Repère du plan, coordonnées et distances

Les prérequis, vite fait

Un repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$, c'est deux axes perpendiculaires qui se croisent en un point $O$ (l'origine), gradués avec la même unité de longueur.

L'axe horizontal est l'axe des abscisses ; l'axe vertical est l'axe des ordonnées.

Chaque point $M$ du plan est repéré par un couple de nombres $(x_M\,;\,y_M)$ : son abscisse $x_M$ (lue sur l'horizontale) puis son ordonnée $y_M$ (lue sur la verticale). L'ordre compte : abscisse d'abord.

Côté calcul, il faut juste savoir élever un nombre au carré (attention aux parenthèses : $(-4)^2 = 16$) et prendre une racine carrée. C'est tout.

L'essentiel et les deux formules

Avec deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, tout tient dans deux formules à connaître par cœur.

Milieu de $[AB]$ (le point pile au centre) : $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$. On additionne puis on divise par 2 : c'est une moyenne.

Distance $AB$ (la longueur du segment) : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. On soustrait, on met au carré, on additionne, on prend la racine.

Un exemple traité en entier

On prend $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,-1)$.

Milieu de $[AB]$ :

$x_M = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$

$y_M = \dfrac{3 + (-1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

Donc le milieu est $M(3\,;\,1)$.

Distance $AB$ :

$AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-1 - 3)^2}$

$AB = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16}$

$AB = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

Et voilà : un milieu et une distance, les deux gestes du contrôle.

Repère et coordonnées : les définitions propres

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$, les deux axes sont perpendiculaires et partagent la même unité (celle qui va de $O$ à $I$ sur l'horizontale, et de $O$ à $J$ sur la verticale).

À chaque point $M$ correspond alors un unique couple de réels $(x_M\,;\,y_M)$, appelé les coordonnées de $M$ :

• $x_M$ est l'abscisse : on la lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ;
• $y_M$ est l'ordonnée : on la lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).

Quelques repères utiles : l'origine a pour coordonnées $O(0\,;\,0)$. Un point de l'axe des abscisses vérifie $y = 0$ ; un point de l'axe des ordonnées vérifie $x = 0$.

Le milieu d'un segment

Le milieu $M$ de $[AB]$ est le point situé exactement au centre du segment. Ses coordonnées sont la moyenne des coordonnées de $A$ et de $B$ :

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

Méthode. On additionne les deux abscisses et on divise par 2 ; on fait pareil avec les ordonnées. On ne soustrait jamais ici.

Exemple. Avec $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,-1)$ :

$x_M = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$

$y_M = \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1$

Le milieu est $M(3\,;\,1)$.

La distance entre deux points

La distance $AB$ est la longueur du segment $[AB]$. On la calcule avec :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

D'où vient cette formule ? On construit le triangle rectangle dont $[AB]$ est l'hypoténuse : un côté horizontal de longueur $|x_B - x_A|$, un côté vertical de longueur $|y_B - y_A|$. C'est le théorème de Pythagore, déguisé (on y revient au dernier palier).

Méthode.

• Repérer $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$.
• Calculer les différences $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$.
• Élever chaque différence au carré, additionner, puis prendre la racine.
• Simplifier le radical avec un facteur carré parfait, par exemple $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$.

Exemple. Avec $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,-1)$ :

$AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Échauffement 1 — un milieu, proprement

Trouvons le milieu de $[AB]$ avec $A(-2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,-1)$.

On écrit la formule d'abord (le correcteur aime ça) :

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$

On remplace : $x_M = \dfrac{-2 + 6}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Puis l'ordonnée : $y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{5 + (-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Conclusion : $M(2\,;\,2)$. On additionne bien les valeurs, y compris les négatives, avant de diviser.

Échauffement 2 — une distance qui tombe juste

Calculons $AB$ avec $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,5)$.

Formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Les différences : $x_B - x_A = 3 - (-1) = 4$ et $y_B - y_A = 5 - 2 = 3$.

On remplace : $AB = \sqrt{4^2 + 3^2}$

$AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}$

$AB = 5$

Petit clin d'œil : $3$, $4$, $5$ forment un triangle rectangle « parfait ». Ici la racine tombe juste, mais souvent elle ne se simplifie pas : garde alors la forme exacte, comme $4\sqrt{2}$.

Échauffement 3 — retrouver un point à partir du milieu

Type d'exercice plus malin : on connaît $A(2\,;\,5)$ et le milieu $M(4\,;\,1)$ de $[AB]$. Où est $B$ ?

On repart de la formule du milieu, mais on cherche $x_B$ cette fois :

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$, donc $x_A + x_B = 2\,x_M$, d'où $x_B = 2\,x_M - x_A$.

On calcule : $x_B = 2 \times 4 - 2 = 8 - 2 = 6$.

Pareil pour l'ordonnée : $y_B = 2\,y_M - y_A = 2 \times 1 - 5 = 2 - 5 = -3$.

Donc $B(6\,;\,-3)$.

Vérification (toujours rassurant) : le milieu de $A(2\,;\,5)$ et $B(6\,;\,-3)$ est $\left(\dfrac{2 + 6}{2}\,;\,\dfrac{5 + (-3)}{2}\right) = (4\,;\,1)$. C'est bien $M$.

Les pièges et ce que le correcteur attend

• La racine ne se distribue pas : $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$. On calcule d'abord ce qu'il y a sous la racine, ensuite seulement la racine.
• Les parenthèses sauvent des points : $(-4)^2 = 16$, pas $-16$. Une différence négative, une fois au carré, devient positive.
• Abscisse / ordonnée : abscisse = horizontale, ordonnée = verticale. Ne jamais inverser l'ordre dans un couple $(x\,;\,y)$.
• Milieu = somme puis division par 2 ; distance = différence puis carré. Ne pas mélanger les deux gestes.
• Rédaction : écris la formule littérale, remplace, puis calcule. Une distance se laisse sous forme exacte ($4\sqrt{2}$), pas en valeur approchée, sauf si l'énoncé le demande.

Problème type 1 — montrer qu'un triangle est isocèle rectangle

Énoncé. Soit $A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,2)$ et $C(0\,;\,4)$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$.

Étape 1 — les trois longueurs (au carré, c'est plus propre).

$AB^2 = (4 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 9 + 1 = 10$

$AC^2 = (0 - 1)^2 + (4 - 1)^2 = 1 + 9 = 10$

$BC^2 = (0 - 4)^2 + (4 - 2)^2 = 16 + 4 = 20$

Étape 2 — isocèle. $AB^2 = AC^2 = 10$, donc $AB = AC = \sqrt{10}$ : le triangle est isocèle en $A$.

Étape 3 — rectangle. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres :

$AB^2 + AC^2 = 10 + 10 = 20$ et $BC^2 = 20$.

Comme $AB^2 + AC^2 = BC^2$, la réciproque du théorème de Pythagore donne un angle droit en $A$.

Conclusion. $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$. Astuce de rédaction : travaille avec les carrés $AB^2$, pas avec les racines, tu évites les erreurs d'arrondi.

Problème type 2 — prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Énoncé. Soit $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,2)$, $C(6\,;\,5)$ et $D(2\,;\,4)$. Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

Idée. Un quadrilatère est un parallélogramme lorsque ses diagonales se coupent en leur milieu. Il suffit donc que $[AC]$ et $[BD]$ aient le même milieu.

Milieu de $[AC]$ :

$x = \dfrac{1 + 6}{2} = \dfrac{7}{2} \qquad y = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$

Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{7}{2}\,;\,3\right)$.

Milieu de $[BD]$ :

$x = \dfrac{5 + 2}{2} = \dfrac{7}{2} \qquad y = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$

Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{7}{2}\,;\,3\right)$.

Conclusion. Les deux diagonales ont le même milieu $\left(\dfrac{7}{2}\,;\,3\right)$ : $ABCD$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des sommets : les diagonales d'un quadrilatère $ABCD$ sont bien $[AC]$ et $[BD]$.

D'où vient la formule de distance : Pythagore déguisé

La formule n'est pas tombée du ciel. Place $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, puis un point auxiliaire $C(x_B\,;\,y_A)$ : il a l'abscisse de $B$ et l'ordonnée de $A$.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, car $[AC]$ est horizontal et $[CB]$ est vertical.

Ses deux côtés de l'angle droit mesurent : $AC = |x_B - x_A|$ (horizontal) et $CB = |y_B - y_A|$ (vertical).

Le théorème de Pythagore donne alors : $AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.

Comme une longueur est positive, on prend la racine : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. La valeur absolue disparaît, car $|x_B - x_A|^2 = (x_B - x_A)^2$.

Morale : retenir une idée (Pythagore) suffit pour reconstruire la formule si un jour tu l'oublies en contrôle.

Ce que ça ouvre pour l'année prochaine

• Les vecteurs et la colinéarité. Bientôt, au lieu de « point $B$ moins point $A$ », tu écriras le vecteur $\vec{AB}$ de coordonnées $(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ : exactement les différences de la formule de distance. Sa longueur (sa « norme ») vaut $AB$. Repère et coordonnées sont le socle de tout le calcul vectoriel.
• La nature des figures. Avec distances et milieux, on démontre qu'un triangle est isocèle, équilatéral ou rectangle, qu'un quadrilatère est un parallélogramme, un losange (côtés égaux) ou un rectangle (diagonales de même longueur). Un simple calcul remplace un dessin approximatif.
• L'équation d'un cercle (en première). Un cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$, c'est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ situés à distance $r$ de $\Omega$. En écrivant $\Omega M = r$ puis en élevant au carré, on obtient $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ : la formule de distance devient une équation.
• Et en dimension 3. Dans l'espace, un point a trois coordonnées et la distance se prolonge naturellement : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$. Même idée, une coordonnée de plus.

Bref, ces deux formules toutes simples sont une clé qui ouvre les vecteurs, la géométrie analytique et les courbes. Tu pars avec de l'avance.