Pas de panique. On va repartir de ce que tu sais déjà de 3ème — les arbres de probabilités — et construire tout doucement les nouvelles notions. Le but : que tu sois capable de calculer des probabilités et des espérances sans te noyer dans le vocabulaire. Allez, on y va pas à pas.
Tu as fait des arbres de probabilités. Un arbre permet de lister toutes les issues possibles d'une expérience. Par exemple, une pièce équilibrée : pile (P) et face (F) — probabilité 1/2 pour chaque branche.
Tu sais aussi que la somme des probabilités de toutes les issues fait 1. C'est logique : on est sûr qu'il se passe quelque chose.
Enfin, la probabilité d'un événement — par exemple "obtenir P" — s'écrit $P(\{P\})$ ou plus simplement $P(\text{Pile})$.
On va « nommer » ce que l'on observe. Une variable aléatoire $X$, c'est une grandeur (un nombre) qu'on associe à chaque issue. Exemple : on lance une pièce. On décide que pile vaut 1 point, face vaut 0 point. $X$ = « nombre de points obtenus ». $X$ peut prendre les valeurs 0 et 1.
La loi de probabilité de $X$ : c'est le tableau qui donne, pour chaque valeur de $X$, sa probabilité. Vérifié, la somme des probas fait 1. Indispensable !
Enfin, l'espérance $E(X)$ est la moyenne qu'on aurait si on répétait l'expérience un très, très grand nombre de fois. On la calcule en additionnant les produits $\text{valeur} \times \text{proba}$.
On lance un dé équilibré à 6 faces. On appelle $X$ le numéro obtenu.
Complète (on te tient par la main) :
L'univers $\Omega$ a $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues équiprobables. Chaque face a pour probabilité $\underline{\hspace{1.1em}}$.
La loi de probabilité de $X$ est : pour chaque $k$ de 1 à 6, $P(X = k) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
La somme de toutes ces probabilités vaut bien $\underline{\hspace{1.1em}}$.
L'univers $\Omega$ a $6$ issues équiprobables. Chaque face a pour probabilité $\dfrac{1}{6}$.
La loi de probabilité de $X$ est : pour chaque $k$ de 1 à 6, $P(X = k) = \dfrac{1}{6}$.
La somme de toutes ces probabilités vaut bien $1$.
Le dé est toujours équilibré. On s'intéresse à l'événement « obtenir au moins 5 ». Complète :
$P(X \ge 5) = P(X = \underline{\hspace{1.1em}}) + P(X = \underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Même principe, mais avec « obtenir moins de 3 » :
$P(X \lt 3) = P(X = \underline{\hspace{1.1em}}) + P(X = \underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$ qu'on peut écrire $\dfrac{1}{3}$.
$P(X \lt 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
On lance une pièce de monnaie équilibrée deux fois. On note $X$ le nombre de « Pile » obtenus (0, 1 ou 2).
L'univers $\Omega$ est : {PP, PF, FP, FF}. Il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues, toutes de probabilité $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Complète la loi de $X$ :
Vérifie : la somme vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$ + $\underline{\hspace{1.1em}}$ + $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
L'univers $\Omega$ est : {PP, PF, FP, FF}. Il y a 4 issues, toutes de probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Complète la loi de $X$ :
Vérifie : la somme vaut $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$.
Ah, les souvenirs de 3ème reviennent : l'arbre, les branches qui se multiplient, et cette fameuse somme qui doit faire 1. On va structurer tout ça proprement avec la méthode qui tue pour construire une loi de probabilité sans stress. Tu vas voir, c'est juste une recette.
Ensuite, si on te demande l'espérance :
$E(X) = x_1 \times P(X = x_1) + x_2 \times P(X = x_2) + \dots + x_k \times P(X = x_k)$.
Ne confonds pas valeur de $X$ (ex : 2) et probabilité (ex : $\frac{1}{5}$). Quand tu calcules l'espérance, multiplie bien chaque valeur par sa proba, pas l'inverse.
Autre piège : $E(X)$ n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre dans la réalité. Exemple : avec un dé, $E(X)=3{,}5$, mais aucun lancer ne donne 3,5.
On tire au hasard une boule dans une urne contenant : 2 boules rouges numérotées 1, 1 boule rouge numérotée 3, 1 boule bleue numérotée 2, 1 boule bleue numérotée 4. La variable $X$ représente le numéro porté par la boule tirée.
Applique la méthode pas à pas en complétant :
1. $\Omega$ contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues équiprobables parce qu'il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules tirées au hasard. Chaque issue a probabilité $\underline{\hspace{1.1em}}$.
2. $X$ prend les valeurs : $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3. Proba de chaque valeur (à compléter) :
4. Vérifie : somme = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
5. Calcule $E(X) = 1 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 2 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 3 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 4 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
1. $\Omega$ contient 5 issues équiprobables parce qu'il y a 5 boules tirées au hasard. Chaque issue a probabilité $\frac{1}{5}$.
2. $X$ prend les valeurs : 1, 2, 3, 4.
3. Proba de chaque valeur :
4. Vérifie : somme = 1.
5. Calcule : $E(X) = 1 \times \frac{2}{5} + 2 \times \frac{1}{5} + 3 \times \frac{1}{5} + 4 \times \frac{1}{5} = \frac{2+2+3+4}{5} = \frac{11}{5} = 2,\!2$.
On lance deux pièces équilibrées. On note $X$ le nombre de « Pile ». L'univers $\Omega$ = {PP, PF, FP, FF} (4 issues, proba 1/4 chacune).
Remplis le tableau de la loi de $X$ :
Valeurs de $X$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Probabilités associées : $P(X=0)=\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, $P(X=1)=\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, $P(X=2)=\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Calcule $E(X)$ → $E(X) = 0 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 1 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 2 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Que remarques-tu par rapport à une pièce dont Pile vaudrait 1 point ?
Valeurs de $X$ : 0, 1, 2.
Probabilités : $P(X=0) = \frac{1}{4}$, $P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $P(X=2) = \frac{1}{4}$.
$E(X) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
On remarque que l'espérance vaut 1 pile, ce qui est logique puisqu'en moyenne avec 2 lancers on obtient 1 pile. L'espérance double par rapport à un seul lancer (0,5 pile en moyenne).
Une variable $X$ a pour loi : $P(X = -2) = 0{,}4$ ; $P(X = 1) = 0{,}3$ ; $P(X = 3) = 0{,}2$ ; et une dernière valeur $a$ dont on ignore la probabilité.
Complète :
La somme des probabilités vaut 1. On a donc $P(X = a) = 1 - (0{,}4 + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Si on te dit que $a = 5$, calcule $E(X)$ :
$E(X) = (-2) \times 0{,}4 + 1 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Interprétation : ce nombre $E(X)$ représente ...
$P(X = a) = 1 - (0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.
Pour $a = 5$ : $E(X) = (-2) \times 0{,}4 + 1 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 + 5 \times 0{,}1 = -0{,}8 + 0{,}3 + 0{,}6 + 0{,}5 = 0{,}6$.
Interprétation : c'est la valeur moyenne de $X$ si l'expérience était répétée un très grand nombre de fois.
Place à la répétition tranquille. Cinq mini-exercices quasi identiques pour que la loi de probabilité et l'espérance deviennent un réflexe. Même méthode, juste les nombres qui changent.
On lance un dé équilibré à 6 faces. $X$ = score obtenu.
a) Complète la loi : pour $k$ de 1 à 6, $P(X=k) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
b) Calcule $E(X)$. $ \quad E(X) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
a) Pour $k$ de 1 à 6, $P(X=k) = \dfrac{1}{6}$.
b) $E(X) = 1 \times \frac16 + 2 \times \frac16 + 3 \times \frac16 + 4 \times \frac16 + 5 \times \frac16 + 6 \times \frac16 = \frac{21}{6} = 3{,}5$.
On lance un dé équilibré à 8 faces (numérotées 1 à 8). $X$ = score.
a) Complète : pour $k$ de 1 à 8, $P(X=k) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
b) Calcule $E(X) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}+\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
a) $P(X=k) = \dfrac{1}{8}$.
b) $E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8} = \dfrac{36}{8} = 4{,}5$.
On lance deux pièces équilibrées. $X$ = nombre de Pile.
a) Complète : $P(X=0) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, $P(X=1) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, $P(X=2) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
b) $E(X) = 0 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 1 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 2 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
a) $P(X=0) = \dfrac{1}{4}$, $P(X=1) = \dfrac{2}{4}$, $P(X=2) = \dfrac{1}{4}$.
b) $E(X) = 0 \times \frac14 + 1 \times \frac12 + 2 \times \frac14 = 1$.
On lance trois pièces équilibrées. $\Omega$ a 8 issues équiprobables. $X$ = nombre de Pile. Recopie puis complète la loi :
Valeurs de $X$ : 0, 1, 2, 3.
$P(X=0) = \dfrac{1}{8}$, $P(X=1) = \dfrac{3}{8}$, $P(X=2) = \dfrac{3}{8}$, $P(X=3) = \dfrac{1}{8}$.
$E(X) = 0 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 1 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 2 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 3 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$E(X) = 0 \times \frac18 + 1 \times \frac38 + 2 \times \frac38 + 3 \times \frac18 = \frac{0+3+6+3}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$.
Une urne contient 4 boules : deux marquées 10, une marquée 20, une marquée 50. Tirage équiprobable. $X$ = nombre inscrit sur la boule tirée.
a) Complète la loi : $P(X=10) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, $P(X=20) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, $P(X=50) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Somme = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) $E(X) = 10 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 20 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + 50 \times \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
a) $P(X=10) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$, $P(X=20) = \dfrac{1}{4}$, $P(X=50) = \dfrac{1}{4}$. Somme = 1.
b) $E(X) = 10 \times \frac12 + 20 \times \frac14 + 50 \times \frac14 = 5 + 5 + 12,5 = 22,5$.
Maintenant que tu maîtrises le mécanisme, on passe aux exercices qui ressemblent à ceux du contrôle ou du brevet. Problèmes concrets, analyse de jeux, calculs d'espérance pour décider qui est gagnant. Tu es prêt.
Compléter une loi de probabilité
Une variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $-2, 0, 1, 4$. On sait que $P(X = -2) = 0{,}25$, $P(X = 0) = 0{,}15$ et $P(X = 4) = 0{,}1$.
Tirage dans une urne
Une urne contient : 3 boules rouges marquées 1, 1 boule rouge marquée 3, 2 boules bleues marquées 2, 1 boule bleue marquée 5. On tire une boule au hasard (toutes les boules ont la même chance). On appelle $X$ le numéro obtenu.
Jeu avec deux pièces
On lance deux pièces équilibrées. Pour chaque lancer donnant exactement 1 Pile, le joueur gagne 2 €. Pour un lancer donnant 2 Piles, il gagne 3 €. Pour 0 Pile, il ne gagne rien. La mise de départ est de 1 €.
Jeu avec un dé
Un joueur paie 3 € pour lancer un dé équilibré à 6 faces. Il reçoit 8 € pour un 6, 4 € pour un 4 ou un 5, et 0 € sinon. Soit $B$ le bénéfice net (gain reçu — mise).
Synthèse — loi et espérance
Une variable aléatoire $Y$ prend les valeurs $-1, 0, 2, 3$ et on donne les probabilités suivantes : $P(Y=-1) = 0{,}2$ ; $P(Y=0) = 0{,}3$ ; $P(Y=2) = 0{,}1$.
| y | -1 | 0 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(Y=y) | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,4 |
Ici, on franchit un petit pas vers la Première. On va manipuler des lois un peu plus abstraites, créer nous-mêmes une variable aléatoire à partir d'une situation, et rencontrer l'écart-type (juste l'apercevoir). De quoi arriver serein en 1ère.
Variable définie à partir d'un tableau d'effectifs
Voici les notes sur 20 d'un groupe de 10 élèves à un test : 5, 8, 8, 10, 10, 10, 12, 14, 14, 18. On tire au sort une copie, on lit la note $X$.
Création d'une loi à paramètre
On considère une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs 0, 1, 2 avec les probabilités : $P(X=0) = 0{,}2$ ; $P(X=1) = a$ ; $P(X=2) = b$. On sait de plus que $E(X) = 1{,}4$.
Espérance et variance (aperçu pour la 1ère)
La variance d'une variable aléatoire mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Elle se calcule par : $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i)$. L'écart-type est $\sigma = \sqrt{V(X)}$.
Reprends la variable $X$ du dé à 6 faces (loi uniforme, $E(X)=3{,}5$). Calcule sa variance en complétant le tableau :
$V(X) = (1-3{,}5)^2 \times \frac16 + (2-3{,}5)^2 \times \frac16 + (3-3{,}5)^2 \times \frac16 + (4-3{,}5)^2 \times \frac16 + (5-3{,}5)^2 \times \frac16 + (6-3{,}5)^2 \times \frac16$.
Effectue le calcul et donne la valeur approchée de l'écart-type $\sigma$.
$V(X) = [(-2,5)^2 + (-1,5)^2 + (-0,5)^2 + 0,5^2 + 1,5^2 + 2,5^2] \times \frac16$
= $[6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25] \times \frac16 = 17,5 \times \frac16 \approx 2,9167$.
Écart-type : $\sigma = \sqrt{2,9167} \approx 1,708$. Cet écart-type donne une idée de la variabilité des scores autour de la moyenne 3,5.
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