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Probabilités : loi de probabilité et variable aléatoire — Exercices
Construire une loi, calculer des probabilités et interpréter une espérance. Corrigé en fin de fiche.
1Compléter une loi de probabilité/ 3 pts
La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$, $0$, $2$ et $5$. On sait que $P(X = -1) = 0{,}3$, $P(X = 0) = 0{,}1$ et $P(X = 5) = 0{,}4$.
- Calculer $P(X = 2)$.
- Calculer $P(X \ge 0)$.
- Calculer $P(X \lt 2)$.
2Tirage dans une urne/ 5 pts
Une urne contient 5 boules : 2 boules rouges portant le numéro 1, 1 boule rouge portant le numéro 3, 1 boule bleue portant le numéro 2 et 1 boule bleue portant le numéro 4. On tire une boule au hasard. On note $X$ le numéro de la boule tirée.
- Donner l'univers $\Omega$ et justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité.
- Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.
- Calculer $P(X \gt 2)$.
- Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
3Lancer de deux pièces équilibrées/ 4 pts
On lance deux pièces équilibrées. On note $X$ le nombre de piles obtenus. On note P = pile, F = face.
- Décrire l'univers $\Omega$ de l'expérience.
- Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.
- Calculer $E(X)$ et vérifier le résultat par un argument de symétrie.
4Jeu de hasard — analyse par l'espérance/ 5 pts
Un joueur paye $2{,}00$€ pour lancer un dé équilibré à 6 faces. Il reçoit $6{,}00$€ s'il obtient un 6, $3{,}00$€ s'il obtient un 4 ou un 5, et rien sinon. On définit $G$ comme le gain algébrique du joueur (en €), c'est-à-dire la somme reçue moins le coût de participation.
- Déterminer les valeurs prises par $G$ et dresser le tableau de la loi de probabilité de $G$.
- Calculer $E(G)$.
- Le jeu est-il favorable au joueur, défavorable ou équitable ? Justifier.
Corrigé détaillé
1Compléter une loi de probabilité
a) \(\sum_{i} P(X = x_i) = 1 \Rightarrow P(X = 2) = 1 - 0{,}3 - 0{,}1 - 0{,}4 =\) \(P(X = 2) = 0{,}2\)
b) \(P(X \ge 0) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=5) = 0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}4 =\) \(0{,}7\)
c) \(P(X \lt 2) = P(X=-1) + P(X=0) = 0{,}3 + 0{,}1 =\) \(0{,}4\)
2Tirage dans une urne
a) \(\Omega = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\} \text{ (5 boules, tirage au sort sans distinction)}\) \(\text{Équiprobabilité : chaque boule a la probabilité } \dfrac{1}{5} \text{ d'être tirée.}\)
b) \(P(X=1) = \dfrac{2}{5},\quad P(X=2) = \dfrac{1}{5},\quad P(X=3) = \dfrac{1}{5},\quad P(X=4) = \dfrac{1}{5}\) \(\text{Vérif. : } \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5} = 1 \checkmark\)
c) \(P(X \gt 2) = P(X=3) + P(X=4) = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} =\) \(\dfrac{2}{5}\)
d) \(E(X) = 1 \times \dfrac{2}{5} + 2 \times \dfrac{1}{5} + 3 \times \dfrac{1}{5} + 4 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2+2+3+4}{5} = \dfrac{11}{5} =\) \(2{,}2 \quad \text{Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, le numéro moyen obtenu est } 2{,}2.\)
3Lancer de deux pièces équilibrées
a) \(\Omega = \{(P,P),\,(P,F),\,(F,P),\,(F,F)\}\) \(\text{4 issues équiprobables, chacune de probabilité } \dfrac{1}{4}.\)
b) \(P(X=0) = \dfrac{1}{4} \;[(F,F)] \qquad P(X=1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \;[(P,F),(F,P)] \qquad P(X=2) = \dfrac{1}{4} \;[(P,P)]\) \(\text{Vérif. : } \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} = 1 \checkmark\)
c) \(E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} =\) \(1 \quad \text{Symétrie : sur 2 pièces équilibrées, on obtient en moyenne 1 pile — cohérent.}\)
4Jeu de hasard — analyse par l'espérance
a) \(\text{Face 6 : reçoit 6€, paie 2€} \Rightarrow G = 4 \;\text{€, prob. }\dfrac{1}{6} \qquad \text{Faces 4 ou 5 : reçoit 3€} \Rightarrow G = 1 \;\text{€, prob. }\dfrac{2}{6} \qquad \text{Faces 1, 2, 3 : reçoit 0€} \Rightarrow G = -2 \;\text{€, prob. }\dfrac{3}{6}\) \(P(G=4)=\dfrac{1}{6},\quad P(G=1)=\dfrac{1}{3},\quad P(G=-2)=\dfrac{1}{2} \qquad \text{Vérif. : }\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}=1\checkmark\)
b) \(E(G) = 4 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{2}{6} + (-2) \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{4+2-6}{6} = \dfrac{0}{6} =\) \(0\)
c) \(E(G) = 0\) \(\text{Le jeu est } \textbf{équitable} \text{ : en moyenne, le joueur ne gagne ni ne perd. Un jeu favorable au joueur aurait } E(G) \gt 0.\)