Équations, inéquations, systèmes — Exercices

Du calcul direct à la mise en équation. Corrigé détaillé en fin de document.

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1Équations/ 5 pts

Résous les équations suivantes dans $\mathbb{R}$.

$3x - 7 = 2x + 5$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
$x^2 = 25$
$x^2 + 2x + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$

2Inéquations du premier degré/ 3 pts

Résous les inéquations suivantes et donne la solution sous forme d'intervalle.

$2x - 5 \gt 3$
$-3x + 1 \leq 7$
$4(x - 1) \lt 2x + 6$

3Équation du second degré/ 3 pts

Pour chaque équation, calculer le discriminant $\Delta$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$.

$2x^2 - 5x + 3 = 0$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$3x^2 - x + 2 = 0$

4Système d'équations/ 4 pts

Résous le système suivant par substitution, puis vérifie le résultat par la méthode par combinaison.

$\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ x - y = 2 \end{cases}$

5Problème — Dimensions d'un rectangle/ 5 pts

Un rectangle a un périmètre de $28$ cm. Sa longueur est $4$ cm de plus que sa largeur.

Poser un système de deux équations à deux inconnues ($l$ pour la largeur, $L$ pour la longueur).
Résoudre ce système.
Calculer l'aire du rectangle.

Corrigé détaillé

1Équations

a) $3x - 7 = 2x + 5 \implies 3x - 2x = 5 + 7 \implies x =$ $12$

b) $(x-3)(x+2) = 0 \implies x - 3 = 0 \text{ ou } x + 2 = 0$ $x = 3 \text{ ou } x = -2$

c) $x^2 = 25 \implies x = \sqrt{25} \text{ ou } x = -\sqrt{25}$ $x = 5 \text{ ou } x = -5$

d) $a=1,\;b=2,\;c=5 \implies \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 \lt 0$ $\text{Aucune solution réelle}$

e) $a=1,\;b=-6,\;c=9 \implies \Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0 \implies x_0 = \dfrac{-(-6)}{2 \times 1} = \dfrac{6}{2}$ $x_0 = 3 \text{ (solution double)}$

2Inéquations du premier degré

a) $2x - 5 \gt 3 \implies 2x \gt 8 \implies x \gt 4$ $\left]4\,;+\infty\right[$

b) $-3x + 1 \leq 7 \implies -3x \leq 6 \implies x \geq -2 \quad (\div\,(-3) \text{ : sens inversé})$ $\left[-2\,;+\infty\right[$

c) $4(x-1) \lt 2x+6 \implies 4x - 4 \lt 2x + 6 \implies 2x \lt 10 \implies x \lt 5$ $\left]-\infty\,;5\right[$

3Équation du second degré

a) $a=2,\;b=-5,\;c=3 \implies \Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1 \gt 0 \implies x_1 = \dfrac{5-1}{4} = 1,\quad x_2 = \dfrac{5+1}{4} = \dfrac{3}{2}$ $x = 1 \text{ ou } x = \dfrac{3}{2}$

b) $a=1,\;b=4,\;c=4 \implies \Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0 \implies x_0 = \dfrac{-4}{2}$ $x_0 = -2 \text{ (solution double)}$

c) $a=3,\;b=-1,\;c=2 \implies \Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 1 - 24 = -23 \lt 0$ $\text{Aucune solution réelle}$

4Système d'équations

Substitution $\text{De }(2)\colon x = y + 2.\quad \text{Dans }(1)\colon 3(y+2)+2y = 11 \implies 3y+6+2y = 11 \implies 5y = 5 \implies y = 1 \implies x = 1+2 = 3$ $(x,y) = (3,\,1)$

Vérification $3 \times 3 + 2 \times 1 = 9 + 2 = 11 \checkmark \qquad 3 - 1 = 2 \checkmark$ $\text{Solution vérifiée}$

Combinaison $(1) + 2 \times (2)\colon (3x+2y)+2(x-y) = 11+4 \implies 3x+2y+2x-2y = 15 \implies 5x = 15 \implies x = 3 \implies y = 3-2 = 1$ $(x,y) = (3,\,1)$

5Problème — Dimensions d'un rectangle

Mise en équation $\text{On pose } l = \text{largeur},\; L = \text{longueur.} \quad \begin{cases} L = l + 4 \\ 2(L + l) = 28 \end{cases}$ $\begin{cases} L = l + 4 \\ L + l = 14 \end{cases}$

Résolution $\text{Substitution de }L = l+4\text{ dans }L+l = 14\colon (l+4)+l = 14 \implies 2l = 10 \implies l = 5 \text{ cm} \implies L = 9 \text{ cm}$ $l = 5 \text{ cm},\quad L = 9 \text{ cm}$

Vérification périmètre $2(5 + 9) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm} \checkmark$ $\text{Correct}$

Aire $\mathcal{A} = l \times L = 5 \times 9$ $\mathcal{A} = 45 \text{ cm}^2$