Tu découvres les mots « réciproque » et « contraposée » la veille du contrôle ? On commence par le geste, rien que le geste : retourner une phrase, la nier, et trouver le nombre qui met un énoncé par terre. Les corrigés sont juste dessous.
À toi de jouer
1. Complète les deux définitions. On part de l'énoncé « si $A$ alors $B$ ».
La réciproque est : « si $\underline{\hspace{2.6em}}$ alors $\underline{\hspace{2.6em}}$ ».
La contraposée est : « si non $\underline{\hspace{2.6em}}$ alors non $\underline{\hspace{2.6em}}$ ».
Corrigé
La réciproque est : « si $B$ alors $A$ ».
La contraposée est : « si non $B$ alors non $A$ ».
Le geste de la contraposée se fait en deux temps : on retourne, puis on nie.
2. On part de l'énoncé vrai : « si $n$ est un multiple de $10$, alors $n$ est un multiple de $5$ ».
a) Écris sa réciproque.
b) Écris sa contraposée.
c) La réciproque est-elle vraie ? Si elle est fausse, donne un nombre qui le montre.
Corrigé
a) « Si $n$ est un multiple de $5$, alors $n$ est un multiple de $10$. »
b) « Si $n$ n'est pas un multiple de $5$, alors $n$ n'est pas un multiple de $10$. »
c) La réciproque est fausse. Contre-exemple : $n = 15$. Il est bien un multiple de $5$ ($15 = 5 \times 3$), et pourtant il n'est pas un multiple de $10$.
3. Écris la négation de chaque proposition.
a) $x = 7$ → $\underline{\hspace{2.6em}}$
b) $x \gt 0$ → $\underline{\hspace{2.6em}}$
c) $x \geqslant 3$ → $\underline{\hspace{2.6em}}$
d) $x \in \mathbb{N}$ → $\underline{\hspace{2.6em}}$
Corrigé
a) $x \neq 7$.
b) $x \leqslant 0$.
c) $x \lt 3$.
d) $x \notin \mathbb{N}$.
Attention aux deux du milieu : la négation de $x \gt 0$ est $x \leqslant 0$ et non $x \lt 0$ — le cas $x = 0$ doit bien atterrir quelque part.
4. Un élève affirme : « tout nombre pair est un multiple de $6$ ». Donne un contre-exemple, et rédige la phrase de conclusion.
Corrigé
Contre-exemple : $4$. Il est pair ($4 = 2 \times 2$), et il n'est pas un multiple de $6$ (les multiples de $6$ sont $0$, $6$, $12$, $18$…).
Conclusion à écrire : « $4$ est pair mais n'est pas un multiple de $6$, donc l'affirmation est fausse. »
5. Vrai ou faux ? « La contraposée de si $A$ alors $B$ est si non $A$ alors non $B$. » Si c'est faux, écris la bonne réponse.
Corrigé
Faux. La contraposée est « si non $B$ alors non $A$ » : on échange les deux morceaux et on les nie.
« Si non $A$ alors non $B$ » est un tout autre énoncé, qui peut très bien être faux alors que l'énoncé de départ est vrai.
Le vocabulaire te revient. On l'installe pour de bon : fabriquer réciproque et contraposée sur des énoncés venus de trois chapitres différents, nier des phrases qui contiennent un « et » ou un « ou », et reconnaître quel type de raisonnement une question appelle.
À toi de jouer
1. Pour chaque énoncé, écris la réciproque, puis la contraposée.
a) « Si $x = 2$, alors $x^2 = 4$. »
b) « Si $f$ est croissante sur $[0\,;\,5]$, alors $f(1) \leqslant f(4)$. »
c) « Si $n$ est impair, alors $n + 1$ est pair. »
Corrigé
a) Réciproque : « si $x^2 = 4$, alors $x = 2$ ». Contraposée : « si $x^2 \neq 4$, alors $x \neq 2$ ».
b) Réciproque : « si $f(1) \leqslant f(4)$, alors $f$ est croissante sur $[0\,;\,5]$ ». Contraposée : « si $f(1) \gt f(4)$, alors $f$ n'est pas croissante sur $[0\,;\,5]$ ».
c) Réciproque : « si $n + 1$ est pair, alors $n$ est impair ». Contraposée : « si $n + 1$ n'est pas pair, alors $n$ n'est pas impair », autrement dit « si $n + 1$ est impair, alors $n$ est pair ».
Remarque : c'est la contraposée du b) qu'on utilise en contrôle pour montrer qu'une fonction n'est pas croissante — il suffit d'exhiber deux nombres qui se croisent.
2. Écris la négation de chaque proposition. Surveille le connecteur.
a) « $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$ »
b) « $x = 1$ ou $x = -1$ »
c) « $n$ est pair et $n \gt 10$ »
Corrigé
a) « $x \lt 0$ ou $y \lt 0$ ».
b) « $x \neq 1$ et $x \neq -1$ ».
c) « $n$ est impair ou $n \leqslant 10$ ».
Règle : nier un « et » donne un « ou », nier un « ou » donne un « et ». Le connecteur bascule à tous les coups, et chaque morceau est nié.
3. Vrai ou faux ? Justifie par une démonstration courte, ou par un contre-exemple.
a) « Pour tout réel $x$ : si $x \gt 3$, alors $x^2 \gt 9$. »
b) « Pour tout réel $x$ : si $x^2 \gt 9$, alors $x \gt 3$. »
c) « Pour tout entier $n$ : si $n$ est un multiple de $6$, alors $n$ est un multiple de $3$. »
Corrigé
a) Vrai. Si $x \gt 3$, alors $x$ est positif, donc en multipliant l'inégalité $x \gt 3$ par $x \gt 0$ on obtient $x^2 \gt 3x$ ; et de $x \gt 3$ on tire $3x \gt 9$. Donc $x^2 \gt 3x \gt 9$.
b) Faux. Contre-exemple : $x = -4$. On a $(-4)^2 = 16 \gt 9$, et pourtant $-4 \gt 3$ est faux.
c) Vrai. Si $n$ est un multiple de $6$, il existe un entier $k$ tel que $n = 6k$, donc $n = 3 \times (2k)$ avec $2k$ entier : $n$ est un multiple de $3$.
a) et b) sont réciproques l'une de l'autre : voilà, en deux lignes, la preuve qu'une implication vraie ne renseigne en rien sur sa réciproque. Parfois celle-ci est vraie, parfois non — dans les deux cas elle s'examine à part.
4. Quel type de raisonnement la question appelle-t-elle : contre-exemple, disjonction des cas, ou raisonnement par l'absurde ?
a) « Montrer que l'affirmation tout entier impair est un multiple de $3$ est fausse. »
b) « Montrer que pour tout réel $x$, $|x| \geqslant 0$. »
c) « Montrer qu'il n'existe pas d'entier $n$ vérifiant $4n = 6$. »
Corrigé
a) Contre-exemple : il suffit d'exhiber un entier impair qui n'est pas un multiple de $3$, par exemple $5$.
b) Disjonction des cas : selon que $x \geqslant 0$ (et alors $|x| = x \geqslant 0$) ou $x \lt 0$ (et alors $|x| = -x \gt 0$).
c) Raisonnement par l'absurde : on suppose qu'un tel entier existe, et on cherche la contradiction. Repère la formule « il n'existe pas » : elle appelle presque toujours l'absurde.
5. Peut-on relier les deux propositions par une équivalence ($\iff$), ou seulement par une implication ($\Rightarrow$), et dans quel sens ?
a) $x = 3$ et $x^2 = 9$
b) $2x + 1 = 7$ et $x = 3$
c) $x \geqslant 2$ et $x \geqslant 0$
Corrigé
a) Implication seulement : $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$. La réciproque est fausse (prendre $x = -3$).
b) Équivalence : $2x + 1 = 7 \iff 2x = 6 \iff x = 3$. Chaque étape est réversible (on retire $1$, on divise par $2$).
c) Implication seulement : $x \geqslant 2 \Rightarrow x \geqslant 0$. La réciproque est fausse (prendre $x = 1$).
On répète le même geste jusqu'à ce qu'il devienne automatique : contraposée, réciproque, contre-exemple, puis deux rédactions complètes — une disjonction des cas et un raisonnement par l'absurde. Rien de neuf : c'est du volume.
À toi de jouer
1. Écris la contraposée de chaque énoncé.
a) « Si $x \gt 5$, alors $x \gt 2$. »
b) « Si $n$ est un multiple de $9$, alors $n$ est un multiple de $3$. »
c) « Si $\det(\vec{u},\vec{v}) \neq 0$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. »
Corrigé
a) « Si $x \leqslant 2$, alors $x \leqslant 5$. »
b) « Si $n$ n'est pas un multiple de $3$, alors $n$ n'est pas un multiple de $9$. »
c) « Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors $\det(\vec{u},\vec{v}) = 0$. » Deux négations se sont simplifiées : « non ($\det \neq 0$) » redonne « $\det = 0$ », et « non (ne sont pas colinéaires) » redonne « sont colinéaires ».
2. Chacune de ces implications est vraie. Sa réciproque l'est-elle ? Justifie.
a) « Si $x = 0$, alors $x^2 = 0$. »
b) « Si $n$ est un multiple de $4$, alors $n$ est pair. »
c) « Si $x \gt 2$, alors $x \gt 1$. »
Corrigé
a) Réciproque : « si $x^2 = 0$, alors $x = 0$ ». Elle est vraie : un produit de deux facteurs est nul seulement si l'un des facteurs est nul, et ici les deux facteurs valent $x$.
b) Réciproque : « si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$ ». Fausse : $n = 6$.
c) Réciproque : « si $x \gt 1$, alors $x \gt 2$ ». Fausse : $x = 1{,}5$.
Moralité : parfois la réciproque est vraie, parfois non — et dans les deux cas il a fallu l'examiner à part.
3. Trouve un contre-exemple à chacune de ces affirmations.
a) « Pour tout réel $x$, $x^2 \gt x$. »
b) « Pour tous réels $a$ et $b$, si $a^2 = b^2$, alors $a = b$. »
c) « Pour tout entier $n$, si $n$ est impair, alors $n$ est un multiple de $3$. »
Corrigé
a) $x = 0$ : on a $0^2 = 0$, et $0 \gt 0$ est faux. ($x = 0{,}5$ marche aussi : $0{,}25 \gt 0{,}5$ est faux.)
b) $a = 1$ et $b = -1$ : $a^2 = b^2 = 1$, et pourtant $a \neq b$.
c) $n = 5$ : il est impair, et il n'est pas un multiple de $3$.
Dans chaque cas, écris bien les deux vérifications : l'hypothèse est satisfaite, la conclusion ne l'est pas.
4. Démontre par disjonction des cas : pour tout réel $x$, $|x| \geqslant x$.
Indication : sépare selon le signe de $x$, et rappelle-toi que $|x| = x$ si $x \geqslant 0$, $|x| = -x$ si $x \lt 0$.
Corrigé
Cas 1 : $x \geqslant 0$. Alors $|x| = x$, donc l'inégalité $|x| \geqslant x$ est vérifiée (c'est une égalité).
Cas 2 : $x \lt 0$. Alors $|x| = -x$, et comme $x \lt 0$ on a $-x \gt 0$. Donc $|x| \gt 0 \gt x$, et en particulier $|x| \geqslant x$.
Conclusion. Les deux cas couvrent tous les réels, et l'inégalité est vraie dans chacun : pour tout réel $x$, $|x| \geqslant x$.
5. Démontre par l'absurde qu'il n'existe pas d'entier $n$ tel que $2n = 7$.
Corrigé
Supposons qu'un tel entier $n$ existe, c'est-à-dire que $2n = 7$ avec $n$ entier.
Alors $7$ s'écrit $2 \times n$ avec $n$ entier : $7$ serait un nombre pair.
Or $7 = 2 \times 3 + 1$ est impair, et un entier ne peut pas être à la fois pair et impair.
Contradiction. Il n'existe donc aucun entier $n$ vérifiant $2n = 7$.
6. Écris la négation de chaque proposition.
a) « $x \gt 0$ et $x \lt 5$ »
b) « Tous les nombres de la liste sont positifs. »
c) « Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés ou les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. »
Corrigé
a) « $x \leqslant 0$ ou $x \geqslant 5$ ».
b) « Au moins un nombre de la liste est strictement négatif. » Deux pièges ici : le contraire de « tous » est « au moins un ne… pas », pas « aucun » ; et le contraire de « positif » (c'est-à-dire $\geqslant 0$) est « strictement négatif » ($\lt 0$), car $0$ est positif.
c) « Les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés et les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles. » Les deux morceaux sont bien indépendants : $A$, $B$, $C$ peuvent être alignés alors que $(AB)$ et $(CD)$ se coupent, et $(AB)$ peut être parallèle à $(CD)$ sans que $C$ soit sur la droite $(AB)$.
Six exercices au format contrôle : on ne demande plus la réponse, on demande la rédaction. Annonce ton raisonnement, écris l'énoncé que tu vas démontrer, conclus. Les corrigés sont rédigés comme une copie qui prend tous les points.
À toi de jouer
1. Soit $n$ un entier. Démontre, en passant par la contraposée, que si $n^2 + 1$ est impair, alors $n$ est pair.
Corrigé
Annonce. Démontrons la contraposée, qui est équivalente à l'énoncé.
La contraposée. On retourne et on nie : « si $n$ n'est pas pair, alors $n^2 + 1$ n'est pas impair », c'est-à-dire « si $n$ est impair, alors $n^2 + 1$ est pair » (pour un entier, « pas pair » signifie « impair »).
Démonstration. Supposons $n$ impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. Alors $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$, donc $n^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2\,(2k^2 + 2k + 1)$. Comme $2k^2 + 2k + 1$ est un entier, $n^2 + 1$ est pair.
Conclusion. La contraposée est vraie, donc l'énoncé de départ l'est aussi : si $n^2 + 1$ est impair, alors $n$ est pair.
2. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \times b \neq 0$. Démontre par l'absurde que $a \neq 0$ et $b \neq 0$.
Corrigé
Annonce. Raisonnons par l'absurde. On garde l'hypothèse $a \times b \neq 0$, et on suppose en plus que la conclusion est fausse.
Négation de la conclusion. La conclusion est « $a \neq 0$ et $b \neq 0$ ». Sa négation bascule le connecteur et nie chaque morceau : « $a = 0$ ou $b = 0$ ».
On déroule (deux cas). Si $a = 0$, alors $a \times b = 0 \times b = 0$. Si $b = 0$, alors $a \times b = a \times 0 = 0$. Dans les deux cas, $a \times b = 0$.
Contradiction. On aurait $a \times b = 0$ et $a \times b \neq 0$ en même temps : impossible.
Conclusion. La supposition est à rejeter : on a bien $a \neq 0$ et $b \neq 0$.
3. Soit $x$ un réel. Démontre que $x^2 = 5x$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = 5$.
Corrigé
Annonce. Une équivalence se démontre en deux implications ; traitons-les l'une après l'autre.
Sens 1 : on suppose $x^2 = 5x$. Alors $x^2 - 5x = 0$, donc $x\,(x - 5) = 0$. Un produit est nul exactement quand l'un au moins des facteurs est nul : donc $x = 0$ ou $x - 5 = 0$, c'est-à-dire $x = 0$ ou $x = 5$.
Sens 2 : on suppose $x = 0$ ou $x = 5$. Si $x = 0$ : $x^2 = 0$ et $5x = 0$, l'égalité est vraie. Si $x = 5$ : $x^2 = 25$ et $5x = 25$, l'égalité est vraie encore.
Conclusion. Les deux implications sont démontrées, donc $x^2 = 5x \iff (x = 0$ ou $x = 5)$.
4. On sait que : « si un entier est un multiple de $6$, alors il est pair ». Léa en déduit : « $14$ n'est pas un multiple de $6$, donc $14$ n'est pas pair ».
a) Explique précisément l'erreur de Léa.
b) Écris la contraposée correcte de l'énoncé de départ, et ce qu'elle permet de conclure sur un entier impair.
Corrigé
a) Léa a écrit « non $A$ donc non $B$ », alors que l'énoncé de départ est « $A$ donc $B$ ». Ce n'est pas la contraposée, et ce n'est pas une déduction valide : elle est d'ailleurs démentie sur place, puisque $14$ est bel et bien pair ($14 = 2 \times 7$).
b) La contraposée correcte est : « si un entier n'est pas pair, alors il n'est pas un multiple de $6$ ». Elle permet de conclure qu'un entier impair n'est jamais un multiple de $6$ — ce qui est vrai, et c'est tout ce qu'on peut tirer de l'énoncé de départ.
5. Un élève affirme : « pour tous réels $a$ et $b$, si $a \lt b$, alors $a^2 \lt b^2$ ».
a) Donne un contre-exemple et rédige la conclusion.
b) Propose une hypothèse supplémentaire qui rend l'énoncé vrai, et justifie brièvement.
Corrigé
a) Contre-exemple : $a = -3$ et $b = 1$. L'hypothèse est satisfaite ($-3 \lt 1$) et la conclusion est fausse ($a^2 = 9$, $b^2 = 1$, donc $a^2 \lt b^2$ n'est pas vrai). Conclusion : l'affirmation est fausse.
b) Il suffit d'ajouter que $a$ est positif, c'est-à-dire de supposer $0 \leqslant a \lt b$. Alors, en multipliant $a \lt b$ par $a \geqslant 0$ on obtient $a^2 \leqslant a\,b$ ; et comme $b \gt a \geqslant 0$, on a $b \gt 0$, donc en multipliant $a \lt b$ par $b$ on obtient $a\,b \lt b^2$. D'où $a^2 \leqslant a\,b \lt b^2$, et donc $a^2 \lt b^2$.
6. Démontre par disjonction des cas que pour tout entier $n$, le nombre $n^2 + n + 2$ est pair.
Corrigé
Annonce. Tout entier est pair ou impair : ces deux cas couvrent toute la situation.
Cas 1 : $n$ est pair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Alors $n^2 + n + 2 = 4k^2 + 2k + 2 = 2\,(2k^2 + k + 1)$, qui est pair.
Cas 2 : $n$ est impair. Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. Alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1$, donc $n^2 + n + 2 = 4k^2 + 4k + 1 + 2k + 1 + 2 = 4k^2 + 6k + 4 = 2\,(2k^2 + 3k + 2)$, qui est pair.
Conclusion. Dans les deux cas $n^2 + n + 2$ est pair, et il n'y a pas d'autre cas : la propriété est vraie pour tout entier $n$.
Quatre questions qui débordent du contrôle : nier une implication (le programme de seconde s'arrête juste avant), le vocabulaire « nécessaire / suffisant » de l'an prochain, une chaîne d'équivalences à justifier, et un classique de l'absurde. Bonus culture.
À toi de jouer
1. Hors programme de seconde, mais tu t'en sers déjà. On considère l'énoncé : « pour tout réel $x$, si $x \gt 1$ alors $x^2 \gt x$ ».
a) Écris sa négation.
b) Cette négation est-elle vraie ? Que faudrait-il produire pour l'établir ?
Corrigé
a) Nier « si $A$ alors $B$ », c'est affirmer « $A$ et non $B$ ». Ici, avec le « pour tout » devant, la négation est : « il existe un réel $x$ tel que $x \gt 1$ et $x^2 \leqslant x$ ».
b) Elle est fausse, car l'énoncé de départ est vrai : si $x \gt 1$, alors $x \gt 0$, et en multipliant $x \gt 1$ par $x \gt 0$ on obtient $x^2 \gt x$. Pour établir la négation, il aurait fallu produire un contre-exemple — et il n'en existe aucun.
Au passage : « donner un contre-exemple », c'est exactement « démontrer la négation de l'énoncé ». Voilà pourquoi un exemple qui marche, lui, ne démontre rien.
2. Complète avec « nécessaire » ou « suffisante ».
a) Pour un entier, être un multiple de $4$ est une condition $\underline{\hspace{2.6em}}$ pour être pair.
b) Pour un entier, être pair est une condition $\underline{\hspace{2.6em}}$ pour être un multiple de $4$.
c) Pour un réel, $x = 3$ est une condition $\underline{\hspace{2.6em}}$ pour que $x^2 = 9$ ; et $x^2 = 9$ est une condition $\underline{\hspace{2.6em}}$ pour que $x = 3$.
Corrigé
a) suffisante : il suffit d'être un multiple de $4$ pour être pair.
b) nécessaire : sans être pair, impossible d'être un multiple de $4$. Mais elle n'est pas suffisante — $6$ est pair sans être un multiple de $4$.
c) suffisante, puis nécessaire. Règle générale : dans « $A \Rightarrow B$ », $A$ est suffisante pour $B$, et $B$ est nécessaire pour $A$. Cette seconde lecture n'est rien d'autre que la contraposée dite en français.
3. Résous l'inéquation $3x - 5 \geqslant 4$ en écrivant une chaîne d'équivalences, et justifie que chaque étape en est bien une.
Corrigé
$3x - 5 \geqslant 4 \iff 3x \geqslant 9 \iff x \geqslant 3$.
Étape 1 : on ajoute $5$ aux deux membres. L'opération se défait en retirant $5$ : elle est réversible, donc c'est une équivalence.
Étape 2 : on divise les deux membres par $3$. Comme $3 \gt 0$, le sens de l'inégalité est conservé, et l'opération se défait en multipliant par $3$ : c'est encore une équivalence.
L'ensemble des solutions est donc $[3\,;\,+\infty[$.
Le jour où ça coince : élever au carré n'est pas réversible. La chaîne se casse, on n'a plus qu'une implication, et il faut revenir vérifier les valeurs trouvées.
4. Un classique du raisonnement par l'absurde. Démontre qu'il n'existe pas de plus grand entier — c'est-à-dire qu'aucun entier n'est supérieur ou égal à tous les autres.
Corrigé
Supposons qu'il existe un entier $N$ supérieur ou égal à tous les entiers.
Le nombre $N + 1$ est lui aussi un entier, et $N + 1 \gt N$.
Donc $N$ n'est pas supérieur ou égal à tous les entiers : il est dépassé par $N + 1$. Cela contredit la supposition de départ.
Conclusion : il n'existe pas de plus grand entier.
Remarque de méthode : les énoncés qui commencent par « il n'existe pas » se prêtent presque toujours à l'absurde, parce que supposer le contraire donne enfin un objet à manipuler.