Pas de panique. On repart de ce que tu sais déjà du collège — lire un tableau, compter des cas — et on ajoute la seule nouveauté de l'année : le mot « sachant ». Trois exercices, guidés ligne à ligne.
Tu sais déjà tout ça (collège)
Une expérience aléatoire a plusieurs issues ; $\Omega$ désigne l'ensemble de toutes les issues ; un évènement est un ensemble d'issues. En situation d'équiprobabilité :
$P(A) = \dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)}$ et $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Quoi de neuf en 2nde ? La probabilité conditionnelle
Quand $P(A) \neq 0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, ou, sur des effectifs, $P_A(B) = \dfrac{\mathrm{Card}(A \cap B)}{\mathrm{Card}(A)}$.
On multiplie le long d'un chemin d'arbre : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$. Et le piège de toute l'année : $P_A(B)$ et $P_B(A)$ ne sont pas le même nombre.
À toi de jouer
1. Lire un tableau, une case à la fois
Une classe compte $30$ élèves : $18$ filles et $12$ garçons. $12$ filles et $3$ garçons font du théâtre. On interroge un élève au hasard, chacun ayant la même chance d'être choisi. On note $F$ « c'est une fille » et $T$ « l'élève fait du théâtre ».
| $T$ | $\overline{T}$ | Total | |
| $F$ | 12 | 18 | |
| $\overline{F}$ | 3 | 12 | |
| Total | 30 |
a) Complète le tableau. b) Calcule $P(F)$, puis $P(F \cap T)$. c) Calcule $P_F(T)$ : parmi les filles, quelle part fait du théâtre ? d) Calcule $P_T(F)$ : parmi les élèves qui font du théâtre, quelle part sont des filles ?
Corrigé
a) Ligne $F$ : $18 - 12 = 6$. Ligne $\overline{F}$ : $12 - 3 = 9$. Colonne $T$ : $12 + 3 = 15$. Colonne $\overline{T}$ : $6 + 9 = 15$. Contrôle : $15 + 15 = 30$.
b) $P(F) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ et $P(F \cap T) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.
c) On se restreint aux $18$ filles : $P_F(T) = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.
d) On se restreint aux $15$ élèves qui font du théâtre : $P_T(F) = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$.
À retenir : le numérateur est le même ($12$ élèves), seul le dénominateur change. C'est pour ça que $0{,}67$ et $0{,}8$ sont différents.
2. Traduire une phrase en symboles
Dans un lycée, $I$ est l'évènement « l'élève est interne » et $B$ « l'élève est boursier ». Écris chacune de ces phrases avec une probabilité.
a) « $40\,\%$ des internes sont boursiers. »
b) « $40\,\%$ des boursiers sont internes. »
c) « $40\,\%$ des élèves du lycée sont internes et boursiers. »
Corrigé
a) Le pourcentage porte sur les internes : $P_I(B) = 0{,}4$.
b) Le pourcentage porte sur les boursiers : $P_B(I) = 0{,}4$.
c) Le pourcentage porte sur tous les élèves, et les deux qualités sont exigées ensemble : $P(I \cap B) = 0{,}4$.
Méthode : cherche le groupe qui suit « des » ou « parmi les » — c'est lui qui devient l'indice. S'il s'agit de la population entière, il n'y a pas d'indice.
3. Compléter un arbre pondéré
On donne l'arbre suivant, où « non A » se note $\overline{A}$.
a) Retrouve les trois poids marqués « ? ». b) Calcule $P(A \cap B)$. c) Calcule $P(\overline{A} \cap B)$.
Corrigé
a) Les branches issues d'un même nœud ont pour somme $1$. À la racine : $1 - 0{,}3 = 0{,}7$. Après $A$ : $1 - 0{,}4 = 0{,}6$. Après $\overline{A}$ : $1 - 0{,}1 = 0{,}9$.
b) On multiplie le long du chemin : $P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$.
c) $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}7 \times 0{,}1 = 0{,}07$.
Attention : $0{,}4$ n'est pas $P(B)$, c'est $P_A(B)$ — la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.
Ça revient. On installe maintenant la méthode complète : de la définition vers le tableau, du tableau vers l'arbre, et retour. Trois exercices, un par registre.
Méthode officielle en 4 étapes
1. Nomme les évènements avec des lettres et écris ce que dit l'énoncé (attention : un pourcentage « parmi » est toujours une probabilité conditionnelle).
2. Choisis ton support : tableau d'effectifs si l'énoncé donne des nombres d'individus, arbre pondéré s'il donne des pourcentages en cascade.
3. Calcule : on divise par l'effectif de l'indice, ou on multiplie le long du chemin.
4. Conclus par une phrase qui nomme l'ensemble de référence.
Piège classique
Lire « $80\,\%$ des personnes testées positives sont malades » là où l'énoncé dit « $80\,\%$ des malades sont testées positives ». Ce sont $P_+(M)$ et $P_M(+)$ : deux nombres, deux questions, deux dénominateurs.
À toi de jouer
1. Appliquer la définition dans les deux sens
On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}25$ et $P(A \cap B) = 0{,}2$.
a) Calcule $P_A(B)$. b) Calcule $P_B(A)$. c) Que remarques-tu ?
Corrigé
a) $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.
b) $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}25} = 0{,}8$.
c) $0{,}4 \neq 0{,}8$ : les deux probabilités conditionnelles sont bien différentes, alors qu'elles partent de la même intersection. Seul le dénominateur a changé. C'est l'inversion des conditionnements.
2. Compléter un tableau croisé
Un site marchand interroge $400$ clients. $240$ ont commandé en ligne ($L$), les autres en magasin. Parmi ceux qui ont commandé en ligne, $180$ se déclarent satisfaits ($S$) ; parmi les autres, $90$ le sont.
a) Dresse le tableau croisé des effectifs. b) Calcule $P(S)$. c) Calcule $P_L(S)$ et $P_{\overline{L}}(S)$. d) Calcule $P_S(L)$ et compare avec $P_L(S)$.
Corrigé
a)
| $S$ | $\overline{S}$ | Total | |
| $L$ | 180 | 60 | 240 |
| $\overline{L}$ | 90 | 70 | 160 |
| Total | 270 | 130 | 400 |
Contrôle : $400 - 240 = 160$ clients en magasin, $240 - 180 = 60$ et $160 - 90 = 70$ insatisfaits, et $270 + 130 = 400$.
b) $P(S) = \dfrac{270}{400} = 0{,}675$.
c) $P_L(S) = \dfrac{180}{240} = 0{,}75$ et $P_{\overline{L}}(S) = \dfrac{90}{160} = 0{,}5625$. La satisfaction est plus élevée chez les clients en ligne.
d) $P_S(L) = \dfrac{180}{270} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$. C'est différent de $P_L(S) = 0{,}75$ : la première phrase parle des clients satisfaits, la seconde des clients en ligne.
3. Construire un arbre à partir d'un texte
Un théâtre vend $70\,\%$ de ses billets en ligne ($E$) et le reste au guichet ($G$). $8\,\%$ des billets vendus en ligne sont annulés ($A$), contre $4\,\%$ des billets vendus au guichet.
a) Traduis les quatre données en probabilités (simples ou conditionnelles). b) Décris l'arbre pondéré : quels poids sur chaque branche ? c) Calcule $P(E \cap A)$ et $P(G \cap A)$.
Corrigé
a) $P(E) = 0{,}7$ ; $P(G) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ ; « $8\,\%$ des billets vendus en ligne » porte sur les billets en ligne, donc $P_E(A) = 0{,}08$ ; de même $P_G(A) = 0{,}04$.
b) Premier niveau : deux branches, $E$ de poids $0{,}7$ et $G$ de poids $0{,}3$ (somme $1$). Second niveau, depuis $E$ : $A$ de poids $0{,}08$ et $\overline{A}$ de poids $0{,}92$ (somme $1$). Depuis $G$ : $A$ de poids $0{,}04$ et $\overline{A}$ de poids $0{,}96$ (somme $1$).
c) $P(E \cap A) = 0{,}7 \times 0{,}08 = 0{,}056$ et $P(G \cap A) = 0{,}3 \times 0{,}04 = 0{,}012$. Donc $5{,}6\,\%$ des billets sont des billets en ligne annulés, contre $1{,}2\,\%$ pour le guichet.
Place à la répétition tranquille. Cinq mini-exercices presque identiques, pour que la formule et le réflexe du dénominateur deviennent automatiques.
À toi de jouer
1. On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$. Calcule $P_A(B)$.
Corrigé
$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$.
2. On donne $P(B) = 0{,}8$ et $P(A \cap B) = 0{,}6$. Calcule $P_B(A)$.
Corrigé
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$. On divise par $P(B)$ parce que $B$ est en indice.
3. Sur un arbre pondéré, la branche menant à $A$ porte $0{,}25$ et, depuis $A$, la branche menant à $B$ porte $0{,}2$.
a) Quel poids porte la branche menant à $\overline{A}$ ? b) Quel poids porte la branche de $A$ vers $\overline{B}$ ? c) Calcule $P(A \cap B)$.
Corrigé
a) $1 - 0{,}25 = 0{,}75$. b) $1 - 0{,}2 = 0{,}8$. c) $P(A \cap B) = 0{,}25 \times 0{,}2 = 0{,}05$.
4. Sur $100$ personnes interrogées, $20$ fument ($F$). Parmi ces fumeurs, $15$ déclarent tousser le matin ($T$) ; parmi les $80$ non-fumeurs, $8$ le déclarent.
a) Combien de personnes toussent en tout ? b) Calcule $P_F(T)$. c) Calcule $P_T(F)$.
Corrigé
a) $15 + 8 = 23$ personnes.
b) On divise par l'effectif des fumeurs : $P_F(T) = \dfrac{15}{20} = 0{,}75$.
c) On divise par l'effectif des tousseurs : $P_T(F) = \dfrac{15}{23} \approx 0{,}65$.
5. Vrai ou faux ? Justifie à chaque fois.
a) « $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont toujours égales. »
b) « Les probabilités des branches issues d'un même nœud d'un arbre ont pour somme $1$. »
c) « $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ dans tous les cas. »
Corrigé
a) Faux. Contre-exemple avec l'exercice 4 : $P_F(T) = 0{,}75$ alors que $P_T(F) = \dfrac{15}{23} \approx 0{,}65$.
b) Vrai. Depuis un nœud, les branches décrivent tous les cas possibles, deux à deux incompatibles : leurs probabilités ont pour somme $1$.
c) Faux. La formule correcte est $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$. Reprends l'exercice 3 : si l'on avait $P(B) = 0{,}5$, le produit $0{,}25 \times 0{,}5 = 0{,}125$ ne donnerait pas la bonne valeur $0{,}05$.
Niveau contrôle. Cinq exercices dans les formes exactes que le programme 2026 met en avant : test de dépistage, phrase trompeuse à démonter, tirage sans remise, cohérence de données, arbre pondéré complet.
À toi de jouer
1. Test de dépistage
Une maladie touche $2\,\%$ d'une population. Un test a une sensibilité de $95\,\%$ et une spécificité de $90\,\%$. On dépiste $20\,000$ personnes, puis on en choisit une au hasard. On note $M$ « la personne est malade » et $+$ « le test est positif ».
a) Écris la sensibilité et la spécificité avec les notations du cours. b) Dresse le tableau croisé des effectifs. c) Combien y a-t-il de faux positifs ? de faux négatifs ? d) Calcule $P_+(M)$, arrondi au centième. e) Commente.
Corrigé
a) Sensibilité $= P_M(+) = 0{,}95$ (parmi les malades). Spécificité $= P_{\overline{M}}(-) = 0{,}90$ (parmi les non-malades).
b) Malades : $20\,000 \times 0{,}02 = 400$ ; non-malades : $19\,600$. Positifs parmi les malades : $400 \times 0{,}95 = 380$. Négatifs parmi les non-malades : $19\,600 \times 0{,}90 = 17\,640$.
| Test $+$ | Test $-$ | Total | |
| $M$ | 380 | 20 | 400 |
| $\overline{M}$ | 1 960 | 17 640 | 19 600 |
| Total | 2 340 | 17 660 | 20 000 |
Contrôle : $380 + 1\,960 = 2\,340$, $20 + 17\,640 = 17\,660$ et $2\,340 + 17\,660 = 20\,000$.
c) Faux positifs : $19\,600 - 17\,640 = 1\,960$ personnes (non malades, test positif). Faux négatifs : $400 - 380 = 20$ personnes (malades, test négatif).
d) $P_+(M) = \dfrac{380}{2\,340} = \dfrac{19}{117} \approx 0{,}16$.
e) Le test détecte $95\,\%$ des malades, et pourtant, parmi les personnes testées positives, seules $16\,\%$ environ sont malades. La maladie est rare : les $10\,\%$ d'erreurs commises sur les $19\,600$ personnes saines produisent $1\,960$ faux positifs, bien plus que les $380$ vrais positifs.
2. Démonter une phrase trompeuse
On lit dans un journal : « $80\,\%$ des personnes gravement blessées dans un accident portaient leur ceinture : la ceinture ne sert donc à rien. » Une étude portant sur $10\,000$ trajets donne : $9\,500$ trajets avec ceinture ($C$), dont $40$ avec un blessé grave ($H$) ; $500$ trajets sans ceinture, dont $10$ avec un blessé grave.
a) Vérifie la phrase du journal en calculant $P_H(C)$. b) Calcule $P_C(H)$ et $P_{\overline{C}}(H)$. c) La conclusion du journal est-elle justifiée ?
Corrigé
a) Il y a $40 + 10 = 50$ blessés graves, dont $40$ portaient la ceinture : $P_H(C) = \dfrac{40}{50} = 0{,}8$. La phrase est exacte.
b) $P_C(H) = \dfrac{40}{9\,500} \approx 0{,}0042$, soit $0{,}42\,\%$. $P_{\overline{C}}(H) = \dfrac{10}{500} = 0{,}02$, soit $2\,\%$.
c) Non. Le journal a inversé les conditionnements : il compare des ceintures parmi les blessés, alors que la question utile est le risque de blessure parmi les trajets. Le risque est presque cinq fois plus élevé sans ceinture ($2\,\%$ contre $0{,}42\,\%$). Si $80\,\%$ des blessés graves portaient la ceinture, c'est d'abord parce que $95\,\%$ des trajets se font avec.
3. Tirage sans remise
Un sac contient $5$ jetons rouges et $3$ jetons verts. On tire un jeton, on le garde, puis on en tire un second. On note $R_1$ « le premier jeton est rouge » et $R_2$ « le second jeton est rouge ».
a) Donne $P(R_1)$. b) Donne $P_{R_1}(R_2)$ et $P_{\overline{R_1}}(R_2)$, et vérifie les sommes sur chaque nœud. c) Calcule $P(R_1 \cap R_2)$ et $P(R_1 \cap \overline{R_2})$.
Corrigé
a) $8$ jetons équiprobables : $P(R_1) = \dfrac{5}{8}$, et $P(\overline{R_1}) = \dfrac{3}{8}$ (somme $1$).
b) Si le premier est rouge, il reste $4$ rouges sur $7$ jetons : $P_{R_1}(R_2) = \dfrac{4}{7}$, et $P_{R_1}(\overline{R_2}) = \dfrac{3}{7}$ — somme $1$. Si le premier est vert, il reste $5$ rouges sur $7$ : $P_{\overline{R_1}}(R_2) = \dfrac{5}{7}$, et $P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2}) = \dfrac{2}{7}$ — somme $1$.
c) $P(R_1 \cap R_2) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14} \approx 0{,}36$ et $P(R_1 \cap \overline{R_2}) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{56} \approx 0{,}27$.
Remarque : sans remise, le second tirage n'a pas les mêmes poids selon le résultat du premier. C'est tout l'intérêt du conditionnement.
4. Traduire, puis trancher
Dans un lycée, $L$ est l'évènement « l'élève fait du latin » et $A$ « l'élève a une moyenne d'au moins $15$ ». On sait que $P(A) = 0{,}2$ et que $P(L \cap A) = 0{,}06$.
Deux phrases circulent : (i) « $60\,\%$ des élèves ayant au moins $15$ font du latin » ; (ii) « $60\,\%$ des latinistes ont au moins $15$ ».
a) Traduis chaque phrase en symboles. b) Laquelle est compatible avec les données ? c) Pour celle qui l'est, déduis-en $P(L)$.
Corrigé
a) (i) porte sur les élèves ayant au moins $15$ : $P_A(L) = 0{,}6$. (ii) porte sur les latinistes : $P_L(A) = 0{,}6$.
b) Si (i) était vraie, on aurait $P(L \cap A) = P(A) \times P_A(L) = 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}12$, ce qui contredit la donnée $P(L \cap A) = 0{,}06$. La phrase (i) est donc incompatible ; c'est (ii) qui peut être vraie.
c) De $P_L(A) = \dfrac{P(L \cap A)}{P(L)}$ on tire $P(L) = \dfrac{P(L \cap A)}{P_L(A)} = \dfrac{0{,}06}{0{,}6} = 0{,}1$. Un élève sur dix fait du latin.
Le point clé : intervertir $P_A(L)$ et $P_L(A)$ ne change pas seulement la phrase, ça change le nombre — ici $0{,}12$ au lieu de $0{,}06$.
5. Arbre pondéré complet
Dans une entreprise, $45\,\%$ des salariés viennent en transports en commun ($T$). Parmi eux, $20\,\%$ arrivent en retard ($R$) au moins une fois par semaine ; parmi les autres salariés, $8\,\%$.
a) Traduis les données. b) Décris l'arbre pondéré et vérifie les sommes. c) Calcule $P(T \cap R)$ et $P(\overline{T} \cap R)$. d) L'entreprise compte $2\,000$ salariés : combien viennent en transports et arrivent en retard ?
Corrigé
a) $P(T) = 0{,}45$ donc $P(\overline{T}) = 0{,}55$ ; $P_T(R) = 0{,}2$ ; $P_{\overline{T}}(R) = 0{,}08$.
b) Premier niveau : $T$ ($0{,}45$) et $\overline{T}$ ($0{,}55$), somme $1$. Depuis $T$ : $R$ ($0{,}2$) et $\overline{R}$ ($0{,}8$), somme $1$. Depuis $\overline{T}$ : $R$ ($0{,}08$) et $\overline{R}$ ($0{,}92$), somme $1$.
c) $P(T \cap R) = 0{,}45 \times 0{,}2 = 0{,}09$ et $P(\overline{T} \cap R) = 0{,}55 \times 0{,}08 = 0{,}044$.
d) $0{,}09 \times 2\,000 = 180$ salariés.
Un pas au-dessus du programme de seconde. Trois exercices qui préparent la première : l'indépendance, l'addition des chemins d'un arbre, et le renversement complet d'un conditionnement.
À toi de jouer
1. Évènements indépendants (aperçu de première)
On dit que $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P_A(B) = P(B)$, ce qui équivaut à $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ dès que $P(A) \neq 0$.
Sur $200$ personnes : $80$ possèdent un vélo ($A$), $50$ sont abonnées à une salle de sport ($B$), et $20$ cumulent les deux.
a) Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$. b) $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? c) Même question si, au lieu de $20$, ce sont $30$ personnes qui cumulent les deux.
Corrigé
a) $P(A) = \dfrac{80}{200} = 0{,}4$ ; $P(B) = \dfrac{50}{200} = 0{,}25$ ; $P(A \cap B) = \dfrac{20}{200} = 0{,}1$.
b) $P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1 = P(A \cap B)$ : ils sont indépendants. On le voit aussi ainsi : $P_A(B) = \dfrac{20}{80} = 0{,}25 = P(B)$ — savoir qu'une personne a un vélo ne renseigne pas sur son abonnement.
c) Alors $P(A \cap B) = \dfrac{30}{200} = 0{,}15$, alors que $P(A) \times P(B) = 0{,}1$. Ils ne sont plus indépendants, et de fait $P_A(B) = \dfrac{30}{80} = 0{,}375 \neq 0{,}25$.
Ne pas confondre : indépendants n'est pas incompatibles. Deux évènements incompatibles ont $P(A \cap B) = 0$ et sont, eux, fortement liés.
2. Additionner les chemins
Ce calcul n'est pas un attendu de seconde — le programme l'exclut explicitement — mais tu peux le comprendre dès maintenant. Reprends l'entreprise de l'onglet précédent : $P(T) = 0{,}45$, $P_T(R) = 0{,}2$, $P_{\overline{T}}(R) = 0{,}08$.
a) Combien de chemins de l'arbre mènent à $R$ ? b) Calcule la probabilité de chacun. c) Déduis-en $P(R)$, puis exprime-la en pourcentage.
Corrigé
a) Deux chemins : « $T$ puis $R$ » et « $\overline{T}$ puis $R$ ». Ils ne peuvent pas se produire ensemble.
b) $P(T \cap R) = 0{,}45 \times 0{,}2 = 0{,}09$ et $P(\overline{T} \cap R) = 0{,}55 \times 0{,}08 = 0{,}044$.
c) $P(R) = 0{,}09 + 0{,}044 = 0{,}134$, soit $13{,}4\,\%$ des salariés. En première, ce calcul s'écrira avec une formule générale valable pour un découpage en autant de cas que l'on veut.
3. Renverser le conditionnement par les effectifs
Toujours la même entreprise, avec ses $2\,000$ salariés. On veut maintenant : sachant qu'un salarié arrive en retard, quelle est la probabilité qu'il vienne en transports en commun ?
a) Calcule les effectifs des quatre cases du tableau croisé. b) Calcule $P_R(T)$. c) Compare $P(T)$ et $P_R(T)$, puis commente.
Corrigé
a) $2\,000 \times 0{,}45 = 900$ salariés en transports, dont $900 \times 0{,}2 = 180$ en retard (et $720$ à l'heure). Les $1\,100$ autres salariés comptent $1\,100 \times 0{,}08 = 88$ retards (et $1\,012$ à l'heure). Total des retards : $180 + 88 = 268$.
| $R$ | $\overline{R}$ | Total | |
| $T$ | 180 | 720 | 900 |
| $\overline{T}$ | 88 | 1 012 | 1 100 |
| Total | 268 | 1 732 | 2 000 |
b) $P_R(T) = \dfrac{180}{268} = \dfrac{45}{67} \approx 0{,}67$.
c) $P(T) = 0{,}45$ mais $P_R(T) \approx 0{,}67$ : les usagers des transports sont $45\,\%$ des salariés et environ $67\,\%$ des retardataires. On est parti de $P_T(R) = 0{,}2$ et on a obtenu $P_R(T) \approx 0{,}67$ — deux nombres sans rapport apparent, qui décrivent pourtant la même entreprise. C'est exactement le renversement que tu formaliseras en première.