Ensembles de nombres : ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

Classer un nombre, c'est savoir dans quel ensemble il vit — du plus petit (ℕ) au plus grand (ℝ).

1 L'idée

Les nombres se classent en cinq ensembles emboîtés. Chaque ensemble contient le précédent : un nombre qui appartient à $\mathbb{N}$ appartient automatiquement à $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$.

La chaîne d'inclusion est $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. Pour classer un nombre avec précision, on indique le plus petit ensemble auquel il appartient.

2 Les cinq ensembles

Entiers naturels ℕ

$\mathbb{N} = \{0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \ldots\}$

Entiers relatifs ℤ

$\mathbb{Z} = \{\ldots,\; {-2},\; {-1},\; 0,\; 1,\; 2,\; \ldots\}$

Décimaux 𝔻

$\mathbb{D} = \left\{\dfrac{a}{10^n} \mid a \in \mathbb{Z},\; n \in \mathbb{N}\right\}$

Rationnels ℚ

$\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z},\; q \in \mathbb{Z}^*\right\}$

Réels ℝ

$\mathbb{R} \text{ : tous les nombres (rationnels et irrationnels)}$

Inclusion

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

3 Rationnels et irrationnels

Tout nombre de $\mathbb{Q}$ a un développement décimal fini (s'il est dans $\mathbb{D}$) ou infini mais périodique. Exemple : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ est périodique, donc $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.

Un nombre irrationnel appartient à $\mathbb{R}$ mais pas à $\mathbb{Q}$ : son développement décimal est infini et non périodique. Exemples : $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$.

4 Exemples de classement

Exemple A — $-7$

$-7 \in \mathbb{Z}$ (entier négatif), donc aussi $-7 \in \mathbb{D}$, $-7 \in \mathbb{Q}$, $-7 \in \mathbb{R}$.

$-7 \notin \mathbb{N}$ car $-7 \lt 0$.

Exemple B — $\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$ : écriture avec dénominateur $10^2$, donc $\dfrac{3}{4} \in \mathbb{D}$.

$\dfrac{3}{4} \in \mathbb{Q}$ et $\dfrac{3}{4} \in \mathbb{R}$, mais $\dfrac{3}{4} \notin \mathbb{Z}$.

Exemple C — $\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ : développement infini périodique $\Rightarrow$ $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.

$\dfrac{1}{3}$ est une fraction d'entiers $\Rightarrow$ $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$, $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{R}$.

Méthode — tester si une fraction appartient à 𝔻

Exemple : $\dfrac{3}{40}$ — $40 = 2^3 \times 5$, seuls facteurs 2 et 5 $\Rightarrow$ $\in \mathbb{D}$. Vérification : $\dfrac{3}{40} = \dfrac{75}{1000} = 0{,}075$.

Contre-exemple : $\dfrac{5}{12}$ — $12 = 2^2 \times 3$, le facteur $3$ exclut $\mathbb{D}$ $\Rightarrow$ $\in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{D}$.

Simplifier la fraction sous forme irréductible.
Décomposer le dénominateur en facteurs premiers.
Si le dénominateur n'a que des facteurs $2$ et/ou $5$, alors la fraction est dans $\mathbb{D}$.
Sinon, la fraction est dans $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{D}$ (rationnel non décimal).

Erreurs fréquentes

$0 \in \mathbb{N}$ (convention française) : zéro est un entier naturel.
La réciproque de $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ est fausse : $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{1}{3} \notin \mathbb{D}$.
Ne pas conclure qu'une racine carrée est irrationnelle sans calculer : $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$.
Tout entier est décimal : $n = \dfrac{n}{10^0} \in \mathbb{D}$, donc $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.