Contrôle bientôt et tu ouvres le chapitre seulement maintenant ? Respire, ça va bien se passer. En vrai il n'y a que deux idées à retenir, et tu les utilises déjà sans le savoir : placer des nombres sur une ligne, et mesurer une distance. On fait le strict minimum pour assurer.
Les prérequis (rien de méchant)
Trois réflexes suffisent pour aborder ce chapitre, et tu les as déjà.
- La droite numérique : chaque réel a sa place, les petits à gauche, les grands à droite.
- Comparer avec $\le$ (inférieur ou égal), $\lt$ (strictement inférieur), $\ge$ et $\gt$.
- Isoler $x$ dans une inéquation en faisant la même opération des deux côtés (ajouter ou soustraire un nombre).
L'essentiel, et les deux formules à retenir
Un intervalle, c'est un morceau de la droite numérique : tous les réels compris entre deux bornes. On l'écrit avec des crochets. Le crochet tourné vers l'intérieur signifie que la borne est incluse (intervalle fermé) ; tourné vers l'extérieur, qu'elle est exclue (intervalle ouvert).
La valeur absolue $|x|$, c'est la distance du nombre $x$ à $0$. Une distance n'est jamais négative : $|x| \ge 0$ toujours.
La formule clé n'est valable que pour $k \ge 0$ (une distance ne peut pas être inférieure à un nombre négatif).
Un exemple, du début à la fin
La formule dit : $|x| \le k \iff -k \le x \le k$.
Ici $k = 2$, donc on remplace : $-2 \le x \le 2$.
Tous les nombres entre $-2$ et $2$ (bornes comprises) conviennent.
Solution : $x \in [-2\,;\,2]$.
Et voilà : tu sais déjà répondre à la question la plus classique du contrôle.
Ça te revient, hein ? Normal, tu l'as croisé. On reprend proprement, dans l'ordre, pour boucher les trous : définitions nettes, méthode, et de quoi ne plus jamais hésiter entre les crochets.
Les intervalles : quatre formes à connaître
Un intervalle rassemble tous les réels situés entre deux bornes $a$ et $b$ (avec $a \le b$). Ce qui change d'une notation à l'autre, c'est seulement si les bornes sont incluses ou non.
- $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des réels : on ne peut jamais les atteindre. Le crochet de leur côté est donc toujours ouvert : on écrit $]-\infty\,;\,2]$ (le $2$ peut être inclus), mais jamais un crochet fermé du côté de l'infini.
La valeur absolue : une distance sur la droite
Par définition, la valeur absolue enlève le signe :
$$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x \lt 0 \end{cases}$$
Concrètement, $|x|$ est la distance de $x$ à $0$, et plus généralement $|x - a|$ est la distance de $x$ au réel $a$. Deux nombres opposés sont à la même distance de $0$ : $|-3| = |3| = 3$.
Traduire les inéquations avec valeur absolue
Toute la résolution repose sur deux équivalences (avec $k \ge 0$) :
- Repère $u$ et $k \ge 0$ dans l'expression $|u| \le k$ ou $|u| \ge k$.
- Cas $|u| \le k$ : écris l'encadrement $-k \le u \le k$, puis isole $x$ en faisant la même opération sur les trois membres. La solution est un intervalle.
- Cas $|u| \ge k$ : écris deux conditions reliées par ou : $u \le -k$ ou $u \ge k$, et résous chacune. La solution est une réunion $A \cup B$ de deux intervalles.
On déroule ensemble, ligne à ligne. Le mieux : cache la suite avec ta main et vérifie à chaque étape que tu aurais écrit la même chose. Trois exemples entièrement rédigés, comme si on les faisait côte à côte.
Exemple 1 — calculer des valeurs absolues
$|-5|$ : comme $-5 \lt 0$, on prend l'opposé, donc $|-5| = -(-5) = 5$.
$|4 - 9|$ : on calcule d'abord ce qu'il y a dans les barres, $4 - 9 = -5$, donc $|4 - 9| = |-5| = 5$.
$|-3|$ et $|3|$ : deux opposés sont à la même distance de $0$, donc $|-3| = |3| = 3$.
- On calcule toujours ce qu'il y a dans les barres d'abord, puis on enlève le signe. Le résultat est toujours positif ou nul.
Exemple 2 — résoudre le cas inférieur
On est dans le cas $|u| \le k$ avec $u = x - 1$ et $k = 3$.
On écrit l'encadrement : $-3 \le x - 1 \le 3$.
On ajoute $1$ aux trois membres : $-3 + 1 \le x \le 3 + 1$.
Ce qui donne : $-2 \le x \le 4$.
Solution : $x \in [-2\,;\,4]$.
Exemple 3 — résoudre le cas supérieur
On est dans le cas $|u| \ge k$ avec $u = x + 2$ et $k = 5$.
On écrit deux conditions reliées par ou : $x + 2 \le -5$ ou $x + 2 \ge 5$.
Première condition : $x + 2 \le -5$ donne $x \le -7$.
Seconde condition : $x + 2 \ge 5$ donne $x \ge 3$.
Solution : $x \in\; ]-\infty\,;\,-7] \cup [3\,;\,+\infty[$.
- Cas $\le$ : la solution est un intervalle (les $x$ proches).
- Cas $\ge$ : la solution est une réunion de deux morceaux (les $x$ loin), reliés par ou.
Objectif points. On regarde ce que le correcteur veut voir écrit noir sur blanc, les pièges où la moitié de la classe se fait avoir, et deux problèmes exactement du niveau attendu au contrôle.
Problème concret — une cote avec tolérance
Voici comment ce chapitre tombe en situation concrète, avec une valeur absolue qui cache une distance.
Une pièce doit mesurer $20$ cm, avec une tolérance de $0{,}5$ cm. Traduis la condition avec une valeur absolue, puis donne l'intervalle des mesures acceptables.
« À $0{,}5$ cm près de $20$ » signifie que la distance entre la mesure $x$ et $20$ ne dépasse pas $0{,}5$ : on écrit $|x - 20| \le 0{,}5$.
Cas $|u| \le k$ : $-0{,}5 \le x - 20 \le 0{,}5$.
On ajoute $20$ aux trois membres : $19{,}5 \le x \le 20{,}5$.
Mesures acceptables : $x \in [19{,}5\,;\,20{,}5]$ (en cm).
Problème type contrôle — une inéquation avec réunion
Ici $u$ contient un coefficient : rien de nouveau, on isole $x$ jusqu'au bout dans chaque cas.
Cas $|u| \ge k$ avec $u = 2x - 3$ et $k = 1$ : $2x - 3 \le -1$ ou $2x - 3 \ge 1$.
Première : $2x - 3 \le -1$ donne $2x \le 2$, soit $x \le 1$.
Seconde : $2x - 3 \ge 1$ donne $2x \ge 4$, soit $x \ge 2$.
Solution : $x \in\; ]-\infty\,;\,1] \cup [2\,;\,+\infty[$.
- Quand $u$ contient un coefficient (ici le $2$ de $2x$), on divise par ce coefficient à la fin de chaque cas, une fois $2x$ isolé.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
- L'équivalence utilisée écrite explicitement ($|u| \le k \iff -k \le u \le k$, ou l'autre).
- Les étapes d'isolation de $x$, une opération à la fois.
- La solution donnée sous forme d'intervalle (cas $\le$) ou de réunion (cas $\ge$), et pas seulement une inégalité laissée en vrac.
- $|-3| = -3$ est faux : une valeur absolue est toujours $\ge 0$, donc $|-3| = 3$.
- Dans $|u| \le k$, ne pas oublier la borne de gauche : on écrit $-k \le u \le k$, pas seulement $u \le k$.
- Pour $|u| \ge k$, les deux conditions sont reliées par ou (réunion), jamais par et : une intersection donnerait l'ensemble vide dès que $k \gt 0$.
- Du côté de $-\infty$ ou de $+\infty$, le crochet est toujours ouvert.
Tu as le contrôle en poche. Maintenant, trois idées bonus qui donnent l'impression que tu as déjà un an d'avance : d'où sort la formule, comment lire un intervalle autrement, et à quoi tout ça sert ensuite.
Pourquoi le cas inférieur se transforme en encadrement
La formule $|x| \le k \iff -k \le x \le k$ n'est pas tombée du ciel : on peut la justifier avec la définition par morceaux, en séparant les cas.
Supposons $|x| \le k$, avec $k \ge 0$.
Si $x \ge 0$ : alors $|x| = x$, donc $x \le k$ ; et comme $x \ge 0 \ge -k$, on a bien $-k \le x \le k$.
Si $x \lt 0$ : alors $|x| = -x$, donc $-x \le k$, c'est-à-dire $x \ge -k$ ; et comme $x \lt 0 \le k$, on a encore $-k \le x \le k$.
Dans les deux cas, $-k \le x \le k$. On a raisonné par disjonction de cas.
C'est exactement ce type de raisonnement (« selon le signe ») que tu retrouveras partout ensuite.
Lire un intervalle comme un centre et un rayon
Une inéquation $|x - c| \le r$ décrit les réels situés à distance au plus $r$ du centre $c$ : c'est l'intervalle $[c - r\,;\,c + r]$. Le nombre $c$ est le milieu de l'intervalle, et $r$ sa demi-longueur (le rayon).
Centre $c = 1$, rayon $r = 3$.
Intervalle : $[\,1 - 3\,;\,1 + 3\,] = [-2\,;\,4]$ — on retrouve exactement le résultat de l'échauffement.
- Un intervalle $[a\,;\,b]$ se réécrit $|x - c| \le r$ avec le milieu $c = \dfrac{a + b}{2}$ et le rayon $r = \dfrac{b - a}{2}$.
Ce qui t'attend l'an prochain
La valeur absolue est en réalité une fonction : $x \mapsto |x|$. Sa courbe forme un V, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec sa pointe en $0$.
Sur ce graphe, résoudre $|x| \le k$ revient à repérer la portion de courbe située sous la hauteur $k$ : elle correspond exactement à l'intervalle $[-k\,;\,k]$ sur l'axe des abscisses. Le calcul et le dessin racontent la même histoire.
- Fonctions : étude de $x \mapsto |x|$, sa symétrie et ses variations.
- Encadrements et incertitudes : $|x - a| \le r$ est la façon rigoureuse d'écrire « $x$ vaut $a$ à $r$ près ».
- En terminale : une distance $|x - a|$ que l'on rend aussi petite qu'on veut est au cœur des limites et de la continuité (les « voisinages »).