Contrôle bientôt, et tu tombes sur ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ sans jamais les avoir croisés ? Respire. Ici il n'y a pas de calcul piégeux, juste du rangement : cinq boîtes, une règle, et tu sais classer n'importe quel nombre.
Les prérequis (rien de méchant)
Trois choses que tu connais déjà, juste pour être au clair :
- un entier, c'est un nombre sans virgule : $0$, $3$, $-7$ ;
- une fraction $\dfrac{p}{q}$, c'est un partage : $\dfrac{3}{4}$ se lit « trois quarts » ;
- un nombre décimal, c'est un nombre à virgule qui s'arrête : $0{,}075$.
Enfin, $\sqrt{\phantom{x}}$ se lit « racine carrée » : $\sqrt{2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $2$. Rien d'autre n'est requis.
L'essentiel : cinq boîtes emboîtées
Les nombres se rangent dans cinq ensembles emboîtés, comme des poupées russes. Chaque boîte contient toutes les précédentes :
Un nombre appartient souvent à plusieurs boîtes à la fois. Pour le classer, on donne toujours la plus petite boîte qui le contient.
Un exemple, du début à la fin
Étape 1. $-7$ est un entier, mais il est négatif : il n'est pas dans $\mathbb{N}$, qui commence à $0$.
Étape 2. Les entiers négatifs vivent dans $\mathbb{Z}$, donc $-7 \in \mathbb{Z}$.
Étape 3. Comme $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, on a aussi $-7 \in \mathbb{D}$, $-7 \in \mathbb{Q}$ et $-7 \in \mathbb{R}$.
Conclusion. La plus petite boîte est $\mathbb{Z}$ : $-7$ est un entier relatif. Et voilà, tu sais classer.
Les symboles te reviennent. On reprend tout au propre : les vraies définitions, la différence exacte entre décimal, rationnel et irrationnel, et une méthode que tu ressortiras en contrôle sans réfléchir.
Les cinq ensembles, définis proprement
Chaque ensemble a une définition précise. Rappel : $\in$ se lit « appartient à », et $\subset$ « est inclus dans ».
- Entiers naturels : $\mathbb{N} = \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \ldots\}$.
- Entiers relatifs : $\mathbb{Z} = \{\ldots,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, \ldots\}$.
- Décimaux : $\mathbb{D} = \left\{\dfrac{a}{10^{n}} \mid a \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}\right\}$ — un décimal s'écrit avec un dénominateur qui est une puissance de $10$.
- Rationnels : $\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z}^{*}\right\}$, où $\mathbb{Z}^{*}$ est $\mathbb{Z}$ privé de $0$ (jamais de division par $0$).
- Réels : $\mathbb{R}$ regroupe tous les nombres, rationnels et irrationnels — ce sont les abscisses de la droite graduée.
Ils s'emboîtent ainsi : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Chaque inclusion est stricte : il existe des nombres de $\mathbb{Z}$ hors de $\mathbb{N}$, de $\mathbb{Q}$ hors de $\mathbb{D}$, etc.
Fini, périodique, ou ni l'un ni l'autre
La différence entre $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ se lit sur le développement décimal (les chiffres après la virgule) :
- Fini : la virgule s'arrête. Le nombre est décimal ($\in \mathbb{D}$). Exemple : $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$.
- Infini mais périodique : un motif se répète sans fin. Le nombre est rationnel ($\in \mathbb{Q}$) mais pas décimal. Exemple : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$, donc $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ et $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
- Infini et non périodique : aucun motif ne se répète. Le nombre est irrationnel : $\in \mathbb{R}$ mais $\notin \mathbb{Q}$. Exemples : $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.
Autrement dit : un rationnel est toujours une fraction d'entiers ; un irrationnel ne peut jamais s'écrire comme une telle fraction. Sur la droite, ils cohabitent pourtant côte à côte :
La méthode pas-à-pas pour classer un nombre
Pour trouver la plus petite boîte, déroule toujours les mêmes questions, de la plus petite vers la plus grande :
1. Est-il entier ? Entier $\geq 0 \Rightarrow \mathbb{N}$. Entier négatif $\Rightarrow \mathbb{Z}$.
2. Sinon, mets-le en fraction irréductible : si le dénominateur ne contient que des $2$ et des $5$, il est décimal $\Rightarrow \mathbb{D}$.
3. Sinon, si c'est une fraction d'entiers (développement périodique) $\Rightarrow \mathbb{Q}$.
4. Sinon (racine non exacte, $\pi$, développement non périodique) $\Rightarrow \mathbb{R}$ seulement : c'est un irrationnel.
Une racine carrée n'est irrationnelle que si elle « ne tombe pas juste ». $\sqrt{9} = 3$ est un entier : il faut calculer avant de conclure.
On enlève la théorie et on met les mains dans le cambouis. Trois nombres, on les classe ensemble, ligne par ligne — tu suis le raisonnement, et à la fin tu le refais les yeux fermés.
Ex 1 — On classe 3/4
Ligne 1. $\dfrac{3}{4}$ n'est pas un nombre rond : ce n'est ni $\mathbb{N}$ ni $\mathbb{Z}$.
Ligne 2. On teste $\mathbb{D}$. La fraction est déjà irréductible, et $4 = 2 \times 2$ : uniquement des facteurs $2$. Bon signe.
Ligne 3. On force un dénominateur puissance de $10$ : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75$. Le développement s'arrête.
Ligne 4. Donc $\dfrac{3}{4} \in \mathbb{D}$, et comme $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, aussi $\dfrac{3}{4} \in \mathbb{Q}$ et $\dfrac{3}{4} \in \mathbb{R}$.
Conclusion. Plus petite boîte : $\mathbb{D}$. C'est un nombre décimal.
Ex 2 — On classe 1/3
Ligne 1. Pas un entier : on saute $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$.
Ligne 2. On teste $\mathbb{D}$. Le dénominateur est $3$ : ce n'est ni $2$ ni $5$. Mauvais signe pour $\mathbb{D}$.
Ligne 3. On pose la division : $1 \div 3 = 0{,}3333\ldots$ Le chiffre $3$ se répète indéfiniment : développement infini périodique. Donc $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Ligne 4. Mais $\dfrac{1}{3}$ est bien une fraction de deux entiers : $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$, donc $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{R}$.
Conclusion. Plus petite boîte : $\mathbb{Q}$. Un rationnel qui n'est pas décimal — la nuance à ne pas rater.
Ex 3 — Le duel des racines : √9 et √2
$\sqrt{9}$ — Ligne 1. Réflexe : on calcule avant de parler. $3 \times 3 = 9$, donc $\sqrt{9} = 3$.
$\sqrt{9}$ — Ligne 2. $3$ est un entier positif : $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$. Plus petite boîte : $\mathbb{N}$ (le piège classique déjoué).
$\sqrt{2}$ — Ligne 1. On cherche un nombre dont le carré vaut $2$ : $1^{2} = 1$ (trop petit), $2^{2} = 4$ (trop grand). Aucun entier, aucune fraction ne convient.
$\sqrt{2}$ — Ligne 2. Son développement $1{,}41421356\ldots$ est infini et non périodique : $\sqrt{2}$ est irrationnel.
$\sqrt{2}$ — Conclusion. Plus petite (et seule) boîte : $\mathbb{R}$. On a $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
Niveau contrôle pour de vrai. On muscle la méthode qui départage 𝔻 et ℚ, on résout un problème type comme au tableau, et on liste ce que le correcteur coche — et ce qui fait perdre des points.
La méthode 𝔻 au propre : le critère « 2 et 5 »
La question qui tombe le plus souvent : « ce nombre est-il décimal ? ». Il existe un critère infaillible. Une fois la fraction irréductible, on décompose son dénominateur en facteurs premiers.
La fraction est dans $\mathbb{D}$ si et seulement si son dénominateur (sous forme irréductible) ne contient que des facteurs $2$ et/ou $5$.
Exemple qui marche : $\dfrac{3}{40}$. $40 = 2^{3} \times 5$ : uniquement des $2$ et un $5$, donc $\dfrac{3}{40} \in \mathbb{D}$. Vérification : $\dfrac{3}{40} = \dfrac{75}{1000} = 0{,}075$.
Contre-exemple : $\dfrac{5}{12}$. $12 = 2^{2} \times 3$ : le facteur $3$ interdit $\mathbb{D}$. Donc $\dfrac{5}{12} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{D}$ (rationnel non décimal).
À ne pas oublier : simplifier d'abord. $\dfrac{6}{15}$ semble contenir un $3$, mais $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ : dénominateur $5$, donc c'est bien un décimal, $0{,}4$.
Un problème type, entièrement résolu
Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$) auquel il appartient, en justifiant : $A = \dfrac{18}{4}$, $B = \dfrac{7}{6}$, $C = \sqrt{16}$, $D = \dfrac{-10}{5}$.
Nombre $A = \dfrac{18}{4}$. On simplifie : $\dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}$. Le dénominateur $2$ n'a qu'un facteur $2$ : $A$ est décimal, $\dfrac{9}{2} = 4{,}5$. Ce n'est pas un entier. Plus petit ensemble : $\mathbb{D}$.
Nombre $B = \dfrac{7}{6}$. Irréductible, et $6 = 2 \times 3$ : le facteur $3$ interdit $\mathbb{D}$. La division donne $7 \div 6 = 1{,}1666\ldots$ (périodique), c'est un rationnel non décimal. Plus petit ensemble : $\mathbb{Q}$.
Nombre $C = \sqrt{16}$. On calcule : $4^{2} = 16$, donc $\sqrt{16} = 4$, entier positif. Plus petit ensemble : $\mathbb{N}$.
Nombre $D = \dfrac{-10}{5}$. On calcule : $\dfrac{-10}{5} = -2$, entier mais négatif, donc hors de $\mathbb{N}$. Plus petit ensemble : $\mathbb{Z}$.
Bilan. $A \in \mathbb{D}$, $B \in \mathbb{Q}$, $C \in \mathbb{N}$, $D \in \mathbb{Z}$ — et chacun appartient aussi à toutes les boîtes plus grandes.
Ce que le correcteur attend + les pièges
- donner le plus petit ensemble, pas seulement $\mathbb{R}$ (toujours vrai, mais ça ne prouve rien) ;
- justifier : simplification, décomposition du dénominateur, ou développement décimal — jamais une réponse sèche ;
- simplifier avant de conclure.
- oublier que $0 \in \mathbb{N}$ : en convention française, zéro est un entier naturel ;
- croire la réciproque de $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ : c'est faux, $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$ ;
- déclarer une racine irrationnelle sans calculer : $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$ ;
- oublier que tout entier est décimal : $n = \dfrac{n}{10^{0}} \in \mathbb{D}$, donc $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.
Tu maîtrises le classement ? On regarde par-dessus la clôture du programme : pourquoi √2 est vraiment irrationnel, comment ℝ remplit la droite sans le moindre trou, et ce qui t'attend l'an prochain quand les nombres se remettront à grandir.
Pourquoi √2 est irrationnel (l'idée de la preuve)
On affirme depuis tout à l'heure que $\sqrt{2}$ n'est pas une fraction. On peut vraiment le démontrer, par l'absurde — un des plus beaux raisonnements du lycée.
Étape 1. Supposons le contraire : $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec la fraction irréductible ($p$ et $q$ sans facteur commun).
Étape 2. On élève au carré : $2 = \dfrac{p^{2}}{q^{2}}$, donc $p^{2} = 2\,q^{2}$. Ainsi $p^{2}$ est pair.
Étape 3. Si $p^{2}$ est pair, alors $p$ est pair : on écrit $p = 2k$.
Étape 4. On remplace : $(2k)^{2} = 2\,q^{2}$, soit $4k^{2} = 2\,q^{2}$, donc $q^{2} = 2k^{2}$. Alors $q^{2}$ est pair, donc $q$ est pair.
Étape 5. $p$ et $q$ sont tous les deux pairs : ils ont le facteur $2$ en commun. Contradiction avec « irréductible » !
Conclusion. L'hypothèse était impossible : $\sqrt{2}$ ne s'écrit pas comme une fraction, c'est un irrationnel.
Pourtant $\sqrt{2}$ est une longueur bien réelle : la diagonale d'un carré de côté $1$. Un nombre qu'on peut dessiner mais pas écrire en fraction, voilà l'irrationnel en image.
ℝ, la droite sans trou
Pourquoi inventer $\mathbb{R}$ si $\mathbb{Q}$ contient déjà toutes les fractions ? Parce que $\mathbb{Q}$ a des trous : aucune fraction n'est égale à $\sqrt{2}$, donc un point de la droite graduée « manque » dans $\mathbb{Q}$.
L'ensemble $\mathbb{R}$ est précisément celui qui remplit toute la droite, sans aucun trou : à chaque point correspond un réel, et à chaque réel un point.
Curiosité pour plus tard : entre deux fractions, aussi proches soient-elles, on peut toujours en glisser une autre — et pourtant il y a « bien plus » d'irrationnels que de rationnels. La droite est beaucoup plus peuplée qu'elle n'en a l'air.
Rendez-vous l'an prochain
- Intervalles et valeurs approchées : on manipulera $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ dans des encadrements, et on notera des morceaux de $\mathbb{R}$ comme $[0\,;\,1]$.
- Fonctions de référence : la fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ prolonge tout ce que tu viens de voir.
- En terminale : un ensemble encore plus grand, les nombres complexes $\mathbb{C}$, où même $\sqrt{-1}$ trouve sa place. La chaîne gagne un dernier maillon : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
- Le lien à garder : classer un nombre, c'est déjà raisonner sur des ensembles. Le vocabulaire $\in$, $\subset$, $\setminus$ te resservira partout en maths.