Équations, inéquations, ensembles de solutions

Les prérequis en 30 secondes

Une égalité se manipule comme une balance : ce que tu fais d'un côté du signe $=$, tu le fais de l'autre. Tu peux ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés, multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul : l'égalité reste vraie.

Une inégalité se manipule presque pareil, avec une exception qui coûte cher au contrôle — on y revient deux lignes plus bas.

Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue $x$ qui conviennent, puis les écrire dans un ensemble des solutions, noté $S$.

Deux rappels de notation suffisent pour démarrer : $x^2$ veut dire $x \times x$, et $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$.

L'essentiel et les formules clés

Quatre familles d'équations reviennent sans cesse cette année. Les voici avec, à chaque fois, l'ensemble des solutions.

1. Premier degré. Une équation qui se ramène à $ax + b = 0$ avec $a \neq 0$ a une solution unique : $S = \left\{ -\dfrac{b}{a} \right\}$.

2. Inéquation du premier degré. Pour $ax + b \gt 0$ : si $a \gt 0$, $S = \left] -\dfrac{b}{a}\,;\,+\infty \right[$ ; si $a \lt 0$, $S = \left] -\infty\,;\,-\dfrac{b}{a} \right[$. La différence vient de la règle d'or : quand tu multiplies ou divises par un nombre strictement négatif, tu inverses le sens de l'inégalité.

3. Équation produit nul. $A(x) \times B(x) = 0$ si et seulement si $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$. Un produit est nul dès qu'un de ses facteurs l'est, et seulement dans ce cas.

4. Équation quotient. $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ n'existe que si $B(x) \neq 0$ : les valeurs qui annulent $B(x)$ sont les valeurs interdites, et l'ensemble de définition rassemble tous les autres réels. En particulier $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0$ si et seulement si $A(x) = 0$ et $B(x) \neq 0$.

Enfin, un classique de 3e qui resert tout le temps : $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a \gt 0$, une seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a \lt 0$.

Deux exemples faits en entier

Exemple 1 — premier degré. Résolvons $4x - 3 = x + 9$.

Étape 1 — je regroupe les termes en $x$ d'un côté : je soustrais $x$ des deux membres, donc $3x - 3 = 9$.

Étape 2 — je regroupe les nombres de l'autre : j'ajoute $3$ aux deux membres, donc $3x = 12$.

Étape 3 — je divise par le coefficient de $x$ : $x = \dfrac{12}{3} = 4$.

Étape 4 — je vérifie : $4 \times 4 - 3 = 13$ et $4 + 9 = 13$ : les deux membres sont bien égaux. Ensemble des solutions : $S = \{4\}$.

Exemple 2 — produit nul. Résolvons $(x - 5)(2x + 1) = 0$.

Étape 1 — j'annule chaque facteur : $x - 5 = 0$ ou $2x + 1 = 0$.

Étape 2 — je résous chacune : $x = 5$, ou $2x = -1$ donc $x = -\dfrac{1}{2}$.

Étape 3 — je vérifie : pour $x = 5$, le premier facteur vaut $0$ ; pour $x = -\dfrac{1}{2}$, le second vaut $0$. Dans les deux cas le produit est nul. Ensemble des solutions : $S = \left\{ -\dfrac{1}{2}\,;\,5 \right\}$.

Vocabulaire propre et ensemble des solutions

Définitions. Une solution d'une équation (ou d'une inéquation) est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité (ou l'inégalité) vraie. L'ensemble des solutions $S$ rassemble toutes ces valeurs, et rien d'autre. Deux équations sont équivalentes quand elles ont exactement le même ensemble des solutions : ajouter un réel aux deux membres, ou multiplier les deux membres par un réel non nul, donne une équation équivalente.

Comment on l'écrit. Avec des accolades quand les solutions sont en nombre fini : $S = \{4\}$, $S = \left\{ -\dfrac{1}{2}\,;\,5 \right\}$. Avec un intervalle, ou une réunion d'intervalles, quand elles forment une portion de la droite numérique : $S = [-2\,;\,+\infty[$. Avec $S = \varnothing$ quand aucune valeur ne convient, et $S = \mathbb{R}$ quand toutes conviennent.

Équations et inéquations du premier degré

Équation. Elle se ramène à $ax + b = 0$. Si $a \neq 0$, elle a une solution unique et $S = \left\{ -\dfrac{b}{a} \right\}$. Si $a = 0$, il ne reste que $b = 0$ : ou bien $b = 0$ et $S = \mathbb{R}$, ou bien $b \neq 0$ et $S = \varnothing$.

Exemple. Résolvons $3x - 7 = 2x + 5$. Je soustrais $2x$ des deux côtés : $x - 7 = 5$. J'ajoute $7$ des deux côtés : $x = 12$. Donc $S = \{12\}$.

Inéquation. Même méthode, à une exception près : on inverse le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise les deux membres par un réel strictement négatif. Pour $ax + b \gt 0$ : si $a \gt 0$ alors $S = \left] -\dfrac{b}{a}\,;\,+\infty \right[$ ; si $a \lt 0$ alors $S = \left] -\infty\,;\,-\dfrac{b}{a} \right[$.

Exemple. Résolvons $5x + 2 \geq 2x + 11$. Je soustrais $2x$ : $3x + 2 \geq 11$. Je soustrais $2$ : $3x \geq 9$. Je divise par $3$, qui est positif, donc le sens ne change pas : $x \geq 3$. Donc $S = [3\,;\,+\infty[$. Contrôle rapide : $x = 3$ donne $17 \geq 17$, vrai ; $x = 2$ donne $12 \geq 15$, faux.

Travailler les inégalités

Comparer, c'est soustraire. Dire $a \leq b$, c'est dire $b - a \geq 0$. Pour comparer deux expressions, il est donc souvent plus simple d'étudier le signe de leur différence que de les comparer « à vue ».

Somme d'inégalités. Si $a \leq b$ et $c \leq d$, alors $a + c \leq b + d$. Exemple : de $2 \leq 3$ et $5 \leq 7$ on tire $7 \leq 10$.

Piège : on ne soustrait pas deux inégalités membre à membre. De $2 \leq 3$ et $1 \leq 7$ on ne peut rien conclure de la forme $2 - 1 \leq 3 - 7$, puisque cela donnerait $1 \leq -4$, qui est faux.

Produit d'une inégalité par un réel. Si $a \leq b$ et $k \gt 0$, alors $ka \leq kb$ : le sens est conservé. Si $a \leq b$ et $k \lt 0$, alors $ka \geq kb$ : le sens est inversé. Exemple : de $-2 \leq 5$, en multipliant par $-3$, on tire $6 \geq -15$.

Le lien avec les fonctions affines. C'est exactement le sens de variation de $x \mapsto kx + p$ : croissante quand $k \gt 0$ (elle range les nombres dans le même ordre), décroissante quand $k \lt 0$ (elle retourne l'ordre). La règle du sens inversé n'est pas une bizarrerie de calcul, c'est une propriété de la fonction par laquelle on passe.

Équation produit nul et signe d'un produit

La règle. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. Donc $A(x)B(x) = 0$ équivaut à « $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$ », et il suffit de résoudre deux équations plus simples.

Exemple. $(2x - 6)(x + 1) = 0$ donne $2x - 6 = 0$ ou $x + 1 = 0$, c'est-à-dire $x = 3$ ou $x = -1$. Donc $S = \{-1\,;\,3\}$.

Du zéro au signe. Une expression affine $ax + b$ ne change de signe qu'en s'annulant. On peut donc étudier le signe de chaque facteur séparément, puis appliquer la règle des signes ligne par ligne dans un tableau de signes.

Lecture du tableau. $(2x - 6)(x + 1)$ est strictement positif sur $]-\infty\,;\,-1[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[$, nul en $-1$ et en $3$, strictement négatif sur $]-1\,;\,3[$. Vérification sur un point de chaque zone : en $x = -2$, $(-10) \times (-1) = 10 \gt 0$ ; en $x = 0$, $(-6) \times 1 = -6 \lt 0$ ; en $x = 4$, $2 \times 5 = 10 \gt 0$.

Pourquoi ce tableau est indispensable. Pour résoudre $(2x - 6)(x + 1) \gt 0$, on ne peut pas « diviser par $x + 1$ » : on ignore le signe de ce facteur, donc on ne sait pas s'il faudrait inverser le sens. Le tableau tranche à la place : $S = ]-\infty\,;\,-1[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[$.

Équation quotient et ensemble de définition

D'abord l'ensemble de définition. Le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ n'a de sens que si $B(x) \neq 0$. Les valeurs de $x$ qui annulent $B(x)$ sont les valeurs interdites ; l'ensemble de définition est l'ensemble des réels qui restent. C'est la toute première ligne à écrire, avant tout calcul.

Quotient nul. $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0$ si et seulement si $A(x) = 0$ et $B(x) \neq 0$ : seul le numérateur peut annuler une fraction, mais une valeur interdite ne compte jamais comme solution.

Cas général $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$. Sur l'ensemble de définition, multiplier les deux membres par $B(x)$ (qui n'y est pas nul) donne l'équation équivalente $A(x) = k \, B(x)$, soit $A(x) - k\,B(x) = 0$. On la résout, puis on écarte les solutions qui sont des valeurs interdites.

Exemple. Résolvons $\dfrac{x + 4}{x - 1} = 5$.

Ensemble de définition : $x - 1 \neq 0$, donc $x \neq 1$, et l'expression est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Sur cet ensemble, l'équation équivaut à $x + 4 = 5(x - 1)$, c'est-à-dire $x + 4 = 5x - 5$, puis $9 = 4x$, donc $x = \dfrac{9}{4}$.

$\dfrac{9}{4}$ n'est pas une valeur interdite, on la garde : $S = \left\{ \dfrac{9}{4} \right\}$. Vérification : $\dfrac{9/4 + 4}{9/4 - 1} = \dfrac{25/4}{5/4} = 5$.

Signe d'un quotient. Même tableau que pour un produit — la règle des signes est la même pour une division — avec une différence de lecture : à une valeur interdite, le quotient n'a pas de signe, il n'existe pas. On y met une double barre, jamais un zéro.

Ici $\dfrac{2x + 6}{x - 1}$ est nul en $-3$ (le numérateur s'annule) et n'existe pas en $1$. Il est positif sur $]-\infty\,;\,-3[$ et sur $]1\,;\,+\infty[$, négatif sur $]-3\,;\,1[$.

Exemple guidé 1 — une inéquation

On résout l'inéquation $-3x + 1 \leq 7$.

J'isole le terme en $x$. Je soustrais $1$ des deux membres ; on additionne, donc le sens ne change pas : $-3x \leq 6$.

Je divise pour isoler $x$. Je divise par $-3$. Comme $-3 \lt 0$, j'inverse le sens : le $\leq$ devient $\geq$.

$x \geq \dfrac{6}{-3}$, c'est-à-dire $x \geq -2$.

J'écris l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle : $S = [-2\,;\,+\infty[$. Le crochet est fermé en $-2$ car $-2$ convient (inégalité large), et ouvert côté $+\infty$ qui n'est jamais atteint.

Je contrôle sur trois valeurs. $x = -2$ : $-3 \times (-2) + 1 = 7 \leq 7$, vrai. $x = 0$ : $1 \leq 7$, vrai. $x = -3$ : $10 \leq 7$, faux — et $-3$ est bien hors de $S$.

Exemple guidé 2 — une équation produit nul, puis le signe

On résout $(2x - 6)(x + 1) = 0$, puis on étudie le signe de $(2x - 6)(x + 1)$.

Je reconnais un produit égal à zéro. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $2x - 6 = 0$ ou $x + 1 = 0$.

Je résous les deux équations du premier degré. $2x = 6$ donne $x = 3$ ; $x = -1$ pour la seconde.

Je conclus pour l'équation. $S = \{-1\,;\,3\}$. Vérification : $(2 \times 3 - 6)(3 + 1) = 0 \times 4 = 0$ et $(2 \times (-1) - 6)((-1) + 1) = (-8) \times 0 = 0$.

Je passe au signe. Chaque facteur est une expression affine : elle ne change de signe qu'en s'annulant. $2x - 6$ est négatif avant $3$, positif après ; $x + 1$ est négatif avant $-1$, positif après. Je range ces deux informations dans un tableau, ligne par ligne, puis je multiplie les signes colonne par colonne.

Je réponds à la question posée. $(2x - 6)(x + 1) \gt 0$ a pour ensemble des solutions $]-\infty\,;\,-1[ \;\cup\; ]3\,;\,+\infty[$, et $(2x - 6)(x + 1) \lt 0$ a pour ensemble des solutions $]-1\,;\,3[$. Je contrôle en $x = 0$ : $(-6) \times 1 = -6$, négatif, et $0$ est bien dans $]-1\,;\,3[$.

Exemple guidé 3 — une équation quotient et sa valeur interdite

On résout $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$.

Je commence par l'ensemble de définition. Le dénominateur ne doit pas s'annuler : $x - 1 \neq 0$, donc $x \neq 1$. La valeur interdite est $1$, et l'expression est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

J'annule le numérateur. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (le dénominateur, lui, ne doit surtout pas l'être). Donc $x^2 - 1 = 0$, c'est-à-dire $x^2 = 1$, ce qui donne $x = 1$ ou $x = -1$.

J'écarte la valeur interdite. $x = 1$ annule aussi le dénominateur : en $1$, l'expression n'existe pas, donc $1$ n'est pas solution. Attention, la traiter comme une simple remarque ne suffit pas : il faut la retirer de l'ensemble des solutions.

Je conclus. $S = \{-1\}$. Vérification : $\dfrac{(-1)^2 - 1}{-1 - 1} = \dfrac{0}{-2} = 0$, et $-1$ appartient bien à l'ensemble de définition.

La même prudence avec un $k$ quelconque. Pour $\dfrac{A(x)}{B(x)} = k$, on écrit l'ensemble de définition, on résout $A(x) = k\,B(x)$, et on vérifie une par une que les valeurs trouvées ne sont pas interdites. Une équation quotient se rédige toujours en trois temps : ensemble de définition, résolution, tri final.

Un problème modélisé par une équation

Énoncé. Dans une papeterie, un cahier coûte $1$ € de plus qu'un stylo. Marie achète $2$ stylos et $3$ cahiers et paie $13$ €. Quel est le prix d'un stylo, et celui d'un cahier ?

Étape 1 — je choisis une seule inconnue. Notons $x$ le prix d'un stylo, en euros. Le prix d'un cahier s'exprime alors avec la même inconnue : $x + 1$.

Étape 2 — je traduis l'énoncé par une équation. Le total payé s'écrit $2x + 3(x + 1) = 13$.

Étape 3 — je résous. $2x + 3x + 3 = 13$, donc $5x + 3 = 13$, donc $5x = 10$, donc $x = 2$.

Étape 4 — je reviens à l'énoncé. Un stylo coûte $2$ € ; un cahier coûte $2 + 1 = 3$ €.

Étape 5 — je vérifie et je conclus par une phrase. $2 \times 2 + 3 \times 3 = 4 + 9 = 13$ € : c'est bien le total annoncé, et le cahier coûte bien $1$ € de plus que le stylo. Un stylo coûte $2$ € et un cahier coûte $3$ €. Le correcteur attend le choix explicite de l'inconnue avec son unité, l'équation posée, et la phrase-réponse finale.

Un problème modélisé par une inéquation

Énoncé. Un club de escalade propose deux formules. Formule A : $15$ € d'inscription, puis $0{,}80$ € la séance. Formule B : $3$ € d'inscription, puis $1{,}60$ € la séance. À partir de combien de séances la formule A revient-elle strictement moins chère que la formule B ?

Étape 1 — je pose l'inconnue. Notons $n$ le nombre de séances, un entier positif.

Étape 2 — j'exprime les deux coûts. Formule A : $15 + 0{,}8n$ euros. Formule B : $3 + 1{,}6n$ euros.

Étape 3 — je traduis « A moins chère que B » par une inéquation. $15 + 0{,}8n \lt 3 + 1{,}6n$.

Étape 4 — je résous. Je soustrais $0{,}8n$ et $3$ des deux membres : $12 \lt 0{,}8n$. Je divise par $0{,}8$, qui est positif, donc le sens ne change pas : $15 \lt n$.

Étape 5 — je reviens au contexte. $n$ est un entier strictement supérieur à $15$, donc $n \geq 16$. Vérification aux deux bornes : pour $n = 15$, A coûte $15 + 12 = 27$ € et B coûte $3 + 24 = 27$ € — même prix, A n'est pas moins chère ; pour $n = 16$, A coûte $27{,}80$ € et B coûte $28{,}60$ €. La formule A devient plus avantageuse à partir de 16 séances.

Retiens le geste : l'ensemble des solutions de l'inéquation est $]15\,;\,+\infty[$, mais la réponse au problème tient compte du fait que $n$ est un nombre entier de séances. Traduire, résoudre, puis revenir au contexte.

Les pièges classiques et la rédaction attendue

Voici les erreurs qui coûtent des points alors qu'on « savait faire ».

Oublier d'inverser le sens d'une inéquation quand on multiplie ou divise par un réel strictement négatif. C'est l'erreur numéro un. Réflexe de contrôle : teste une valeur de ton ensemble des solutions dans l'inéquation de départ, et une valeur qui en est exclue.

Mentionner la valeur interdite sans l'exclure. Écrire « attention, $x \neq 1$ » puis annoncer $S = \{-1\,;\,1\}$ ne vaut rien : la valeur interdite doit disparaître de l'ensemble des solutions, pas figurer avec un astérisque. Et l'ensemble de définition se pose avant de résoudre, pas après.

Multiplier une inéquation par une expression contenant $x$. On ne connaît pas le signe de $x + 1$ ou de $x - 1$, donc on ne sait pas s'il faudrait inverser le sens. Pour une inéquation produit ou quotient, on ne « croise » pas : on passe tout d'un côté et on fait un tableau de signes.

Confondre « ou » et « et ». Dans une équation produit nul, les solutions se cumulent : $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$. Dans une équation quotient nulle, la condition sur le dénominateur s'ajoute : numérateur nul et dénominateur non nul.

Côté rédaction, le correcteur attend : le choix explicite de l'inconnue avec son unité, l'ensemble de définition quand il y a un quotient, les étapes visibles (pas seulement le résultat), la conclusion par une phrase pour un problème, et l'ensemble des solutions écrit proprement — accolades $\{\dots\}$ pour un nombre fini de solutions, intervalle ou réunion d'intervalles pour une inéquation, $\varnothing$ s'il n'y en a aucune.

Résoudre, c'est aussi lire un graphique

Derrière chaque équation se cache une fonction. Résoudre $f(x) = 0$, c'est chercher les abscisses des points où la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses. Résoudre $f(x) \gt 0$, c'est chercher les $x$ pour lesquels la courbe est au-dessus de cet axe : c'est exactement ce que résume un tableau de signes.

De même, résoudre $f(x) = g(x)$ revient à trouver les $x$ où deux courbes se croisent. Deux droites d'équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ se coupent donc au point dont l'abscisse vérifie $mx + p = m'x + p'$ : une simple équation du premier degré.

Exemple. Pour $y = 3x - 5$ et $y = -2x + 5$, on résout $3x - 5 = -2x + 5$, donc $5x = 10$, donc $x = 2$. On reporte dans l'une des deux équations : $y = 3 \times 2 - 5 = 1$. On vérifie dans l'autre : $-2 \times 2 + 5 = 1$. Le point d'intersection est $(2\,;\,1)$.

Si les deux droites ont la même pente ($m = m'$), l'équation devient $p = p'$ : soit les droites sont confondues, soit elles sont strictement parallèles et n'ont aucun point commun.

Pourquoi le tableau de signes fonctionne

Deux idées suffisent à le justifier.

Une expression affine ne change de signe qu'en s'annulant. $ax + b$ vaut $0$ pour $x = -\dfrac{b}{a}$, et la fonction affine associée est monotone : elle garde un signe constant de chaque côté de cette valeur. On peut donc résumer toute la ligne du tableau par « avant, après », plus le zéro au milieu.

La règle des signes, appliquée colonne par colonne. Sur un intervalle où aucun facteur ne s'annule, chaque facteur a un signe fixe, donc le produit aussi. Le tableau ne fait qu'organiser ce raisonnement pour ne rien oublier. La même règle vaut pour un quotient, à ceci près qu'une valeur interdite ne donne pas un zéro mais un trou : l'expression n'existe pas.

C'est aussi pourquoi on ne peut pas résoudre $(2x - 6)(x + 1) \gt 0$ en « divisant par $x + 1$ » : ce facteur change de signe, et diviser par un négatif retournerait l'inégalité sur une partie seulement de la droite numérique.

Ce qui t'attend l'an prochain

Le chapitre Fonctions, dès cette année. Le tableau de signes que tu viens de construire y sert d'outil général : signe d'une fonction affine, résolution de $f(x) = 0$ et $f(x) \gt 0$ quand $f$ est un produit ou un quotient, recherche de l'ensemble de définition d'une expression. Les deux chapitres se répondent, ce sont les mêmes gestes.

Bonus Première — hors programme de 2nde. En Première (spécialité mathématiques), on apprend à résoudre directement les équations du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ grâce au discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : deux solutions si $\Delta \gt 0$, une si $\Delta = 0$, aucune si $\Delta \lt 0$. Cette méthode n'est pas au programme de seconde et ne tombera pas à ton contrôle : cette année, une équation du second degré t'est donnée déjà factorisée, et tu la traites comme un produit nul. Le discriminant est cité ici uniquement pour situer la suite.

Le signe du trinôme. Une fois la factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$ obtenue, l'étude de signe est celle que tu sais déjà faire : un tableau à deux facteurs. La règle « du signe de $a$ sauf entre les racines » n'est que la lecture de ce tableau.

Et au-delà. On interprétera les inégalités portant sur deux variables comme des demi-plans, et l'ensemble des solutions d'une inéquation deviendra une région du plan plutôt qu'un intervalle. Bref, tout ce que tu viens de voir est une fondation, pas une parenthèse.