Multiples, diviseurs, pairs et impairs

Les prérequis (rien de méchant)

Trois choses que tu sais déjà, juste pour être au clair :

• une division est exacte quand elle tombe juste, sans reste : $12 \div 3 = 4$ est exacte, $13 \div 3$ ne l'est pas ;
• un entier, c'est un nombre sans virgule : $0$, $7$, $-25$ ;
• une table de multiplication, c'est déjà une liste de multiples : la table de $3$ donne $3$, $6$, $9$, $12$, $15$…

Rien d'autre n'est requis. Le chapitre entier se construit sur une multiplication, pas sur une division.

L'essentiel : une égalité, quatre mots

Tout part d'une seule écriture. Quand on peut écrire $12 = 3 \times 4$ avec des entiers, on a le droit de dire quatre choses à la fois :

Un exemple, du début à la fin

Le terrain de jeu : $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$

Tout ce chapitre se passe chez les entiers, et seulement chez eux. Deux notations à connaitre :

• $\mathbb{N} = \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, \ldots\}$ : les entiers naturels, positifs ou nuls ;
• $\mathbb{Z} = \{\ldots,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, \ldots\}$ : les entiers relatifs, avec les négatifs.

Si le classement des nombres dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ est encore flou, la fiche Ensembles de nombres le reprend en entier. Ici, retiens seulement ceci : dès qu'un énoncé parle de multiple, de diviseur, de pair ou d'impair, les lettres désignent des entiers. Une phrase comme « $2{,}5$ est un multiple de $0{,}5$ » n'a pas de sens dans ce chapitre.

La définition officielle (celle du programme)

Les trois mots qui portent toute la définition sont « il existe un entier $k$ ». Ce sont eux qui font le travail :

• pour montrer que $a$ est multiple de $b$, il faut exhiber un entier $k$ et écrire l'égalité $a = kb$ ;
• pour utiliser l'hypothèse « $a$ est multiple de $b$ », on a le droit d'écrire aussitôt « il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ » — c'est le geste de départ de toutes les démonstrations du chapitre.

Deux conséquences immédiates, à connaitre :

• $0$ est un multiple de n'importe quel entier $b$, puisque $0 = 0 \times b$ ;
• tout entier $a$ est multiple de $1$ et de lui-même : $a = a \times 1$.

Pair et impair : deux écritures, aucun trou

Un entier $n$ est pair lorsqu'il est multiple de $2$ : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$. Sinon il est impair, et il s'écrit alors $n = 2k + 1$ avec $k$ entier.

Oui, $0$ est pair : $0 = 2 \times 0$, et $0$ est bien un entier. C'est la question piège la plus fréquente du chapitre.

Méthode 1 — tester si $a$ est un multiple de $b$

Pour les petits diviseurs, les critères vus au collège font gagner du temps. Ils ne remplacent pas la rédaction, ils l'orientent :

Méthode 2 — présenter une fraction sous forme irréductible

Une fraction $\dfrac{p}{q}$ est irréductible quand $p$ et $q$ n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$ : on ne peut plus la simplifier.

Ex 1 — Reconnaitre un multiple, lister des diviseurs

Ex 2 — Rendre une fraction irréductible

Ex 3 — Modéliser un problème

Démonstration 1 — la somme de deux multiples de $7$ est un multiple de $7$

Le programme demande cette démonstration pour une valeur numérique : on la rédige donc avec $a = 7$. Rien dans le raisonnement ne dépendra de ce $7$, on le vérifiera à la fin.

Démonstration 2 — le carré d'un nombre impair est impair

Problème type — la somme de deux nombres impairs

Énoncé. Soient $m$ et $n$ deux entiers impairs. Montrer que $m + n$ est pair.

Ce que le correcteur attend + les pièges

La version générale, et ses petites sœurs

Toutes ces démonstrations tiennent dans le même moule : traduire l'hypothèse en $a = kb$, calculer, factoriser, vérifier que le facteur est entier, conclure.

Un énoncé qui se démontre par l'absurde

Celui-ci ne se laisse pas attraper par un calcul direct — parce qu'il faut démontrer qu'un entier n'est pas un multiple, et qu'on ne sait rien écrire à partir d'une négation.

Les deux algorithmes du programme, en Python

Algorithme 1 — déterminer si un entier naturel $a$ est multiple d'un entier naturel $b$. L'opérateur % donne le reste de la division ; le reste est nul exactement quand la division tombe juste.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

print(est_multiple(91, 7))   # True  car 91 = 7 * 13
print(est_multiple(91, 6))   # False car 91 / 6 n'est pas entier

Algorithme 2 — pour des entiers $a$ et $b$ donnés, déterminer le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$. L'opérateur // est la division entière : b // a compte combien de fois $a$ tient dans $b$.

def plus_grand_multiple(a, b):
    return (b // a) * a

print(plus_grand_multiple(24, 500))   # 480  car 24 * 20 = 480 et 24 * 21 = 504
print(plus_grand_multiple(15, 200))   # 195  car 15 * 13 = 195 et 15 * 14 = 210

La même chose sans division entière, avec une boucle non bornée qui empile les multiples tant qu'on ne dépasse pas $b$ :

def plus_grand_multiple_boucle(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

Rendez-vous l'an prochain

• Tout de suite, en seconde. Le résultat « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair » est la brique centrale de la démonstration que $\sqrt{2}$ est irrationnel, rédigée dans la fiche Ensembles de nombres. Sans ce chapitre, cette démonstration-là ne tient pas debout.
• Les fractions, toute l'année. « Présenter sous forme irréductible » n'est pas une coquetterie : c'est ce qui permet de reconnaitre deux écritures du même nombre, et c'est le passage obligé pour décider si une fraction est un décimal.
• Le style de rédaction. « Il existe un entier $k$ tel que… » est ton premier contact avec un énoncé qui affirme une existence. Tu retrouveras cette tournure partout : en analyse, en géométrie, en probabilités.
• En terminale, option maths expertes. Tout ce chapitre devient une théorie à part entière : division euclidienne, congruences, et une arithmétique qui sert aujourd'hui à chiffrer les communications. Le point de départ y est exactement le même — l'égalité $a = kb$.