Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre ? Pas de panique : on reprend les bases des équations et des inéquations du premier degré, on remet en place l'équation produit nul et l'équation du type $x^2 = a$, et on ajoute la nouveauté de l'année — l'équation quotient et sa valeur interdite. En route pour devenir fonctionnel avant le contrôle !

Rappel : équation du premier degré (3e)

Une équation du premier degré se ramène à $ax + b = cx + d$. Pour la résoudre :

  1. Regrouper les termes en $x$ dans un membre, les nombres dans l'autre.
  2. Isoler $x$ en divisant par son coefficient.
  3. Écrire l'ensemble des solutions $S$.

Exemple : $3x - 7 = 2x + 5$
On soustrait $2x$ des deux côtés : $x - 7 = 5$
On ajoute $7$ : $x = 12$, donc $S = \{12\}$.

Inéquation et règle du sens

On procède comme pour une équation, mais attention : si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité. La réponse s'écrit sous forme d'intervalle.

Exemple : $-3x + 1 \leq 7$
On soustrait $1$ : $-3x \leq 6$
On divise par $-3$ (négatif), le sens s'inverse : $x \geq -2$, donc $S = [-2\,;\,+\infty[$.

Équation produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Pour résoudre $A(x)B(x) = 0$, on résout donc $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$.

Exemple : $(x-3)(x+2)=0$ donne $x = 3$ ou $x = -2$, donc $S = \{-2\,;\,3\}$.

Équation du type $x^2 = a$

Si $a \gt 0$, l'équation $x^2 = a$ admet deux solutions : $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$.
Si $a = 0$, une seule solution : $x = 0$.
Si $a \lt 0$, aucune solution réelle.

Exemple : $x^2 = 9$ donne $x = 3$ ou $x = -3$, donc $S = \{-3\,;\,3\}$.

Nouveau : équation quotient et valeur interdite

Le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ n'existe que si $B(x) \neq 0$. Les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites ; tous les autres réels forment l'ensemble de définition, qu'on écrit avant de résoudre.

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et que la valeur trouvée n'est pas interdite.

Exemple : pour $\dfrac{x + 2}{x - 5}$, la valeur interdite est $5$ et l'ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{5\}$. Ce quotient est nul pour $x = -2$, qui est bien autorisé : $S = \{-2\}$.

Écrire l'ensemble des solutions

Accolades pour un nombre fini de solutions : $S = \{4\}$, $S = \{-2\,;\,3\}$.
Intervalle ou réunion d'intervalles pour une inéquation : $S = [-2\,;\,+\infty[$, $S = ]-\infty\,;\,-3] \;\cup\; ]1\,;\,+\infty[$.
$S = \varnothing$ si aucune valeur ne convient, $S = \mathbb{R}$ si toutes conviennent.

À toi de jouer

1. Complète : l'équation $3x - 7 = 2x + 5$ est du $\underline{\hspace{1.1em}}$ degré. En regroupant, on obtient $3x - \underline{\hspace{1.1em}} x = 5 + 7$, donc $\underline{\hspace{1.1em}} x = 12$, et finalement $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. On conclut : $S = \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
L'équation $3x - 7 = 2x + 5$ est du premier degré. En regroupant, on obtient $3x - 2x = 5 + 7$, donc $1x = 12$, et finalement $x = 12$. On conclut : $S = \{12\}$.
Vérification : $3 \times 12 - 7 = 29$ et $2 \times 12 + 5 = 29$.
2. Complète : $(x-3)(x+2)=0$ est une équation $\underline{\hspace{1.1em}}$. Pour qu'un produit soit nul, il faut que $\underline{\hspace{1.1em}}$ ou $\underline{\hspace{1.1em}}$ soit nul. Donc $x-3 = 0$ ou $x+2 = 0$, ce qui donne $x = \underline{\hspace{1.1em}}$ ou $x = \underline{\hspace{1.1em}}$, et $S = \{\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
$(x-3)(x+2)=0$ est une équation produit nul. Pour qu'un produit soit nul, il faut que $(x-3)$ ou $(x+2)$ soit nul. Donc $x-3 = 0$ ou $x+2 = 0$, ce qui donne $x = 3$ ou $x = -2$, et $S = \{-2\,;\,3\}$.
3. Complète : $x^2 = 9$ est une équation du type $x^2 = a$ avec $a = \underline{\hspace{1.1em}}$. Comme $9 \gt 0$, elle admet $\underline{\hspace{1.1em}}$ solutions : $x = \sqrt{9} = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $x = -\sqrt{9} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $S = \{\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
$x^2 = 9$ est une équation du type $x^2 = a$ avec $a = 9$. Comme $9 \gt 0$, elle admet deux solutions : $x = \sqrt{9} = 3$ et $x = -\sqrt{9} = -3$. Donc $S = \{-3\,;\,3\}$.
4. Complète, à propos du quotient $\dfrac{x + 5}{x - 4}$ : il n'existe pas quand $x - 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, c'est-à-dire quand $x = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; on dit que c'est la $\underline{\hspace{1.1em}}$ interdite. L'ensemble de définition est donc $\mathbb{R} \setminus \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$. Ce quotient est nul quand son $\underline{\hspace{1.1em}}$ est nul, donc pour $x = \underline{\hspace{1.1em}}$, valeur qui est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (autorisée / interdite). Conclusion : $S = \{\underline{\hspace{1.1em}}\}$.
Corrigé
Le quotient n'existe pas quand $x - 4 = 0$, c'est-à-dire quand $x = 4$ : c'est la valeur interdite. L'ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{4\}$.
Le quotient est nul quand son numérateur est nul, donc pour $x = -5$, valeur qui est autorisée (elle est différente de $4$). Conclusion : $S = \{-5\}$.
Vérification : $\dfrac{-5 + 5}{-5 - 4} = \dfrac{0}{-9} = 0$.

Ça te revient : le sens qu'on inverse, le produit nul, la fraction qui interdit une valeur. On reprend tout ça de façon structurée, avec la méthode pas-à-pas et l'écriture propre de l'ensemble des solutions. Plus qu'à appliquer !

Ensemble des solutions d'une équation du premier degré

Toute équation du premier degré se ramène à $ax + b = 0$.

Si $a \neq 0$ : une seule solution, $S = \left\{ -\dfrac{b}{a} \right\}$.
Si $a = 0$ : il reste $b = 0$. Alors $S = \mathbb{R}$ si $b = 0$, et $S = \varnothing$ si $b \neq 0$.

Ensemble des solutions d'une inéquation $ax + b \gt 0$

Si $a \gt 0$ : $S = \left] -\dfrac{b}{a}\,;\,+\infty \right[$.
Si $a \lt 0$ : $S = \left] -\infty\,;\,-\dfrac{b}{a} \right[$, car diviser par $a \lt 0$ inverse le sens.

Le seul geste à surveiller est celui-là : ajouter ou soustraire ne change rien, multiplier ou diviser par un positif non plus, multiplier ou diviser par un négatif retourne l'inégalité.

Méthode : équation quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$

  1. Écrire l'ensemble de définition : résoudre $B(x) = 0$ pour repérer les valeurs interdites.
  2. Sur cet ensemble, l'équation équivaut à $A(x) = k\,B(x)$ : on développe et on résout.
  3. Écarter les solutions qui sont des valeurs interdites, puis écrire $S$.
  4. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ.

Méthode : tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

  1. Repérer les valeurs qui annulent chaque facteur (et, pour un quotient, la valeur interdite).
  2. Les ranger dans l'ordre croissant : ce sont les colonnes du tableau.
  3. Une ligne par facteur : une expression affine $ax + b$ est du signe de $-a$ avant sa racine, du signe de $a$ après.
  4. Dernière ligne : la règle des signes, colonne par colonne. Zéro là où le produit s'annule, double barre à la valeur interdite d'un quotient.

À toi de jouer

1. Donne l'ensemble des solutions de $-2x + 7 \gt 0$.

On isole le terme en $x$ : $-2x \gt \underline{\hspace{1.1em}}$.
On divise par $-2$, qui est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (positif / négatif), donc le sens $\underline{\hspace{1.1em}}$ (change / ne change pas) : $x \underline{\hspace{1.1em}} \dfrac{-7}{-2}$, c'est-à-dire $x \underline{\hspace{1.1em}} \dfrac{7}{2}$.
$S = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$-2x + 7 \gt 0$ donne $-2x \gt -7$.
On divise par $-2$, qui est négatif, donc le sens change : $x \lt \dfrac{-7}{-2}$, c'est-à-dire $x \lt \dfrac{7}{2}$.
$S = \left] -\infty\,;\,\dfrac{7}{2} \right[$.
Vérification : $x = 3$ donne $-6 + 7 = 1 \gt 0$, vrai ; $x = 4$ donne $-8 + 7 = -1$, faux.
2. Résous $(3x - 12)(2x + 5) = 0$.

Un produit est nul si et seulement si $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Premier facteur : $3x - 12 = 0$ donne $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Second facteur : $2x + 5 = 0$ donne $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$S = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
$3x - 12 = 0$ donne $3x = 12$, donc $x = 4$.
$2x + 5 = 0$ donne $2x = -5$, donc $x = -\dfrac{5}{2}$.
$S = \left\{ -\dfrac{5}{2}\,;\,4 \right\}$.
Vérification : pour $x = 4$ le premier facteur vaut $0$ ; pour $x = -\dfrac{5}{2}$ le second vaut $0$.
3. Résous $\dfrac{3x + 1}{x - 2} = 4$.

Ensemble de définition : $x - 2 \neq 0$, donc $x \neq \underline{\hspace{1.1em}}$.
Sur cet ensemble, l'équation équivaut à $3x + 1 = 4(x - \underline{\hspace{1.1em}})$, soit $3x + 1 = 4x - \underline{\hspace{1.1em}}$.
On obtient $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Cette valeur est-elle interdite ? $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$S = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Ensemble de définition : $x \neq 2$, soit $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.
L'équation équivaut à $3x + 1 = 4(x - 2)$, soit $3x + 1 = 4x - 8$, donc $1 + 8 = 4x - 3x$, donc $x = 9$.
$9 \neq 2$ : la valeur n'est pas interdite, on la garde.
$S = \{9\}$.
Vérification : $\dfrac{3 \times 9 + 1}{9 - 2} = \dfrac{28}{7} = 4$.

Place à la répétition : cinq résolutions à enchaîner, une par geste du chapitre — premier degré, inéquation avec inversion du sens, produit nul, quotient nul avec valeur interdite, tableau de signes. Même mécanique, des nombres différents. Tu vas finir par les faire les yeux fermés !

À toi de jouer

1. Résous $7x - 4 = 3x + 12$ et donne $S$.
Corrigé
$7x - 4 = 3x + 12$ donne $7x - 3x = 12 + 4$, soit $4x = 16$, donc $x = 4$.
$S = \{4\}$.
Vérification : $7 \times 4 - 4 = 24$ et $3 \times 4 + 12 = 24$.
2. Résous $-4x + 5 \lt 13$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.
Corrigé
$-4x + 5 \lt 13$ donne $-4x \lt 8$.
On divise par $-4$, qui est négatif : le sens s'inverse, donc $x \gt -2$.
$S = ]-2\,;\,+\infty[$.
Vérification : $x = 0$ donne $5 \lt 13$, vrai ; $x = -2$ donne $8 + 5 = 13$, qui n'est pas strictement inférieur à $13$ — la borne est bien exclue ; $x = -3$ donne $17 \lt 13$, faux.
3. Résous $(x + 7)(5x - 15) = 0$ et donne $S$.
Corrigé
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$x + 7 = 0$ donne $x = -7$ ; $5x - 15 = 0$ donne $5x = 15$, donc $x = 3$.
$S = \{-7\,;\,3\}$.
4. Résous $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4} = 0$. Commence par l'ensemble de définition.
Corrigé
Ensemble de définition : $x - 4 \neq 0$, donc $x \neq 4$ ; l'expression est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{4\}$.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul : $x^2 - 16 = 0$, soit $x^2 = 16$, donc $x = 4$ ou $x = -4$.
$x = 4$ est la valeur interdite : elle est rejetée, elle ne figure pas dans l'ensemble des solutions.
$S = \{-4\}$.
Vérification : $\dfrac{(-4)^2 - 16}{-4 - 4} = \dfrac{0}{-8} = 0$.
5. Dresse le tableau de signes de $(x + 4)(x - 1)$, puis résous $(x + 4)(x - 1) \leq 0$.
Corrigé
$x + 4 = 0$ pour $x = -4$ ; $x - 1 = 0$ pour $x = 1$.
$x$$]-\infty\,;\,-4[$$x = -4$$]-4\,;\,1[$$x = 1$$]1\,;\,+\infty[$
signe de $x + 4$$-$$0$$+$$+$$+$
signe de $x - 1$$-$$-$$-$$0$$+$
signe du produit$+$$0$$-$$0$$+$
Le produit est négatif ou nul sur $[-4\,;\,1]$, bornes comprises car l'inégalité est large.
$S = [-4\,;\,1]$.
Vérification : $x = 0$ donne $4 \times (-1) = -4 \leq 0$, vrai ; $x = 2$ donne $6 \times 1 = 6$, faux.

Passons aux choses sérieuses : un sujet de contrôle type. On mélange tout — équation, inéquation, équation quotient, étude de signe et problème concret à modéliser. C'est le moment de montrer que tu maîtrises !

À toi de jouer

1. Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $5x - 3 = 2x + 9$ et donne l'ensemble des solutions.
Corrigé
$5x - 3 = 2x + 9$ donne $5x - 2x = 9 + 3$, soit $3x = 12$, donc $x = 4$.
$S = \{4\}$.
Vérification : $5 \times 4 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$.
2. Résous l'inéquation $-5x + 2 \geq -8$, puis donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Corrigé
$-5x + 2 \geq -8$ donne $-5x \geq -10$. On divise par $-5$, qui est négatif : le sens s'inverse, donc $x \leq 2$.
$S = ]-\infty\,;\,2]$.
Vérification : $x = 2$ donne $-10 + 2 = -8 \geq -8$, vrai (borne incluse) ; $x = 3$ donne $-13 \geq -8$, faux.
3. Résous $\dfrac{2x - 6}{x + 1} = 3$ en précisant d'abord l'ensemble de définition.
Corrigé
Ensemble de définition : $x + 1 \neq 0$, donc $x \neq -1$ ; l'expression est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Sur cet ensemble, l'équation équivaut à $2x - 6 = 3(x + 1)$, soit $2x - 6 = 3x + 3$, donc $-6 - 3 = 3x - 2x$, donc $x = -9$.
$-9 \neq -1$ : la valeur est autorisée.
$S = \{-9\}$.
Vérification : $\dfrac{2 \times (-9) - 6}{-9 + 1} = \dfrac{-24}{-8} = 3$.
4. Étudie le signe de $(3x + 6)(4 - x)$ à l'aide d'un tableau, puis résous $(3x + 6)(4 - x) \gt 0$.
Corrigé
$3x + 6 = 0$ pour $x = -2$ ; $4 - x = 0$ pour $x = 4$. Attention au second facteur : le coefficient de $x$ vaut $-1$, donc $4 - x$ est positif avant $4$ et négatif après.
$x$$]-\infty\,;\,-2[$$x = -2$$]-2\,;\,4[$$x = 4$$]4\,;\,+\infty[$
signe de $3x + 6$$-$$0$$+$$+$$+$
signe de $4 - x$$+$$+$$+$$0$$-$
signe du produit$-$$0$$+$$0$$-$
Le produit est strictement positif sur $]-2\,;\,4[$.
$S = ]-2\,;\,4[$.
Vérification : $x = 0$ donne $6 \times 4 = 24 \gt 0$, vrai ; $x = -3$ donne $(-3) \times 7 = -21$, faux ; $x = 5$ donne $21 \times (-1) = -21$, faux.
5. Dans une papeterie, un cahier coûte $1$ € de plus qu'un stylo. Marie achète $2$ stylos et $3$ cahiers et paie $13$ €.
a) En notant $x$ le prix d'un stylo en euros, traduis la situation par une équation, puis résous-la et donne les deux prix.
b) Paul dispose de $20$ € et veut n'acheter que des cahiers. Écris une inéquation puis dis combien il peut en acheter au maximum.
Corrigé
a) Le cahier coûte $x + 1$ euros. L'équation est $2x + 3(x + 1) = 13$.
$2x + 3x + 3 = 13$, soit $5x + 3 = 13$, donc $5x = 10$, donc $x = 2$.
Un stylo coûte $2$ € et un cahier coûte $3$ €. Vérification : $2 \times 2 + 3 \times 3 = 13$ €, et le cahier coûte bien $1$ € de plus.
b) En notant $n$ le nombre de cahiers, l'inéquation est $3n \leq 20$, donc $n \leq \dfrac{20}{3}$, c'est-à-dire $n \leq 6{,}66\ldots$
Comme $n$ est un nombre entier, Paul peut acheter au maximum 6 cahiers (soit $18$ €, alors que $7$ cahiers coûteraient $21$ € — plus que son budget).

Tu veux aller plus loin ? Deux exercices de fin de chapitre : une inéquation quotient traitée entièrement au tableau de signes — le pont avec le chapitre Fonctions — et une équation du second degré abordée par la factorisation, avec un aperçu clairement signalé de la méthode que tu verras en Première. Rien que ça !

À toi de jouer

1. Résous $\dfrac{2x + 6}{x - 1} \geq 0$ à l'aide d'un tableau de signes. Précise d'abord l'ensemble de définition.
Corrigé
Ensemble de définition : $x - 1 \neq 0$, donc $x \neq 1$ ; l'expression est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
$2x + 6 = 0$ pour $x = -3$ ; $x - 1 = 0$ pour $x = 1$, valeur interdite.
$x$$]-\infty\,;\,-3[$$x = -3$$]-3\,;\,1[$$x = 1$$]1\,;\,+\infty[$
signe de $2x + 6$$-$$0$$+$$+$$+$
signe de $x - 1$$-$$-$$-$$0$$+$
signe du quotient$+$$0$$-$valeur interdite$+$
Le quotient est positif ou nul sur $]-\infty\,;\,-3]$ (avec $-3$ inclus, car le quotient y vaut $0$) et strictement positif sur $]1\,;\,+\infty[$. La borne $1$ reste exclue : l'expression n'y existe pas.
$S = ]-\infty\,;\,-3] \;\cup\; ]1\,;\,+\infty[$.
Vérification : $x = -4$ donne $\dfrac{-2}{-5} = 0{,}4 \geq 0$, vrai ; $x = -3$ donne $\dfrac{0}{-4} = 0 \geq 0$, vrai ; $x = 0$ donne $\dfrac{6}{-1} = -6$, faux ; $x = 2$ donne $\dfrac{10}{1} = 10 \geq 0$, vrai.
Erreur classique à éviter : multiplier les deux membres par $x - 1$ sans connaître son signe. Le tableau évite précisément ce piège.
2. On admet l'égalité $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, vraie pour tout réel $x$.
a) Résous $x^2 - 5x + 6 = 0$.
b) Déduis-en le signe de $x^2 - 5x + 6$ selon les valeurs de $x$.
c) Aperçu Première, hors programme de 2nde : retrouve les mêmes solutions avec le discriminant.
Corrigé
a) L'équation s'écrit $(x - 2)(x - 3) = 0$ : c'est une équation produit nul, donc $x = 2$ ou $x = 3$.
$S = \{2\,;\,3\}$. Vérification par développement : $(x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
$x$$]-\infty\,;\,2[$$x = 2$$]2\,;\,3[$$x = 3$$]3\,;\,+\infty[$
signe de $x - 2$$-$$0$$+$$+$$+$
signe de $x - 3$$-$$-$$-$$0$$+$
signe du produit$+$$0$$-$$0$$+$
b) $x^2 - 5x + 6$ est strictement positif sur $]-\infty\,;\,2[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[$, nul en $2$ et en $3$, strictement négatif sur $]2\,;\,3[$. Vérification : en $x = 0$, l'expression vaut $6 \gt 0$ ; en $x = 2{,}5$, elle vaut $6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 \lt 0$.
c) Hors programme de 2nde. En Première, on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1 \gt 0$, donc deux solutions $x = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ — les mêmes qu'en a). Cette méthode ne sera pas évaluée cette année : en 2nde, la factorisation t'est donnée et tu conclus par le produit nul.