Pas de panique. Un vecteur, c'est simplement une flèche qui dit 'on va par là, sur cette distance'. On va poser les bases indispensables en partant de ce que tu sais déjà : les coordonnées de points et le théorème de Pythagore. On reste sur l'essentiel pour que tu sois fonctionnel rapidement.
Prérequis : coordonnées et Pythagore
Avant de parler vecteurs, on réactive deux outils que tu maîtrises déjà.
1. Coordonnées d'un point dans un repère. Un point $A$ se repère par $(x_A\,;\,y_A)$. La différence $x_B - x_A$ donne le déplacement horizontal pour aller de $A$ à $B$ ; $y_B - y_A$ donne le déplacement vertical.
2. Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si un déplacement a une composante horizontale $a$ et une composante verticale $b$, la distance parcourue en ligne droite est $\sqrt{a^2 + b^2}$.
Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente le déplacement du point $A$ vers le point $B$. Il est défini par trois choses :
- Direction : la droite qui le porte (horizontale, verticale, oblique...).
- Sens : de $A$ vers $B$ (la flèche).
- Norme : la longueur du déplacement, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Leur point de départ n'a pas d'importance !
Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère, pour $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$
Moyen mnémotechnique : toujours "arrivée moins départ".
La norme (longueur) se calcule avec Pythagore :
$$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
À toi de jouer
1. On donne $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,5)$. Complète les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$
2. Avec le même $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$, calcule sa norme en complétant.
$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(\underline{\hspace{1.1em}})^2 + (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
3. Soient $C(3\,;\,7)$ et $D(-1\,;\,4)$. Complète les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -1 - 3 \\ 4 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$
Ah oui, les vecteurs ! Ces flèches qui codent un déplacement. On va remettre de l'ordre dans tout ça : coordonnées, norme, et surtout les opérations (addition, multiplication par un nombre). On structure la méthode pas à pas.
Rappel structuré : définition et égalité
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un déplacement caractérisé par :
- Direction (la droite),
- Sens (la flèche),
- Norme (la longueur $\|\overrightarrow{AB}\|$).
Égalité : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que ces deux déplacements sont identiques (même direction, même sens, même norme). Cela implique que $ABDC$ est un parallélogramme.
Coordonnées : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ (arrivée moins départ).
Norme : $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Opérations sur les vecteurs
Addition (Relation de Chasles) : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. En coordonnées, on additionne terme à terme : $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix}$.
Multiplication par un scalaire : $k \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a \\ k \cdot b \end{pmatrix}$. Si $k$ est négatif, le sens s'inverse.
Vecteur opposé : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Ses coordonnées sont les opposées de celles de $\overrightarrow{AB}$.
Méthode pas à pas : utiliser la relation de Chasles
1. Repérer les points intermédiaires disponibles.
2. Décomposer le vecteur voulu en une chaîne : $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.
3. Si un vecteur est dans le mauvais sens, utiliser l'opposé : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
4. Additionner les coordonnées terme à terme.
À toi de jouer
1. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$. Complète l'addition.
$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (\underline{\hspace{1.1em}}) \\ -3 + \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ -3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
2. On donne $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$. En utilisant la relation de Chasles, complète $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
3. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Complète les multiplications par un scalaire.
$3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} \\ 3 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
$-2\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \\ -2 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}$
$-2\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \times 2 \\ -2 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$
Cinq exercices quasi identiques pour mécaniser le calcul des coordonnées d'un vecteur. Tu vas voir, à la fin c'est un automatisme. On ne change que les nombres.
À toi de jouer
1. Soient $A(2\,;\,3)$ et $B(6\,;\,7)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
Corrigé
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 - 2 \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
2. Soient $C(-1\,;\,5)$ et $D(3\,;\,2)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
Corrigé
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
3. Soient $E(0\,;\,4)$ et $F(5\,;\,0)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$.
Corrigé
$\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 5 - 0 \\ 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}$
4. Soient $G(-2\,;\,-1)$ et $H(1\,;\,3)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{GH}$.
Corrigé
$\overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
5. Soient $I(4\,;\,-2)$ et $J(0\,;\,1)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$.
Corrigé
$\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ 1 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$
Place au niveau attendu en contrôle. Tu vas manipuler coordonnées, normes, égalités vectorielles, relation de Chasles et multiplication par un scalaire dans des problèmes concrets. C'est le moment de montrer que tu maîtrises.
À toi de jouer
1. Dans un repère orthonormé, on donne $A(3\,;\,6)$, $B(-2\,;\,4)$ et $C(5\,;\,-1)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, de $\overrightarrow{BA}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
b) Calcule la norme $\|\overrightarrow{AB}\|$. Arrondis au centième si nécessaire.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2-3 \\ 4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ -1-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix}$.
b) $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$.
2. On donne $A(2\,;\,1)$, $B(5\,;\,5)$, $C(0\,;\,3)$ et $D(3\,;\,7)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{CD}$.
b) Que constates-tu ? Que peux-tu en déduire sur la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
b) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ : même direction, même sens, même norme. On en déduit que $ABDC$ est un parallélogramme.
3. On donne $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ en utilisant la relation de Chasles.
b) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AD}$.
c) Déduis-en les coordonnées de $\overrightarrow{DA}$.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.
b) $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$.
c) $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -6 \\ -4 \end{pmatrix}$.
4. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$.
a) Calcule les coordonnées de $2\vec{u}$, de $-3\vec{u}$ et de $\dfrac{1}{2}\vec{u}$.
b) Vérifie que $\|2\vec{u}\| = 2\,\|\vec{u}\|$.
Corrigé
a) $2\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}$ ; $-3\vec{u} = \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \end{pmatrix}$ ; $\frac{1}{2}\vec{u} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -2 \end{pmatrix}$.
b) $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$. $\|2\vec{u}\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10$. On a bien $10 = 2 \times 5$.
5. Dans un repère, on donne $A(0\,;\,0)$, $B(8\,;\,4)$ et $C(2\,;\,10)$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$.
a) Calcule les coordonnées de $I$ et de $J$.
b) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
c) Montre que $\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
d) Que peux-tu en conclure sur les droites $(IJ)$ et $(AC)$, et sur les longueurs $IJ$ et $AC$ ?
Corrigé
a) $I = \left(\frac{0+8}{2}\,;\,\frac{0+4}{2}\right) = (4\,;\,2)$ ; $J = \left(\frac{8+2}{2}\,;\,\frac{4+10}{2}\right) = (5\,;\,7)$.
b) $\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 5-4 \\ 7-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix}$.
c) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \overrightarrow{IJ}$.
d) $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ donc les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles, et $IJ = \frac{1}{2} AC$.
Tu maîtrises les vecteurs ? Parfait. On va voir comment cette notion se prolonge : la colinéarité (deux vecteurs sont-ils parallèles ?) et la traduction vectorielle de configurations géométriques plus riches. C'est un avant-goût de la Première.
Colinéarité : deux vecteurs parallèles
Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Cela signifie qu'ils ont la même direction (portés par des droites parallèles).
En coordonnées, $\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si $a \times d - b \times c = 0$. Ce nombre s'appelle le déterminant.
À toi de jouer
1. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ? Justifie en cherchant un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, puis en calculant le déterminant.
Corrigé
On cherche $k$ tel que $\begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$. On a $-3 = 2k$ donc $k = -1{,}5$. Vérification : $-1{,}5 \times (-6) = 9$. Donc $\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}$, les vecteurs sont colinéaires.
Déterminant : $2 \times 9 - (-6) \times (-3) = 18 - 18 = 0$. La condition est vérifiée.
2. Dans un repère, on donne $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(5\,;\,8)$ et $D(7\,;\,11)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
b) Montre que ces vecteurs sont colinéaires.
c) Que peux-tu en déduire sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
d) Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifie en utilisant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
b) $\overrightarrow{CD} = 1 \cdot \overrightarrow{AB}$, donc ils sont colinéaires (et même égaux).
c) Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
d) $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires et ont le point $A$ en commun, donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
3. Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque. On note $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. En utilisant la relation de Chasles et la propriété des milieux, montre que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$ et déduis-en la nature du quadrilatère $IJKL$.
Corrigé
D'après le théorème des milieux dans $ABC$, $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. De même dans $ADC$, $\overrightarrow{LK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Donc $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$. Ces deux vecteurs sont égaux, donc $IJKL$ est un parallélogramme. (C'est le théorème de Varignon.)