Vecteurs : définition et opérations

Ce que tu sais déjà (les vecteurs, c'était la 3^e)

Les vecteurs ne sont pas une nouveauté de seconde : tu les as rencontrés au collège. On réactive, et vite :

• Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ code un déplacement : on part de $A$, on arrive en $B$. C'est le déplacement de la translation qui envoie $A$ sur $B$.
• Il se résume par trois informations : sa direction (la droite $(AB)$ et toutes ses parallèles), son sens (de $A$ vers $B$, pas l'inverse) et sa norme (sa longueur, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$).
• Enchaîner deux déplacements, c'est la relation de Chasles, vue en 3^e : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Côté calcul, il te faut seulement savoir lire les coordonnées d'un point ($A(1\,;\,3)$ : abscisse $1$, ordonnée $3$), soustraire des nombres relatifs ($-1 - 3 = -4$) et sortir une racine carrée simple ($\sqrt{25} = 5$).

Le mot neuf de la seconde : représentant

La seconde ne réinvente pas le vecteur, elle serre le vocabulaire. Une flèche dessinée sur la feuille n'est pas le vecteur : c'est un représentant du vecteur. Le vecteur, lui, est ce que toutes ces flèches ont en commun — même direction, même sens, même norme.

Sur la figure ci-dessus il n'y a donc pas trois vecteurs mais un seul, dessiné trois fois : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}$.

Le réflexe qui rapporte : pour n'importe quel point $E$ et n'importe quel vecteur $\vec{u}$, il existe un seul point $F$ tel que $\overrightarrow{EF} = \vec{u}$. On peut donc toujours redessiner un vecteur là où ça nous arrange — c'est exactement ce qu'on fera pour additionner deux vecteurs.

Les deux formules qui sauvent le contrôle

Dans un repère, si tu connais $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, tu obtiens le vecteur et sa longueur avec deux formules.

Coordonnées (arrivée moins départ) :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Norme (la longueur), dans un repère orthonormé :

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Le piège à retenir tout de suite : c'est toujours l'arrivée moins le départ, donc $x_B - x_A$, jamais $x_A - x_B$.

Un exemple fait en entier

Prenons $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$. On veut les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, puis sa norme.

Coordonnées : on fait arrivée moins départ, coordonnée par coordonnée.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

Norme : on met chaque coordonnée au carré, on additionne, on prend la racine.

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2}$

$= \sqrt{9 + 16}$

$= \sqrt{25} = 5$

Et voilà : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ et pour longueur $5$. Si tu sais refaire ça, tu tiens déjà une bonne part du contrôle.

Vecteur et représentants : la distinction qui compte

Ce que le collège a posé. Un vecteur code un déplacement, et se lit sur trois informations :

• La direction : la droite qui porte le déplacement, ainsi que toutes ses parallèles.
• Le sens : sur cette direction, on va de $A$ vers $B$ ; le sens contraire donne un autre vecteur.
• La norme : la longueur, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$, égale à la distance $AB$.

Ce que la seconde précise. Deux points $A$ et $B$ pris dans cet ordre forment un couple de points, qu'on dessine par une flèche. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ n'est pas cette flèche : c'est ce que partagent toutes les flèches de même direction, de même sens et de même longueur. Chacune de ces flèches est un représentant du vecteur.

Égalité de deux vecteurs. Écrire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ne veut pas dire « deux vecteurs qui se ressemblent » : cela veut dire qu'il n'y a qu'un seul vecteur, écrit avec deux représentants différents. La condition est : même direction, même sens, même norme.

La propriété à retenir. Un vecteur $\vec{u}$ et un point $A$ étant donnés, il existe un unique point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ : c'est le représentant de $\vec{u}$ d'origine $A$. C'est ce qui rend le calcul vectoriel si commode — on ramène toujours les vecteurs là où on en a besoin.

Le vecteur nul. Quand l'origine et l'extrémité d'un représentant sont confondues, on obtient le vecteur nul : $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$, de coordonnées $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Sa norme est nulle et, seule exception, il n'a ni direction ni sens définis.

Coordonnées dans une base orthonormée

On munit le plan d'un repère $(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})$ où $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ sont deux vecteurs perpendiculaires de norme $1$ : $(\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})$ est une base orthonormée.

La relation qui définit les coordonnées. Tout vecteur $\vec{u}$ du plan s'écrit d'une seule façon

$\vec{u} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath}$

et le couple $(x\,;\,y)$ s'appelle les coordonnées de $\vec{u}$ dans cette base ; on note $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées : c'est le moyen le plus sûr de prouver une égalité vectorielle.

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : arrivée moins départ.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Norme de $\overrightarrow{AB}$ : c'est le théorème de Pythagore appliqué aux deux coordonnées.

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Attention : cette formule de la norme suppose la base orthonormée (angle droit et même unité sur les deux axes). Sans cela, elle est fausse — alors que la formule des coordonnées, elle, marche dans n'importe quel repère.

Petit exemple pour fixer les idées, avec $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$

Un mot pour la physique. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ s'appelle aussi vecteur déplacement de $A$ à $B$ ; et si l'on choisit l'origine $O$ du repère, $\overrightarrow{OM}$ s'appelle vecteur position de $M$ (relativement à $O$). Même objet mathématique, deux noms selon la discipline — ne te laisse pas impressionner en cours de physique-chimie.

Les opérations sur les vecteurs

Deux opérations au programme — la somme et le produit par un nombre réel — vues d'abord géométriquement, puis en coordonnées.

1. La somme, à partir de représentants de même origine. C'est la construction attendue en seconde. Pour additionner $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : on choisit un point $A$, on trace le représentant $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ et le représentant $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$ — tous deux d'origine $A$ — puis on complète le parallélogramme $ABDC$. La somme est la diagonale issue de $A$ :

$\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$

Le même calcul avec Chasles (ton acquis de 3^e). Si tu préfères mettre les représentants bout à bout, l'arrivée du premier servant de départ au second, tu écris $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$. Les deux constructions donnent le même point $D$, puisque $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} = \vec{v}$ (côtés opposés du parallélogramme). Bout à bout ou même origine : au choix, le résultat est identique.

2. Addition en coordonnées. On additionne coordonnée par coordonnée :

$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix}$

3. Produit par un nombre réel. Pour un réel $k$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées :

$k\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka \\ kb \end{pmatrix}$

Géométriquement, si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $k \neq 0$ : $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, une norme égale à $|k| \times \|\vec{u}\|$, le même sens si $k \gt 0$ et le sens contraire si $k \lt 0$. Et si $k = 0$, on obtient $\vec{0}$.

Le vecteur opposé n'est que le cas $k = -1$ : $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$, de coordonnées opposées.

Écrire un vecteur avec deux vecteurs non colinéaires

La relation $\vec{u} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath}$ n'a rien de propre à $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$. Elle vaut pour n'importe quels deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ non colinéaires, c'est-à-dire deux vecteurs non nuls qui n'ont pas la même direction : tout vecteur $\vec{w}$ du plan s'écrit alors d'une seule manière

$\vec{w} = x\,\vec{a} + y\,\vec{b}$

On dit que $\vec{w}$ est une combinaison de $\vec{a}$ et $\vec{b}$. C'est la même idée qu'un quadrillage — sauf que le quadrillage est cette fois « penché » : on avance de $x$ pas le long de $\vec{a}$, puis de $y$ pas le long de $\vec{b}$.

Vérification en coordonnées : sur la figure, $\vec{a}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ (ils ne sont pas colinéaires : aucun n'est un multiple de l'autre). Alors

$2\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \vec{w}$

Deux vecteurs non colinéaires suffisent donc à décrire tout le plan. C'est très exactement ce que font $\vec{\imath}$ et $\vec{\jmath}$ — eux ont simplement le bon goût d'être perpendiculaires et de longueur $1$, ce qui donne en prime la formule de la norme.

Coordonnées et norme, on le fait ensemble

On se donne $E(-2\,;\,1)$ et $F(3\,;\,13)$. Objectif : les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$, puis sa norme. On avance pas à pas.

Étape 1 — j'écris la formule des coordonnées, arrivée moins départ :

$\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} x_F - x_E \\ y_F - y_E \end{pmatrix}$

Étape 2 — je remplace, en surveillant le $-(-2)$ qui devient $+2$ :

$\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ 13 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

Étape 3 — pour la norme, je carre chaque coordonnée :

$\|\overrightarrow{EF}\| = \sqrt{5^2 + 12^2}$

Étape 4 — je calcule les carrés puis la somme :

$= \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169}$

Étape 5 — je conclus :

$= 13$

Bilan : $\overrightarrow{EF}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}$ et $\|\overrightarrow{EF}\| = 13$. Le seul endroit où on trébuche, c'est le $3 - (-2)$ : garde l'œil sur les signes.

Représentants et somme de même origine, ensemble

On se donne le point $A(1\,;\,2)$ et deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Objectif : construire $\vec{u} + \vec{v}$ à partir de représentants de même origine $A$, puis vérifier par le calcul.

Étape 1 — je place le représentant de $\vec{u}$ d'origine $A$. Je cherche $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$, donc $x_B - 1 = 3$ et $y_B - 2 = 1$ :

$B(4\,;\,3)$

Étape 2 — je place de même le représentant de $\vec{v}$ d'origine $A$, c'est-à-dire $C$ tel que $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$ :

$C(0\,;\,5)$

Étape 3 — je complète le parallélogramme $ABDC$ : le quatrième point $D$ vérifie $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} = \vec{v}$, donc $x_D = 4 + (-1)$ et $y_D = 3 + 3$ :

$D(3\,;\,6)$

Étape 4 — je lis la somme sur la figure : c'est la diagonale $\overrightarrow{AD}$.

$\overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Étape 5 — je contrôle en coordonnées, sans la figure :

$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 + (-1) \\ 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Les deux méthodes donnent le même vecteur : la construction est juste.

Le réflexe hérité de la 3^e : si tu préfères enchaîner les vecteurs bout à bout, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$ (relation de Chasles) donne le même résultat. Et quand les points ne s'enchaînent pas, retourne-en un avec la règle de l'opposé : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Additionner et multiplier en coordonnées, ensemble

On se donne $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. On veut les coordonnées de $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$.

Étape 1 — je multiplie chaque vecteur par son nombre, coordonnée par coordonnée :

$2\vec{u} = \begin{pmatrix} 2\times 3 \\ 2\times(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -8 \end{pmatrix}$

$3\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\times(-1) \\ 3\times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$

Étape 2 — j'additionne les deux résultats coordonnée par coordonnée :

$\vec{w} = \begin{pmatrix} 6 + (-3) \\ -8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

Fini. On a fait d'abord les multiplications, puis l'addition — exactement comme avec les nombres, priorités comprises.

Problème type : prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Énoncé. Dans un repère, on donne $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(5\,;\,6)$ et $D(2\,;\,5)$. Montre que $ABCD$ est un parallélogramme.

Le critère à mobiliser. Si $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, alors $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. C'est la traduction directe de l'égalité de deux vecteurs : les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont parcourus par le même déplacement, donc ils sont parallèles et de même longueur — ce qui est exactement la définition du parallélogramme.

Rédaction attendue.

Je calcule $\overrightarrow{AB}$ (arrivée moins départ) :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Je calcule $\overrightarrow{DC}$ de la même façon :

$\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 6 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

Conclusion : puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ et que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Ce que le correcteur attend : le critère annoncé avant les calculs, les deux vecteurs calculés proprement, l'égalité constatée, puis une phrase de conclusion. Un résultat juste sans la phrase finale perd des points.

Problème type : réduire une expression vectorielle

Énoncé. Simplifie l'expression $\vec{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}$, où $A$, $B$ et $C$ sont trois points quelconques.

La bonne idée. Aucune coordonnée ici : on réorganise les termes pour que les points s'enchaînent, puis on réutilise la relation de Chasles vue en 3^e. Rien de neuf, donc — mais c'est le genre de question où l'on perd des points en se précipitant.

Étape 1 — je remets les vecteurs dans un ordre qui s'enchaîne, $A\to B$ puis $B\to C$ puis $C\to A$ (l'addition de vecteurs est commutative) :

$\vec{s} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}$

Étape 2 — Chasles sur les deux premiers termes :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, donc $\vec{s} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$

Étape 3 — $\overrightarrow{CA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AC}$, leur somme est nulle :

$\vec{s} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$

Autre façon de le voir : on part de $A$ et on revient en $A$, donc $\vec{s} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.

Ce que le correcteur attend : le fait qu'on réorganise avant d'appliquer Chasles, et la reconnaissance du vecteur nul quand on revient au point de départ.

Problème type : écrire un vecteur avec deux vecteurs non colinéaires

Énoncé. $ABDC$ est un parallélogramme. On pose $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$, et on note $I$ le milieu de $[CD]$. Écris $\overrightarrow{AI}$ comme combinaison de $\vec{a}$ et $\vec{b}$.

La bonne idée. On ne cherche pas de coordonnées : on fabrique un chemin de $A$ vers $I$ qui n'emprunte que des vecteurs exprimables avec $\vec{a}$ et $\vec{b}$.

Étape 1 — je choisis le chemin $A \to C \to I$, et j'écris ce déplacement :

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CI}$

Étape 2 — dans le parallélogramme $ABDC$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont opposés, donc $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$. Comme $I$ est le milieu de $[CD]$ :

$\overrightarrow{CI} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \tfrac{1}{2}\vec{a}$

Étape 3 — je remplace et je conclus :

$\overrightarrow{AI} = \vec{b} + \tfrac{1}{2}\vec{a} = \tfrac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

Contrôle en coordonnées. Si $\vec{a}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ avec $A(0\,;\,0)$, alors $B(4\,;\,0)$, $C(1\,;\,3)$, $D(5\,;\,3)$ et $I(3\,;\,3)$. On lit $\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$, et le calcul donne $\tfrac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$. Les deux coïncident.

Ce que le correcteur attend : un chemin annoncé ($A \to C \to I$), l'égalité de côtés opposés du parallélogramme justifiée, et une écriture finale de la forme $x\vec{a} + y\vec{b}$.

Les pièges classiques (et comment les éviter)

Les cinq fautes qui coûtent le plus de points, toutes repérées et corrigées :

• Confondre le vecteur et l'un de ses représentants. Deux flèches tracées à deux endroits différents peuvent être le même vecteur : quand $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, il n'y a pas « deux vecteurs égaux », il n'y en a qu'un, avec deux représentants. Et attention à la condition complète : « parallèles et de même longueur » ne suffit pas, il faut aussi le même sens — sinon $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$.
• Confondre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$. Le sens compte : ce sont deux vecteurs opposés, $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, aux coordonnées opposées.
• Inverser la soustraction. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $x_B - x_A$ (arrivée moins départ), jamais $x_A - x_B$. Une erreur de sens ici retourne tout le vecteur.
• Oublier l'effet du signe de $k$. Si $k \lt 0$, alors $k\vec{u}$ change le sens du vecteur en plus de sa longueur ; par exemple $-2\vec{u}$ pointe à l'opposé de $\vec{u}$.
• Traiter le vecteur nul comme les autres. $\vec{0}$ a une norme nulle et n'a ni direction ni sens définis : on ne le compare pas en direction avec un autre vecteur.
• Utiliser la formule de la norme dans un repère quelconque. $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ n'est la longueur $AB$ que si la base est orthonormée. Vérifie l'énoncé avant de dégainer la racine.

Dernier conseil de rédaction : pour une norme, laisse la racine visible jusqu'au bout ($\sqrt{25}$ puis $5$). Sauter des étapes fait perdre les points de méthode, même quand le résultat final est juste.

La colinéarité, la suite directe

Tu sais multiplier un vecteur par un nombre. Pose-toi la question inverse : deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ peuvent-ils être « alignés » ? Oui, dès que l'un est un multiple de l'autre.

On dit que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre $k$ tel que $\vec{v} = k\,\vec{u}$. Géométriquement, ils ont la même direction (droites porteuses parallèles), quels que soient leurs sens et leurs longueurs.

À quoi ça sert ? À prouver que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés : il suffit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ soient colinéaires. Et pour tester la colinéarité de $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sans chercher $k$ à la main, on calcule le déterminant $x y' - y x'$ : il vaut $0$ exactement quand les vecteurs sont colinéaires. C'est l'objet direct de la fiche suivante de ton programme.

Et le milieu. Autre traduction vectorielle qui arrive vite : $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ce qui s'écrit aussi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$. Deux écritures du même fait, très commodes en démonstration.

Pourquoi ça marche : l'idée derrière les formules

Trois résultats qu'on t'a fait admettre méritent une justification — c'est le recul qu'on attendra de toi de plus en plus.

D'où sortent les coordonnées $x_B - x_A$ ? Le point $A(x_A\,;\,y_A)$ se lit comme le déplacement depuis l'origine $O$ : $\overrightarrow{OA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$. Or, par Chasles avec le point $O$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. En soustrayant coordonnée par coordonnée, on retrouve $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$. La formule n'a rien de magique : c'est Chasles déguisé.

Pourquoi Chasles est-il vrai ? Parce qu'un vecteur est un déplacement. Aller de $A$ à $C$ directement, ou passer par $B$ en chemin, produit exactement le même déplacement global : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Et la norme ? Dans un repère orthonormé, $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$ sont les deux côtés d'un triangle rectangle dont $\overrightarrow{AB}$ est l'hypoténuse. La formule $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ n'est que le théorème de Pythagore réécrit.

La suite : cette année, puis en Première

Ces flèches ouvrent trois chantiers — deux d'entre eux sont encore au programme de seconde :

• La colinéarité et le déterminant (cette année). Le critère $xy' - yx' = 0$ pour tester si deux vecteurs ont la même direction, et ses deux usages : montrer que trois points sont alignés, montrer que deux droites sont parallèles.
• Les équations de droites (cette année aussi). Une droite se décrit par un vecteur directeur, celui qui donne sa direction ; on en tire l'équation cartésienne, l'équation réduite et la pente. C'est le chapitre qui suit immédiatement les vecteurs.
• Le produit scalaire (en Première). Une nouvelle opération $\vec{u} \cdot \vec{v}$ qui, cette fois, sait mesurer un angle : elle dira si deux vecteurs sont perpendiculaires et permettra de calculer angles et longueurs.

Autrement dit, le petit $\overrightarrow{AB}$ de la 2^de est la brique de base de presque toute la géométrie du lycée. Bien le maîtriser maintenant, c'est se simplifier deux années d'un coup.