V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques2ndeGeometrieExercices + corrigé

Vecteurs : définition et opérations — Exercices

Du repère au Chasles, en passant par la multiplication scalaire. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée pour les racines
1Coordonnées et norme/ 4 pts
Dans un repère orthonormé, on donne $A(2\,;\,5)$, $B(-1\,;\,3)$ et $C(4\,;\,-2)$.
  1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, de $\overrightarrow{BA}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
  2. Calculer la norme $\|\overrightarrow{AB}\|$. Arrondir au centième si nécessaire.
2Vecteurs égaux et parallélogramme/ 3 pts
On donne $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$, $C(-1\,;\,0)$ et $D(2\,;\,4)$.
  1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{CD}$. Que constate-t-on ?
  2. Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
3Relation de Chasles/ 4 pts
On donne $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
  1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$ par la relation de Chasles.
  2. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AD}$.
  3. En déduire les coordonnées de $\overrightarrow{DA}$.
4Multiplication par un scalaire/ 3 pts
On donne $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$.
  1. Calculer les coordonnées de $3\vec{u}$, de $-2\vec{u}$ et de $\dfrac{1}{2}\vec{u}$.
  2. Vérifier que $\|3\vec{u}\| = 3\,\|\vec{u}\|$.
5Problème — théorème des milieux/ 6 pts
Dans un repère, on donne $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,2)$ et $C(4\,;\,8)$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$.
  1. Calculer les coordonnées de $I$ et de $J$.
  2. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
  3. Montrer que $\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Que peut-on en conclure sur les droites $(IJ)$ et $(AC)$, et sur les longueurs $IJ$ et $AC$ ?
Corrigé détaillé
1Coordonnées et norme
a) $\overrightarrow{AB}$ \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ 3-5 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
a) $\overrightarrow{BA}$ \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} =\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)
a) $\overrightarrow{AC}$ \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ -2-5 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 2 \\ -7 \end{pmatrix}\)
b) Norme \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\) \(\approx 3{,}61\)
2Vecteurs égaux et parallélogramme
a) $\overrightarrow{AB}$ \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
a) $\overrightarrow{CD}$ \(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 4-0 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)
a) Constat \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} : \text{même direction, même sens, même norme.}\) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)
b) Quadrilatère \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Rightarrow (AB) \parallel (CD) \text{ et } AB = CD.\) \(ABDC \text{ est un parallélogramme.}\)
3Relation de Chasles
a) $\overrightarrow{AC}$ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)
b) $\overrightarrow{AD}$ \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
c) $\overrightarrow{DA}$ \(\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD} =\) \(\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}\)
4Multiplication par un scalaire
a) $3\vec{u}$ \(3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}\)
a) $-2\vec{u}$ \(-2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}\)
a) $\frac{1}{2}\vec{u}$ \(\dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\)
b) Vérification \(\|\vec{u}\| = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}, \quad \|3\vec{u}\| = \sqrt{6^2+(-9)^2} = \sqrt{36+81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\) \(\|3\vec{u}\| = 3\,\|\vec{u}\| \checkmark\)
5Problème — théorème des milieux
a) Coordonnées de $I$ \(I \text{ milieu de } [AB] \Rightarrow I\!\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\,\dfrac{0+2}{2}\right) =\) \(I(3\,;\,1)\)
a) Coordonnées de $J$ \(J \text{ milieu de } [BC] \Rightarrow J\!\left(\dfrac{6+4}{2}\,;\,\dfrac{2+8}{2}\right) =\) \(J(5\,;\,5)\)
b) $\overrightarrow{IJ}$ \(\overrightarrow{IJ} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 5-1 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\)
b) $\overrightarrow{AC}$ \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-0 \\ 8-0 \end{pmatrix} =\) \(\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}\)
c) Conclusion \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \overrightarrow{IJ}\) \((IJ) \parallel (AC) \text{ et } IJ = \dfrac{1}{2}AC : \text{théorème des milieux.}\)