Tu n'as jamais vu la variance et l'écart-type ? Pas de panique ! On va repartir de ce que tu connais déjà (moyenne, quartiles, diagramme en boîte) pour comprendre en un éclair l'essentiel. Après cette fiche, tu sauras calculer et interpréter ces nouveaux indicateurs. Accroche-toi !
Prérequis : moyenne et quartiles
La moyenne $\bar{x}$ d'une série de valeurs $x_1, \dots, x_n$ est $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.
Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ partagent la série triée en quatre parts : au moins 25% des valeurs sont $\le Q_1$, et au moins 75% $\le Q_3$.
Le diagramme en boîte résume la série avec le min, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le max ; l'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure l'étalement de la moitié centrale des valeurs.
Réactivation : proportion et évolution
Ce sont des automatismes du collège, à réactiver et non à réapprendre — mais les énoncés de statistiques en sont pleins.
Proportion : $p = \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$.
Taux d'évolution : $t = \frac{V_2-V_1}{V_1}$, associé au coefficient multiplicateur $\text{CM} = \frac{V_2}{V_1} = 1+t$.
Un pourcentage exprime tantôt une proportion (« $40\,\%$ des élèves sont externes »), tantôt une évolution (« le prix a augmenté de $40\,\%$ ») : repère toujours lequel des deux avant de calculer.
Pourquoi la variance ?
Imagine deux classes qui ont toutes les deux 10/20 de moyenne à un contrôle. Dans la première, les notes sont 9, 10, 10, 11 ; dans la seconde : 1, 5, 15, 19. La moyenne ne suffit pas pour voir que la seconde est beaucoup plus dispersée. La variance $V$ et l'écart-type $\sigma$ mesurent cet éparpillement autour de $\bar{x}$. Plus $V$ ou $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne ; plus c'est petit, plus elles sont regroupées.
Formules express
Pour une série de $n$ valeurs $x_1,\dots,x_n$ :
Variance : $V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
Écart-type : $\sigma = \sqrt{V} \ge 0$
Si les données sont regroupées en un tableau d'effectifs (chaque valeur $x_i$ apparaît $n_i$ fois), on remplace $n$ par l'effectif total $N = \sum n_i$, et la variance devient $V = \frac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2$.
À toi de jouer
1. Série simple : $2\; ; \;4\; ; \;4\; ; \;5\; ; \;5$
1. Calcule la moyenne $\bar{x}$ : $\bar{x}= \frac{2+4+4+5+5}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Remplis le tableau suivant :
| Valeur $x_i$ | Écart $x_i - \bar{x}$ | Carré de l'écart $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. La somme des carrés des écarts est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$.
4. La variance $V$ vaut $V = \frac{\text{somme}}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}$
5. L'écart-type $\sigma = \sqrt{V} = \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au centième).
1. Calcule la moyenne $\bar{x}$ : $\bar{x}= \frac{2+4+4+5+5}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Remplis le tableau suivant :
| Valeur $x_i$ | Écart $x_i - \bar{x}$ | Carré de l'écart $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. La somme des carrés des écarts est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$.
4. La variance $V$ vaut $V = \frac{\text{somme}}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}$
5. L'écart-type $\sigma = \sqrt{V} = \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au centième).
Corrigé
1. $4$
2. Tableau : $2 \to 2-4 = -2$, $(-2)^2=4$ ; $4 \to 0$, $0$ ; $4 \to 0$, $0$ ; $5 \to 1$, $1$ ; $5 \to 1$, $1$.
3. Somme $= 4+0+0+1+1 = 6$
4. $V = 6/5 = 1{,}2$
5. $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$ (car $\sqrt{1,2} \approx 1,095$, arrondi $1,10$).
2. Tableau : $2 \to 2-4 = -2$, $(-2)^2=4$ ; $4 \to 0$, $0$ ; $4 \to 0$, $0$ ; $5 \to 1$, $1$ ; $5 \to 1$, $1$.
3. Somme $= 4+0+0+1+1 = 6$
4. $V = 6/5 = 1{,}2$
5. $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$ (car $\sqrt{1,2} \approx 1,095$, arrondi $1,10$).
2. Série avec une valeur répétée : $3\; ; \;3\; ; \;3\; ; \;3$
1. Quelle est la moyenne ? $\bar{x}= \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Pour chaque valeur, l'écart à la moyenne est $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc le carré est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3. La variance $V$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (fais le calcul).
4. L'écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$.
5. Interprétation : cette série est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (homogène / dispersée).
1. Quelle est la moyenne ? $\bar{x}= \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Pour chaque valeur, l'écart à la moyenne est $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc le carré est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3. La variance $V$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (fais le calcul).
4. L'écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$.
5. Interprétation : cette série est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (homogène / dispersée).
Corrigé
1. $3$
2. $0$, $0$
3. $0$ (somme de $0$ divisée par $4$ = $0$)
4. $0$
5. homogène
2. $0$, $0$
3. $0$ (somme de $0$ divisée par $4$ = $0$)
4. $0$
5. homogène
3. Tableau d'effectifs : Dans un petit groupe, on a relevé les pointures : $40$ (2 personnes), $41$ (3 pers.), $42$ (1 pers.).
Complète :
Moyenne $\bar{x} = \frac{2\times 40 + 3\times 41 + 1\times 42}{2+3+1} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis arrondi au centième).
Calcule la variance :
| Valeur $x_i$ | Effectif $n_i$ | Écart $x_i - \bar{x}$ (arrondi au centième) | $(x_i - \bar{x})^2$ (arrondi au centième) | $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ |
| $40$ | $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $41$ | $3$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $42$ | $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme de la dernière colonne = $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $V = \frac{\text{somme}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\sigma = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième).
Complète :
Moyenne $\bar{x} = \frac{2\times 40 + 3\times 41 + 1\times 42}{2+3+1} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis arrondi au centième).
Calcule la variance :
| Valeur $x_i$ | Effectif $n_i$ | Écart $x_i - \bar{x}$ (arrondi au centième) | $(x_i - \bar{x})^2$ (arrondi au centième) | $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ |
| $40$ | $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $41$ | $3$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $42$ | $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme de la dernière colonne = $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $V = \frac{\text{somme}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\sigma = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième).
Corrigé
Moyenne exacte $= \frac{245}{6} \approx 40{,}83$.
Tableau : $40$ : écart $40 - \frac{245}{6} = -\frac{5}{6} \approx -0{,}83$, carré $\frac{25}{36} \approx 0{,}69$, $2 \times \frac{25}{36} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \approx 1{,}39$ ; $41$ : écart $\frac{1}{6} \approx 0{,}17$, carré $\frac{1}{36} \approx 0{,}03$, $3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12} \approx 0{,}08$ ; $42$ : écart $\frac{7}{6} \approx 1{,}17$, carré $\frac{49}{36} \approx 1{,}36$, $1 \times \frac{49}{36} = \frac{49}{36} \approx 1{,}36$.
Somme $= \frac{25}{18} + \frac{1}{12} + \frac{49}{36} = \frac{50+3+49}{36} = \frac{102}{36} = \frac{17}{6} \approx 2{,}83$.
$V = \frac{17}{36} \approx 0{,}47$ ; $\sigma = \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0{,}69$.
Tableau : $40$ : écart $40 - \frac{245}{6} = -\frac{5}{6} \approx -0{,}83$, carré $\frac{25}{36} \approx 0{,}69$, $2 \times \frac{25}{36} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \approx 1{,}39$ ; $41$ : écart $\frac{1}{6} \approx 0{,}17$, carré $\frac{1}{36} \approx 0{,}03$, $3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12} \approx 0{,}08$ ; $42$ : écart $\frac{7}{6} \approx 1{,}17$, carré $\frac{49}{36} \approx 1{,}36$, $1 \times \frac{49}{36} = \frac{49}{36} \approx 1{,}36$.
Somme $= \frac{25}{18} + \frac{1}{12} + \frac{49}{36} = \frac{50+3+49}{36} = \frac{102}{36} = \frac{17}{6} \approx 2{,}83$.
$V = \frac{17}{36} \approx 0{,}47$ ; $\sigma = \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0{,}69$.
4. Réactivation — proportions et pourcentages. Dans un collège de $500$ élèves, $300$ sont demi-pensionnaires.
a) Quelle proportion des élèves cela représente-t-il (en fraction, en décimal, en pourcentage) ?
b) Parmi ces demi-pensionnaires, $20\,\%$ sont en 6e. Combien d'élèves cela fait-il ? Quelle proportion du collège entier ?
c) Le nombre de demi-pensionnaires est passé de $250$ à $300$ en un an. Calcule le coefficient multiplicateur, puis le taux d'évolution.
d) Parmi les pourcentages des questions a) et c), lequel exprime une proportion, lequel une évolution ?
a) Quelle proportion des élèves cela représente-t-il (en fraction, en décimal, en pourcentage) ?
b) Parmi ces demi-pensionnaires, $20\,\%$ sont en 6e. Combien d'élèves cela fait-il ? Quelle proportion du collège entier ?
c) Le nombre de demi-pensionnaires est passé de $250$ à $300$ en un an. Calcule le coefficient multiplicateur, puis le taux d'évolution.
d) Parmi les pourcentages des questions a) et c), lequel exprime une proportion, lequel une évolution ?
Corrigé
a) $\frac{300}{500} = 0{,}6 = 60\,\%$.
b) $20\,\%$ de $300$, soit $60$ élèves ; $\frac{60}{500} = 0{,}12 = 12\,\%$ du collège. On retrouve $0{,}60 \times 0{,}20 = 0{,}12$ : quand les ensembles de référence sont emboîtés, les proportions se multiplient.
c) $\text{CM} = \frac{300}{250} = 1{,}2$ ; $t = \frac{300-250}{250} = 0{,}2 = +20\,\%$.
d) a) est une proportion (une partie du tout) ; c) est une évolution (une comparaison à l'année précédente).
b) $20\,\%$ de $300$, soit $60$ élèves ; $\frac{60}{500} = 0{,}12 = 12\,\%$ du collège. On retrouve $0{,}60 \times 0{,}20 = 0{,}12$ : quand les ensembles de référence sont emboîtés, les proportions se multiplient.
c) $\text{CM} = \frac{300}{250} = 1{,}2$ ; $t = \frac{300-250}{250} = 0{,}2 = +20\,\%$.
d) a) est une proportion (une partie du tout) ; c) est une évolution (une comparaison à l'année précédente).
Ah, la variance et l'écart-type, ça commence à te revenir ? Parfait ! On va maintenant décortiquer la méthode étape par étape pour ne plus jamais cafouiller. En bonus, un petit rappel des erreurs classiques à éviter. Prêt à appliquer ?
Méthode en 5 étapes (avec ou sans effectifs)
Étape 1 : Calculer la moyenne $\bar{x}$.
Étape 2 : Pour chaque valeur $x_i$, calculer l'écart $x_i - \bar{x}$, puis son carré $(x_i-\bar{x})^2$.
Étape 3 (si tableau) : Multiplier chaque carré par l'effectif $n_i$ correspondant.
Étape 4 : Sommer tous les termes (ou la colonne des $n_i (x_i-\bar{x})^2$) et diviser par l'effectif total $n$ : on obtient la variance $V$.
Étape 5 : Prendre la racine carrée de $V$ pour obtenir l'écart-type $\sigma = \sqrt{V}$.
Erreurs fréquentes :
- Oublier le carré dans la variance → la somme des simples écarts vaut toujours $0$.
- Diviser par $n-1$ au lieu de $n$ (en 2de on divise par $n$).
- Confondre $V$ et $\sigma$ : si la donnée est en euros, $\sigma$ est en euros, $V$ en euros² (les unités sont différentes).
- Comparer des écarts-types sans vérifier que les moyennes sont comparables.
Série regroupée en classes : la marche à suivre
Quand les données sont rangées par tranches de même amplitude, les valeurs exactes sont perdues : tous les résultats deviennent des estimations.
1. Remplacer chaque classe par son centre (la demi-somme de ses bornes) : c'est la moyenne de la classe lorsque la répartition y est supposée uniforme.
2. Calculer la moyenne pondérée par les effectifs, exactement comme avec un tableau d'effectifs.
3. Cumuler les effectifs : la classe médiane est la première dont l'effectif cumulé atteint $\frac{n}{2}$ (fréquence cumulée $50\,\%$).
4. Estimer la médiane à l'intérieur de cette classe, par proportionnalité : médiane $\approx b + a \times \frac{\frac{n}{2} - N_{\text{av}}}{n_{\text{cl}}}$, où $b$ est la borne inférieure de la classe médiane, $a$ son amplitude, $N_{\text{av}}$ l'effectif cumulé avant elle et $n_{\text{cl}}$ son effectif. C'est aussi l'abscisse du point d'ordonnée $50\,\%$ sur le polygone des fréquences cumulées.
5. La variance et l'écart-type se calculent de la même manière à partir des centres — approchés eux aussi.
À toi de jouer
1. Série simple : $1, 5, 9, 13$
1. Moyenne : $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Complète le tableau de calcul de la variance :
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $13$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme des carrés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte en fraction, puis décimale au centième)
5. Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis approchée au centième).
1. Moyenne : $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Complète le tableau de calcul de la variance :
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $13$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme des carrés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte en fraction, puis décimale au centième)
5. Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis approchée au centième).
Corrigé
1. $\bar{x} = \frac{1+5+9+13}{4}= \frac{28}{4}=7$.
2. $1-7=-6$ ; carré $36$ ; $5-7=-2$ ; $4$ ; $9-7=2$ ; $4$ ; $13-7=6$ ; $36$.
3. Somme $=36+4+4+36=80$.
4. $V = \frac{80}{4}=20$.
5. $\sigma = \sqrt{20}=2\sqrt{5} \approx 4{,}47$.
2. $1-7=-6$ ; carré $36$ ; $5-7=-2$ ; $4$ ; $9-7=2$ ; $4$ ; $13-7=6$ ; $36$.
3. Somme $=36+4+4+36=80$.
4. $V = \frac{80}{4}=20$.
5. $\sigma = \sqrt{20}=2\sqrt{5} \approx 4{,}47$.
2. Tableau d'effectifs : Dans une classe, on relève le nombre de frères et sœurs. $0$ (8 élèves), $1$ (12), $2$ (5), $3$ (2).
Vérifie que l'effectif total est $N = \underline{\hspace{1.1em}}$
1. Moyenne $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au centième)
2. Complète :
| $x_i$ | $n_i$ | $x_i-\bar{x}$ (arrondi au centième) | $(x_i-\bar{x})^2$ (arrondi au centième) | $n_i\times (x_i-\bar{x})^2$ |
| $0$ | $8$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $1$ | $12$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $2$ | $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $3$ | $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme de la dernière colonne : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \frac{\text{somme}}{N} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième)
5. Écart-type $\sigma = \sqrt{V} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième).
Vérifie que l'effectif total est $N = \underline{\hspace{1.1em}}$
1. Moyenne $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au centième)
2. Complète :
| $x_i$ | $n_i$ | $x_i-\bar{x}$ (arrondi au centième) | $(x_i-\bar{x})^2$ (arrondi au centième) | $n_i\times (x_i-\bar{x})^2$ |
| $0$ | $8$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $1$ | $12$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $2$ | $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $3$ | $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme de la dernière colonne : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \frac{\text{somme}}{N} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième)
5. Écart-type $\sigma = \sqrt{V} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième).
Corrigé
$N=8+12+5+2=27$.
1. $\bar{x} = \frac{0\times8 + 1\times12 + 2\times5 + 3\times2}{27} = \frac{28}{27} \approx 1{,}04$.
2. Écarts : $0-1{,}04=-1{,}04$ ; $1-1{,}04=-0{,}04$ ; $2-1{,}04=0{,}96$ ; $3-1{,}04=1{,}96$.
Carrés : $1{,}0816$ ; $0{,}0016$ ; $0{,}9216$ ; $3{,}8416$.
Produits : $8\times1{,}0816=8{,}6528$ ; $12\times0{,}0016=0{,}0192$ ; $5\times0{,}9216=4{,}608$ ; $2\times3{,}8416=7{,}6832$.
3. Somme $=20{,}9632$.
4. $V = \frac{20{,}9632}{27} \approx 0{,}78$ (calcul mené avec les écarts arrondis ; la valeur exacte, $\frac{566}{729} \approx 0{,}7764$, donne le même arrondi).
5. $\sigma \approx \sqrt{0{,}7764} \approx 0{,}88$.
1. $\bar{x} = \frac{0\times8 + 1\times12 + 2\times5 + 3\times2}{27} = \frac{28}{27} \approx 1{,}04$.
2. Écarts : $0-1{,}04=-1{,}04$ ; $1-1{,}04=-0{,}04$ ; $2-1{,}04=0{,}96$ ; $3-1{,}04=1{,}96$.
Carrés : $1{,}0816$ ; $0{,}0016$ ; $0{,}9216$ ; $3{,}8416$.
Produits : $8\times1{,}0816=8{,}6528$ ; $12\times0{,}0016=0{,}0192$ ; $5\times0{,}9216=4{,}608$ ; $2\times3{,}8416=7{,}6832$.
3. Somme $=20{,}9632$.
4. $V = \frac{20{,}9632}{27} \approx 0{,}78$ (calcul mené avec les écarts arrondis ; la valeur exacte, $\frac{566}{729} \approx 0{,}7764$, donne le même arrondi).
5. $\sigma \approx \sqrt{0{,}7764} \approx 0{,}88$.
3. Série simple : $10, 12, 14, 16, 18$
1. Moyenne : $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Complète le tableau :
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $12$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $14$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $16$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $18$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme des carrés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$
5. Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis approchée au centième).
1. Moyenne : $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Complète le tableau :
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $12$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $14$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $16$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $18$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme des carrés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$
5. Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis approchée au centième).
Corrigé
1. $\bar{x}=14$ (somme $70/5$).
2. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$.
3. Somme $=40$.
4. $V=40/5=8$.
5. $\sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.
2. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$.
3. Somme $=40$.
4. $V=40/5=8$.
5. $\sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.
4. Série regroupée en classes. On a pesé $50$ colis (masses en kg) :
a) Donner le centre de chaque classe.
b) Calculer la moyenne, en supposant la répartition uniforme dans chaque classe.
c) Dresser les effectifs cumulés puis les fréquences cumulées ; en déduire la classe médiane.
d) Estimer la médiane.
e) Calculer la variance et l'écart-type approchés (à partir des centres).
| Classe (kg) | $[0\,;5[$ | $[5\,;10[$ | $[10\,;15[$ | $[15\,;20[$ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 12 | 14 | 16 | 8 |
b) Calculer la moyenne, en supposant la répartition uniforme dans chaque classe.
c) Dresser les effectifs cumulés puis les fréquences cumulées ; en déduire la classe médiane.
d) Estimer la médiane.
e) Calculer la variance et l'écart-type approchés (à partir des centres).
Corrigé
a) $2{,}5$ ; $7{,}5$ ; $12{,}5$ ; $17{,}5$.
b) $\bar{x} = \frac{12\times2{,}5 + 14\times7{,}5 + 16\times12{,}5 + 8\times17{,}5}{50} = \frac{30+105+200+140}{50} = \frac{475}{50} = 9{,}5$ kg.
c) Effectifs cumulés : $12$ ; $26$ ; $42$ ; $50$, soit $24\,\%$ ; $52\,\%$ ; $84\,\%$ ; $100\,\%$. Comme $\frac{n}{2} = 25$ est atteint dans $[5\,;10[$, c'est la classe médiane.
d) médiane $\approx 5 + 5\times\frac{25-12}{14} = 5 + \frac{65}{14} \approx 9{,}64$ kg.
e) Écarts des centres à $9{,}5$ : $-7$ ; $-2$ ; $3$ ; $8$ ; carrés $49$ ; $4$ ; $9$ ; $64$. $V = \frac{12\times49 + 14\times4 + 16\times9 + 8\times64}{50} = \frac{588+56+144+512}{50} = \frac{1300}{50} = 26$ et $\sigma = \sqrt{26} \approx 5{,}10$ kg.
b) $\bar{x} = \frac{12\times2{,}5 + 14\times7{,}5 + 16\times12{,}5 + 8\times17{,}5}{50} = \frac{30+105+200+140}{50} = \frac{475}{50} = 9{,}5$ kg.
c) Effectifs cumulés : $12$ ; $26$ ; $42$ ; $50$, soit $24\,\%$ ; $52\,\%$ ; $84\,\%$ ; $100\,\%$. Comme $\frac{n}{2} = 25$ est atteint dans $[5\,;10[$, c'est la classe médiane.
d) médiane $\approx 5 + 5\times\frac{25-12}{14} = 5 + \frac{65}{14} \approx 9{,}64$ kg.
e) Écarts des centres à $9{,}5$ : $-7$ ; $-2$ ; $3$ ; $8$ ; carrés $49$ ; $4$ ; $9$ ; $64$. $V = \frac{12\times49 + 14\times4 + 16\times9 + 8\times64}{50} = \frac{588+56+144+512}{50} = \frac{1300}{50} = 26$ et $\sigma = \sqrt{26} \approx 5{,}10$ kg.
C'est l'heure de l'entraînement intensif : 5 exercices quasi identiques pour que le calcul de variance et d'écart-type devienne une mécanique bien huilée. Tu vas enchaîner les séries, remplir les cases, et bientôt tu le feras les yeux fermés. Allez, on y va !
À toi de jouer
1. Série : $5, 7, 9, 11$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $7$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $11$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme des carrés $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $7$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $11$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme des carrés $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$\bar{x}=8$. Écarts : $-3,-1,1,3$ ; carrés $9,1,1,9$. Somme $=20$, $V=20/4=5$, $\sigma=\sqrt{5}\approx2{,}24$.
2. Série : $10, 20, 30, 40$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $20$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $30$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $40$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $20$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $30$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $40$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$\bar{x}=25$. Écarts : $-15,-5,5,15$ ; carrés $225,25,25,225$. Somme $=500$, $V=500/4=125$, $\sigma=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx11{,}18$.
3. Série : $1, 3, 5, 7, 9$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $3$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $7$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $3$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $7$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$\bar{x}=5$. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$. Somme $=40$, $V=40/5=8$, $\sigma=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.
4. Série : $2, 4, 6, 8, 10$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $6$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $8$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $6$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $8$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$\bar{x}=6$. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$. Somme $=40$, $V=8$, $\sigma=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.
5. Série : $20, 22, 24, 26, 28$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $20$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $22$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $24$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $26$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $28$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $20$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $22$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $24$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $26$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $28$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$\bar{x}=24$. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$. Somme $=40$, $V=8$, $\sigma=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.
6. Série en classes. Les notes sur $20$ de $25$ élèves :
Centres $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; moyenne $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; effectifs cumulés $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; classe médiane $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; médiane estimée $\approx \underline{\hspace{1.1em}}$ ; écart-type approché $\approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
| Classe | $[0\,;5[$ | $[5\,;10[$ | $[10\,;15[$ | $[15\,;20[$ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 7 | 11 | 5 |
Corrigé
Centres : $2{,}5$ ; $7{,}5$ ; $12{,}5$ ; $17{,}5$.
Moyenne : $\frac{2\times2{,}5 + 7\times7{,}5 + 11\times12{,}5 + 5\times17{,}5}{25} = \frac{5+52{,}5+137{,}5+87{,}5}{25} = \frac{282{,}5}{25} = 11{,}3$.
Effectifs cumulés : $2$ ; $9$ ; $20$ ; $25$ (soit $8\,\%$ ; $36\,\%$ ; $80\,\%$ ; $100\,\%$). $\frac{n}{2} = 12{,}5$ est atteint dans $[10\,;15[$ : classe médiane.
Médiane $\approx 10 + 5\times\frac{12{,}5-9}{11} = 10 + \frac{17{,}5}{11} \approx 11{,}59$.
Carrés des écarts à $11{,}3$ : $77{,}44$ ; $14{,}44$ ; $1{,}44$ ; $38{,}44$. $V = \frac{2\times77{,}44 + 7\times14{,}44 + 11\times1{,}44 + 5\times38{,}44}{25} = \frac{464}{25} = 18{,}56$ et $\sigma \approx 4{,}31$.
Moyenne : $\frac{2\times2{,}5 + 7\times7{,}5 + 11\times12{,}5 + 5\times17{,}5}{25} = \frac{5+52{,}5+137{,}5+87{,}5}{25} = \frac{282{,}5}{25} = 11{,}3$.
Effectifs cumulés : $2$ ; $9$ ; $20$ ; $25$ (soit $8\,\%$ ; $36\,\%$ ; $80\,\%$ ; $100\,\%$). $\frac{n}{2} = 12{,}5$ est atteint dans $[10\,;15[$ : classe médiane.
Médiane $\approx 10 + 5\times\frac{12{,}5-9}{11} = 10 + \frac{17{,}5}{11} \approx 11{,}59$.
Carrés des écarts à $11{,}3$ : $77{,}44$ ; $14{,}44$ ; $1{,}44$ ; $38{,}44$. $V = \frac{2\times77{,}44 + 7\times14{,}44 + 11\times1{,}44 + 5\times38{,}44}{25} = \frac{464}{25} = 18{,}56$ et $\sigma \approx 4{,}31$.
7. Évolutions successives.
a) Un prix de $80$ € augmente de $25\,\%$, puis baisse de $20\,\%$. Prix final ? Taux d'évolution global ?
b) Un prix de $50$ € baisse de $10\,\%$ deux années de suite. Prix final ? Taux global ?
c) Après une hausse de $25\,\%$, quel taux d'évolution ramène au prix de départ ?
a) Un prix de $80$ € augmente de $25\,\%$, puis baisse de $20\,\%$. Prix final ? Taux d'évolution global ?
b) Un prix de $50$ € baisse de $10\,\%$ deux années de suite. Prix final ? Taux global ?
c) Après une hausse de $25\,\%$, quel taux d'évolution ramène au prix de départ ?
Corrigé
a) $80 \times 1{,}25 = 100$ €, puis $100 \times 0{,}80 = 80$ €. $\text{CM} = 1{,}25 \times 0{,}80 = 1$, donc un taux global de $0\,\%$. Une hausse de $25\,\%$ puis une baisse de $20\,\%$ ne donnent pas $+5\,\%$.
b) $50 \times 0{,}90 = 45$ €, puis $45 \times 0{,}90 = 40{,}50$ €. $\text{CM} = 0{,}90^2 = 0{,}81$, soit $-19\,\%$ et non $-20\,\%$.
c) Coefficient réciproque : $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}80$, soit une baisse de $20\,\%$.
b) $50 \times 0{,}90 = 45$ €, puis $45 \times 0{,}90 = 40{,}50$ €. $\text{CM} = 0{,}90^2 = 0{,}81$, soit $-19\,\%$ et non $-20\,\%$.
c) Coefficient réciproque : $\frac{1}{1{,}25} = 0{,}80$, soit une baisse de $20\,\%$.
Ça y est, tu maîtrises le calcul. Passons aux exercices type contrôle : comparaison de séries, problème concret de régularité, et interprétation. Sois attentif, rédige proprement et n'oublie pas les unités.
À toi de jouer
1. On considère la série : $2\; ;\; 7\; ;\; 12\; ;\; 17\; ;\; 22$.
a) Calculer la moyenne $\bar{x}$.
b) Calculer la variance $V$ (valeur exacte).
c) En déduire l'écart-type $\sigma$ (valeur exacte, puis approchée au centième).
a) Calculer la moyenne $\bar{x}$.
b) Calculer la variance $V$ (valeur exacte).
c) En déduire l'écart-type $\sigma$ (valeur exacte, puis approchée au centième).
Corrigé
a) $\bar{x}=\frac{2+7+12+17+22}{5}=\frac{60}{5}=12$.
b) Écarts : $-10, -5, 0, 5, 10$ ; carrés $100, 25, 0, 25, 100$. Somme $=250$. $V=\frac{250}{5}=50$.
c) $\sigma = \sqrt{50}=5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.
b) Écarts : $-10, -5, 0, 5, 10$ ; carrés $100, 25, 0, 25, 100$. Somme $=250$. $V=\frac{250}{5}=50$.
c) $\sigma = \sqrt{50}=5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.
2. Un test noté sur $10$ donne les résultats suivants dans une classe :
Note : $2, 4, 6, 8, 10$
Effectif : $1, 3, 5, 4, 2$
a) Vérifier que l'effectif total est $15$.
b) Calculer la moyenne $\bar{x}$.
c) Calculer la variance $V$ (valeur exacte fractionnaire, puis approchée au centième).
d) Donner l'écart-type $\sigma$ (approché au centième).
Note : $2, 4, 6, 8, 10$
Effectif : $1, 3, 5, 4, 2$
a) Vérifier que l'effectif total est $15$.
b) Calculer la moyenne $\bar{x}$.
c) Calculer la variance $V$ (valeur exacte fractionnaire, puis approchée au centième).
d) Donner l'écart-type $\sigma$ (approché au centième).
Corrigé
a) $1+3+5+4+2=15$.
b) $\bar{x}=\frac{1\times2+3\times4+5\times6+4\times8+2\times10}{15}=\frac{2+12+30+32+20}{15}=\frac{96}{15}=6{,}4$.
c) Écarts : $-4{,}4, -2{,}4, -0{,}4, 1{,}6, 3{,}6$ ; carrés $19{,}36 ; 5{,}76 ; 0{,}16 ; 2{,}56 ; 12{,}96$.
$n_i(x_i-\bar{x})^2$ : $1\times19{,}36=19{,}36$ ; $3\times5{,}76=17{,}28$ ; $5\times0{,}16=0{,}80$ ; $4\times2{,}56=10{,}24$ ; $2\times12{,}96=25{,}92$.
Somme $=19{,}36+17{,}28+0{,}80+10{,}24+25{,}92=73{,}6$.
$V=\frac{73{,}6}{15}=\frac{736}{150}=\frac{368}{75} \approx 4{,}91$ (arrondi au centième $4{,}91$).
d) $\sigma=\sqrt{\frac{368}{75}} \approx \sqrt{4{,}9067} \approx 2{,}22$.
b) $\bar{x}=\frac{1\times2+3\times4+5\times6+4\times8+2\times10}{15}=\frac{2+12+30+32+20}{15}=\frac{96}{15}=6{,}4$.
c) Écarts : $-4{,}4, -2{,}4, -0{,}4, 1{,}6, 3{,}6$ ; carrés $19{,}36 ; 5{,}76 ; 0{,}16 ; 2{,}56 ; 12{,}96$.
$n_i(x_i-\bar{x})^2$ : $1\times19{,}36=19{,}36$ ; $3\times5{,}76=17{,}28$ ; $5\times0{,}16=0{,}80$ ; $4\times2{,}56=10{,}24$ ; $2\times12{,}96=25{,}92$.
Somme $=19{,}36+17{,}28+0{,}80+10{,}24+25{,}92=73{,}6$.
$V=\frac{73{,}6}{15}=\frac{736}{150}=\frac{368}{75} \approx 4{,}91$ (arrondi au centième $4{,}91$).
d) $\sigma=\sqrt{\frac{368}{75}} \approx \sqrt{4{,}9067} \approx 2{,}22$.
3. Deux groupes A et B ont passé le même test noté sur $10$.
Groupe A : $3\; ;\; 4\; ;\; 4\; ;\; 4\; ;\; 5$
Groupe B : $1\; ;\; 2\; ;\; 4\; ;\; 6\; ;\; 7$
a) Calculer la moyenne de chaque groupe. Que remarques-tu ?
b) Calculer la variance et l'écart-type de chaque groupe (valeurs exactes ou approchées au centième).
c) Quel groupe est le plus homogène ? Justifier.
Groupe A : $3\; ;\; 4\; ;\; 4\; ;\; 4\; ;\; 5$
Groupe B : $1\; ;\; 2\; ;\; 4\; ;\; 6\; ;\; 7$
a) Calculer la moyenne de chaque groupe. Que remarques-tu ?
b) Calculer la variance et l'écart-type de chaque groupe (valeurs exactes ou approchées au centième).
c) Quel groupe est le plus homogène ? Justifier.
Corrigé
a) $\bar{x}_A=\frac{3+4+4+4+5}{5}=\frac{20}{5}=4$ ; $\bar{x}_B=\frac{1+2+4+6+7}{5}=\frac{20}{5}=4$. Les deux groupes ont la même moyenne.
b) Groupe A : écarts $-1,0,0,0,1$ ; carrés $1,0,0,0,1$ ; somme $=2$, $V_A=\frac{2}{5}=0{,}4$, $\sigma_A=\sqrt{0{,}4}\approx0{,}63$.
Groupe B : écarts $-3,-2,0,2,3$ ; carrés $9,4,0,4,9$ ; somme $=26$, $V_B=\frac{26}{5}=5{,}2$, $\sigma_B=\sqrt{5{,}2}\approx2{,}28$.
c) Groupe A plus homogène car $\sigma_A<\sigma_B$ (ou $V_A \lt V_B$).
b) Groupe A : écarts $-1,0,0,0,1$ ; carrés $1,0,0,0,1$ ; somme $=2$, $V_A=\frac{2}{5}=0{,}4$, $\sigma_A=\sqrt{0{,}4}\approx0{,}63$.
Groupe B : écarts $-3,-2,0,2,3$ ; carrés $9,4,0,4,9$ ; somme $=26$, $V_B=\frac{26}{5}=5{,}2$, $\sigma_B=\sqrt{5{,}2}\approx2{,}28$.
c) Groupe A plus homogène car $\sigma_A<\sigma_B$ (ou $V_A \lt V_B$).
4. Deux joueurs de fléchettes enregistrent leurs scores sur 5 parties :
Joueur A : $9\; ;\; 12\; ;\; 15\; ;\; 18\; ;\; 21$
Joueur B : $13\; ;\; 14\; ;\; 15\; ;\; 16\; ;\; 17$
a) Calculer la moyenne de chaque joueur.
b) Calculer la variance et l'écart-type de chaque joueur (valeurs exactes).
c) Les deux joueurs ont la même moyenne. Lequel choisirais-tu pour une compétition qui récompense la régularité ? Justifie avec les valeurs obtenues.
Joueur A : $9\; ;\; 12\; ;\; 15\; ;\; 18\; ;\; 21$
Joueur B : $13\; ;\; 14\; ;\; 15\; ;\; 16\; ;\; 17$
a) Calculer la moyenne de chaque joueur.
b) Calculer la variance et l'écart-type de chaque joueur (valeurs exactes).
c) Les deux joueurs ont la même moyenne. Lequel choisirais-tu pour une compétition qui récompense la régularité ? Justifie avec les valeurs obtenues.
Corrigé
a) $\bar{x}_A=\frac{9+12+15+18+21}{5}=\frac{75}{5}=15$ ; $\bar{x}_B=\frac{13+14+15+16+17}{5}=\frac{75}{5}=15$.
b) Joueur A : écarts $-6,-3,0,3,6$ ; carrés $36,9,0,9,36$ ; somme $=90$, $V_A=\frac{90}{5}=18$, $\sigma_A=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4{,}24$.
Joueur B : écarts $-2,-1,0,1,2$ ; carrés $4,1,0,1,4$ ; somme $=10$, $V_B=\frac{10}{5}=2$, $\sigma_B=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
c) Le joueur B est plus régulier car son écart-type est plus faible ($1{,}41<4{,}24$).
b) Joueur A : écarts $-6,-3,0,3,6$ ; carrés $36,9,0,9,36$ ; somme $=90$, $V_A=\frac{90}{5}=18$, $\sigma_A=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4{,}24$.
Joueur B : écarts $-2,-1,0,1,2$ ; carrés $4,1,0,1,4$ ; somme $=10$, $V_B=\frac{10}{5}=2$, $\sigma_B=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
c) Le joueur B est plus régulier car son écart-type est plus faible ($1{,}41<4{,}24$).
5. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase.
a) Si la variance d'une série est nulle, alors toutes les valeurs sont égales.
b) Plus l'écart-type est grand, plus la série est homogène.
c) Si deux séries ont des moyennes très différentes, celle qui a le plus grand écart-type est forcément celle dont les valeurs sont les plus dispersées relativement à leur moyenne.
d) L'écart-type est toujours supérieur ou égal à la variance.
a) Si la variance d'une série est nulle, alors toutes les valeurs sont égales.
b) Plus l'écart-type est grand, plus la série est homogène.
c) Si deux séries ont des moyennes très différentes, celle qui a le plus grand écart-type est forcément celle dont les valeurs sont les plus dispersées relativement à leur moyenne.
d) L'écart-type est toujours supérieur ou égal à la variance.
Corrigé
a) Vrai. Car $V = 0$ implique que chaque $(x_i - \bar{x})^2 = 0$, donc tous les $x_i = \bar{x}$.
b) Faux. Un grand écart-type indique une série dispersée (hétérogène), non homogène.
c) Faux. L'écart-type mesure une dispersion absolue, dans l'unité des données. Une série de moyenne $4$ et d'écart-type $2$ est bien plus irrégulière, en proportion, qu'une série de moyenne $100$ et d'écart-type $5$, alors que $2 < 5$ : ici $\frac{2}{4} = 0{,}5$ contre $\frac{5}{100} = 0{,}05$. Pour comparer des dispersions relatives, on rapporte l'écart-type à la moyenne.
d) Faux. Puisque $\sigma = \sqrt{V}$, on a $\sigma \geq V$ quand $V \leq 1$ et $\sigma \leq V$ quand $V \geq 1$ : aucune inégalité n'est universellement vraie. Contre-exemple : si $V = 4$, alors $\sigma = 2 < V$.
6. Ajout d'une valeur. Les salaires mensuels, en euros, des $5$ salariés d'une petite entreprise : $1500$ ; $1600$ ; $1700$ ; $1800$ ; $2400$.
a) Calculer la moyenne et la médiane.
b) Le dirigeant, qui se verse $9000$ €, s'ajoute à la liste. Recalculer la moyenne et la médiane.
c) Quel indicateur a le plus bougé ? Lequel décrit le mieux le salaire d'un salarié ordinaire ? Justifier.
d) L'écart-type valait environ $316$ € avant l'ajout, et vaut environ $2699$ € après. Que confirme ce calcul ?
a) Calculer la moyenne et la médiane.
b) Le dirigeant, qui se verse $9000$ €, s'ajoute à la liste. Recalculer la moyenne et la médiane.
c) Quel indicateur a le plus bougé ? Lequel décrit le mieux le salaire d'un salarié ordinaire ? Justifier.
d) L'écart-type valait environ $316$ € avant l'ajout, et vaut environ $2699$ € après. Que confirme ce calcul ?
Corrigé
a) $\bar{x} = \frac{1500+1600+1700+1800+2400}{5} = \frac{9000}{5} = 1800$ €. La série est triée et $n = 5$ est impair : la médiane est la 3e valeur, soit $1700$ €.
b) La somme des salaires passe de $9000$ à $9000 + 9000 = 18000$ €, donc $\bar{x} = \frac{18000}{6} = 3000$ €. Maintenant $n = 6$ est pair : médiane $= \frac{1700+1800}{2} = 1750$ €.
c) La moyenne bondit de $1800$ à $3000$ € ($+1200$) tandis que la médiane passe de $1700$ à $1750$ € ($+50$). La médiane décrit mieux le salaire ordinaire : elle résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne s'y laisse entraîner.
d) Que l'écart-type, construit à partir de la moyenne, est lui aussi très sensible à une valeur extrême : une seule donnée l'a multiplié par plus de $8$.
b) La somme des salaires passe de $9000$ à $9000 + 9000 = 18000$ €, donc $\bar{x} = \frac{18000}{6} = 3000$ €. Maintenant $n = 6$ est pair : médiane $= \frac{1700+1800}{2} = 1750$ €.
c) La moyenne bondit de $1800$ à $3000$ € ($+1200$) tandis que la médiane passe de $1700$ à $1750$ € ($+50$). La médiane décrit mieux le salaire ordinaire : elle résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne s'y laisse entraîner.
d) Que l'écart-type, construit à partir de la moyenne, est lui aussi très sensible à une valeur extrême : une seule donnée l'a multiplié par plus de $8$.
7. Le prix d'un article est de $120$ €. Il augmente de $15\,\%$ en janvier, puis baisse de $15\,\%$ en février.
a) Calculer le prix après chaque évolution.
b) Le prix est-il revenu à $120$ € ? Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le taux d'évolution global.
c) Quel taux d'évolution, appliqué en mars, ramènerait le prix à $120$ € (arrondi au centième de pour cent) ?
d) Dans ce magasin, $30\,\%$ des clients sont étudiants et, parmi ces étudiants, $40\,\%$ achètent en promotion. Quelle proportion de l'ensemble des clients cela représente-t-il ?
a) Calculer le prix après chaque évolution.
b) Le prix est-il revenu à $120$ € ? Calculer le coefficient multiplicateur global, puis le taux d'évolution global.
c) Quel taux d'évolution, appliqué en mars, ramènerait le prix à $120$ € (arrondi au centième de pour cent) ?
d) Dans ce magasin, $30\,\%$ des clients sont étudiants et, parmi ces étudiants, $40\,\%$ achètent en promotion. Quelle proportion de l'ensemble des clients cela représente-t-il ?
Corrigé
a) $120 \times 1{,}15 = 138$ €, puis $138 \times 0{,}85 = 117{,}30$ €.
b) Non. $\text{CM} = 1{,}15 \times 0{,}85 = 0{,}9775$, soit un taux global de $-2{,}25\,\%$. Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne se compensent jamais.
c) Évolution réciproque : $\text{CM} = \frac{120}{117{,}30} = \frac{1}{0{,}9775} \approx 1{,}0230$, soit environ $+2{,}30\,\%$.
d) Proportion de proportion : $0{,}30 \times 0{,}40 = 0{,}12$, soit $12\,\%$ des clients.
b) Non. $\text{CM} = 1{,}15 \times 0{,}85 = 0{,}9775$, soit un taux global de $-2{,}25\,\%$. Une hausse puis une baisse du même pourcentage ne se compensent jamais.
c) Évolution réciproque : $\text{CM} = \frac{120}{117{,}30} = \frac{1}{0{,}9775} \approx 1{,}0230$, soit environ $+2{,}30\,\%$.
d) Proportion de proportion : $0{,}30 \times 0{,}40 = 0{,}12$, soit $12\,\%$ des clients.
Envie de briller et de prendre une longueur d'avance ? On va explorer une formule de calcul rapide de la variance (utile en algorithmique) et réfléchir à l'interprétation de l'écart-type dans des contextes variés. Prêt à devenir un pro ?
À toi de jouer
1. On rappelle la formule de calcul rapide : $V = \overline{x^2} - \bar{x}^2$, où $\overline{x^2}$ est la moyenne des carrés des valeurs.
Soit la série $2\; ;\; 4\; ;\; 6\; ;\; 8\; ;\; 10$.
a) Calculer $\bar{x}$ et $\overline{x^2}$.
b) En déduire $V$ avec la formule rapide.
c) Vérifier en calculant $V$ avec la formule habituelle.
Soit la série $2\; ;\; 4\; ;\; 6\; ;\; 8\; ;\; 10$.
a) Calculer $\bar{x}$ et $\overline{x^2}$.
b) En déduire $V$ avec la formule rapide.
c) Vérifier en calculant $V$ avec la formule habituelle.
Corrigé
a) $\bar{x}=6$ ; $\overline{x^2}=\frac{2^2+4^2+6^2+8^2+10^2}{5}=\frac{4+16+36+64+100}{5}=\frac{220}{5}=44$.
b) $V = 44 - 6^2 = 44 - 36 = 8$.
c) Avec la formule usuelle : écarts $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$ ; somme $=40$, $V=40/5=8$. C'est cohérent.
b) $V = 44 - 6^2 = 44 - 36 = 8$.
c) Avec la formule usuelle : écarts $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$ ; somme $=40$, $V=40/5=8$. C'est cohérent.
2. Proposer un algorithme en langage naturel (ou pseudo-code) qui, à partir d'une liste de $n$ nombres, calcule la moyenne, la variance et l'écart-type. On pourra utiliser une boucle pour parcourir les valeurs.
Corrigé
Exemple d'algorithme :
Données : $n$ entiers, liste $L$
Initialiser $somme \gets 0$
Pour $x$ dans $L$ : $somme \gets somme + x$
$moy \gets somme/n$
Initialiser $somme\_carres \gets 0$
Pour $x$ dans $L$ : $somme\_carres \gets somme\_carres + (x-moy)^2$
$V \gets somme\_carres / n$
$\sigma \gets \sqrt{V}$
Afficher $moy$, $V$, $\sigma$.
Données : $n$ entiers, liste $L$
Initialiser $somme \gets 0$
Pour $x$ dans $L$ : $somme \gets somme + x$
$moy \gets somme/n$
Initialiser $somme\_carres \gets 0$
Pour $x$ dans $L$ : $somme\_carres \gets somme\_carres + (x-moy)^2$
$V \gets somme\_carres / n$
$\sigma \gets \sqrt{V}$
Afficher $moy$, $V$, $\sigma$.
3. Un professeur compare les notes (sur 20) et les tailles (en cm) de deux classes :
Classe A : notes : $\sigma = 2$ points ; tailles : $\sigma = 8$ cm.
Classe B : notes : $\sigma = 3$ points ; tailles : $\sigma = 7$ cm.
Il affirme : « La classe B est plus dispersée en notes mais plus homogène en tailles. » Es-tu d'accord ? Quelles précautions doit-on prendre lorsqu'on compare des séries de nature différente ?
Classe A : notes : $\sigma = 2$ points ; tailles : $\sigma = 8$ cm.
Classe B : notes : $\sigma = 3$ points ; tailles : $\sigma = 7$ cm.
Il affirme : « La classe B est plus dispersée en notes mais plus homogène en tailles. » Es-tu d'accord ? Quelles précautions doit-on prendre lorsqu'on compare des séries de nature différente ?
Corrigé
D'après les écarts-types, oui : pour les notes, $3>2$ donc B plus dispersée ; pour les tailles, $7<8$ donc B plus homogène.
Cependant, comparer directement des écarts-types de grandeurs différentes peut être trompeur. L'écart-type dépend de l'échelle et de la moyenne. Pour une comparaison pertinente, on utilise parfois le coefficient de variation (écart-type divisé par la moyenne), qui exprime la dispersion relative. Ici, il faudrait connaître les moyennes des notes et des tailles pour juger.
Cependant, comparer directement des écarts-types de grandeurs différentes peut être trompeur. L'écart-type dépend de l'échelle et de la moyenne. Pour une comparaison pertinente, on utilise parfois le coefficient de variation (écart-type divisé par la moyenne), qui exprime la dispersion relative. Ici, il faudrait connaître les moyennes des notes et des tailles pour juger.
4. Linéarité de la moyenne. Températures relevées cinq jours de suite, en °C : $10$ ; $12$ ; $14$ ; $16$ ; $18$.
a) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
b) On ajoute $3$ °C à chaque relevé. Que deviennent la moyenne et l'écart-type ? Justifier sans tout recalculer.
c) On convertit en degrés Fahrenheit par $F = 1{,}8\,C + 32$. Calculer la moyenne et l'écart-type de la série en °F.
d) Énoncer la règle générale pour la série des $a x_i + b$.
a) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
b) On ajoute $3$ °C à chaque relevé. Que deviennent la moyenne et l'écart-type ? Justifier sans tout recalculer.
c) On convertit en degrés Fahrenheit par $F = 1{,}8\,C + 32$. Calculer la moyenne et l'écart-type de la série en °F.
d) Énoncer la règle générale pour la série des $a x_i + b$.
Corrigé
a) $\bar{x} = \frac{70}{5} = 14$ °C ; écarts $-4, -2, 0, 2, 4$ ; carrés $16, 4, 0, 4, 16$ ; $V = \frac{40}{5} = 8$ et $\sigma = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ °C.
b) Moyenne $17$ °C, écart-type inchangé ($\approx 2{,}83$ °C) : ajouter la même quantité à toutes les valeurs déplace la série en bloc, les écarts à la moyenne sont identiques.
c) Moyenne : $1{,}8 \times 14 + 32 = 57{,}2$ °F. Variance : $1{,}8^2 \times 8 = 3{,}24 \times 8 = 25{,}92$, donc $\sigma = 1{,}8 \times 2\sqrt{2} = 3{,}6\sqrt{2} \approx 5{,}09$ °F.
d) Pour la série des $a x_i + b$ : moyenne $= a\bar{x} + b$, variance $= a^2 V$, écart-type $= |a|\sigma$. Le $+b$ ne change pas la dispersion ; le $\times a$ multiplie l'écart-type par $|a|$.
b) Moyenne $17$ °C, écart-type inchangé ($\approx 2{,}83$ °C) : ajouter la même quantité à toutes les valeurs déplace la série en bloc, les écarts à la moyenne sont identiques.
c) Moyenne : $1{,}8 \times 14 + 32 = 57{,}2$ °F. Variance : $1{,}8^2 \times 8 = 3{,}24 \times 8 = 25{,}92$, donc $\sigma = 1{,}8 \times 2\sqrt{2} = 3{,}6\sqrt{2} \approx 5{,}09$ °F.
d) Pour la série des $a x_i + b$ : moyenne $= a\bar{x} + b$, variance $= a^2 V$, écart-type $= |a|\sigma$. Le $+b$ ne change pas la dispersion ; le $\times a$ multiplie l'écart-type par $|a|$.
5. Deux groupes passent le même test. Groupe A : $12$ élèves, moyenne $13$. Groupe B : $18$ élèves, moyenne $8$.
a) Un élève affirme que la moyenne de l'ensemble vaut $\frac{13+8}{2} = 10{,}5$. Qu'en penses-tu ?
b) Calculer la moyenne des $30$ élèves réunis.
c) Pourrait-on obtenir de la même façon l'écart-type de l'ensemble à partir des deux écarts-types ?
a) Un élève affirme que la moyenne de l'ensemble vaut $\frac{13+8}{2} = 10{,}5$. Qu'en penses-tu ?
b) Calculer la moyenne des $30$ élèves réunis.
c) Pourrait-on obtenir de la même façon l'écart-type de l'ensemble à partir des deux écarts-types ?
Corrigé
a) Faux : cela reviendrait à donner le même poids aux deux groupes, alors que B compte $18$ élèves contre $12$.
b) $\bar{x} = \frac{12\times13 + 18\times8}{30} = \frac{156+144}{30} = \frac{300}{30} = 10$. C'est une moyenne pondérée par les effectifs.
c) Non. La dispersion de la réunion dépend aussi de l'écart entre les deux moyennes : deux groupes très homogènes mais de moyennes éloignées forment ensemble une série dispersée. Il faut repartir des données.
b) $\bar{x} = \frac{12\times13 + 18\times8}{30} = \frac{156+144}{30} = \frac{300}{30} = 10$. C'est une moyenne pondérée par les effectifs.
c) Non. La dispersion de la réunion dépend aussi de l'écart entre les deux moyennes : deux groupes très homogènes mais de moyennes éloignées forment ensemble une série dispersée. Il faut repartir des données.