Équation de droite y = mx + p

Décrire n'importe quelle droite non verticale par deux nombres : le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.

1 L'idée

Toute droite non verticale du plan s'écrit sous la forme $y = mx + p$, appelée équation réduite. Le nombre $m$ est le coefficient directeur : il mesure l'inclinaison de la droite. Le nombre $p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $y$ lorsque $x = 0$, soit le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Lorsque $m \gt 0$, la droite est croissante ; lorsque $m \lt 0$, elle est décroissante ; lorsque $m = 0$, elle est horizontale (équation $y = p$).

Une droite verticale a pour équation $x = a$ (avec $a$ réel constant) et ne peut pas s'écrire sous la forme $y = mx + p$.

2 Formules essentielles

Équation réduite

$y = mx + p$

Coefficient directeur

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad (x_A \neq x_B)$

Droites parallèles

$(d_1) \parallel (d_2) \Leftrightarrow m_1 = m_2 \text{ et } p_1 \neq p_2$

Droites sécantes

$m_1 \neq m_2 \Rightarrow \text{un unique point commun}$

3 Exemples

Lire m et p

Droite $(d) : y = -3x + 7$.

$m = -3$ (droite décroissante) ; $p = 7$ (coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,7)$).

Calculer le coefficient directeur

Deux points $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,8)$.

$m = \dfrac{8 - 2}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.

Trouver l'équation

$m = 2$ et la droite passe par $A(1\,;\,2)$.

On pose $y = 2x + p$ et on substitue les coordonnées de $A$ : $2 = 2 \times 1 + p$, donc $p = 0$.

Équation : $y = 2x$.

Méthode — trouver l'équation d'une droite passant par deux points

Calculer $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
Écrire $y = mx + p$ et substituer les coordonnées de l'un des deux points.
Résoudre pour obtenir $p$.
Vérifier en substituant les coordonnées du deuxième point.

Erreurs fréquentes

Confondre $m$ et $p$ : dans $y = -2x + 5$, le coefficient directeur est $-2$, pas $5$.
Inverser numérateur et dénominateur : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, pas $\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.
Oublier le signe : si la droite descend de gauche à droite, $m \lt 0$.
Appliquer la formule $y = mx + p$ à une droite verticale $x = a$ : elle n'a pas de coefficient directeur.