Mathématiques2ndeGeometrieFiche de cours
Vecteurs : définition et opérations
Un vecteur encode un déplacement — direction, sens, longueur : trois données, un objet.
1 L'idée
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente le déplacement du point $A$ vers le point $B$. Il est entièrement caractérisé par trois éléments :
- Direction : la droite qui porte le déplacement.
- Sens : de $A$ vers $B$ (et non de $B$ vers $A$).
- Norme : la longueur $AB$, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$.
Deux vecteurs sont égaux s'ils partagent la même direction, le même sens et la même norme, quel que soit leur point d'application.
2 Coordonnées d'un vecteur dans un repère
Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)
Norme
\(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
Vecteur nul
\(\overrightarrow{AA} = \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
3 Coordonnées et norme — exemple
Exemple A
Soient $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,-1)$.
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}$
$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
4 Opérations sur les vecteurs
Relation de Chasles
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)
Addition (coordonnées)
\(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix}\)
Multiplication par un scalaire
\(k \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka \\ kb \end{pmatrix}\)
Vecteur opposé
\(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)
Méthode — utiliser la relation de Chasles
- Repérer les points intermédiaires disponibles.
- Décomposer le vecteur voulu en une chaîne : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
- Si un vecteur rebrousse chemin, retourner son sens : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
- Additionner les coordonnées terme à terme.
Erreurs fréquentes
- $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA}$ : le sens compte. On a $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $x_B - x_A$ (arrivée moins départ), jamais $x_A - x_B$.
- Si $k \lt 0$, multiplier $\vec{u}$ par $k$ inverse le sens du vecteur.
- Le vecteur nul $\vec{0}$ n't a pas de direction définie : il ne faut pas le confondre avec un vecteur unitaire.