Multiples, diviseurs, pairs et impairs

$45 = 9 \times 5$.

$45$ est un multiple de $9$ ; $9$ est un diviseur de $45$. On peut aussi dire que $45$ est un multiple de $5$, et que $5$ est un diviseur de $45$ : la même égalité se lit dans les deux sens.

Pairs : $0$ (car $0 = 2 \times 0$), $12$ (car $12 = 2 \times 6$), $100$ (car $100 = 2 \times 50$).

Impairs : $7$ (car $7 = 2 \times 3 + 1$), $25$ (car $25 = 2 \times 12 + 1$), $-3$ (car $-3 = 2 \times (-2) + 1$).

Attention : $0$ est pair. C'est la question piège la plus fréquente.

Multiple de $8$ : $56 \div 8 = 7$, qui est un entier. Donc $56 = 8 \times 7$ : oui, $56$ est un multiple de $8$.

Multiple de $6$ : $56 \div 6$ ne tombe pas juste (on a $56 = 6 \times 9 + 2$, il reste $2$). Aucun entier $k$ ne vérifie $56 = 6k$ : non.

On cherche les couples d'entiers dont le produit vaut $20$ : $20 = 1 \times 20$, $20 = 2 \times 10$, $20 = 4 \times 5$. ($3$ ne convient pas, et à partir de $5$ les couples se répètent à l'envers.)

Les diviseurs de $20$ sont donc : $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$ — six en tout.

$6$, $12$, $18$, $24$, $30$ — c'est la table de $6$ : $6 \times 1$, $6 \times 2$, $6 \times 3$, $6 \times 4$, $6 \times 5$.

Remarque : $0$ est lui aussi un multiple de $6$ (car $0 = 6 \times 0$), mais il n'est pas strictement positif.

Traduction : « il existe un entier $k$ tel que $72 = 9k$ ».

Ici $72 \div 9 = 8$, donc $k = 8$ et $72 = 9 \times 8$. On peut aussi dire que $9$ est un diviseur de $72$, et que $8$ en est un autre.

1. Vrai : $0 = 5 \times 0$, et $0$ est un entier. Plus généralement, $0$ est un multiple de n'importe quel entier.
2. Vrai : c'est exactement la même égalité $0 = 5 \times 0$, lue dans l'autre sens.
3. Vrai : pour tout entier $a$, on a $a = a \times 1$, donc $1$ divise $a$.
4. Faux : contre-exemple $a = 7$. Il faudrait un entier $k$ tel que $7 = k \times 0 = 0$, ce qui est impossible.
5. Faux : il faudrait un entier $k$ tel que $3 = 12k$, or $3 \div 12 = 0{,}25$ n'est pas entier. C'est l'inverse qui est vrai : $3$ est un diviseur de $12$, car $12 = 3 \times 4$.

1. $2$ : oui. Le chiffre des unités est $6$. $1\,236 = 2 \times 618$.
2. $3$ : oui. $1+2+3+6 = 12$, et $12 = 3 \times 4$ est multiple de $3$. $1\,236 = 3 \times 412$.
3. $4$ : oui. Les deux derniers chiffres forment $36 = 4 \times 9$. $1\,236 = 4 \times 309$.
4. $5$ : non. Le chiffre des unités est $6$, ni $0$ ni $5$.
5. $9$ : non. La somme des chiffres vaut $12$, qui n'est pas multiple de $9$.

a) $45$ et $60$ se terminent par $5$ et $0$ : tous deux multiples de $5$. $\dfrac{45}{60} = \dfrac{9}{12}$. Puis $9$ et $12$ sont multiples de $3$ : $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$. Les diviseurs de $3$ sont $1$ et $3$, et $4$ n'est pas multiple de $3$ : $\dfrac{3}{4}$ est irréductible.

b) $70$ et $98$ sont pairs : $\dfrac{70}{98} = \dfrac{35}{49}$. Puis $35 = 7 \times 5$ et $49 = 7 \times 7$ : $\dfrac{35}{49} = \dfrac{5}{7}$. Les diviseurs de $5$ sont $1$ et $5$, et $7$ n'est pas multiple de $5$ : irréductible.

c) $90$ et $105$ se terminent par $0$ et $5$ : multiples de $5$. $\dfrac{90}{105} = \dfrac{18}{21}$. Puis $1+8 = 9$ et $2+1 = 3$ sont multiples de $3$ : $\dfrac{18}{21} = \dfrac{6}{7}$. Le seul diviseur commun de $6$ et $7$ est $1$ : irréductible.

$47 = 2 \times 23 + 1$, donc $k = 23$ : $47$ est impair.

$138 = 2 \times 69$, donc $k = 69$ : $138$ est pair, c'est-à-dire multiple de $2$.

$204 \div 12 = 17$, un entier. Donc $204 = 12 \times 17$ : oui. Autrement dit, $12$ est un diviseur de $204$ (et $17$ aussi).

$204 \div 8 = 25{,}5$, qui n'est pas un entier. Aucun entier $k$ ne vérifie $204 = 8k$ : non.

Il n'y a pas de critère simple pour $8$ : on revient à la division. On peut aussi remarquer que $204 = 8 \times 25 + 4$, il reste $4$.

Les couples : $48 = 1 \times 48$, $48 = 2 \times 24$, $48 = 3 \times 16$, $48 = 4 \times 12$, $48 = 6 \times 8$. ($5$ et $7$ ne conviennent pas ; après $6$, les couples se répètent.)

Diviseurs de $48$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$, $16$, $24$, $48$ — dix en tout.

$126$ et $210$ sont pairs : $\dfrac{126}{210} = \dfrac{63}{105}$.

$6+3 = 9$ et $1+0+5 = 6$ sont multiples de $3$ : $\dfrac{63}{105} = \dfrac{21}{35}$.

$21 = 7 \times 3$ et $35 = 7 \times 5$ : $\dfrac{21}{35} = \dfrac{3}{5}$.

Le seul diviseur commun de $3$ et $5$ est $1$ : $\dfrac{126}{210} = \dfrac{3}{5}$, irréductible.

Dans la table de $15$ : $15 \times 13 = 195$ et $15 \times 14 = 210$. Or $195 \leqslant 200$ et $210 \gt 200$.

Le plus grand multiple de $15$ inférieur ou égal à $200$ est donc $195$, et $200 - 195 = 5$.

Soient $m$ et $n$ deux entiers pairs. Il existe un entier $k$ tel que $m = \mathbf{2k}$, et un entier $k'$ tel que $n = \mathbf{2k'}$. Alors $m + n = 2k + 2k' = 2 \times (\mathbf{k + k'})$. Comme $\mathbf{k + k'}$ est un entier, $m+n$ est un multiple de $2$, donc pair.

À noter : deux hypothèses distinctes, deux lettres distinctes. Écrire $m = 2k$ et $n = 2k$ reviendrait à supposer $m = n$.

1. $m$ est un multiple de $9$ : il existe un entier $k$ tel que $m = 9k$. $n$ est un multiple de $9$ : il existe un entier $k'$ tel que $n = 9k'$. Les deux hypothèses sont indépendantes, donc on emploie deux lettres différentes : réutiliser $k$ reviendrait à supposer $m = n$.

2. $m + n = 9k + 9k' = 9\,(k + k')$.

3. $k$ et $k'$ sont des entiers, donc leur somme $K = k + k'$ est un entier. On a donc $m + n = 9K$ avec $K$ entier : par définition, $m+n$ est un multiple de $9$. ∎

4. Nulle part, en réalité : en remplaçant $9$ par un entier $a$ quelconque, les trois étapes restent exactes et donnent $m+n = a\,(k+k')$. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$, pour tout entier $a$.

Ce qui ne vaut pas démonstration : vérifier que $72 = 9 \times 8$, que $45 = 9 \times 5$ et que $72 + 45 = 117 = 9 \times 13$. C'est un exemple ; l'énoncé porte sur tous les couples de multiples de $9$.

1. $n$ est impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k+1$.

2. $n^2 = (2k+1)(2k+1) = 4k^2 + 2k + 2k + 1 = 4k^2 + 4k + 1$.

3. $4k^2 + 4k = 2\,(2k^2 + 2k)$, donc $n^2 = 2\,(2k^2+2k) + 1$. Comme $k$ est un entier, $K = 2k^2 + 2k$ en est un aussi. Ainsi $n^2 = 2K+1$ avec $K$ entier : $n^2$ est impair. ∎

4. Ces trois calculs sont justes, mais ils ne démontrent rien : il y a une infinité d'entiers impairs, et trois cas vérifiés n'en couvrent aucun autre. Un exemple illustre un énoncé, il ne le prouve jamais. Pour démontrer, il faut travailler avec une lettre qui représente n'importe quel entier impair, comme aux questions 1 à 3.

1. Faux. Contre-exemple : $3$ et $5$ sont impairs, et $3 + 5 = 8$ est pair. (On démontre même, dans la fiche de cours, onglet rouge, que la somme de deux impairs est toujours paire.)
2. Vrai. Soient $m = 5k$, $n = 5k'$ et $p = 5k''$ avec $k$, $k'$, $k''$ entiers. Alors $m+n+p = 5\,(k+k'+k'')$, et $k+k'+k''$ est un entier. Donc $m+n+p$ est un multiple de $5$.
3. Vrai. Si $n$ est multiple de $6$, il existe un entier $k$ tel que $n = 6k$. Alors $n = 3 \times (2k)$, et $2k$ est un entier : $n$ est multiple de $3$.
4. Faux. Contre-exemple : $9 = 3 \times 3$ est multiple de $3$, mais $9 \div 6 = 1{,}5$ n'est pas entier, donc $9$ n'est pas multiple de $6$. Attention : une implication vraie n'entraîne pas que sa réciproque soit vraie — il faut la démontrer, ou la démolir, à part.

1. Un carton plein contient $15$ livres, donc $n$ cartons pleins en contiennent $15n$ : on cherche le plus grand multiple de $15$ inférieur ou égal à $246$. Dans la table de $15$ : $15 \times 16 = 240$ et $15 \times 17 = 255$. Or $240 \leqslant 246$ et $255 \gt 246$.

Elle remplit donc $16$ cartons, et il reste $246 - 240 = \mathbf{6}$ livres (insuffisants pour un carton de plus, car $6 \lt 15$).

2. La part cherchée est $\dfrac{156}{246}$. Les deux nombres sont pairs : $\dfrac{156}{246} = \dfrac{78}{123}$. Puis $7+8 = 15$ et $1+2+3 = 6$ sont multiples de $3$ : $\dfrac{78}{123} = \dfrac{26}{41}$.

Les diviseurs de $26$ sont $1$, $2$, $13$, $26$ ; ceux de $41$ sont $1$ et $41$. Le seul diviseur commun est $1$ : la part des romans est $\dfrac{26}{41}$, sous forme irréductible.

Soient $m$ et $n$ deux entiers impairs. Il existe un entier $k$ tel que $m = 2k+1$, et un entier $k'$ tel que $n = 2k'+1$.

Alors $mn = (2k+1)(2k'+1) = 4kk' + 2k + 2k' + 1$.

Les trois premiers termes sont multiples de $2$ : $4kk' + 2k + 2k' = 2\,(2kk' + k + k')$. Donc $mn = 2\,(2kk' + k + k') + 1$.

Comme $k$ et $k'$ sont des entiers, $K = 2kk' + k + k'$ est un entier. On a $mn = 2K+1$ avec $K$ entier : $mn$ est impair. ∎

Vérification sur un exemple, après la démonstration : $7 \times 11 = 77$, impair.

Soient $m$ et $n$ deux multiples de $a$. Il existe un entier $k$ tel que $m = ak$, et un entier $k'$ tel que $n = ak'$.

Alors $m - n = ak - ak' = a\,(k - k')$.

Comme $k$ et $k'$ sont des entiers, $K = k - k'$ est un entier. Donc $m - n = aK$ avec $K$ entier : $m-n$ est un multiple de $a$. ∎

C'est mot pour mot la démonstration de la somme, avec un signe $-$ à la place du $+$. C'est le même geste : traduire, calculer, factoriser, vérifier que le facteur est entier, conclure.

$a$ est un multiple de $b$ : il existe un entier $k$ tel que $a = kb$. $b$ est un multiple de $c$ : il existe un entier $k'$ tel que $b = k'c$.

En remplaçant : $a = k\,(k'c) = (kk')\,c$.

Comme $k$ et $k'$ sont des entiers, $K = kk'$ est un entier. Donc $a = Kc$ : $a$ est un multiple de $c$. ∎

Illustration : $60 = 12 \times 5$ et $12 = 3 \times 4$, donc $60 = 3 \times (4 \times 5) = 3 \times 20$. On retrouve bien $K = kk' = 5 \times 4 = 20$.

Hypothèses conservées : $m$ est multiple de $7$, donc il existe un entier $k$ tel que $m = 7k$ ; et $n$ n'est pas multiple de $7$.

On nie la conclusion : supposons que $m+n$ soit un multiple de $7$. Il existerait alors un entier $K$ tel que $m + n = 7K$.

On déroule : $n = (m+n) - m = 7K - 7k = 7\,(K - k)$. Or $K - k$ est un entier, donc $n$ serait un multiple de $7$.

Contradiction : c'est exactement ce qu'on avait supposé faux. La supposition est donc à rejeter : $m+n$ n'est pas un multiple de $7$. ∎

Illustration : $21$ est multiple de $7$, $10$ ne l'est pas, et $31 = 21 + 10$ ne l'est pas non plus.

1. Soit $n$ un entier pair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Alors $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2\,(2k^2)$. Comme $2k^2$ est un entier, $n^2$ est un multiple de $2$, donc pair. ∎

2. L'énoncé est « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair ». Sa contraposée s'obtient en retournant puis en niant : « si $n^2$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas pair », c'est-à-dire « si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair ». Elle est vraie automatiquement, sans nouvelle démonstration.

3. L'énoncé de l'onglet rouge est « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ». On retourne puis on nie : « si $n^2$ n'est pas impair, alors $n$ n'est pas impair », c'est-à-dire « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ».

4. C'est celle de la question 3 : « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair ». Elle donne « $p$ est pair » à partir de « $p^2$ est pair », puis, plus loin, « $q$ est pair » à partir de « $q^2$ est pair » — les deux étapes qui produisent la contradiction. La contraposée de la question 2 (« $n^2$ impair $\Rightarrow$ $n$ impair ») ne sert pas ici : on ne rencontre jamais de carré impair dans cette démonstration. Les deux énoncés se ressemblent beaucoup ; savoir lequel on utilise, c'est tout l'enjeu du chapitre sur les raisonnements.

1. L'opérateur % donne le reste de la division : il est nul exactement quand la division tombe juste.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

print(est_multiple(91, 7))   # True  car 91 = 7 * 13
print(est_multiple(91, 6))   # False

2. L'opérateur // est la division entière : b // a compte combien de fois a tient dans b.

def plus_grand_multiple(a, b):
    return (b // a) * a

print(plus_grand_multiple(15, 200))   # 195  car 15 * 13 = 195 et 15 * 14 = 210
print(plus_grand_multiple(24, 500))   # 480  car 24 * 20 = 480 et 24 * 21 = 504

Variante avec une boucle non bornée, sans division entière :

def plus_grand_multiple_boucle(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

3. plus_grand_multiple(7, 7) renvoie $7$ : le plus grand multiple de $7$ inférieur ou égal à $7$, c'est $7$ lui-même. plus_grand_multiple(7, 6) renvoie $0$, car $0 = 7 \times 0$ est bien un multiple de $7$, et c'est le plus grand qui ne dépasse pas $6$. En revanche est_multiple(7, 0) et plus_grand_multiple(0, 5) provoquent une erreur : on ne divise jamais par $0$, donc on suppose le diviseur non nul. Tester ces cas limites est le meilleur moyen de repérer un programme faux.