefficients directeurs sont $2$ et $-1$. Comme $2 \neq -1$, les droites sont sécantes : elles ont bien un unique point commun.

Étape 2 — même ordonnée. Au point d'intersection, les deux droites ont la même valeur de $y$ pour la même valeur de $x$. On égale donc les deux expressions de $y$ : $2x - 1 = -x + 5$. On obtient une simple équation du premier degré à une seule inconnue, $x$.

Étape 3 — on résout en $x$. On regroupe les $x$ : $2x + x = 5 + 1$, soit $3x = 6$, donc $x = 2$.

Étape 4 — on calcule $y$. On remplace dans $(d_1)$ : $y = 2 \times 2 - 1 = 3$.

Conclusion. Le point d'intersection est $I(2\,;\,3)$.

Vérification. Dans $(d_2)$ : $-2 + 5 = 3$. Même ordonnée : le point $I$ appartient bien aux deux droites.

Et si l'une des deux droites est verticale ? Une verticale $x = a$ n'a pas d'équation réduite : on ne peut donc rien égaler. On remplace directement $x$ par $a$ dans l'équation de l'autre droite. Par exemple $(d_3) : x = 4$ coupe $(d_1) : y = 2x - 1$ au point d'ordonnée $y = 2 \times 4 - 1 = 7$, soit le point $(4\,;\,7)$.

Problème 2 — une parallèle passant par un point

Énoncé. Trouver l'équation de la droite $(d')$ parallèle à $(d) : y = -2x + 3$ et passant par $C(1\,;\,4)$.

Étape 1 — le coefficient directeur. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, donc celui de $(d')$ vaut $m = -2$. On écrit $y = -2x + p$.

Étape 2 — on utilise le point $C$. Comme $(d')$ passe par $C(1\,;\,4)$ : $4 = -2 \times 1 + p$.

Étape 3 — on isole $p$. $4 = -2 + p$, donc $p = 6$.

Conclusion. L'équation de $(d')$ est $y = -2x + 6$.

Bonus — un point appartient-il à une droite ? Pour savoir si $C(1\,;\,4)$ est sur $(d')$, on remplace $x$ par $1$ : $-2 \times 1 + 6 = 4$. On retrouve l'ordonnée $4$, donc $C$ appartient bien à $(d')$. C'est le réflexe de vérification à toujours avoir.

Problème 3 — trois points sont-ils alignés ?

Énoncé. On donne $A(-1\,;\,4)$, $B(2\,;\,-2)$ et $C(4\,;\,-6)$. Ces trois points sont-ils alignés ? Même question en remplaçant $C$ par $D(3\,;\,-5)$.

Étape 1 — l'équation de $(AB)$. $m = \dfrac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \dfrac{-6}{3} = -2$, puis avec $A$ : $4 = -2 \times (-1) + p$, soit $4 = 2 + p$, donc $p = 2$. La droite $(AB)$ a pour équation $y = -2x + 2$.

Étape 2 — on teste $C$. Pour $x = 4$ : $-2 \times 4 + 2 = -8 + 2 = -6$. On retrouve exactement $y_C = -6$, donc $C$ appartient à $(AB)$ : $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Étape 3 — on teste $D$. Pour $x = 3$ : $-2 \times 3 + 2 = -6 + 2 = -4$. Or $y_D = -5 \neq -4$, donc $D$ n'appartient pas à $(AB)$ : $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés.

La variante par le déterminant. Elle évite de calculer l'équation, et elle fonctionne même quand $(AB)$ est verticale. $\vec{AB}\,(3\,;\,-6)$ et $\vec{AC}\,(5\,;\,-10)$ : le déterminant vaut $3 \times (-10) - (-6) \times 5 = -30 + 30 = 0$, les vecteurs sont colinéaires, les points sont alignés. Avec $\vec{AD}\,(4\,;\,-9)$ : $3 \times (-9) - (-6) \times 4 = -27 + 24 = -3 \neq 0$, donc pas d'alignement.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

La rédaction qui rapporte les points. Pose toujours la forme $y = mx + p$, annonce la valeur de $m$ avec sa justification, remplace par un point pour trouver $p$, puis vérifie avec un second point. Une réponse sans vérification laisse le correcteur dubitatif.

Piège 1 — confondre $m$ et $p$. Dans $y = -2x + 5$, le coefficient directeur est $-2$, pas $5$. Le nombre devant le $x$, c'est $m$ ; le nombre seul, c'est $p$.

Piège 2 — inverser la fraction. C'est bien $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (les $y$ en haut), jamais $\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

Piège 3 — oublier le signe. Si la droite descend de gauche à droite, alors $m \lt 0$. Un coefficient directeur positif pour une droite qui descend, c'est faux à coup sûr.

Piège 4 — la droite verticale. Une droite verticale $x = a$ n'a pas de coefficient directeur : ne lui applique jamais la forme $y = mx + p$. Elle a en revanche une équation cartésienne, $x - a = 0$ — c'est l'écriture qui la rattrape.

Piège 5 — lire $m$ directement dans $ax + by + c = 0$. Dans $2x - 3y + 6 = 0$, le coefficient directeur n'est pas $2$ : il vaut $m = -\dfrac{a}{b} = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3}$. Tant que $y$ n'est pas isolé, on ne lit rien.

Piège 6 — croire qu'une équation cartésienne est unique. $2x + y - 2 = 0$, $4x + 2y - 4 = 0$ et $-2x - y + 2 = 0$ sont trois équations cartésiennes de la même droite. L'équation réduite, elle, est unique.

Pourquoi le coefficient directeur ne dépend pas des points choisis

Une question légitime : si je calcule $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ avec deux autres points de la même droite, est-ce que je retombe sur la même valeur ? Oui, toujours — et voici l'idée.

Quand on avance le long de la droite, on fabrique un petit triangle des accroissements : un déplacement horizontal, puis un déplacement vertical pour rejoindre la droite. Si on avance deux fois plus loin horizontalement, on monte deux fois plus haut verticalement.

Tous ces triangles ont exactement la même forme : ils sont semblables, c'est le théorème de Thalès en action. Le rapport « montée divisée par avancée » est donc le même partout sur la droite, et ce rapport, c'est précisément $m$.

Sur la figure, le petit triangle donne $\dfrac{2}{1}$ et le grand $\dfrac{4}{2}$ : les deux valent $2$. Voilà pourquoi le coefficient directeur est une propriété de la droite entière, pas des deux points que tu as choisis.

Pourquoi toute droite a une équation $ax + by + c = 0$

C'est la démonstration inscrite au programme, et elle tient en trois lignes dès qu'on a le déterminant sous la main.

Le point de départ. Une droite $(d)$ est entièrement décrite par un point $A(x_A\,;\,y_A)$ qui lui appartient et un vecteur directeur $\vec{u}\,(\alpha\,;\,\beta)$ non nul. Un point $M(x\,;\,y)$ est sur $(d)$ si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

On traduit avec le déterminant. Deux vecteurs sont colinéaires exactement lorsque leur déterminant est nul. Comme $\vec{AM}\,(x - x_A\,;\,y - y_A)$, la condition s'écrit :

$\det(\vec{AM}\,,\,\vec{u}) = (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$.

On développe. $\beta x - \alpha y + (\alpha y_A - \beta x_A) = 0$.

On conclut. C'est exactement la forme $ax + by + c = 0$, avec $a = \beta$, $b = -\alpha$ et $c = \alpha y_A - \beta x_A$. Et le couple $(a\,;\,b) = (\beta\,;\,-\alpha)$ n'est pas $(0\,;\,0)$, puisque $\vec{u}$ n'est pas le vecteur nul. Au passage on retrouve la règle annoncée plus haut : $(-b\,;\,a) = (\alpha\,;\,\beta) = \vec{u}$.

Ce que la démonstration donne en plus. À aucun moment elle ne suppose la droite non verticale. Si $\alpha = 0$, le vecteur directeur est vertical et l'égalité devient $\beta x - \beta x_A = 0$, c'est-à-dire $x = x_A$ : la verticale entre dans le moule, alors qu'elle n'aura jamais d'équation réduite.

Les ponts vers la suite

Vers les fonctions. L'écriture $y = mx + p$ est aussi celle de la fonction affine $f(x) = mx + p$ : la droite est tout simplement la représentation graphique de cette fonction. Coefficient directeur et pente ne font qu'un.

Le cas $p = 0$. Quand $p = 0$, l'équation devient $y = mx$ : la droite passe par l'origine. C'est une fonction linéaire, autrement dit une situation de proportionnalité de coefficient $m$.

Vers les vecteurs. On peut associer à la droite un vecteur directeur de coordonnées $(1\,;\,m)$ : quand on avance de $1$ en $x$, on monte de $m$ en $y$. C'est le lien direct avec le chapitre sur la colinéarité.

Vers les parties du plan. Une droite partage le plan en deux morceaux, et une inégalité les décrit : l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $y \gt 2x + 1$ est le demi-plan situé au-dessus de la droite d'équation $y = 2x + 1$, la droite elle-même étant exclue ; avec $y \geqslant 2x + 1$ on la garde. C'est un prolongement classique du chapitre : représenter une partie du plan décrite par des inégalités sur les coordonnées.

Aperçu de l'an prochain. En Première, dans un repère orthonormé, deux droites non verticales sont perpendiculaires lorsque $m_1 \times m_2 = -1$. Et le coefficient directeur devient la clé de la dérivée : il donne la pente de la tangente à une courbe. Ta petite droite $y = mx + p$ est en réalité la porte d'entrée de tout ça.