Échantillonnage et fluctuation — Exercices

De l'application directe au problème de contrôle qualité. Corrigé en fin de fiche.

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1Calcul d'intervalles de fluctuation/ 3 pts

Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour chacune des situations suivantes.

$p = 0{,}6$ et $n = 100$
$p = 0{,}45$ et $n = 400$
$p = 0{,}5$ et $n = 625$

2Pièce de monnaie/ 3 pts

On lance une pièce supposée équilibrée ($p = 0{,}5$) cent fois de suite et on obtient 63 faces.

Calcule l'intervalle de fluctuation pour $n = 100$.
Calcule la fréquence observée $f$.
La pièce semble-t-elle équilibrée au seuil de 95 % ? Justifie.

3Sondage scolaire/ 4 pts

Un sondage national indique que 40 % des lycéens pratiquent un sport en dehors de l'école. Dans un lycée, on interroge 100 élèves au hasard et 52 déclarent pratiquer un sport.

Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour $n = 100$ et $p = 0{,}4$.
Calcule la fréquence observée dans ce lycée.
Le résultat de ce lycée est-il compatible avec la proportion nationale ? Justifie et interprète.

4Contrôle qualité/ 4 pts

Une usine produit des ampoules. La proportion de défectueuses est supposée $p = 0{,}05$. Un contrôleur prélève un échantillon de $n = 400$ ampoules et trouve 28 défectueuses.

Calcule la fréquence observée $f$.
Calcule l'intervalle de fluctuation (remplace la borne inférieure par $0$ si nécessaire).
Le contrôleur doit-il alerter le responsable qualité ? Justifie.

5Effet de la taille d'échantillon/ 6 pts

On suppose $p = 0{,}3$. Deux équipes observent la même fréquence $f = 0{,}22$, mais avec des tailles d'échantillon différentes : l'équipe A a interrogé $n_A = 100$ personnes, l'équipe B en a interrogé $n_B = 400$.

Calcule l'intervalle de fluctuation $I_A$ (équipe A).
Calcule l'intervalle de fluctuation $I_B$ (équipe B).
Pour chaque équipe, la fréquence $f = 0{,}22$ est-elle compatible avec $p = 0{,}3$ ?
Que peut-on conclure sur l'influence de la taille de l'échantillon sur la précision du test ?

Corrigé détaillé

1Calcul d'intervalles de fluctuation

a) $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad I = [0{,}6 - 0{,}1\;; 0{,}6 + 0{,}1] =$ $[0{,}5\;; 0{,}7]$

b) $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad I = [0{,}45 - 0{,}05\;; 0{,}45 + 0{,}05] =$ $[0{,}40\;; 0{,}50]$

c) $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{625}} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04 \quad \Rightarrow \quad I = [0{,}5 - 0{,}04\;; 0{,}5 + 0{,}04] =$ $[0{,}46\;; 0{,}54]$

2Pièce de monnaie

a) $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad I =$ $[0{,}4\;; 0{,}6]$

b) $f = \dfrac{63}{100} =$ $0{,}63$

c) $0{,}63 \gt 0{,}6 \text{ donc } f \notin [0{,}4\;; 0{,}6]$ $\text{La pièce semble déséquilibrée au seuil de 95 \%.}$

3Sondage scolaire

a) $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad I = [0{,}4 - 0{,}1\;; 0{,}4 + 0{,}1] =$ $[0{,}3\;; 0{,}5]$

b) $f = \dfrac{52}{100} =$ $0{,}52$

c) $0{,}52 \gt 0{,}5 \text{ donc } f \notin [0{,}3\;; 0{,}5]$ $\text{Résultat incompatible : ce lycée a une proportion significativement plus élevée que la moyenne nationale.}$

4Contrôle qualité

a) $f = \dfrac{28}{400} =$ $0{,}07$

b) $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad I = [0{,}05 - 0{,}05\;; 0{,}05 + 0{,}05] =$ $[0{,}00\;; 0{,}10]$

c) $0{,}07 \in [0{,}00\;; 0{,}10]$ $\text{Fréquence dans l'intervalle : pas d'alerte. La production est conforme aux normes.}$

5Effet de la taille d'échantillon

a) $\delta_A = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1 \quad \Rightarrow \quad I_A =$ $[0{,}2\;; 0{,}4]$

b) $\delta_B = \dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad I_B =$ $[0{,}25\;; 0{,}35]$

c) $\text{Équipe A : } 0{,}22 \in [0{,}2\;; 0{,}4] \Rightarrow \text{ compatible.} \qquad \text{Équipe B : } 0{,}22 \lt 0{,}25 \Rightarrow \text{ incompatible.}$ $\text{Même fréquence observée, conclusions opposées selon } n.$

d)  $\text{Plus } n \text{ est grand, plus l'intervalle est étroit : le test est plus exigeant et détecte des écarts plus faibles.}$