Repère du plan, coordonnées et distances

Situer un point, trouver un milieu, mesurer une distance — les trois gestes fondamentaux du plan.

1 L'idée

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$, deux axes perpendiculaires gradués avec la même unité permettent d'associer à chaque point $M$ du plan un couple unique de réels $(x_M\,;\,y_M)$ : ses coordonnées.

$x_M$ est l'abscisse de $M$ (lecture sur l'axe horizontal, dit axe des abscisses).
$y_M$ est l'ordonnée de $M$ (lecture sur l'axe vertical, dit axe des ordonnées).
L'origine $O$ a pour coordonnées $(0\,;\,0)$. Les points de l'axe des abscisses vérifient $y = 0$ ; ceux de l'axe des ordonnées vérifient $x = 0$.

2 Les deux formules clés

Milieu de [AB]

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

Distance AB

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

3 Application numérique

Milieu de [AB]

On pose $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,-1)$.

$x_M = \dfrac{1+5}{2} = 3$ et $y_M = \dfrac{3+(-1)}{2} = 1$

Le milieu est $M(3\,;\,1)$.

Distance AB

Avec les mêmes points $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,-1)$ :

$AB = \sqrt{(5-1)^2+(-1-3)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Méthode — Calculer la distance $AB$

Repérer les coordonnées : $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$.
Calculer les différences $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$.
Élever chaque différence au carré, additionner, puis extraire la racine carrée.
Simplifier le radical en cherchant un facteur carré parfait (ex. : $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$).

Erreurs fréquentes

$\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$ : la racine ne se distribue pas sur une somme.
Ne pas oublier les parenthèses : $(-4)^2 = 16$, pas $-16$.
Abscisse = axe horizontal ; ordonnée = axe vertical — ne pas inverser.
Pour le milieu : on additionne les coordonnées avant de diviser par 2, on ne les soustrait pas.