Pas de panique ! On va attaquer cette notion de fluctuation d'échantillonnage en mode express. L'idée : comprendre pourquoi la fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre, et apprendre à utiliser un intervalle pour décider si un résultat est surprenant ou non. Tu seras fonctionnel pour ton contrôle, promis !
C'est quoi la fluctuation d'échantillonnage ?
Imagine une grande population (avec une certaine proportion p inconnue). Si tu prélèves un échantillon de taille n, la fréquence observée f ne sera pas exactement égale à p. Et si tu prends un autre échantillon de même taille, tu obtiendras une fréquence légèrement différente. Ce phénomène s'appelle fluctuation d'échantillonnage.
Plus l'échantillon est grand (plus n est élevé), moins la fréquence fluctue : on est plus proche de la vraie proportion.
L'intervalle de fluctuation à 95%
Quand on a une hypothèse sur la proportion p dans la population, on peut calculer un intervalle autour de p dans lequel on s'attend à trouver 95% des fréquences observées sur des échantillons de taille n.
Formule : $I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} \;;\; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$
La quantité $\frac{1}{\sqrt{n}}$ s'appelle la demi-largeur de l'intervalle.
Attention : si $p - \frac{1}{\sqrt{n}}$ est négatif, on le remplace par $0$ (une fréquence ne peut pas être négative).
Comment l'utiliser ?
On observe une fréquence f sur un échantillon.
Si $f \in I$, le résultat est compatible avec l'hypothèse.
Si $f
otin I$, le résultat est incompatible (ou surprenant) au seuil de 95%.
Cela ne signifie pas que l'hypothèse est fausse, mais que l'écart observé est trop grand pour être dû aux fluctuations d'échantillonnage.
À toi de jouer
1. On suppose que la proportion $p$ d'un caractère dans la population est $0{,}4$. On s'intéresse à des échantillons de taille $n=100$.
Complète.
Demi-largeur : $\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Intervalle de fluctuation : $I = [\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}] = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$
On prélève un échantillon et on observe une fréquence $f = 0{,}37$.
Comme $f = \underline{\hspace{1.1em}}$ $\in$ / $
otin$ I, le résultat est $\underline{\hspace{1.1em}}$ avec l'hypothèse.
Corrigé
Demi-largeur : $\delta = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1$
Intervalle de fluctuation : $I = [0{,}4 - 0{,}1 \;; 0{,}4 + 0{,}1] = [0{,}3 \;; 0{,}5]$
On prélève un échantillon et on observe une fréquence $f = 0{,}37$.
Comme $f = 0{,}37 \in I$, le résultat est compatible avec l'hypothèse.
2. Un fabricant affirme que 70% des composants produits sont conformes ($p=0{,}7$). Un technicien teste un échantillon de $n=400$ composants et en trouve 256 conformes.
Complète.
Fréquence observée : $f = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Demi-largeur : $\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Intervalle : $I = [\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}] = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$
Comme $f$ $\in$ / $
otin$ I, la fréquence observée est $\underline{\hspace{1.1em}}$ avec l'affirmation du fabricant.
Corrigé
Fréquence observée : $f = \frac{256}{400} = 0{,}64$
Demi-largeur : $\delta = \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}05$
Intervalle : $I = [0{,}7 - 0{,}05 \;; 0{,}7 + 0{,}05] = [0{,}65 \;; 0{,}75]$
Comme $f = 0{,}64
otin I$, la fréquence observée est incompatible avec l'affirmation du fabricant.
Ah, la fluctuation d'échantillonnage ! Ça revient. On va se rafraîchir la mémoire avec la méthode à suivre pour ne plus jamais se tromper. Tu vas voir, c'est du gâteau.
Méthode en 4 étapes
Pour tester une fréquence observée :
- Identifier $p$ (proportion supposée) et $n$ (taille de l'échantillon).
- Calculer la demi-largeur $\delta = \frac{1}{\sqrt{n}}$.
- Écrire l'intervalle $I = [p-\delta \;; p+\delta]$ (en ajustant la borne inférieure à 0 si nécessaire).
- Comparer la fréquence observée $f$ à l'intervalle : Si $f \in I$, résultat compatible ; si $f
otin I$, incompatible.
À toi de jouer
1. On suppose $p=0{,}25$ et on prélève un échantillon de taille $n=400$. On observe $f=0{,}21$.
Complète en suivant la méthode.
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$I = [\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}] = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$
$f = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc $f$ $\in$ / $
otin$ I => le résultat est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\delta = \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$
$I = [0{,}25 - 0{,}05 \;; 0{,}25 + 0{,}05] = [0{,}20 \;; 0{,}30]$
$f = 0{,}21$ donc $f \in I$ => le résultat est compatible.
2. Une pièce de monnaie est lancée 400 fois ; on obtient 220 faces. On suppose la pièce équilibrée ($p=0{,}5$).
Complète.
$f = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$
$f$ $\in$ / $
otin$ I, donc la pièce semble $\underline{\hspace{1.1em}}$ au seuil de 95%.
Corrigé
$f = \frac{220}{400} = 0{,}55$
$\delta = \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$
$I = [0{,}5 - 0{,}05 \;; 0{,}5 + 0{,}05] = [0{,}45 \;; 0{,}55]$
$f = 0{,}55 \in I$, donc la pièce semble équilibrée au seuil de 95%.
3. Un laboratoire affirme que son test détecte une maladie dans 90% des cas ($p=0{,}9$). Sur $n=100$ patients testés, on a 82 détections positives. Vérifie si ce résultat est compatible.
Complète.
$f = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$
$f$ $\in$ / $
otin$ I ? $\underline{\hspace{1.1em}}$. Interprétation : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$f = \frac{82}{100} = 0{,}82$
$\delta = \frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$
$I = [0{,}9 - 0{,}1 \;; 0{,}9 + 0{,}1] = [0{,}8 \;; 1{,}0]$ (la borne supérieure peut rester 1, mais l'intervalle s'arrête à 1)
$f = 0{,}82 \in I$, donc le résultat est compatible avec l'affirmation du laboratoire.
On muscle les doigts et les neurones avec 5 mini-exercices de calcul d'intervalle. Le même geste, cinq fois. Tu vas automatiser le réflexe.
À toi de jouer
1. Exo 1 : $p=0{,}3$, $n=100$, $f=0{,}27$.
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$ ; Compatible ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non)
Corrigé
$\delta = \frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ ; $I = [0{,}2 \;; 0{,}4]$ ; $0{,}27 \in I$ → compatible, oui.
2. Exo 2 : $p=0{,}6$, $n=400$, $f=0{,}63$.
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$ ; Compatible ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\delta = \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ ; $I = [0{,}55 \;; 0{,}65]$ ; $0{,}63 \in I$ → compatible, oui.
3. Exo 3 : $p=0{,}45$, $n=900$, $f=0{,}40$.
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$ ; Compatible ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\delta = \frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033$ ; $I = [0{,}417 \;; 0{,}483]$ ; $0{,}40
otin I$ → incompatible, non.
4. Exo 4 : $p=0{,}15$, $n=400$, $f=0{,}10$.
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$ ; Compatible ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\delta = \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ ; $I = [0{,}10 \;; 0{,}20]$ (car $0{,}15-0{,}05=0{,}10 \ge 0$, pas de remplacement) ; $0{,}10 \in I$ → compatible, oui.
5. Exo 5 : $p=0{,}02$, $n=100$, $f=0{,}04$.
$\delta = \frac{1}{\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; On a $p-\delta < 0$, donc on remplace la borne inférieure par $0$ : $I = [\underline{\hspace{1.1em}} \;; \underline{\hspace{1.1em}}]$ ; Compatible ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\delta = \frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ ; $p-\delta = -0{,}08 < 0$ donc borne inf $= 0$ ; $I = [0 \;; 0{,}12]$ ; $0{,}04 \in I$ → compatible, oui.
Ce sont des exercices du même type que ceux que tu auras en contrôle. Prends le temps de bien rédiger, surtout pour l'interprétation. Montre que tu maîtrises !
Quelques pièges à éviter
Rappelle-toi : la demi-largeur est $\frac{1}{\sqrt{n}}$, pas $\frac{1}{n}$.
Si la borne inférieure est négative, remplace-la par 0.
« Compatible » ne veut pas dire « vrai » ; cela signifie que l'écart n'est pas significatif au seuil de 95%.
À toi de jouer
1. 1. Calcule l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour :
a) $p = 0{,}7$ et $n = 100$
b) $p = 0{,}35$ et $n = 400$
c) $p = 0{,}5$ et $n = 625$
Corrigé
a) $\delta = \frac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ ; $I = [0{,}6 \;; 0{,}8]$
b) $\delta = \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ ; $I = [0{,}30 \;; 0{,}40]$
c) $\delta = \frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25} = 0{,}04$ ; $I = [0{,}46 \;; 0{,}54]$
2. 2. On lance un dé à 6 faces 200 fois dans le but de tester s'il est équilibré. On obtient 45 fois la face « 6 ». On suppose que la probabilité d'obtenir « 6 » est $p = 1/6 \approx 0{,}167$.
a) Calcule l'intervalle de fluctuation pour $n = 200$.
b) Calcule la fréquence observée de « 6 ».
c) Le dé semble-t-il équilibré au seuil de 95 % ? Justifie.
Corrigé
a) $\delta = \frac{1}{\sqrt{200}} \approx 0{,}0707$ ; $I = [0{,}167 - 0{,}0707 \;; 0{,}167 + 0{,}0707] \approx [0{,}096 \;; 0{,}238]$
b) $f = 45/200 = 0{,}225$
c) $0{,}225 \in I$, donc le résultat est compatible avec l'hypothèse d'équilibre, on ne peut pas rejeter que le dé soit équilibré au seuil de 95 %.
3. 3. Un article de presse affirme que 55 % des jeunes de 15-18 ans utilisent un réseau social plus de 2 heures par jour. Dans une classe de 35 élèves, on constate que 25 dépassent cette durée.
a) Calcule l'intervalle de fluctuation pour $n = 35$ et $p = 0{,}55$.
b) Calcule la fréquence observée dans cette classe.
c) La classe est-elle représentative de la population des jeunes au seuil de 95 % ? Justifie et interprète le résultat.
Corrigé
a) $\delta = \frac{1}{\sqrt{35}} \approx 0{,}169$ ; $I = [0{,}55 - 0{,}169 \;; 0{,}55 + 0{,}169] = [0{,}381 \;; 0{,}719]$
b) $f = 25/35 \approx 0{,}714$
c) $0{,}714 \le 0{,}719$ donc $f \in I$, le résultat est compatible. L'écart n'est pas suffisant pour rejeter que la classe soit représentative au seuil de 95 %.
4. 4. Une usine fabrique des stylos et assure que seuls 3 % sont défectueux ($p = 0{,}03$). Lors d'un contrôle, on prélève 500 stylos et on en trouve 22 défectueux.
a) Calcule la fréquence observée $f$.
b) Calcule l'intervalle de fluctuation (attention à la borne inférieure).
c) Doit-on remettre en cause l'affirmation de l'usine au seuil de 95 % ? Justifie.
Corrigé
a) $f = 22/500 = 0{,}044$
b) $\delta = \frac{1}{\sqrt{500}} \approx 0{,}0447$ ; $p-\delta \approx -0{,}0147 < 0$, donc borne inférieure = 0. $I = [0 \;; 0{,}03 + 0{,}0447] = [0 \;; 0{,}0747]$
c) $0{,}044 \in I$, donc le résultat est compatible. On ne peut pas affirmer que l'usine ment au seuil de 95 %.
5. 5. On suppose que $p = 0{,}4$. On observe une fréquence $f = 0{,}34$ sur deux échantillons de tailles différentes : $n_1 = 100$ et $n_2 = 400$.
a) Calcule l'intervalle de fluctuation pour chaque échantillon.
b) Indique si $f$ est compatible avec $p$ dans chaque cas.
c) Quel est l'effet de l'augmentation de $n$ sur la précision du test ? Explique.
Corrigé
a) $n_1=100$ : $\delta_1 = 0{,}1$, $I_1 = [0{,}3 \;; 0{,}5]$ ; $n_2=400$ : $\delta_2 = 0{,}05$, $I_2 = [0{,}35 \;; 0{,}45]$
b) $f=0{,}34$ : pour $n_1$, $f \in I_1$ (compatible) ; pour $n_2$, $f
otin I_2$ (incompatible).
c) Plus $n$ est grand, plus l'intervalle est étroit. On est donc plus exigeant : un écart plus faible peut être détecté. La précision augmente.
Tu domines l'intervalle de fluctuation ? Alors explorons un peu ce qui t'attend en 1ère. On va généraliser l'idée pour estimer une proportion inconnue, et même critiquer des affirmations courantes. Prêt à devenir un pro des sondages ?
Du test à l'estimation
En classe de 1ère, on changera de point de vue : au lieu de partir d'une hypothèse sur $p$ (test), on essaiera d'estimer $p$ à partir d'une fréquence observée. L'intervalle $[f - \frac{1}{\sqrt{n}} \;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ donne alors une estimation de la proportion inconnue, avec un niveau de confiance de 95 %. On parle d'intervalle de confiance.
Tu verras aussi que la marge d'erreur est $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et qu'elle s'affine seulement avec le carré de la taille de l'échantillon : pour diviser la marge d'erreur par 2, il faut multiplier $n$ par 4 !
Un regard critique
En 1ère, on te demandera de commenter des études, d'en analyser les limites. Par exemple, tu devras expliquer pourquoi un sondage avec 100 personnes donne une marge de 10 points, alors qu'avec 1000 personnes on descend à environ 3 points. Tu pourras aussi critiquer des affirmations comme « ce résultat est incompatible » en gardant en tête le risque d'erreur de 5 %.
À toi de jouer
1. 1. Dans un lycée, on interroge un échantillon de 200 élèves et 126 déclarent aimer les mathématiques. On ne connaît pas la proportion réelle d'amateurs de maths dans l'ensemble des lycéens.
a) Calcule la fréquence observée $f$.
b) En utilisant la formule $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} \;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$, donne un intervalle de confiance au niveau 95% pour la proportion inconnue.
c) Que signifie cet intervalle ? Aide-toi de l'idée que si on réitérait l'expérience avec beaucoup d'échantillons, 95% d'entre eux donneraient un intervalle contenant la vraie proportion.
Corrigé
a) $f = 126/200 = 0{,}63$
b) $\delta = 1/\sqrt{200} \approx 0{,}0707$ ; intervalle : $[0{,}63-0{,}0707 \;; 0{,}63+0{,}0707] = [0{,}5593 \;; 0{,}7007]$
c) Cela signifie qu'au niveau de confiance 95%, la vraie proportion d'amateurs de maths parmi tous les lycéens est comprise entre environ 55,9% et 70,1%. Autrement dit, il y a 95% de chances que cet intervalle contienne la vraie valeur.
2. 2. Un sondage sur 100 personnes donne une fréquence $f=0{,}52$ pour une intention de vote. Un commentateur affirme : « La proportion réelle est à coup sûr entre 42% et 62% ». Discute la validité de cette phrase en t'appuyant sur une marge d'erreur et explique pourquoi l'expression « à coup sûr » est abusive.
Corrigé
La marge d'erreur pour $n=100$ est $1/\sqrt{100}=0{,}1$, soit 10 points. L'intervalle de confiance à 95% est $[0{,}52-0{,}1 \;; 0{,}52+0{,}1] = [0{,}42 \;; 0{,}62]$. Donc les bornes sont correctes pour un intervalle de confiance à 95%. Cependant, « à coup sûr » est abusif car il y a encore 5% de risque que la vraie proportion soit en dehors (comme pour tout intervalle à 95%). De plus, l'intervalle suppose que l'échantillon est aléatoire et représentatif. La phrase est trop péremptoire ; il aurait dû dire « Il y a 95 chances sur 100 que la proportion soit comprise entre 42% et 62% ».
3. 3. (Algorithmique) Complète l'algorithme suivant qui teste la compatibilité d'une fréquence observée :
Algorithme compatibilite
Variables : p, n, f, delta, I_min, I_max : réels
Début
Saisir p, n, f
delta ← 1 / sqrt()
I_min ← - delta
Si I_min < alors I_min ← 0
I_max ← p + delta
Si f I_min et f I_max alors
Afficher "Compatible"
Sinon
Afficher "Incompatible"
FinSi
Fin
Indique les valeurs pour $p=0{,}2$, $n=400$, $f=0{,}17$.
Corrigé
Compléter :
delta ← 1 / sqrt() → n
I_min ← - delta → p
Si I_min < alors I_min ← 0 → 0
Si f I_min et f I_max alors → >= et <= (ou ≥ ≤)
Données : delta = 1/20 = 0.05 ; I_min = 0.2 - 0.05 = 0.15 ; I_min >= 0 donc pas de remplacement ; I_max = 0.25 ; f = 0.17, 0.15 ≤ 0.17 ≤ 0.25 donc Compatible.