Repère du plan, coordonnées et distances — Exercices

Du repérage simple à la démonstration de la nature d'un triangle, en passant par un problème concret.

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1Milieu d'un segment/ 3 pts

Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.

a) $A(2\,;\,4)$ et $B(6\,;\,2)$
b) $A(-3\,;\,5)$ et $B(1\,;\,-1)$
c) $A(-4\,;\,-2)$ et $B(3\,;\,7)$

2Distance entre deux points/ 4 pts

Calculer la distance $AB$. Simplifier le radical si possible.

a) $A(0\,;\,0)$ et $B(5\,;\,12)$
b) $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$
c) $A(-2\,;\,1)$ et $B(3\,;\,3)$
d) $A(0\,;\,0)$ et $B(4\,;\,4)$

3Retrouver un point connaissant le milieu/ 3 pts

$M$ est le milieu du segment $[AB]$. Déterminer les coordonnées de $B$.

a) $A(2\,;\,4)$ et $M(5\,;\,1)$
b) $A(-1\,;\,3)$ et $M(2\,;\,0)$
c) $A(0\,;\,-5)$ et $M(-3\,;\,2)$

4Nature d'un triangle/ 4 pts

On donne les points $A(2\,;\,1)$, $B(-1\,;\,2)$ et $C(0\,;\,0)$.

1. Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $CA$.
2. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.
3. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle, et préciser en quel sommet se trouve l'angle droit.

5Problème — Implantation d'un dépôt/ 6 pts

Dans un repère où 1 unité représente 1 km, une usine est en $A(2\,;\,6)$ et un entrepôt en $B(8\,;\,-2)$.

a) Calculer la distance $AB$ à vol d'oiseau.
b) Un dépôt $D$ sera construit au milieu exact du segment $[AB]$. Déterminer les coordonnées de $D$.
c) Un site concurrent est proposé en $S(8\,;\,3)$. Calculer $AD$ et $AS$, puis déterminer lequel de $D$ ou de $S$ est le plus proche de l'usine $A$.

Corrigé détaillé

1Milieu d'un segment

a) $x_M = \dfrac{2+6}{2} = 4 \qquad y_M = \dfrac{4+2}{2} = 3$ $M(4\,;\,3)$

b) $x_M = \dfrac{-3+1}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1 \qquad y_M = \dfrac{5+(-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ $M(-1\,;\,2)$

c) $x_M = \dfrac{-4+3}{2} = -\dfrac{1}{2} \qquad y_M = \dfrac{-2+7}{2} = \dfrac{5}{2}$ $M\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{5}{2}\right)$

2Distance entre deux points

a) $AB = \sqrt{(5-0)^2+(12-0)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169}$ $AB = 13$

b) $AB = \sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{3^2+(-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}$ $AB = 5$

c) $AB = \sqrt{(3-(-2))^2+(3-1)^2} = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{25+4}$ $AB = \sqrt{29}$

d) $AB = \sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ $AB = 4\sqrt{2}$

3Retrouver un point connaissant le milieu

a) $\dfrac{2+x_B}{2} = 5 \Rightarrow x_B = 8 \qquad \dfrac{4+y_B}{2} = 1 \Rightarrow y_B = -2$ $B(8\,;\,-2)$

b) $\dfrac{-1+x_B}{2} = 2 \Rightarrow x_B = 5 \qquad \dfrac{3+y_B}{2} = 0 \Rightarrow y_B = -3$ $B(5\,;\,-3)$

c) $\dfrac{0+x_B}{2} = -3 \Rightarrow x_B = -6 \qquad \dfrac{-5+y_B}{2} = 2 \Rightarrow y_B = 9$ $B(-6\,;\,9)$

4Nature d'un triangle

1. $AB = \sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \quad BC = \sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \quad CA = \sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ $AB = \sqrt{10},\quad BC = \sqrt{5},\quad CA = \sqrt{5}$

2. $BC = CA = \sqrt{5}$ $\text{Le triangle } ABC \text{ est isocèle en } C.$

3. $BC^2 + CA^2 = 5 + 5 = 10 = \left(\sqrt{10}\right)^2 = AB^2$ $\text{Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle } ABC \text{ est rectangle en } C.$

5Implantation d'un dépôt

a) $AB = \sqrt{(8-2)^2+(-2-6)^2} = \sqrt{6^2+(-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100}$ $AB = 10 \text{ km}$

b) $x_D = \dfrac{2+8}{2} = 5 \qquad y_D = \dfrac{6+(-2)}{2} = 2$ $D(5\,;\,2)$

c) $AD = \sqrt{(5-2)^2+(2-6)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \qquad AS = \sqrt{(8-2)^2+(3-6)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}7$ $AD = 5 \text{ km} \lt 3\sqrt{5} \approx 6{,}7 \text{ km} = AS \text{ : le site } D \text{ est le plus proche de l'usine.}$