Calcul algébrique : développer et factoriser

Deux opérations inverses — l'une distribue un produit, l'autre regroupe une somme.

1 L'idée

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme en appliquant la distributivité. Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit.
Les deux formes sont égales ; on choisit selon le problème — la forme factorisée est utile pour résoudre des équations ou simplifier des fractions, la forme développée pour comparer ou réduire.

2 Distributivité

Simple

$k(a + b) = ka + kb$

Double

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

3 Identités remarquables

Carré d'une somme

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Carré d'une différence

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Produit conjugué

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

4 Développer

Double distributivité

$(2x+3)(x-4) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-4) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4)$

$= 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$

Identité remarquable

$(x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Méthode — Factoriser

Repérer un facteur commun à tous les termes et le mettre en évidence : $6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$.
Reconnaître une différence de carrés $a^2 - b^2$ et écrire $(a-b)(a+b)$.
Reconnaître un carré parfait $a^2 \pm 2ab + b^2$ et écrire $(a \pm b)^2$.
Vérifier en redéveloppant le résultat obtenu.

Erreurs fréquentes

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : le terme $2ab$ est indispensable.
Signe devant une parenthèse : $-(a - b) = -a + b$, pas $-a - b$.
La somme $a^2 + b^2$ ne se factorise pas (en Seconde).
Factorisation incomplète : vérifier qu'aucun facteur commun ne subsiste dans les termes.