Intervalles et valeur absolue

Représenter des ensembles de réels et mesurer des distances sur la droite numérique.

1 L'idée

Un intervalle est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ formé de tous les réels compris entre deux bornes $a$ et $b$. La notation utilise des crochets : fermé ($[$ ou $]$) si la borne est incluse, ouvert ($]$ ou $[$) si elle est exclue. Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ indiquent un ensemble non borné d'un côté ; ils s'accompagnent toujours d'un crochet ouvert.

La valeur absolue $|x|$ est la distance du réel $x$ à $0$ sur la droite numérique. Plus généralement, $|x - a|$ est la distance de $x$ au réel $a$. Elle permet de traduire des conditions de proximité en intervalles.

2 Notations d'intervalles

Fermé

$[a,\,b] \;:\; a \le x \le b$

Ouvert

$]a,\,b[ \;:\; a \lt x \lt b$

Semi-ouvert

$[a,\,b[ \;:\; a \le x \lt b$

Non borné

$[a,\,+\infty[ \;:\; x \ge a$

3 Valeur absolue — définition et équivalences

Définition

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x \lt 0 \end{cases}$

Distance

$|x - a| = \text{distance de } x \text{ à } a$

|x| ≤ k

$|x| \le k \iff -k \le x \le k \quad (k \ge 0)$

|x| ≥ k

$|x| \ge k \iff x \le -k \text{ ou } x \ge k \quad (k \ge 0)$

4 Exemples

Calcul de valeur absolue

$|-5| = -(-5) = 5$ car $-5 \lt 0$.

$|4 - 9| = |-5| = 5$.

$|-3| = |3| = 3$ : deux réels opposés ont la même valeur absolue.

Résoudre $|x - 1| \le 3$

On applique $|u| \le k \iff -k \le u \le k$ avec $u = x-1$ et $k = 3$.

$-3 \le x - 1 \le 3$

On ajoute $1$ partout : $-2 \le x \le 4$.

Solution : $x \in [-2,\; 4]$.

Méthode — résoudre une inéquation avec valeur absolue

Identifier $u$ et $k \ge 0$ dans l'expression $|u| \le k$ ou $|u| \ge k$.
Si $|u| \le k$ : écrire l'encadrement $-k \le u \le k$, puis isoler $x$ en effectuant les mêmes opérations sur chaque membre.
Si $|u| \ge k$ : écrire deux cas séparés : $u \le -k$ ou $u \ge k$, résoudre chacun indépendamment.
Exprimer l'ensemble solution sous forme d'intervalle (cas $\le$) ou de réunion $A \cup B$ d'intervalles (cas $\ge$).

Erreurs fréquentes

$|-3| = -3$ est faux : la valeur absolue est toujours $\ge 0$. On a $|-3| = 3$.
Dans $|u| \le k$, ne pas oublier la borne gauche : on écrit $-k \le u \le k$, et non pas seulement $u \le k$.
$-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des réels : le crochet de leur côté est toujours ouvert (ex. $]-\infty,\,2[$, jamais $]-\infty,\,2]$… pour le côté $-\infty$).
Pour $|u| \ge k$, les deux conditions sont reliées par ou (réunion), jamais par et : l'intersection donnerait l'ensemble vide pour $k \gt 0$.