Échantillonnage et fluctuation

Les trois mots à connaître (prérequis)

Trois mots, et tu as tout le vocabulaire du chapitre.

La probabilité $p$ : le nombre choisi par le modèle pour dire à quel point une issue est probable. Pour un dé équilibré à six faces, on pose $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$ pour la face 6. Retiens bien : $p$ ne se mesure pas, il se décide au moment où on choisit le modèle.

L'échantillon de taille $n$ : le résultat de $n$ répétitions de la même expérience, faites au hasard, chacune sans influence sur les autres. 60 lancers de dé, c'est un échantillon de taille $n = 60$.

La fréquence observée $f$ : $f = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$. Elle, elle se lit sur les données. Si tu obtiens 11 fois la face 6 en 60 lancers, alors $f = \dfrac{11}{60} \approx 0{,}183$.

L'essentiel : une seule phrase

Quatre mots à souligner dans cette phrase, parce que chacun te sauvera d'une erreur :

• grand : il faut beaucoup de répétitions. 10 lancers, ce n'est pas grand.
• sauf exception : ce n'est pas une garantie. Un échantillon peut tomber loin ; c'est rare, ce n'est pas impossible.
• proche : proche, pas égal. $f$ ne tombera quasiment jamais pile sur $p$.
• la fréquence : c'est bien $f$ qui se rapproche de $p$. Pas le nombre de succès : son écart à la valeur idéale, lui, a plutôt tendance à grandir (on le vérifiera au palier suivant).

Un exemple, du début à la fin

On lance un dé équilibré et on compte les 6. Le modèle donne $p = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$. On fait tourner quatre fois le programme du palier suivant, avec des tailles de plus en plus grandes.

Lis la dernière colonne de haut en bas : $0{,}0667$, puis $0{,}0133$, puis $0{,}0017$, puis $0{,}0010$. La fréquence observée se rapproche de $\dfrac{1}{6}$ à mesure que $n$ grandit, sans jamais y arriver exactement. C'est exactement ce que dit la loi : proche.

Ces quatre lignes sortent d'une vraie exécution du programme, avec la graine 4 pour que tu retrouves exactement les mêmes nombres. Enlève la graine et relance : les nombres changeront, la tendance non.

Les définitions au propre

Expérience aléatoire répétée. On refait $n$ fois la même expérience, dans les mêmes conditions, chaque répétition n'ayant aucune influence sur les suivantes. L'ensemble des $n$ résultats forme un échantillon de taille $n$.

Deux nombres à ne jamais confondre.

Le programme officiel insiste sur ce point : « Dans tous les cas, on distingue nettement le modèle probabiliste abstrait et la situation réelle. » Une probabilité est une hypothèse du modèle ; elle ne se démontre pas.

Fluctuation d'échantillonnage. C'est le fait, pour $f$, de changer d'un échantillon à l'autre alors que $n$ et les conditions sont identiques. Ce n'est pas un défaut de l'expérience : c'est le hasard qui fait son travail.

Ce que la loi des grands nombres dit — et ce qu'elle ne dit pas

L'énoncé exigible tient en une ligne : « Lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité. » Voici trois phrases fausses qu'on entend sans arrêt et qui n'en découlent pas.

La quatrième colonne descend : c'est la loi des grands nombres. La cinquième monte : $2$, $1$, $9$, $25$, $118$. Les deux colonnes ne se contredisent pas, puisque la quatrième est la cinquième divisée par $n$ — et $n$, lui, est multiplié par 10 à chaque ligne.

Honnêteté sur ce tableau : aucune des deux colonnes ne varie de façon parfaitement régulière. La ligne $n = 100$ a eu de la chance (1 pile d'écart seulement, moins que la ligne du dessus). La loi parle d'une tendance quand $n$ devient grand, pas d'une décroissance ligne par ligne.

La simulation : le programme qui fait apparaître la loi

La capacité attendue est écrite noir sur blanc dans le programme : « observer la loi des grands nombres à l'aide d'une simulation sur Python ou tableur ». Voici le programme, dans sa version la plus courte.

Ligne par ligne :

• randint(1, 6) tire au hasard un entier entre 1 et 6 : c'est le dé. C'est la « fonction renvoyant un nombre aléatoire » de ton cours de Python.
• La boucle for i in range(n) est une boucle bornée : elle répète exactement $n$ fois. C'est elle qui fabrique l'échantillon.
• succes est un compteur : il part de 0 et gagne 1 à chaque 6.
• return succes / n renvoie la fréquence observée. La division est indispensable — sans elle tu renvoies un effectif, pas une fréquence.
• seed(4) ne sert qu'à figer le hasard pour retrouver les nombres de cette fiche. En classe, on l'enlève.

Sortie obtenue :

Exemple 1 — On lit un tableau de simulation ensemble

Énoncé. Une roue de loterie est partagée en 4 secteurs identiques, dont un seul est rouge. Le modèle donne donc $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ pour « la roue s'arrête sur le rouge ». On simule trois séries de tours de roue et on compte les rouges :

Étape 1 — on calcule les trois fréquences observées.

$f_1 = \dfrac{18}{50} = 0{,}36$ ; $f_2 = \dfrac{132}{500} = 0{,}264$ ; $f_3 = \dfrac{1263}{5000} = 0{,}2526$.

Étape 2 — on mesure l'écart à $p = 0{,}25$.

$|f_1 - p| = 0{,}11$ ; $|f_2 - p| = 0{,}014$ ; $|f_3 - p| = 0{,}0026$.

Étape 3 — on conclut, et seulement ça. Les écarts sont de plus en plus petits quand $n$ grandit : c'est ce que la loi des grands nombres laisse attendre. On observe la loi sur cet exemple ; on ne la démontre pas.

Exemple 2 — On écrit le programme ensemble

Énoncé. Écrire une fonction Python qui simule $n$ tours de la roue précédente et renvoie la fréquence observée du rouge.

Étape 1 — comment tirer un secteur au hasard ? Quatre secteurs, donc randint(1, 4). On décide que le secteur n° 1 est le rouge.

Étape 2 — comment répéter $n$ fois ? Une boucle bornée : for i in range(n).

Étape 3 — comment compter ? Un compteur initialisé à 0 avant la boucle, augmenté de 1 dans le if.

Étape 4 — que renvoyer ? Le compteur divisé par $n$, jamais le compteur seul.

Ce programme affiche :

— soit exactement les trois fréquences de l'exemple 1, puisque c'est lui qui les a produites.

Exemple 3 — On se sert de la loi pour construire un modèle

Énoncé. On lance une punaise en l'air : elle retombe soit pointe en l'air, soit pointe de côté. Aucune symétrie ne permet de deviner $p$ — une punaise n'est pas un dé. On la lance 1 000 fois : elle retombe 617 fois pointe en l'air. Quelle probabilité adopter dans le modèle ?

Étape 1 — on calcule la fréquence observée. $f = \dfrac{617}{1000} = 0{,}617$.

Étape 2 — on vérifie que $n$ est grand. $n = 1000$ : oui.

Étape 3 — on pose le modèle. La loi des grands nombres dit que, $n$ étant grand, $f$ a de fortes chances d'être proche de $p$. On choisit donc $p \approx 0{,}62$ comme hypothèse de modèle. Le programme officiel autorise explicitement cette démarche : un modèle « peut aussi résulter d'une application d'une version vulgarisée de la loi des grands nombres, où un modèle est construit à partir de fréquences observées pour un phénomène réel ».

Étape 4 — on dit ce qu'on a fait. Ce n'est pas une démonstration : c'est un choix, appuyé sur une observation, et il reste révisable si on relance 10 000 fois.

Problème type 1 — la pièce est-elle truquée ? (résolu)

Énoncé. On lance une pièce 100 fois et on obtient 61 piles. Peut-on affirmer qu'elle est truquée ?

Étape 1 — poser les deux nombres. Modèle « pièce équilibrée » : $p = 0{,}5$. Observation : $f = \dfrac{61}{100} = 0{,}61$. Écart : $|f - p| = 0{,}11$.

Étape 2 — est-ce beaucoup ? En Seconde, on n'a pas de formule pour trancher. On a mieux : on fait fabriquer par l'ordinateur 1 000 échantillons de 100 lancers avec une pièce parfaitement équilibrée, et on compte combien d'entre eux s'écartent d'au moins 11 piles de la valeur idéale 50 — 11, c'est exactement l'écart de notre échantillon, puisque $61 - 50 = 11$.

Ce programme affiche 33, puis 0.

Étape 3 — conclure, honnêtement. Avec une pièce parfaitement équilibrée, un échantillon au moins aussi éloigné que le nôtre est apparu 33 fois sur 1 000, soit environ 3 fois sur 100 : c'est rare, ce n'est pas impossible. On ne peut donc pas affirmer que la pièce est truquée. Tout ce qu'on peut écrire, c'est que le résultat est peu compatible avec l'hypothèse d'une pièce équilibrée, et qu'il vaudrait mieux relancer beaucoup plus.

Étape 4 — la leçon. La deuxième ligne du programme refait le même test à la taille $n = 1000$, avec l'écart correspondant (110 piles, soit toujours $f = 0{,}61$) : sur 1 000 échantillons simulés, aucun ne va aussi loin. Le même écart de $0{,}11$ n'a donc pas du tout le même poids selon $n$ : banal à 100 lancers, spectaculaire à 1 000. C'est toute la loi des grands nombres en une phrase.

Problème type 2 — le sondage (résolu)

Énoncé. Un institut interroge 1 000 personnes tirées au sort ; 52 % déclarent voter pour le candidat A. A affirme : « je suis majoritaire ». A-t-il raison ?

Étape 1 — nommer ce qu'on a. $0{,}52$ est une fréquence observée sur un échantillon : $f = 0{,}52$. Ce n'est pas la valeur réelle $p$ dans l'ensemble du corps électoral, qu'on ne connaît pas.

Étape 2 — ce que la loi permet de dire. $n = 1000$ est grand, donc $f$ a de fortes chances d'être proche de $p$. Mais « proche » n'est pas chiffré ici : la version vulgarisée de la loi ne dit pas à combien près.

Étape 3 — conclure. $0{,}52$ est proche de $0{,}50$. Un $p$ égal à $0{,}50$, ou même légèrement inférieur, reste compatible avec ce sondage. On ne peut donc pas conclure que A est majoritaire. Mettre un chiffre sur l'écart possible entre $f$ et $p$, c'est le travail de la classe de Première.

Ce que le correcteur attend + les pièges classiques

• Nommer $p$ et $f$ séparément, et dire lequel vient du modèle et lequel vient des données. Une copie qui ne fait pas cette distinction perd des points même si les calculs sont justes.
• Ne jamais écrire $f = p$. L'énoncé officiel dit « proche », jamais « égal ».
• Aucune compensation. Si tu écris « les faces vont rattraper leur retard », c'est faux, quel que soit le reste de la copie.
• Vérifier que $n$ est grand avant d'invoquer la loi. Sur 12 lancers, elle ne dit rien.
• Ne pas conclure avec certitude. « Sauf exception » doit se retrouver dans ta rédaction : « on ne peut pas affirmer que… », « ce résultat est peu compatible avec… ».
• Une simulation n'est pas une preuve. Le programme officiel demande d'« observer » la loi à l'aide d'une simulation : le verbe est bien observer. Une simulation illustre, elle ne démontre pas.
• Piège de calcul. $f$ est un quotient compris entre 0 et 1. Si tu trouves $f = 61$, tu as oublié de diviser par $n$.
• Piège de lecture. Un pourcentage donné dans l'énoncé peut être $p$ (« une usine produit 3 % de pièces défectueuses ») ou $f$ (« sur les 200 pièces contrôlées, 3 % étaient défectueuses »). Repère toujours si le nombre porte sur toute la population ou sur l'échantillon.

Pourquoi la fréquence se stabilise (l'idée)

Reprends la dernière colonne du tableau de la pièce. Quand $n$ passe de $1\,000$ à $10\,000$, donc quand il est multiplié par 10, l'écart en nombre de piles passe de 9 à 25 : il est multiplié par moins de 3. De $10\,000$ à $100\,000$, il passe de 25 à 118 : multiplié par moins de 5.

Voilà l'idée. Le nombre de succès s'écarte bien de sa valeur idéale, et de plus en plus en valeur brute — mais beaucoup plus lentement que $n$ ne grandit. Or $f - p$, c'est précisément cet écart divisé par $n$. Un dénominateur qui explose face à un numérateur qui traîne : le quotient est écrasé vers 0. La démonstration propre demande des outils qu'on ne voit pas au lycée, mais le mécanisme est exactement celui-là.

L'an prochain : on mettra un chiffre sur la fluctuation

En Seconde, on constate. En Première, on quantifie. Tu apprendras à construire, autour de $p$, un intervalle chiffré qui contient la fréquence observée pour la grande majorité des échantillons — typiquement 95 % d'entre eux — et dont la largeur dépend de $n$ : plus l'échantillon est grand, plus l'intervalle est étroit.

C'est exactement l'outil qui te manquait au problème de la pièce truquée : il permettrait de répondre « oui, $0{,}61$ sort de la zone attendue » ou « non, il y reste », sans avoir à lancer 1 000 simulations. Retiens l'ordre des choses : d'abord l'observation (cette année), ensuite la formule (l'an prochain).

Le fil rouge : la même idée partout

• Avec la statistique descriptive. $f$ est un résumé d'un échantillon, comme la moyenne ou l'écart type. Tous fluctuent d'un échantillon à l'autre, et tous se stabilisent quand $n$ grandit.
• Avec les probabilités. La loi des grands nombres est le pont entre le modèle (les probabilités, les arbres pondérés, les probabilités conditionnelles) et le réel (les données comptées). Sans elle, un modèle probabiliste ne serait qu'un jeu d'écriture.
• Avec l'algorithmique et la programmation. C'est ici que ton cours de Python sert vraiment : boucle bornée, fonction renvoyant un nombre aléatoire, fonction renvoyant le résultat d'une répétition d'expériences indépendantes. Le programme de Seconde relie d'ailleurs explicitement la fluctuation d'échantillonnage à la partie « Algorithmique et programmation ».
• Ailleurs qu'en maths. En physique-chimie, une mesure répétée fluctue puis se stabilise ; en SVT, une fréquence allélique estimée sur un échantillon obéit à la même logique. C'est la même loi.