Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre ? Pas de panique : on reprend les bases des équations et inéquations du premier degré, et on plonge en douceur dans le second degré et les systèmes. En route pour devenir fonctionnel avant le contrôle !
Rappel : Équation du premier degré (3ème)
Une équation du premier degré s'écrit sous la forme $ax + b = cx + d$ (après développement). Pour résoudre :
- Regrouper les termes en $x$ dans un membre, les constantes dans l'autre.
- Isoler $x$ en divisant par son coefficient.
Exemple : $3x - 7 = 2x + 5$
On soustrait $2x$ des deux côtés : $x - 7 = 5$
On ajoute $7$ : $x = 12$.
Inéquation du premier degré et règle du sens
Pour résoudre une inéquation du premier degré, on procède comme pour une équation, mais attention : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.
Exemple : $-3x + 1 \leq 7$
On soustrait $1$ : $-3x \leq 6$
On divise par $-3$ (négatif) : $x \geq -2$.
Équation produit nul (rappel 3ème)
Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. Ainsi, pour résoudre $(x - a)(x - b) = 0$, on écrit : $x - a = 0$ ou $x - b = 0$, donc $x = a$ ou $x = b$.
Exemple : $(x-3)(x+2)=0$ donne $x=3$ ou $x=-2$.
Équation du type $x^2 = a$ (rappel 3ème)
Si $a > 0$, l'équation $x^2 = a$ admet deux solutions : $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$.
Si $a = 0$, une seule solution : $x = 0$.
Si $a < 0$, aucune solution réelle.
Exemple : $x^2 = 9$ donne $x = 3$ ou $x = -3$.
Premier regard sur le second degré
Une équation du second degré est de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a
eq 0$. Pour l'instant, retiens cette forme. Dans les paliers suivants, on verra une méthode générale pour les résoudre (discriminant).
Système de deux équations à deux inconnues
Un système impose deux conditions en même temps sur $x$ et $y$. La solution est un couple $(x;y)$ qui vérifie les deux équations. On apprendra plus tard à le résoudre par substitution ou combinaison.
À toi de jouer
1. Complète : L'équation $3x - 7 = 2x + 5$ est du $\underline{\hspace{1.1em}}$ degré. En regroupant, on obtient $3x - \underline{\hspace{1.1em}} x = 5 + 7$, donc $\underline{\hspace{1.1em}} x = 12$, et finalement $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
L'équation $3x - 7 = 2x + 5$ est du premier degré. En regroupant, on obtient $3x - 2x = 5 + 7$, donc $1x = 12$, et finalement $x = 12$.
2. Complète : $(x-3)(x+2)=0$ est une équation $\underline{\hspace{1.1em}}$. Pour qu'un produit soit nul, il faut que $\underline{\hspace{1.1em}}$ ou $\underline{\hspace{1.1em}}$ soit nul. Donc $x-3 = 0$ ou $x+2 = 0$, ce qui donne $x = \underline{\hspace{1.1em}}$ ou $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$(x-3)(x+2)=0$ est une équation produit nul. Pour qu'un produit soit nul, il faut que $(x-3)$ ou $(x+2)$ soit nul. Donc $x-3 = 0$ ou $x+2 = 0$, ce qui donne $x = 3$ ou $x = -2$.
3. Complète : $x^2 = 9$ est une équation du $\underline{\hspace{1.1em}}$ degré. Comme $9 > 0$, elle admet $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions : $x = \sqrt{9} = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $x = -\sqrt{9} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$x^2 = 9$ est une équation du second degré. Comme $9 > 0$, elle admet deux solutions : $x = \sqrt{9} = 3$ et $x = -\sqrt{9} = -3$.
Le discriminant, les formules... Ça te revient ? On va reprendre tout ça de façon structurée, avec la méthode pas-à-pas. Plus qu'à appliquer !
Équation du second degré : forme générale
Une équation du second degré s'écrit $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a
eq 0$. On identifie les coefficients $a$, $b$ et $c$.
Le discriminant $\Delta$
On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
| Cas | Nombre de solutions | Solutions |
|---|
| $\Delta > 0$ | Deux solutions réelles | $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ |
| $\Delta = 0$ | Une solution double | $x_0 = \frac{-b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Aucune solution réelle | Pas de solution dans $\mathbb{R}$ |
Méthode pas-à-pas pour résoudre une équation du second degré
- Identifier $a$, $b$, $c$.
- Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Selon le signe de $\Delta$, conclure et écrire les solutions éventuelles.
Résoudre un système 2×2
Deux méthodes :
Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis remplacer dans l'autre.
Combinaison : multiplier les équations par des nombres pour éliminer une inconnue en additionnant.
Toujours vérifier le couple trouvé dans les deux équations.
À toi de jouer
1. Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ en suivant les étapes.
1) Identifier les coefficients : $a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2) Calculer $\Delta$ : $\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
3) Comme $\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions.
Calculer $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2\times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2\times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1) $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
2) $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$.
3) Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions.
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2\times 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$,
$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
2. Résoudre $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$\Delta = \underline{\hspace{1.1em}}^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} - (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions.
$x_1 = \frac{-\underline{\hspace{1.1em}} - \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2\times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
$x_2 = \frac{-\underline{\hspace{1.1em}} + \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2\times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$a = 2$, $b = 3$, $c = -2$.
$\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 - (-16) = 25$.
$\Delta > 0$, donc deux solutions.
$x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$,
$x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
3. Résoudre le système $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ par substitution.
De la première équation, on isole $y$ : $y = \underline{\hspace{1.1em}} - x$.
Dans la deuxième, on remplace : $2x - (\underline{\hspace{1.1em}} - x) = 1$, soit $2x - \underline{\hspace{1.1em}} + x = 1$, donc $3x - \underline{\hspace{1.1em}} = 1$, $3x = \underline{\hspace{1.1em}}$, $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Puis $y = 5 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Le couple solution est $(x;y) = (\underline{\hspace{1.1em}};\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$y = 5 - x$.
$2x - (5 - x) = 1$, $2x - 5 + x = 1$, $3x - 5 = 1$, $3x = 6$, $x = 2$.
$y = 5 - 2 = 3$.
Solution : $(2;3)$.
Place à la répétition : cinq équations du second degré à résoudre en calculant le discriminant. Même mécanique, des nombres différents. Tu vas finir par le faire les yeux fermés !
À toi de jouer
1. Pour $x^2 - 4x + 3 = 0$ :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Comme $\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Pour $x^2 - 4x + 3 = 0$ :
$a = 1$, $b = -4$, $c = 3$
$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$
Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions :
$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$
2. Pour $x^2 + 2x - 3 = 0$ :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} - (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Comme $\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Pour $x^2 + 2x - 3 = 0$ :
$a = 1$, $b = 2$, $c = -3$
$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 - (-12) = 16$
Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions :
$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$
3. Pour $2x^2 - x - 1 = 0$ :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} - (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Comme $\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} - \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} + \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Pour $2x^2 - x - 1 = 0$ :
$a = 2$, $b = -1$, $c = -1$
$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9$
Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions :
$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$
4. Pour $x^2 - 6x + 9 = 0$ :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Comme $\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ solution(s) :
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Pour $x^2 - 6x + 9 = 0$ :
$a = 1$, $b = -6$, $c = 9$
$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$
Comme $\Delta = 0$, il y a une solution double :
$x_0 = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = 3$
5. Pour $x^2 + x + 1 = 0$ :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Comme $\Delta \underline{\hspace{1.1em}} 0$, $\underline{\hspace{1.1em}}$ solution réelle.
Corrigé
Pour $x^2 + x + 1 = 0$ :
$a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$
Comme $\Delta < 0$, aucune solution réelle.
Passons aux choses sérieuses : un sujet de contrôle type. On mélange tout : équations, inéquation, système et problème. C'est le moment de montrer que tu maîtrises !
À toi de jouer
1. Résous l'équation suivante dans $\mathbb{R}$ : $5x - 3 = 2x + 9$.
Corrigé
$5x - 3 = 2x + 9 \implies 5x - 2x = 9 + 3 \implies 3x = 12 \implies x = 4$.
2. Résous l'équation du second degré : $x^2 - 8x + 12 = 0$.
Corrigé
$a=1$, $b=-8$, $c=12$. $\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16 > 0$. Deux solutions : $x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$, $x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$.
3. Résous l'inéquation $-5x + 2 \ge -8$ puis donne l'intervalle solution.
Corrigé
$-5x + 2 \ge -8 \implies -5x \ge -10$. On divise par $-5$ (négatif), le sens s'inverse : $x \le 2$. Intervalle : $]-\infty ; 2]$.
4. Résous le système $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ x - 2y = -4 \end{cases}$ par substitution, puis par combinaison (vérification).
Corrigé
Substitution : de (2), $x = 2y - 4$. Dans (1) : $2(2y - 4) + 3y = 13 \implies 4y - 8 + 3y = 13 \implies 7y = 21 \implies y = 3$. Puis $x = 2 \times 3 - 4 = 2$. Solution : $(2;3)$.
Combinaison : multiplions (2) par $-2$ : $-2x + 4y = 8$. Additionnons à (1) : $(2x+3y)+(-2x+4y)=13+8 \implies 7y=21 \implies y=3$. Puis $x = 2(3)-4 = 2$. Vérifié.
5. Un rectangle a un périmètre de $26$ cm. Sa longueur $L$ mesure $3$ cm de plus que sa largeur $l$.
a) Écrire le système de deux équations traduisant ces informations.
b) Résoudre ce système.
c) En déduire l'aire du rectangle.
Corrigé
a) Système : $\begin{cases} L = l + 3 \\ 2L + 2l = 26 \end{cases}$ ou plus simplement $\begin{cases} L = l + 3 \\ L + l = 13 \end{cases}$.
b) Substitution : on remplace $L$ par $l+3$ dans la 2e : $(l+3) + l = 13 \implies 2l + 3 = 13 \implies 2l = 10 \implies l = 5$ cm, donc $L = 5 + 3 = 8$ cm.
c) Aire = $L \times l = 8 \times 5 = 40$ cm².
Tu veux voir ce qui t'attend en 1ère ? Résoudre une inéquation du second degré avec un tableau de signes, et trouver l'intersection d'une droite et d'une parabole. Rien que ça !
À toi de jouer
1. Résous l'inéquation $(x - 2)(x + 5) < 0$ à l'aide d'un tableau de signes.
Corrigé
On étudie le signe de chaque facteur sur $\mathbb{R}$.
$x - 2 = 0 \iff x = 2$ ; $x + 5 = 0 \iff x = -5$.
Tableau de signes :
x | -∞ -5 2 +∞
x+5 | - 0 + +
x-2 | - - 0 +
Produit | + 0 - 0 +
Le produit est négatif entre les racines : $x \in ]-5 ; 2[$.
Solution : $]-5 ; 2[$.
2. On considère la parabole d'équation $y = x^2 - 3x + 2$ et la droite d'équation $y = 2x - 4$. Détermine les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes.
Corrigé
On résout $x^2 - 3x + 2 = 2x - 4$, soit $x^2 - 5x + 6 = 0$.
$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$.
Deux solutions : $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$, $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$.
Pour $x=2$, $y = 2\times 2 - 4 = 0$ ; pour $x=3$, $y = 2\times 3 - 4 = 2$.
Les points d'intersection sont $(2;0)$ et $(3;2)$.