Calcul algébrique : développer et factoriser

Les prérequis à avoir en tête

Avant de commencer, trois réflexes que tu connais déjà :

• La distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$. On multiplie ce qui est devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur.
• Les règles de signes : $+ \times - = -$ et $- \times - = +$.
• Le produit d'une lettre par elle-même : $x \times x = x^2$.

Avec ça, tu as tout ce qu'il faut pour la suite. On ne te demande rien de plus.

L'essentiel, et la formule qui sauve

Développer, c'est enlever les parenthèses : on passe d'un produit (des choses multipliées) à une somme (des choses additionnées). Factoriser, c'est l'inverse : on remet des parenthèses, on passe d'une somme à un produit.

La formule reine pour développer un produit de deux parenthèses :

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Traduction : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. La figure montre pourquoi ça marche — l'aire du grand rectangle est la somme des aires des quatre petits.

Un exemple fait en entier

Développe $(2x+3)(x-4)$. On multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second, en gardant bien les signes.

$(2x+3)(x-4) = 2x \times x + 2x \times (-4) + 3 \times x + 3 \times (-4)$

$= 2x^2 - 8x + 3x - 12$

On regroupe les termes en $x$ : $-8x + 3x = -5x$.

$= 2x^2 - 5x - 12$

Et voilà, c'est développé. Le produit du départ et la somme de l'arrivée sont deux écritures de la même expression : elles donnent le même nombre pour n'importe quelle valeur de $x$.

Développer et factoriser : les définitions

Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme à l'aide de la distributivité. Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en un produit.

Les deux formes sont égales — elles décrivent le même nombre quelle que soit la valeur de $x$. On choisit l'une ou l'autre selon ce qu'on veut faire :

• La forme factorisée (un produit) est utile pour résoudre une équation ou simplifier une fraction.
• La forme développée (une somme) est utile pour comparer ou réduire des expressions.

Aucune n'est « meilleure » : elles rendent des services différents.

La distributivité, simple et double

Toute la mécanique du développement repose sur la distributivité.

Distributivité simple : $k(a+b) = ka + kb$.

Distributivité double : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

Méthode pas à pas pour développer :

• Repérer combien de termes contient chaque parenthèse.
• Multiplier chaque terme de la première par chaque terme de la seconde, en conservant les signes.
• Réduire : regrouper les termes semblables (les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble, les constantes ensemble).

Les identités remarquables

Ce sont des développements qui reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur. Elles se lisent dans les deux sens — c'est ça qui les rend précieuses pour factoriser.

Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Produit conjugué (différence de deux carrés) : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

La figure éclaire la première : un carré de côté $a+b$ se découpe en un carré $a^2$, un carré $b^2$ et deux rectangles d'aire $ab$ — d'où le terme $2ab$ au milieu.

Exemple traité. $(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.

Développer avec une identité remarquable

On développe $(3x-2)^2$ ensemble. C'est un carré d'une différence : on repère $a = 3x$ et $b = 2$, puis on applique $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

On prépare les trois morceaux : $a^2 = (3x)^2$, puis $2ab = 2 \times 3x \times 2$, puis $b^2 = 2^2$.

$(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2$

On calcule chaque morceau. Attention à $(3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2$ : on élève au carré le $3$ et le $x$.

$= 9x^2 - 12x + 4$

Fini. Piège classique évité : on n'a surtout pas écrit $9x^2 + 4$ — le terme du milieu $-12x$ est bien là.

Factoriser par un facteur commun

On factorise $6x^2 - 9x$. Objectif : faire apparaître un facteur commun à tous les termes.

On regarde d'abord les nombres : $6$ et $9$ ont pour plus grand diviseur commun $3$. Puis les lettres : $x^2$ et $x$ ont $x$ en commun. Le facteur commun est donc $3x$.

On réécrit chaque terme sous la forme $3x \times (\text{quelque chose})$ : $6x^2 = 3x \times 2x$ et $9x = 3x \times 3$.

$6x^2 - 9x = 3x \times 2x - 3x \times 3$

On met $3x$ en facteur devant une parenthèse :

$= 3x(2x - 3)$

Vérification (le réflexe qui rassure) : on redéveloppe $3x(2x-3) = 6x^2 - 9x$. On retombe bien sur le point de départ.

Factoriser avec une identité remarquable

On factorise $x^2 - 9$. Ici, pas de facteur commun (le second terme n'a pas de $x$), mais une différence de deux carrés se cache.

On réécrit $9$ comme un carré : $9 = 3^2$. L'expression devient $x^2 - 3^2$, qui a exactement la forme $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = 3$.

On applique $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ :

$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$

Vérification : $(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$. Les termes $-3x$ et $+3x$ s'annulent : c'est bon.

Ce que le correcteur attend, et les pièges

Au contrôle, la bonne réponse ne suffit pas : le correcteur veut voir la méthode. Voici ce qui rapporte les points.

• Nommer l'outil : dire « facteur commun », « différence de carrés » ou « carré parfait », et écrire la forme $a^2 - b^2$ ou $(a \pm b)^2$ avec tes $a$ et $b$ identifiés.
• Montrer les étapes : une ligne par transformation, pas de saut magique.
• Vérifier en redéveloppant : ça se voit et ça sécurise.
• Factoriser complètement : s'il reste un facteur commun, ce n'est pas fini.

Les pièges qui coûtent le plus cher :

• $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : le double produit $2ab$ est obligatoire.
• Le signe devant une parenthèse : $-(a-b) = -a + b$, et surtout pas $-a - b$.
• La somme $a^2 + b^2$ ne se factorise pas en Seconde — ne cherche pas.
• Factorisation incomplète : oublier de sortir un dernier facteur commun.

Problème type 1 : reconnaître une identité, puis finir

Énoncé. Factoriser complètement $A = (2x-1)^2 - 9$.

Premier réflexe : y a-t-il une identité remarquable ? On voit un carré, $(2x-1)^2$, moins un nombre. Et $9 = 3^2$. C'est donc une différence de deux carrés $a^2 - b^2$ avec $a = 2x-1$ et $b = 3$.

On applique $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, en gardant les parenthèses autour de $2x-1$ :

$A = \big[(2x-1) - 3\big]\big[(2x-1) + 3\big]$

On réduit chaque crochet : $(2x-1) - 3 = 2x - 4$ et $(2x-1) + 3 = 2x + 2$.

$A = (2x-4)(2x+2)$

Ce n'est pas fini : chaque parenthèse a encore un facteur commun. $2x - 4 = 2(x-2)$ et $2x + 2 = 2(x+1)$.

$A = 2(x-2) \times 2(x+1) = 4(x-2)(x+1)$

Voilà la factorisation complète. C'est ce dernier pas (sortir les deux $2$) qui fait la différence entre « presque » et « tous les points ».

Problème type 2 : le facteur commun est une parenthèse

Énoncé. Factoriser $B = (x+3)(2x-1) + (x+3)(x+4)$.

Ici, le facteur commun n'est ni un nombre ni une lettre seule : c'est une parenthèse entière, $(x+3)$, présente dans les deux morceaux.

On met $(x+3)$ en facteur ; dans le crochet, il reste ce qui multipliait $(x+3)$ dans chaque terme :

$B = (x+3)\big[(2x-1) + (x+4)\big]$

On réduit le crochet : $(2x-1) + (x+4) = 3x + 3$.

$B = (x+3)(3x+3)$

Toujours pas fini : $3x + 3 = 3(x+1)$ a un facteur commun.

$B = 3(x+3)(x+1)$

On vérifie qu'aucun facteur commun ne subsiste : c'est complet.

À quoi ça sert vraiment : l'équation-produit

Pourquoi s'acharner à factoriser ? Parce qu'un produit est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs est nul — c'est la règle du produit nul. Une équation devient alors un jeu d'enfant.

Exemple : résoudre $x^2 - 9 = 0$. Sous forme développée, on ne sait pas trop par où la prendre. Mais on sait la factoriser : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

L'équation devient $(x-3)(x+3) = 0$, donc $x - 3 = 0$ ou $x + 3 = 0$, c'est-à-dire $x = 3$ ou $x = -3$.

Voilà pourquoi on disait que la forme factorisée sert à résoudre des équations : elle transforme un problème en deux mini-problèmes évidents.

Pourquoi les formules sont vraies : la preuve par les aires

Les identités remarquables ne tombent pas du ciel : on peut les voir.

Le carré d'une somme. Un carré de côté $a+b$ a pour aire $(a+b)^2$. Découpe-le : tu obtiens un carré $a^2$, un carré $b^2$ et deux rectangles identiques d'aire $ab$. En additionnant : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

La différence de carrés. Prends un carré d'aire $a^2$ et retire-lui, dans un coin, un carré d'aire $b^2$ (c'est la figure). L'équerre qui reste a pour aire $a^2 - b^2$ ; en la redécoupant et en la recollant, on obtient un rectangle de côtés $a+b$ et $a-b$, d'où $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

Et la double distributivité ? Elle se déduit de la simple : $(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd$. On applique juste deux fois $k(a+b) = ka + kb$.

L'horizon : trinômes, discriminant, fractions

Ce que ces outils préparent, dès la Première :

• Le trinôme du second degré $ax^2 + bx + c$ : sa forme canonique se construit en complétant un carré (c'est un $(a \pm b)^2$ lu à l'envers), et son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ dit s'il peut se factoriser.
• Les équations et inéquations produit, généralisation directe de ce qu'on vient de voir avec la règle du produit nul.
• La simplification de fractions : quand le numérateur et le dénominateur se factorisent, on simplifie le facteur commun — par exemple $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3$ (pour $x \neq -3$).

Autrement dit, développer et factoriser ne sont pas un chapitre isolé : c'est la grammaire de tout le calcul des deux prochaines années.