Aucun chapitre « ensembles » dans ton cahier, et pourtant $\in$, $\subset$ et $\mathrm{Card}$ tombent au contrôle. Rien d'anormal : c'est le langage commun à toutes les leçons. Deux rappels, trois exercices, et tu le parles.
Un ensemble est une collection d'objets appelés ses éléments. On peut l'écrire en extension, c'est-à-dire en listant ses éléments entre accolades : $F = \{1\,;\,6\,;\,11\}$.
$\in$ relie un élément à un ensemble ; $\subset$ relie un ensemble à un ensemble. « $A \subset B$ » se lit « $A$ est inclus dans $B$ » et signifie que tout élément de $A$ est aussi dans $B$ ; on dit alors que $A$ est un sous-ensemble de $B$ (ou une partie de $B$).
Exemples : $6 \in \mathbb{N}$ (un nombre dans un ensemble de nombres) mais $\{6\} \subset \mathbb{N}$ (un ensemble dans un ensemble), et $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$.
1. On pose $E = \{3\,;\,5\,;\,8\,;\,10\,;\,12\}$. Complète chaque trou par $\in$ ou $\notin$, puis donne le cardinal.
a) $5 \; \underline{\hspace{1.1em}} \; E$
b) $7 \; \underline{\hspace{1.1em}} \; E$
c) $12 \; \underline{\hspace{1.1em}} \; E$
d) $0 \; \underline{\hspace{1.1em}} \; E$
e) $\mathrm{Card}(E) = \underline{\hspace{1.1em}}$
a) $5 \in E$ ($5$ figure dans la liste).
b) $7 \notin E$ ($7$ ne figure pas dans la liste).
c) $12 \in E$.
d) $0 \notin E$.
e) $\mathrm{Card}(E) = 5$ : on compte $3$, $5$, $8$, $10$, $12$.
2. Écris chaque ensemble en extension (liste entre accolades), puis donne son cardinal.
a) $A$ : les entiers naturels strictement inférieurs à $5$.
b) $B$ : les diviseurs positifs de $10$.
c) $C$ : les entiers relatifs $x$ tels que $-2 \le x \le 1$.
a) $A = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}$ (attention : $0$ est un entier naturel, et $5$ est exclu). $\mathrm{Card}(A) = 5$.
b) $B = \{1\,;\,2\,;\,5\,;\,10\}$. $\mathrm{Card}(B) = 4$.
c) $C = \{-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\}$ : les entiers, donc pas les décimaux intermédiaires. $\mathrm{Card}(C) = 4$.
3. Complète par $\in$ ou $\subset$ (un seul des deux est correct à chaque ligne).
a) $4 \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \mathbb{N}$
b) $\mathbb{N} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \mathbb{Z}$
c) $\{4\} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \mathbb{N}$
d) $-3 \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \mathbb{Z}$
e) $[0\,;\,1] \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \mathbb{R}$
a) $4 \in \mathbb{N}$ : à gauche un nombre, donc un élément.
b) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ : à gauche un ensemble.
c) $\{4\} \subset \mathbb{N}$ : les accolades en font un ensemble.
d) $-3 \in \mathbb{Z}$ : un nombre.
e) $[0\,;\,1] \subset \mathbb{R}$ : un intervalle est un ensemble de réels.
Les symboles te reviennent, mais $\cap$ et $\cup$ se ressemblent trop. On les remet au propre, avec la formule du cardinal d'une réunion — celle qui fait perdre des points quand on oublie un terme.
On travaille dans un ensemble de référence $E$, avec deux sous-ensembles $A$ et $B$ de $E$ (c'est-à-dire $A \subset E$ et $B \subset E$).
Si $A \cap B = \varnothing$, on dit que $A$ et $B$ sont disjoints.
Pour des ensembles finis :
Le terme $-\,\mathrm{Card}(A \cap B)$ n'est pas décoratif : en additionnant $\mathrm{Card}(A)$ et $\mathrm{Card}(B)$, les éléments communs sont comptés deux fois.
1. On pose $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$ et $B = \{4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\}$.
a) Écris $A \cap B$ et donne son cardinal. b) Écris $A \cup B$ et donne son cardinal. c) Vérifie la formule du cardinal d'une réunion.
a) $A \cap B = \{4\,;\,5\}$, donc $\mathrm{Card}(A \cap B) = 2$.
b) $A \cup B = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\}$ (chaque élément écrit une seule fois), donc $\mathrm{Card}(A \cup B) = 7$.
c) $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B) = 5 + 4 - 2 = 7$. C'est bien le cardinal trouvé en b).
2. Dans $E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\,;\,9\,;\,10\}$, on pose $A = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}$.
a) Écris $\overline{A}$, le complémentaire de $A$ dans $E$. b) Donne $\mathrm{Card}(A)$ et $\mathrm{Card}(\overline{A})$. c) Vérifie que $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(\overline{A}) = \mathrm{Card}(E)$.
a) $\overline{A} = \{1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,9\}$ : les éléments de $E$ absents de $A$.
b) $\mathrm{Card}(A) = 5$ et $\mathrm{Card}(\overline{A}) = 5$.
c) $5 + 5 = 10 = \mathrm{Card}(E)$. Chaque élément de $E$ est d'un côté ou de l'autre, jamais des deux.
3. On pose $A = [0\,;\,6]$, $B = [4\,;\,10]$, $C = \;]-\infty\,;\,1[$ et $D = [3\,;\,+\infty[$.
a) Détermine $A \cap B$. b) Détermine $A \cup B$. c) Détermine $C \cap D$. d) $C \cup D$ est-il un intervalle ? Justifie.
a) Il faut $0 \le x \le 6$ et $4 \le x \le 10$, donc $4 \le x \le 6$ : $A \cap B = [4\,;\,6]$.
b) Les deux intervalles se chevauchent (sur $[4\,;\,6]$), donc la réunion est d'un seul tenant : $A \cup B = [0\,;\,10]$.
c) Il faudrait $x \lt 1$ et $x \ge 3$ en même temps : impossible. $C \cap D = \varnothing$.
d) Non, et c'est un contre-exemple qui le prouve : $0 \in C \cup D$ et $5 \in C \cup D$, alors que $2 \notin C \cup D$. Un intervalle ne peut pas sauter une valeur intermédiaire. Une réunion d'intervalles n'est donc pas toujours un intervalle.
Cinq mini-exercices courts, pris là où ces notations servent vraiment — des listes, un club, une entreprise, un repère — pour que le réflexe « et $\rightarrow \cap$ / ou $\rightarrow \cup$ » et le comptage deviennent automatiques. Objectif : zéro erreur, sans réfléchir.
1. $A = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}$ et $B = \{6\,;\,8\,;\,10\}$. Donne $A \cap B$, $A \cup B$, puis leurs cardinaux.
$A \cap B = \{6\,;\,8\}$, $\mathrm{Card}(A \cap B) = 2$. $A \cup B = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}$, $\mathrm{Card}(A \cup B) = 5$.
Contrôle : $4 + 3 - 2 = 5$.
2. Dans un lycée, $A$ est l'ensemble des élèves inscrits au club théâtre et $B$ celui des élèves inscrits à la chorale. On sait que $\mathrm{Card}(A) = 17$, $\mathrm{Card}(B) = 12$ et $\mathrm{Card}(A \cap B) = 5$. Combien d'élèves sont inscrits à au moins un des deux clubs ?
« Au moins un des deux » est la réunion : $\mathrm{Card}(A \cup B) = 17 + 12 - 5 = 24$ élèves.
3. $A$ et $B$ sont disjoints, avec $\mathrm{Card}(A) = 9$ et $\mathrm{Card}(B) = 6$. Donne $\mathrm{Card}(A \cap B)$ puis $\mathrm{Card}(A \cup B)$.
Disjoints signifie $A \cap B = \varnothing$, donc $\mathrm{Card}(A \cap B) = 0$.
La formule donne $\mathrm{Card}(A \cup B) = 9 + 6 - 0 = 15$. C'est le seul cas où l'on additionne simplement.
4. Une entreprise emploie $40$ personnes : c'est l'ensemble $E$. Le sous-ensemble $A$ de celles qui travaillent à temps plein vérifie $\mathrm{Card}(A) = 23$. Combien de personnes ne travaillent pas à temps plein ?
C'est le complémentaire de $A$ dans $E$ : $\mathrm{Card}(\overline{A}) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A) = 40 - 23 = 17$ personnes.
5. Dans un repère du plan, on place tous les points dont l'abscisse appartient à $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$ et l'ordonnée à $B = \{5\,;\,6\}$. Écris les couples de coordonnées de ces points. Combien y en a-t-il ?
Les couples sont $(1\,;\,5)$, $(1\,;\,6)$, $(2\,;\,5)$, $(2\,;\,6)$, $(3\,;\,5)$, $(3\,;\,6)$ : il y a $6$ points.
L'ensemble de ces couples se note $A \times B$ (produit cartésien de $A$ par $B$). Attention à l'ordre : $(1\,;\,5)$ et $(5\,;\,1)$ ne désignent pas le même point.
Format contrôle. Les symboles arrivent ici là où on te les demande vraiment : dans un vrai/faux, dans un sondage à compter, dans un ensemble de solutions. Rédige comme sur une copie, corrigé après.
1. Vrai ou faux ? Justifie à chaque fois, par une phrase ou par un contre-exemple.
a) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$.
b) $\varnothing \subset A$ pour n'importe quel ensemble $A$.
c) $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)$ dans tous les cas.
d) $\{-1\} \in \mathbb{Z}$.
e) $2 \in [0\,;\,5]$.
a) Faux. Contre-exemple : $-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$. Un seul élément qui sort suffit à casser l'inclusion. (C'est l'inclusion inverse qui est vraie : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.)
b) Vrai. L'ensemble vide n'a aucun élément : on ne peut donc exhiber aucun élément de $\varnothing$ qui manquerait dans $A$.
c) Faux. Contre-exemple : $A = \{1\,;\,2\}$ et $B = \{2\,;\,3\}$ donnent $A \cup B = \{1\,;\,2\,;\,3\}$, de cardinal $3$, alors que $2 + 2 = 4$. La formule correcte retire $\mathrm{Card}(A \cap B) = 1$. L'égalité de l'énoncé n'est vraie que si $A \cap B = \varnothing$.
d) Faux. $\{-1\}$ est un ensemble, pas un nombre : le bon symbole est $\subset$. On écrit $-1 \in \mathbb{Z}$ et $\{-1\} \subset \mathbb{Z}$.
e) Vrai. $2$ est un réel vérifiant $0 \le 2 \le 5$, il appartient donc à l'intervalle.
2. Un sondage porte sur $130$ personnes. On note $A$ l'ensemble de celles qui lisent un journal et $B$ l'ensemble de celles qui écoutent la radio. On sait que $\mathrm{Card}(A) = 74$, $\mathrm{Card}(B) = 58$ et $\mathrm{Card}(A \cap B) = 35$.
a) Combien de personnes lisent un journal ou écoutent la radio ?
b) Combien ne font ni l'un ni l'autre ?
c) Combien font exactement une des deux activités ?
d) On interroge une personne au hasard parmi les $130$, chacune ayant la même chance d'être choisie. Quelle est la probabilité qu'elle appartienne à $A \cup B$ ?
a) Le « ou » est une réunion : $\mathrm{Card}(A \cup B) = 74 + 58 - 35 = 97$ personnes.
b) C'est le complémentaire de $A \cup B$ : $130 - 97 = 33$ personnes.
c) On retire de la réunion celles qui font les deux : $97 - 35 = 62$ personnes. (Contrôle par les zones : $(74 - 35) + (58 - 35) = 39 + 23 = 62$.)
d) Il y a équiprobabilité, donc on compte : $P(A \cup B) = \dfrac{\mathrm{Card}(A \cup B)}{130} = \dfrac{97}{130} \approx 0{,}75$. (En probabilités, l'ensemble des $130$ personnes est l'ensemble des issues, noté $\Omega$ : on écrit alors $\mathrm{Card}(\Omega) = 130$.)
Vérification globale. $39 + 35 + 23 + 33 = 130$ : journal seul, les deux, radio seule, ni l'un ni l'autre.
3. On pose $A = [-4\,;\,3[$ et $B = \;]-1\,;\,7]$.
a) Détermine $A \cap B$. b) Détermine $A \cup B$. c) Détermine $A \cap \mathbb{Z}$ et donne son cardinal.
a) Il faut $-4 \le x \lt 3$ et $-1 \lt x \le 7$, donc $-1 \lt x \lt 3$ : $A \cap B = \;]-1\,;\,3[$. Les bornes ouvertes l'emportent.
b) Les deux intervalles se chevauchent sur $]-1\,;\,3[$, donc $A \cup B = [-4\,;\,7]$ : la borne $-4$ reste incluse (elle vient de $A$) et $7$ aussi (elle vient de $B$).
c) Les entiers relatifs de $[-4\,;\,3[$ sont $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ : $A \cap \mathbb{Z} = \{-4\,;\,-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\}$, de cardinal $7$. Attention, $3$ est exclu.
4. On travaille dans $\mathbb{R}$.
a) Résous $3x + 1 \ge 7$ et donne l'ensemble $S_1$ des solutions sous forme d'intervalle.
b) Résous $4 - x \gt 0$ et donne l'ensemble $S_2$ des solutions.
c) Donne l'ensemble des solutions du système « a) et b) ».
d) Que vaudrait cet ensemble si l'on écrivait « a) ou b) » ?
a) $3x + 1 \ge 7$ donne $3x \ge 6$, soit $x \ge 2$. Donc $S_1 = [2\,;\,+\infty[$.
b) $4 - x \gt 0$ donne $4 \gt x$, soit $x \lt 4$. Donc $S_2 = \;]-\infty\,;\,4[$.
c) Le « et » est une intersection : $S_1 \cap S_2 = [2\,;\,4[$, c'est-à-dire $\{x \in \mathbb{R} \mid 2 \le x \lt 4\}$.
d) Le « ou » est une réunion. Tout réel vérifie au moins une des deux conditions (s'il n'est pas $\ge 2$, alors il est $\lt 2$ donc $\lt 4$) : $S_1 \cup S_2 = \mathbb{R}$.
5. Les cinq écritures ci-dessous, extraites d'une copie, sont toutes fausses. Explique l'erreur et corrige chacune.
a) $5 \subset \{1\,;\,5\,;\,9\}$
b) $\{2\} \in \{1\,;\,2\,;\,3\}$
c) $\mathrm{Card}(\varnothing) = 1$
d) $\mathrm{Card}([0\,;\,1]) = 2$
e) $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)$
a) $5$ est un nombre, donc un élément : il faut écrire $5 \in \{1\,;\,5\,;\,9\}$.
b) $\{2\}$ est un ensemble : il faut écrire $\{2\} \subset \{1\,;\,2\,;\,3\}$. (En revanche $2 \in \{1\,;\,2\,;\,3\}$ est correct.)
c) L'ensemble vide n'a aucun élément : $\mathrm{Card}(\varnothing) = 0$. Ne pas le confondre avec $\{0\}$, qui a un élément.
d) L'écriture n'a pas de sens : $[0\,;\,1]$ contient une infinité de réels, et $\mathrm{Card}$ n'est défini que pour un ensemble fini. Les nombres $0$ et $1$ ne sont que les deux bornes.
e) Il manque un terme : $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$. L'écriture de l'élève n'est correcte que dans le cas particulier où $A$ et $B$ sont disjoints.
Pour aller voir derrière la formule. Trois exercices guidés : on démontre le cardinal d'une réunion, on compte des couples, et on compte les parties d'un ensemble — le point de départ du dénombrement, qu'on retrouve plus tard au lycée.
1. Démontrer la formule du cardinal d'une réunion. $A$ et $B$ sont deux ensembles finis.
2. Compter des couples. On pose $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}$ et $B = \{a\,;\,b\,;\,c\}$.
3. Les parties d'un ensemble. On appelle « partie de $E$ » tout ensemble inclus dans $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$ lui-même).
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