Probabilités : loi de probabilité et variable aléatoire

Modéliser le hasard : décrire toutes les valeurs d'une grandeur aléatoire et leurs probabilités.

1 L'idée

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers, noté $\Omega$. Chaque résultat est appelé une issue.

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de $\Omega$ : elle quantifie un phénomène aléatoire. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur $x_i$ que $X$ peut prendre, la probabilité $P(X = x_i)$. L'espérance $E(X)$ est la valeur moyenne obtenue si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.

2 Propriétés fondamentales

Équiprobabilité

$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues de } \Omega}$

Somme des probabilités

$\sum_{i} P(X = x_i) = 1$

Espérance de X

$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$

Événement contraire

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

3 Exemple : lancer d'un dé équilibré

Loi de probabilité de X = score obtenu

Univers : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — 6 issues équiprobables, chacune de probabilité $\dfrac{1}{6}$.

$X$ prend les valeurs $1, 2, 3, 4, 5, 6$ avec $P(X = k) = \dfrac{1}{6}$ pour tout $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Espérance : $E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$

Calcul d'un événement : $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$

Méthode — construire la loi d'une variable aléatoire

Décrire l'expérience et lister toutes les issues de $\Omega$.
Définir $X$ : préciser ce qu'elle mesure.
Lister les valeurs distinctes $x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_k$ prises par $X$.
Pour chaque $x_i$, regrouper les issues telles que $X(\omega) = x_i$ et calculer $P(X = x_i)$.
Vérifier que $\sum_{i} P(X = x_i) = 1$ avant de conclure.
Calculer $E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$ et interpréter le résultat.

Erreurs fréquentes

Omettre la vérification $\sum P(X = x_i) = 1$ : si la somme n'est pas 1, la loi est fausse.
Confondre $x_i$ (une valeur) et $P(X = x_i)$ (une probabilité) dans le calcul de $E(X)$.
En équiprobabilité, ne pas lister toutes les issues avant de compter : risque d'oubli ou de doublon.
$E(X)$ n'est pas forcément une valeur prise par $X$ — par exemple $E(X) = 3{,}5$ pour un dé, alors que $X$ ne vaut jamais $3{,}5$.