Échantillonnage et fluctuation

Comprendre pourquoi les sondages ne sont jamais exactement justes — et mesurer à quel point ils peuvent se tromper.

1 L'idée

Pour connaître la proportion $p$ d'individus ayant une caractéristique dans une grande population, on prélève un échantillon de taille $n$ et on calcule la fréquence observée $f$.

Le problème : $f$ varie d'un échantillon à l'autre, même si $p$ est fixe. Ce phénomène s'appelle la fluctuation d'échantillonnage. Plus $n$ est grand, plus les fluctuations sont faibles.

2 Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Intervalle de fluctuation

$I = \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\;\;;\; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$

Demi-largeur

$\delta = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Largeur totale

$\ell = \dfrac{2}{\sqrt{n}}}$

3 Que dit cet intervalle ?

Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, 95 % des échantillons de taille $n$ donnent une fréquence $f$ qui tombe dans $I$.

Règle de décision :

Si $f \notin I$ : résultat surprenant ; on rejette l'hypothèse que la proportion vaut $p$ au seuil de 95 %.
Si $f \in I$ : résultat compatible avec l'hypothèse.

4 Exemple numérique

Exemple

On suppose $p = 0{,}3$ et on interroge $n = 100$ élèves.

$\delta = \dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$

$I = [0{,}3 - 0{,}1\;; 0{,}3 + 0{,}1] = [0{,}2\;; 0{,}4]$

On observe $f = 0{,}37$. Comme $0{,}37 \in [0{,}2\;; 0{,}4]$, le résultat est compatible avec $p = 0{,}3$.

Méthode — tester une fréquence observée

Identifier $p$ (proportion supposée dans la population) et $n$ (taille de l'échantillon).
Calculer $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Écrire l'intervalle $I = [p - \delta\;; p + \delta]$.
Calculer la fréquence observée $f = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$.
Conclure : $f \in I$ → compatible ; $f \notin I$ �� incompatible au seuil de 95 %.

Erreurs fréquentes

Confondre $p$ (proportion supposée dans la population) et $f$ (fréquence calculée sur l'échantillon).
Calculer $1/n$ au lieu de $1/\sqrt{n}$ : l'écart est bien $1/\sqrt{n}$.
Si $p - 1/\sqrt{n} \lt 0$, on remplace la borne inférieure par $0$ (une fréquence est toujours positive).
Compatible ne signifie pas vrai : cela signifie seulement qu'on ne peut pas rejeter l'hypothèse.