Échantillonnage et fluctuation

a) $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$ (c'est le modèle : dé équilibré).

b) $n = 200$.

c) $f = \dfrac{37}{200} = 0{,}185$.

d) $|f - p| \approx |0{,}185 - 0{,}1667| \approx 0{,}018$.

Un écart de $0{,}018$ sur 200 lancers : rien d'anormal.

$f$ : $\dfrac{7}{25} = 0{,}28$ ; $\dfrac{42}{250} = 0{,}168$ ; $\dfrac{507}{2500} = 0{,}2028$ ; $\dfrac{5049}{25000} \approx 0{,}2020$.

$|f - 0{,}2|$ : $0{,}08$ ; $0{,}032$ ; $0{,}0028$ ; $0{,}0020$.

L'écart diminue à mesure que $n$ grandit : la fréquence observée se rapproche de la probabilité. C'est la loi des grands nombres, observée ici sur une simulation.

Attention à la rédaction : on écrit « on observe la loi des grands nombres sur cette simulation », pas « cette simulation démontre la loi des grands nombres ».

a) Faux. La loi dit « proche », jamais « égal » : $f$ ne tombe quasiment jamais pile sur $p$.

b) Faux. C'est exactement la fluctuation d'échantillonnage : $f$ change d'un échantillon à l'autre.

c) Faux. La pièce n'a pas de mémoire : au 7^e lancer, la probabilité de face vaut toujours $0{,}5$. Les résultats ne se compensent pas.

d) Faux. « Sauf exception » : c'est très rare, ce n'est pas impossible.

e) Faux. $p$ vient du modèle, on la décide ; c'est $f$ qui se lit sur les données.

f) Vrai. C'est l'énoncé même de la loi des grands nombres.

a) $p = 0{,}02$ : c'est une annonce sur toute la production, donc le modèle.

b) $f = \dfrac{8}{250} = 0{,}032$ : c'est un comptage sur un échantillon de taille $n = 250$.

c) $p = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$ : le modèle « dé équilibré » suffit à la donner, sans aucun lancer.

d) $f = \dfrac{148}{400} = 0{,}37$ : $n = 400$, et $p$ (la part réelle dans tout l'établissement) reste inconnue.

a) $p = \dfrac{18}{37} \approx 0{,}486$.

b) $p = \dfrac{18}{37} \approx 0{,}486$, exactement la même : la roulette n'a aucune mémoire des tours passés.

c) Il a tort. La loi des grands nombres ne dit pas que les résultats se compensent. Elle dit que sur un très grand nombre de tours, la fréquence observée du rouge sera proche de $0{,}486$. Les 7 rouges ne seront jamais « annulés » par des noirs : ils seront simplement dilués, c'est-à-dire qu'ils pèseront de moins en moins lourd dans le calcul de $f$ à mesure que le nombre de tours augmente.

D'abord le calcul : $f = \dfrac{21}{500} = 0{,}042$, et $|f - p| = 0{,}012$.

a) Interdite. Confondre $f$ et $p$ est l'erreur la plus sanctionnée du chapitre. $f$ est ce qu'on a observé sur 500 pièces ; $p$ est la valeur annoncée pour toute la production.

b) Acceptable. Elle nomme les deux nombres, mesure l'écart, tient compte de $n$ et dit « compatible » sans rien affirmer de plus.

c) Interdite. Un écart de $0{,}012$ sur un échantillon de 500 pièces n'a rien d'exceptionnel ; « sauf exception » interdit de trancher à partir d'un seul échantillon.

Question bonus fréquente : frequence_de_pile(10) et frequence_de_pile(10) donnent-ils le même résultat ? Non — c'est la fluctuation d'échantillonnage.

Erreur 1 : succes = 0 est dans la boucle, donc le compteur repart à zéro à chaque tour. Il doit être placé avant la boucle.

Erreur 2 : randint(1, 5) ne renvoie jamais 6 : la condition n'est jamais vraie et le résultat vaut toujours 0. Il faut randint(1, 6).

Erreur 3 : le return est à l'intérieur de la boucle (la fonction s'arrête donc dès le premier tour) et il ne divise pas par $n$. Il doit être après la boucle et s'écrire return succes / n.

a) =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6)

b) =NB.SI(A1:A600;6)/600 — ne pas oublier la division par 600, sinon on obtient un effectif.

c) À chaque F9, les 600 lancers sont refaits et C1 change de valeur, en tournant autour de $0{,}167$ : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Avec 6 000 lignes, C1 continuerait de changer, mais en s'écartant beaucoup moins de $0{,}167$ : c'est la loi des grands nombres.

a) $p = 0{,}03$ (annonce de l'usine, donc modèle) ; $n = 500$ ; $f = \dfrac{21}{500} = 0{,}042$.

b) $|f - p| = |0{,}042 - 0{,}03| = 0{,}012$.

c) Rédaction attendue : « La fréquence observée $f = 0{,}042$ est légèrement supérieure à la valeur annoncée $p = 0{,}03$, avec un écart de $0{,}012$. Sur un échantillon de 500 pièces, un tel écart n'a rien d'exceptionnel : le résultat reste compatible avec l'annonce de l'usine. On ne peut donc pas affirmer qu'elle ment. »

Attention : on ne peut pas non plus affirmer que l'usine dit vrai. Un seul échantillon ne tranche pas.

« $0{,}52$ est une fréquence observée sur un échantillon de taille $n = 1000$ : $f = 0{,}52$. La part réelle $p$ des électeurs favorables à A dans tout le corps électoral n'est pas connue.

Comme $n = 1000$ est grand, la loi des grands nombres indique que $f$ a de fortes chances d'être proche de $p$ — mais elle ne dit pas à combien près. Or $0{,}52$ est proche de $0{,}50$ : une valeur $p = 0{,}50$, voire un peu inférieure, reste compatible avec ce sondage.

On ne peut donc pas conclure que A est majoritaire. »

Chiffrer l'écart possible entre $f$ et $p$ est au programme de la classe de Première ; en Seconde, on s'arrête ici.

a) Erreur 1 : la loi des grands nombres ne dit pas que les résultats se compensent. Son énoncé ne parle que de la fréquence observée quand $n$ est grand. Erreur 2 : la pièce n'a pas de mémoire ; à chaque lancer suivant, la probabilité de pile vaut toujours $0{,}5$, quels qu'aient été les 1 000 premiers.

b) « Sur 1 000 lancers, j'ai obtenu $f = \dfrac{560}{1000} = 0{,}56$. Si je continue jusqu'à $100\,000$ lancers, la fréquence observée sera vraisemblablement bien plus proche de $0{,}5$ — non parce que les lancers passés seraient rattrapés, mais parce que mes 60 piles d'avance pèseront de moins en moins lourd dans le calcul de $f$. »

a) Test A : $f = \dfrac{30}{50} = 0{,}6$, écart $0{,}1$. Test B : $f = \dfrac{2650}{5000} = 0{,}53$, écart $0{,}03$.

b) C'est le test B, alors même que son écart est plus de trois fois plus petit. À $n = 5000$, la loi des grands nombres fait attendre une fréquence très proche de $0{,}5$ : un écart de $0{,}03$ y est déjà énorme. À $n = 50$, au contraire, un écart de $0{,}1$ est banal.

Vérification par simulation, avec une pièce parfaitement équilibrée et 1 000 échantillons à chaque taille : 196 échantillons sur 1 000 atteignent un écart d'au moins $0{,}10$ à $n = 50$ (soit environ un sur cinq), tandis qu'aucun des 1 000 échantillons n'atteint un écart de $0{,}03$ à $n = 5000$.

a) $f = \dfrac{4975}{10000} = 0{,}4975$, écart $0{,}0025$ ; $f = \dfrac{49882}{100000} = 0{,}49882$, écart $0{,}0012$.

b) Non, il augmente : $2$, $1$, $9$, $25$, $118$. Aucune contradiction, car la loi des grands nombres parle de la fréquence, c'est-à-dire de cet écart divisé par $n$. L'écart en nombre grandit, mais beaucoup plus lentement que $n$ : de $n = 10\,000$ à $n = 100\,000$, $n$ est multiplié par 10 alors que l'écart passe de 25 à 118, soit un facteur inférieur à 5. Le quotient est donc écrasé vers 0.

Remarque d'honnêteté : la ligne $n = 100$ a eu de la chance (1 pile d'écart seulement, moins que la ligne du dessus). La loi décrit une tendance quand $n$ devient grand, pas une décroissance ligne par ligne.

Sortie obtenue avec la graine 123 :

Description honnête : les fréquences observées restent proches de $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ et s'en approchent globalement quand $n$ grandit — mais pas ligne par ligne : ici la ligne $n = 10\,000$ ($0{,}1756$) est plus éloignée que la ligne $n = 1\,000$ ($0{,}168$). C'est exactement pour cela que l'énoncé officiel dit « sauf exception ». Enlève la ligne seed(123) et relance plusieurs fois : les nombres changeront à chaque exécution, la tendance d'ensemble non.