Pas de panique : les vecteurs, tu les as déjà croisés en 3e. On réactive l'acquis du collège, on ajoute le seul mot vraiment neuf de la seconde — représentant — et on passe tout de suite aux calculs. Tout ce qu'il te faut d'avance : les coordonnées d'un point et le théorème de Pythagore.

Prérequis : coordonnées et Pythagore

Avant de parler vecteurs, on réactive deux outils que tu maîtrises déjà.

1. Coordonnées d'un point dans un repère. Un point $A$ se repère par $(x_A\,;\,y_A)$. La différence $x_B - x_A$ donne le déplacement horizontal pour aller de $A$ à $B$ ; $y_B - y_A$ donne le déplacement vertical.

2. Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si un déplacement a une composante horizontale $a$ et une composante verticale $b$, la distance parcourue en ligne droite est $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Ce que le collège t'a déjà donné

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ code le déplacement du point $A$ vers le point $B$ : c'est du programme de 3e, pas une nouveauté. Il est défini par trois choses :

  • Direction : la droite qui le porte, et toutes ses parallèles.
  • Sens : de $A$ vers $B$ (la flèche).
  • Norme : la longueur du déplacement, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.

La relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, vient aussi du collège : on la réutilise telle quelle.

Le mot neuf de la seconde : représentant

Une flèche tracée sur la feuille n'est pas le vecteur : c'est un représentant du vecteur. Le vecteur, lui, est ce que toutes ces flèches ont en commun — même direction, même sens, même norme.

Deux vecteurs sont égaux exactement dans ce cas : écrire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, c'est dire qu'il n'y a qu'un seul vecteur, dessiné à deux endroits par deux représentants.

La propriété à connaître : pour tout point $E$ et tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \vec{u}$. C'est le représentant de $\vec{u}$ d'origine $E$, et on le trouve en additionnant : $x_F = x_E + x_{\vec{u}}$ et $y_F = y_E + y_{\vec{u}}$.

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, pour $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$

Moyen mnémotechnique : toujours "arrivée moins départ".

La norme (longueur) se calcule avec Pythagore, à condition que la base du repère soit orthonormée :

$$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

À toi de jouer

1. On donne $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,5)$. Complète les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$
2. Avec le même $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$, calcule sa norme en complétant.
$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(\underline{\hspace{1.1em}})^2 + (\underline{\hspace{1.1em}})^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
3. Soient $C(3\,;\,7)$ et $D(-1\,;\,4)$. Complète les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -1 - 3 \\ 4 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$
4. On donne le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix}$ et le point $E(2\,;\,1)$. Trouve le point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \vec{u}$ : c'est le représentant de $\vec{u}$ d'origine $E$.
$x_F = 2 + (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $y_F = 1 + (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$x_F = 2 + (-4) = -2$ et $y_F = 1 + (-3) = -2$, donc $F(-2\,;\,-2)$.
Contrôle : $\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} -2 - 2 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \vec{u}$.

Ah oui, les vecteurs ! Ces flèches qui codent un déplacement. On remet de l'ordre dans tout ça, jusqu'au bout du programme de seconde : représentants, coordonnées en base orthonormée, somme à partir de représentants de même origine, produit par un réel, combinaison de deux vecteurs.

Rappel structuré : vecteur, représentants, coordonnées

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un déplacement caractérisé par sa direction, son sens et sa norme $\|\overrightarrow{AB}\|$ : c'est l'acquis de 3e.

Représentants. La flèche tracée de $A$ vers $B$ n'est qu'un représentant du vecteur ; le même vecteur en admet une infinité. Pour tout point $E$, il existe un unique point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}$.

Égalité : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie même direction, même sens, même norme — un seul vecteur, deux représentants. Si de plus $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Base orthonormée et coordonnées : dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})$ dont la base est orthonormée, tout vecteur s'écrit d'une seule façon $\vec{u} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath}$, ce qu'on note $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. En particulier $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ (arrivée moins départ).

Norme : $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ — cette formule n'est valable que parce que la base est orthonormée.

Opérations sur les vecteurs

Somme, à partir de représentants de même origine : on trace $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$ à partir du même point $A$, on complète le parallélogramme $ABDC$, et la somme est la diagonale issue de $A$ : $\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AD}$.

Somme, bout à bout : c'est la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, déjà vue en 3e. Les deux constructions donnent le même vecteur.

En coordonnées : $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix}$.

Produit par un nombre réel : $k \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k a \\ k b \end{pmatrix}$. Pour $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k \neq 0$ : $k\vec{u}$ garde la direction de $\vec{u}$, a pour norme $|k| \times \|\vec{u}\|$, et change de sens si $k \lt 0$.

Vecteur opposé : c'est le cas $k = -1$, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, de coordonnées opposées.

Combinaison de deux vecteurs non colinéaires : si $\vec{a}$ et $\vec{b}$ ne sont pas colinéaires, tout vecteur $\vec{w}$ du plan s'écrit d'une seule manière $\vec{w} = x\,\vec{a} + y\,\vec{b}$. C'est exactement ce que fait $\vec{u} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath}$, mais avec un quadrillage « penché ».

Méthode pas à pas : additionner ou décomposer

1. Repérer les points disponibles et les vecteurs déjà connus.
2. Pour une somme géométrique : soit ramener les deux vecteurs à la même origine (représentants de même origine, puis parallélogramme), soit les enchaîner bout à bout, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.
3. Si un vecteur est dans le mauvais sens, utiliser l'opposé : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
4. En coordonnées : additionner terme à terme, et multiplier chaque coordonnée par le réel.

À toi de jouer

1. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}$. Complète l'addition.
$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (\underline{\hspace{1.1em}}) \\ -3 + \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ -3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
2. On donne $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$. En utilisant la relation de Chasles, complète $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
3. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$. Complète les multiplications par un scalaire.
$3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} \\ 3 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
$-2\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \\ -2 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\hspace{1.1em}} \\ \underline{\hspace{1.1em}} \end{pmatrix}$
Corrigé
$3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}$
$-2\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \times 2 \\ -2 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}$
4. On donne $A(2\,;\,1)$, $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.
a) Donne les coordonnées de $B$ et de $C$, représentants de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ d'origine $A$ (c'est-à-dire $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$).
b) Donne les coordonnées du point $D$ qui complète le parallélogramme $ABDC$, sachant que $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$.
c) Vérifie que $\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}$.
Corrigé
a) $B(2+3\,;\,1+2)$ soit $B(5\,;\,3)$ ; $C(2-1\,;\,1+2)$ soit $C(1\,;\,3)$.
b) $D(5-1\,;\,3+2)$ soit $D(4\,;\,5)$.
c) $\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ : c'est bien le même vecteur.

Sept exercices quasi identiques pour mécaniser les trois gestes de base : coordonnées d'un vecteur, représentant d'origine donnée, produit par un réel. Tu vas voir, à la fin c'est un automatisme. On ne change que les nombres.

À toi de jouer

1. Soient $A(2\,;\,3)$ et $B(6\,;\,7)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
Corrigé
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 - 2 \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$
2. Soient $C(-1\,;\,5)$ et $D(3\,;\,2)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
Corrigé
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$
3. Soient $E(0\,;\,4)$ et $F(5\,;\,0)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$.
Corrigé
$\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 5 - 0 \\ 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}$
4. Soient $G(-2\,;\,-1)$ et $H(1\,;\,3)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{GH}$.
Corrigé
$\overrightarrow{GH} = \begin{pmatrix} 1 - (-2) \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
5. Soient $I(4\,;\,-2)$ et $J(0\,;\,1)$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$.
Corrigé
$\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ 1 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$
6. Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $K(-1\,;\,4)$. Donne les coordonnées du point $L$ tel que $\overrightarrow{KL} = \vec{u}$ (le représentant de $\vec{u}$ d'origine $K$).
Corrigé
$x_L = -1 + 3 = 2$ et $y_L = 4 + (-2) = 2$, donc $L(2\,;\,2)$.
7. Soit $\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Calcule les coordonnées de $3\vec{v}$ et de $-\tfrac{1}{2}\vec{v}$.
Corrigé
$3\vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 15 \end{pmatrix}$ ; $-\tfrac{1}{2}\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}$.

Place au niveau attendu en contrôle. Tu vas manipuler coordonnées, normes, égalités vectorielles, sommes et produits par un réel, et écrire un vecteur comme combinaison de deux autres. C'est le moment de montrer que tu maîtrises.

À toi de jouer

1. Dans un repère orthonormé, on donne $A(3\,;\,6)$, $B(-2\,;\,4)$ et $C(5\,;\,-1)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, de $\overrightarrow{BA}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
b) Calcule la norme $\|\overrightarrow{AB}\|$. Arrondis au centième si nécessaire.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2-3 \\ 4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ -1-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix}$.
b) $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$.
2. On donne $A(2\,;\,1)$, $B(5\,;\,5)$, $C(0\,;\,3)$ et $D(3\,;\,7)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{CD}$.
b) Que constates-tu ? Que peux-tu en déduire sur la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
b) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ : même direction, même sens, même norme — c'est un seul et même vecteur, représenté une fois à partir de $A$ et une fois à partir de $C$. Comme $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, on en déduit que $ABDC$ est un parallélogramme.
3. On donne $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ en utilisant la relation de Chasles.
b) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AD}$.
c) Déduis-en les coordonnées de $\overrightarrow{DA}$.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.
b) $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$.
c) $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} -6 \\ -4 \end{pmatrix}$.
4. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$.
a) Calcule les coordonnées de $2\vec{u}$, de $-3\vec{u}$ et de $\dfrac{1}{2}\vec{u}$.
b) Vérifie que $\|2\vec{u}\| = 2\,\|\vec{u}\|$.
Corrigé
a) $2\vec{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}$ ; $-3\vec{u} = \begin{pmatrix} -9 \\ 12 \end{pmatrix}$ ; $\frac{1}{2}\vec{u} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -2 \end{pmatrix}$.
b) $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$. $\|2\vec{u}\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10$. On a bien $10 = 2 \times 5$.
5. Dans un repère, on donne $A(0\,;\,0)$, $B(8\,;\,4)$ et $C(2\,;\,10)$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$.
a) Calcule les coordonnées de $I$ et de $J$.
b) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
c) Montre que $\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
d) Que peux-tu en conclure sur les droites $(IJ)$ et $(AC)$, et sur les longueurs $IJ$ et $AC$ ?
Corrigé
a) $I = \left(\frac{0+8}{2}\,;\,\frac{0+4}{2}\right) = (4\,;\,2)$ ; $J = \left(\frac{8+2}{2}\,;\,\frac{4+10}{2}\right) = (5\,;\,7)$.
b) $\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 5-4 \\ 7-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \end{pmatrix}$.
c) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \overrightarrow{IJ}$.
d) $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ donc les droites $(IJ)$ et $(AC)$ sont parallèles, et $IJ = \frac{1}{2} AC$.
6. $ABDC$ est un parallélogramme. On pose $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ (ils ne sont pas colinéaires), et on note $M$ le milieu de $[BD]$.
a) Exprime $\overrightarrow{BD}$ en fonction de $\vec{b}$.
b) Écris $\overrightarrow{AM}$ comme combinaison de $\vec{a}$ et $\vec{b}$.
c) Contrôle ton résultat avec $A(0\,;\,0)$, $\vec{a}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Corrigé
a) Dans le parallélogramme $ABDC$, les côtés $[BD]$ et $[AC]$ sont opposés, donc $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} = \vec{b}$.
b) $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{a} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \vec{a} + \tfrac{1}{2}\vec{b}$.
c) Ici $B(4\,;\,0)$, $C(1\,;\,3)$ et $D(5\,;\,3)$, donc $M\left(\tfrac{4+5}{2}\,;\,\tfrac{0+3}{2}\right) = (4{,}5\,;\,1{,}5)$. On lit $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}$, et le calcul donne $\vec{a} + \tfrac{1}{2}\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}$. Les deux coïncident.

Tu maîtrises les vecteurs ? Parfait. Voici la suite immédiate du programme de seconde : la colinéarité (deux vecteurs ont-ils la même direction ?), la caractérisation vectorielle du milieu, et des configurations géométriques que l'outil vectoriel règle en trois lignes.

Colinéarité : deux vecteurs de même direction

Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Cela signifie qu'ils ont la même direction (portés par des droites parallèles).

En coordonnées, $\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si $a \times d - b \times c = 0$. Ce nombre s'appelle le déterminant.

Le milieu, version vectorielle

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ce qui s'écrit aussi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$. Ces deux écritures remplacent avantageusement les coordonnées dans beaucoup de démonstrations.

À toi de jouer

1. On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix}$. Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ? Justifie en cherchant un réel $k$ tel que $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, puis en calculant le déterminant.
Corrigé
On cherche $k$ tel que $\begin{pmatrix} -3 \\ 9 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}$. On a $-3 = 2k$ donc $k = -1{,}5$. Vérification : $-1{,}5 \times (-6) = 9$. Donc $\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}$, les vecteurs sont colinéaires.
Déterminant : $2 \times 9 - (-6) \times (-3) = 18 - 18 = 0$. La condition est vérifiée.
2. Dans un repère, on donne $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,5)$, $C(5\,;\,8)$ et $D(7\,;\,11)$.
a) Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
b) Montre que ces vecteurs sont colinéaires.
c) Que peux-tu en déduire sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
d) Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifie en utilisant les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Corrigé
a) $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
b) $\overrightarrow{CD} = 1 \cdot \overrightarrow{AB}$, donc ils sont colinéaires (et même égaux).
c) Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Ici elles sont même confondues : la question d) le montre, puisque $C$ appartient à la droite $(AB)$.
d) $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, et leurs représentants ont la même origine $A$ : les points $A$, $B$ et $C$ sont donc alignés.
3. Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque. On note $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. En utilisant la relation de Chasles et la propriété des milieux, montre que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$ et déduis-en la nature du quadrilatère $IJKL$.
Corrigé
$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
De même, $\overrightarrow{LK} = \overrightarrow{LD} + \overrightarrow{DK} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Donc $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$ : c'est un seul vecteur, représenté à partir de $I$ et à partir de $L$. Le quadrilatère $IJKL$ est donc un parallélogramme (aplati dans le seul cas où les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ sont parallèles). C'est le théorème de Varignon.
4. Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ le milieu de $[AB]$.
a) Montre que $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
b) Déduis-en que pour tout point $M$ du plan, $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\,\overrightarrow{MI}$.
Corrigé
a) $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$. Or $\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{AI}$, donc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AI} = \vec{0}$.
b) Pour un point $M$ quelconque, on insère $I$ : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = 2\,\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\,\overrightarrow{MI}$ d'après a).