Mathématiques · 2nde

Repère du plan, coordonnées et distances

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Salut, pas de panique ! Le contrôle approche et tu n'as jamais vu cette notion ? On part de ce que tu sais déjà : le répérage dans le plan vu en 3ème. Tu te souviens du quadrillage avec deux axes ? Parfait. Aujourd'hui, on va juste y ajouter deux formules très simples : le milieu et la distance. On y va pas à pas, avec des trous à remplir, et tu vas voir, ça va vite devenir limpide.

Prérequis : repérage dans le plan (3ème)

Dans un repère orthonormé (deux axes perpendiculaires gradués avec la même unité), tout point M du plan est repéré par un couple de nombres, appelés coordonnées.

La première coordonnée se lit sur l'axe horizontal : c'est l'abscisse du point, souvent notée x_M.
La seconde coordonnée se lit sur l'axe vertical : c'est l'ordonnée du point, souvent notée y_M.

On écrit M(x_M ; y_M). L'origine O du repère a pour coordonnées (0 ; 0). Les points situés sur l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle (y = 0). Ceux situés sur l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle (x = 0).

Nouveauté en 2nde : deux formules à connaître

À partir des coordonnées, on peut :

Calculer les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] :
$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$.
Calculer la distance AB entre deux points :
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Exemple : A(1 ; 3) et B(5 ; 7).
Milieu M : $x_M = \frac{1+5}{2}=3$, $y_M = \frac{3+7}{2}=5$ donc M(3 ; 5).
Distance AB : $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

À toi de jouer

1. Exercice 1 : Dans le repère ci-dessous, donne les coordonnées des points A, B et C en complétant les trous.

Figure (même que la fiche)
A( ; ) B( ; ) C( ; )

Corrigé

A(2 ; 1) B(3 ; 2) C(4 ; 3)

2. Exercice 2 : Complète la formule du milieu, puis applique-la à l'exemple.

M est le milieu de [AB] donc :
$x_M = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2}$ et $y_M = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2}$.

Avec A(2 ; 4) et B(6 ; 2) :
$x_M = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
$y_M = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
donc M( $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ).

Corrigé

M est le milieu de [AB] donc :
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Avec A(2 ; 4) et B(6 ; 2) :
$x_M = \frac{2 + 6}{2} = 4$,
$y_M = \frac{4 + 2}{2} = 3$,
donc M(4 ; 3).

3. Exercice 3 : Complète la formule de la distance, puis calcule pour A(0 ; 0) et B(3 ; 4).

$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2}$.

Avec A(0 ; 0) et B(3 ; 4) :
$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Avec A(0 ; 0) et B(3 ; 4) :
$AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ah oui, le repère, les x et les y, le milieu et cette formule de distance qui ressemble à Pythagore ! On va remettre tout ça en ordre et surtout détailler une méthode imparable pour ne plus jamais te tromper. Accroche-toi, on répète les gestes ensemble.

Rappel structuré

Dans un repère orthonormé (O ; I , J), tout point du plan est repéré par son abscisse $x$ et son ordonnée $y$. On note M($x_M$ ; $y_M$).

Milieu M de [AB] :

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

Exemple : A(1 ; 5) et B(7 ; 1). M : $x_M = \frac{1+7}{2}=4$, $y_M = \frac{5+1}{2}=3$, donc M(4 ; 3).

Distance AB :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Exemple : Mêmes points : $AB = \sqrt{(7-1)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Méthode pas-à-pas pour calculer une distance

Repère les coordonnées de A et B : $A(x_A ; y_A)$, $B(x_B ; y_B)$.
Calcule les différences : $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$.
Élève chaque différence au carré, additionne les résultats.
Prends la racine carrée de la somme.
Simplifie si possible le radical (cherche un facteur carré parfait).

Erreurs fréquentes :

$\sqrt{a^2 + b^2}
eq a + b$ : la racine ne se distribue pas sur une somme.
Attention aux signes : par exemple $(-4)^2 = 16$, pas $-16$.
Ne confonds pas abscisse (horizontale) et ordonnée (verticale).

À toi de jouer

1. Exercice 1 : Calcule les coordonnées du milieu M de [AB] avec A(2 ; 6) et B(8 ; -4) en complétant.

$x_M = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
$y_M = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
donc M( $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ).

Corrigé

$x_M = \frac{2 + 8}{2} = 5$,
$y_M = \frac{6 + (-4)}{2} = 1$,
donc M(5 ; 1).

2. Exercice 2 : Calcule la distance AB avec A(-1 ; 3) et B(5 ; -1) en complétant.

$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

3. Exercice 3 : M(3 ; 1) est le milieu de [AB] avec A(0 ; 4). Retrouve les coordonnées de B en complétant les équations.

$\frac{0 + x_B}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $x_B = \underline{\hspace{1.1em}}$ ;
$\frac{4 + y_B}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $y_B = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Ainsi B( $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ).

Corrigé

$\frac{0 + x_B}{2} = 3$ donc $x_B = 6$ ;
$\frac{4 + y_B}{2} = 1$ donc $y_B = -2$.
Ainsi B(6 ; -2).

Maintenant que tu as la méthode, on muscle ta main : cinq mini-calculs de distance, tous sur le même modèle. Le but : que le geste devienne automatique. Remplis les trous, respire, c'est toujours pareil.

À toi de jouer

1. 1. A(0 ; 0) et B(6 ; 8).
$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. 2. A(2 ; 3) et B(5 ; 7).
$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

3. 3. A(-1 ; 1) et B(3 ; 4).
$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

4. 4. A(4 ; -2) et B(7 ; 2).
$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

5. 5. A(-2 ; -1) et B(2 ; 2).
$AB = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{( \underline{\hspace{1.1em}} )^2 + ( \underline{\hspace{1.1em}} )^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Place au sérieux : des exercices sans filet, comme en devoir. Tu vas enchaîner du milieu, de la distance, résoudre des équations et prouver la nature d'un triangle. Applique bien la méthode et fais des phrases, le correcteur appréciera.

À toi de jouer

1. 1. Soit les points A(4 ; 5) et B(-2 ; 1).
Calcule les coordonnées du milieu M du segment [AB].

Corrigé

$x_M = \frac{4 + (-2)}{2} = 1$ ; $y_M = \frac{5 + 1}{2} = 3$. Donc M(1 ; 3).

2. 2. Calcule la distance AB avec A(3 ; 5) et B(9 ; -3). Simplifie le radical si possible.

Corrigé

$AB = \sqrt{(9-3)^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.

3. 3. M(5 ; -1) est le milieu du segment [AB]. On connaît A(2 ; 3). Détermine les coordonnées de B.

Corrigé

$\frac{2 + x_B}{2} = 5 \Rightarrow x_B = 8$ ; $\frac{3 + y_B}{2} = -1 \Rightarrow y_B = -5$. Donc B(8 ; -5).

4. 4. On donne les points E(2 ; 1), F(-1 ; 2) et G(0 ; 0).
1. Calcule les longueurs EF, FG et GE.
2. Montre que le triangle EFG est isocèle en G.
3. Montre que le triangle EFG est rectangle en G à l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore.

Corrigé

1. $EF = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ ;
$FG = \sqrt{(0+1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ ;
$GE = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
2. $FG = GE = \sqrt{5}$, donc EFG est isocèle en G.
3. $FG^2 + GE^2 = 5+5 = 10 = EF^2$, donc par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en G.

5. 5. Problème concret :
Dans un repère orthonormé où l'unité représente 1 km, une usine est située en A(2 ; 6) et un entrepôt en B(8 ; -2).
a. Calcule la distance à vol d'oiseau entre l'usine et l'entrepôt.
b. On souhaite construire un dépôt D exactement à mi-chemin entre A et B. Quelles sont les coordonnées de D ?
c. Un autre site est proposé en S(8 ; 3). Calcule AD et AS, puis détermine lequel du dépôt D ou du site S est le plus proche de l'usine A.

Corrigé

a. $AB = \sqrt{(8-2)^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ km.
b. D milieu de [AB] : $x_D = \frac{2+8}{2} = 5$, $y_D = \frac{6+(-2)}{2} = 2$, donc D(5 ; 2).
c. $AD = \sqrt{(5-2)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ km.
$AS = \sqrt{(8-2)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} \approx 6,7$ km.
AD < AS, donc le dépôt D est plus proche de l'usine que le site S.

Tu gères déjà le plan, alors goûtons un peu à la suite : coordonnées en 3D et équation de cercle. C'est ce qui t'attend en 1ère, rien de bien méchant, juste une dimension en plus.

Aperçu – distance dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; I, J, K), un point a trois coordonnées (x ; y ; z). La distance entre deux points A et B devient naturellement :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Aperçu – cercle et distance

Dans le plan, l'ensemble des points M situés à une distance fixe r d'un point fixe A est le cercle de centre A et de rayon r. On peut l'écrire : AM = r.

En coordonnées, cela donne une équation du type $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = r^2$.

À toi de jouer

1. 1. Dans l'espace, on donne A(1 ; 2 ; 3) et B(4 ; -2 ; 0). Utilise la formule 3D pour calculer la distance AB.

Corrigé

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (-2-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+16+9} = \sqrt{34}$.

2. 2. Dans le plan, on fixe A(2 ; 1). Décris l'ensemble des points M tels que AM = 5. Quelle figure reconnais-tu ? Écris son équation en coordonnées.

Corrigé

C'est le cercle de centre A et de rayon 5. Son équation : $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$.