Équations, inéquations, systèmes

Trouver les valeurs inconnues vérifiant une égalité, une inégalité ou plusieurs conditions imposées simultanément.

1 L'idée

Résoudre une équation ($f(x) = g(x)$), c'est déterminer l'ensemble des réels $x$ qui rendent l'égalité vraie. Résoudre une inéquation ($f(x) \lt g(x)$, etc.) revient à trouver les $x$ vérifiant l'inégalité : la solution est en général un intervalle. Un système de deux équations impose deux conditions simultanées sur deux inconnues $x$ et $y$ ; la solution est le couple $(x, y)$ qui satisfait les deux équations à la fois.

2 Équation du second degré

Forme générale

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Discriminant

$\Delta = b^2 - 4ac$

Δ > 0 — deux solutions

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Δ = 0 — solution double

$x_0 = \dfrac{-b}{2a}$

Δ < 0 — aucune solution

$\text{Pas de solution dans } \mathbb{R}$

Inéquations : règle du sens

Additionner ou soustraire un même réel des deux membres : sens conservé.
Multiplier ou diviser par un réel strictement positif : sens conservé.
Multiplier ou diviser par un réel strictement négatif : sens inversé. Exemple : $-2x \gt 6 \implies x \lt -3$.

4 Exemples résolus

Équation du 2nd degré : $2x^2 - 5x + 3 = 0$

$a = 2,\; b = -5,\; c = 3$

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1 \gt 0$

$x_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1 \qquad x_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2}$

Inéquation du 1er degré : $-3x + 1 \leq 7$

$-3x \leq 6$

On divise par $-3 \lt 0$ : le sens s'inverse.

$x \geq -2$ — Solution : $[-2\,;\,+\infty[$

Méthode — résoudre un système 2×2

Substitution : isoler une inconnue dans une équation, puis la substituer dans l'autre.
Combinaison : multiplier une ou les deux équations par des réels pour faire disparaître une inconnue lors de l'addition des deux équations.
Résoudre l'équation à une seule inconnue obtenue, puis déduire l'autre par substitution.
Vérifier la solution dans les deux équations initiales.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un réel strictement négatif.
Mal calculer $\Delta$ quand $b$ est négatif : si $b = -5$, alors $b^2 = (-5)^2 = 25$, pas $-25$.
Dans un système, trouver une inconnue et oublier de calculer l'autre — ou ne pas vérifier dans les deux équations.
Confondre $\Delta \lt 0$ (aucune solution réelle) et $\Delta = 0$ (une solution double, non nulle en général).