Mathématiques · 2nde

Statistiques descriptives : variance, écart-type

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Tu n'as jamais vu la variance et l'écart-type ? Pas de panique ! On va repartir de ce que tu connais déjà (moyenne, quartiles, diagramme en boîte) pour comprendre en un éclair l'essentiel. Après cette fiche, tu sauras calculer et interpréter ces nouveaux indicateurs. Accroche-toi !

Prérequis : moyenne et quartiles

La moyenne $\bar{x}$ d'une série de valeurs $x_1, \dots, x_n$ est $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.
Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ partagent la série triée en quatre parts : au moins 25% des valeurs sont $\le Q_1$, et au moins 75% $\le Q_3$.
Le diagramme en boîte résume la série avec le min, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le max. Voici un exemple :

Pourquoi la variance ?

Imagine deux classes qui ont toutes les deux 10/20 de moyenne à un contrôle. Dans la première, les notes sont 9, 10, 10, 11 ; dans la seconde : 1, 5, 15, 19. La moyenne ne suffit pas pour voir que la seconde est beaucoup plus dispersée. La variance $V$ et l'écart-type $\sigma$ mesurent cet éparpillement autour de $\bar{x}$. Plus $V$ ou $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne ; plus c'est petit, plus elles sont regroupées.

Formules express

Pour une série de $n$ valeurs $x_1,\dots,x_n$ :
Variance : $V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
Écart-type : $\sigma = \sqrt{V} \ge 0$
Si les données sont regroupées en un tableau d'effectifs (chaque valeur $x_i$ apparaît $n_i$ fois), on remplace $n$ par l'effectif total $N = \sum n_i$, et la variance devient $V = \frac{1}{N}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2$.

À toi de jouer

1. Série simple : $2\; ; \;4\; ; \;4\; ; \;5\; ; \;5$
1. Calcule la moyenne $\bar{x}$ : $\bar{x}= \frac{2+4+4+5+5}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Remplis le tableau suivant :
| Valeur $x_i$ | Écart $x_i - \bar{x}$ | Carré de l'écart $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. La somme des carrés des écarts est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$.
4. La variance $V$ vaut $V = \frac{\text{somme}}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}$
5. L'écart-type $\sigma = \sqrt{V} = \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au centième).

Corrigé

1. $4$
2. Tableau : $2 \to 2-4 = -2$, $(-2)^2=4$ ; $4 \to 0$, $0$ ; $4 \to 0$, $0$ ; $5 \to 1$, $1$ ; $5 \to 1$, $1$.
3. Somme $= 4+0+0+1+1 = 6$
4. $V = 6/5 = 1{,}2$
5. $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$ (car $\sqrt{1,2} \approx 1,095$, arrondi $1,10$).

2. Série avec une valeur répétée : $3\; ; \;3\; ; \;3\; ; \;3$
1. Quelle est la moyenne ? $\bar{x}= \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Pour chaque valeur, l'écart à la moyenne est $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc le carré est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3. La variance $V$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (fais le calcul).
4. L'écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$.
5. Interprétation : cette série est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (homogène / dispersée).

Corrigé

1. $3$
2. $0$, $0$
3. $0$ (somme de $0$ divisée par $4$ = $0$)
4. $0$
5. homogène

3. Tableau d'effectifs : Dans un petit groupe, on a relevé les pointures : $40$ (2 personnes), $41$ (3 pers.), $42$ (1 pers.).
Complète :
Moyenne $\bar{x} = \frac{2\times 40 + 3\times 41 + 1\times 42}{2+3+1} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis arrondi au centième).
Calcule la variance :
| Valeur $x_i$ | Effectif $n_i$ | Écart $x_i - \bar{x}$ (arrondi au centième) | $(x_i - \bar{x})^2$ (arrondi au centième) | $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ |
| $40$ | $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $41$ | $3$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $42$ | $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme de la dernière colonne = $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $V = \frac{\text{somme}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\sigma = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième).

Corrigé

Moyenne exacte $= \frac{245}{6} \approx 40{,}83$.
Tableau : $40$ : écart $40 - \frac{245}{6} = -\frac{5}{6} \approx -0{,}83$, carré $\frac{25}{36} \approx 0{,}69$, $2 \times \frac{25}{36} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \approx 1{,}39$ ; $41$ : écart $\frac{1}{6} \approx 0{,}17$, carré $\frac{1}{36} \approx 0{,}03$, $3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12} \approx 0{,}08$ ; $42$ : écart $\frac{7}{6} \approx 1{,}17$, carré $\frac{49}{36} \approx 1{,}36$, $1 \times \frac{49}{36} = \frac{49}{36} \approx 1{,}36$.
Somme $= \frac{25}{18} + \frac{1}{12} + \frac{49}{36} = \frac{50+3+49}{36} = \frac{102}{36} = \frac{17}{6} \approx 2{,}83$.
$V = \frac{17}{36} \approx 0{,}47$ ; $\sigma = \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0{,}69$.

Ah, la variance et l'écart-type, ça commence à te revenir ? Parfait ! On va maintenant décortiquer la méthode étape par étape pour ne plus jamais cafouiller. En bonus, un petit rappel des erreurs classiques à éviter. Prêt à appliquer ?

Méthode en 5 étapes (avec ou sans effectifs)

Étape 1 : Calculer la moyenne $\bar{x}$.
Étape 2 : Pour chaque valeur $x_i$, calculer l'écart $x_i - \bar{x}$, puis son carré $(x_i-\bar{x})^2$.
Étape 3 (si tableau) : Multiplier chaque carré par l'effectif $n_i$ correspondant.
Étape 4 : Sommer tous les termes (ou la colonne des $n_i (x_i-\bar{x})^2$) et diviser par l'effectif total $n$ : on obtient la variance $V$.
Étape 5 : Prendre la racine carrée de $V$ pour obtenir l'écart-type $\sigma = \sqrt{V}$.
Erreurs fréquentes :
- Oublier le carré dans la variance → la somme des simples écarts vaut toujours $0$.
- Diviser par $n-1$ au lieu de $n$ (en 2de on divise par $n$).
- Confondre $V$ et $\sigma$ : si la donnée est en euros, $\sigma$ est en euros, $V$ en euros² (les unités sont différentes).
- Comparer des écarts-types sans vérifier que les moyennes sont comparables.

À toi de jouer

1. Série simple : $1, 5, 9, 13$
1. Moyenne : $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Complète le tableau de calcul de la variance :
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $13$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme des carrés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte en fraction, puis décimale au centième)
5. Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis approchée au centième).

Corrigé

1. $\bar{x} = \frac{1+5+9+13}{4}= \frac{28}{4}=7$.
2. $1-7=-6$ ; carré $36$ ; $5-7=-2$ ; $4$ ; $9-7=2$ ; $4$ ; $13-7=6$ ; $36$.
3. Somme $=36+4+4+36=80$.
4. $V = \frac{80}{4}=20$.
5. $\sigma = \sqrt{20}=2\sqrt{5} \approx 4{,}47$.

2. Tableau d'effectifs : Dans une classe, on relève le nombre de frères et sœurs. $0$ (8 élèves), $1$ (12), $2$ (5), $3$ (2).
Vérifie que l'effectif total est $N = \underline{\hspace{1.1em}}$
1. Moyenne $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au centième)
2. Complète :
| $x_i$ | $n_i$ | $x_i-\bar{x}$ (arrondi au centième) | $(x_i-\bar{x})^2$ (arrondi au centième) | $n_i\times (x_i-\bar{x})^2$ |
| $0$ | $8$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $1$ | $12$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $2$ | $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $3$ | $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme de la dernière colonne : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \frac{\text{somme}}{N} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième)
5. Écart-type $\sigma = \sqrt{V} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au centième).

Corrigé

$N=8+12+5+2=27$.
1. $\bar{x} = \frac{0\times8 + 1\times12 + 2\times5 + 3\times2}{27} = \frac{28}{27} \approx 1{,}04$.
2. Écarts : $0-1{,}04=-1{,}04$ ; $1-1{,}04=-0{,}04$ ; $2-1{,}04=0{,}96$ ; $3-1{,}04=1{,}96$.
Carrés : $1{,}0816$ ; $0{,}0016$ ; $0{,}9216$ ; $3{,}8416$.
Produits : $8\times1{,}0816=8{,}6528$ ; $12\times0{,}0016=0{,}0192$ ; $5\times0{,}9216=4{,}608$ ; $2\times3{,}8416=7{,}6832$.
3. Somme $=20{,}9632$.
4. $V = \frac{20{,}9632}{27} \approx 0{,}78$ (valeur exacte $\frac{20{,}9632}{27}=0{,}7764$ arrondi $0{,}78$).
5. $\sigma \approx \sqrt{0{,}7764} \approx 0{,}88$.

3. Série simple : $10, 12, 14, 16, 18$
1. Moyenne : $\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Complète le tableau :
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $12$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $14$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $16$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $18$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
3. Somme des carrés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$
5. Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur exacte puis approchée au centième).

Corrigé

1. $\bar{x}=14$ (somme $70/5$).
2. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$.
3. Somme $=40$.
4. $V=40/5=8$.
5. $\sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.

C'est l'heure de l'entraînement intensif : 5 exercices quasi identiques pour que le calcul de variance et d'écart-type devienne une mécanique bien huilée. Tu vas enchaîner les séries, remplir les cases, et bientôt tu le feras les yeux fermés. Allez, on y va !

À toi de jouer

1. Série : $5, 7, 9, 11$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $7$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $11$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme des carrés $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Variance $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Écart-type $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).

Corrigé

$\bar{x}=8$. Écarts : $-3,-1,1,3$ ; carrés $9,1,1,9$. Somme $=20$, $V=20/4=5$, $\sigma=\sqrt{5}\approx2{,}24$.

2. Série : $10, 20, 30, 40$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $20$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $30$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $40$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).

Corrigé

$\bar{x}=25$. Écarts : $-15,-5,5,15$ ; carrés $225,25,25,225$. Somme $=500$, $V=500/4=125$, $\sigma=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx11{,}18$.

3. Série : $1, 3, 5, 7, 9$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $3$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $5$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $7$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $9$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).

Corrigé

$\bar{x}=5$. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$. Somme $=40$, $V=40/5=8$, $\sigma=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.

4. Série : $2, 4, 6, 8, 10$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $4$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $6$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $8$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $10$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).

Corrigé

$\bar{x}=6$. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$. Somme $=40$, $V=8$, $\sigma=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.

5. Série : $20, 22, 24, 26, 28$.
$\bar{x} = \underline{\hspace{1.1em}}$
| $x_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ |
| $20$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $22$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $24$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $26$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $28$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
Somme $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $V = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\sigma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (val. exacte $\underline{\hspace{1.1em}}$, approx. $\underline{\hspace{1.1em}}$).

Corrigé

$\bar{x}=24$. Écarts : $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$. Somme $=40$, $V=8$, $\sigma=2\sqrt{2}\approx2{,}83$.

Ça y est, tu maîtrises le calcul. Passons aux exercices type contrôle : comparaison de séries, problème concret de régularité, et interprétation. Sois attentif, rédige proprement et n'oublie pas les unités.

À toi de jouer

1. On considère la série : $2\; ;\; 7\; ;\; 12\; ;\; 17\; ;\; 22$.
a) Calculer la moyenne $\bar{x}$.
b) Calculer la variance $V$ (valeur exacte).
c) En déduire l'écart-type $\sigma$ (valeur exacte, puis approchée au centième).

Corrigé

a) $\bar{x}=\frac{2+7+12+17+22}{5}=\frac{60}{5}=12$.
b) Écarts : $-10, -5, 0, 5, 10$ ; carrés $100, 25, 0, 25, 100$. Somme $=250$. $V=\frac{250}{5}=50$.
c) $\sigma = \sqrt{50}=5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.

2. Un test noté sur $10$ donne les résultats suivants dans une classe :
Note : $2, 4, 6, 8, 10$
Effectif : $1, 3, 5, 4, 2$
a) Vérifier que l'effectif total est $15$.
b) Calculer la moyenne $\bar{x}$.
c) Calculer la variance $V$ (valeur exacte fractionnaire, puis approchée au centième).
d) Donner l'écart-type $\sigma$ (approché au centième).

Corrigé

a) $1+3+5+4+2=15$.
b) $\bar{x}=\frac{1\times2+3\times4+5\times6+4\times8+2\times10}{15}=\frac{2+12+30+32+20}{15}=\frac{96}{15}=6{,}4$.
c) Écarts : $-4{,}4, -2{,}4, -0{,}4, 1{,}6, 3{,}6$ ; carrés $19{,}36 ; 5{,}76 ; 0{,}16 ; 2{,}56 ; 12{,}96$.
$n_i(x_i-\bar{x})^2$ : $1\times19{,}36=19{,}36$ ; $3\times5{,}76=17{,}28$ ; $5\times0{,}16=0{,}80$ ; $4\times2{,}56=10{,}24$ ; $2\times12{,}96=25{,}92$.
Somme $=19{,}36+17{,}28+0{,}80+10{,}24+25{,}92=73{,}6$.
$V=\frac{73{,}6}{15}=\frac{736}{150}=\frac{368}{75} \approx 4{,}91$ (arrondi au centième $4{,}91$).
d) $\sigma=\sqrt{\frac{368}{75}} \approx \sqrt{4{,}9067} \approx 2{,}22$.

3. Deux groupes A et B ont passé le même test noté sur $10$.
Groupe A : $3\; ;\; 4\; ;\; 4\; ;\; 4\; ;\; 5$
Groupe B : $1\; ;\; 2\; ;\; 4\; ;\; 6\; ;\; 7$
a) Calculer la moyenne de chaque groupe. Que remarques-tu ?
b) Calculer la variance et l'écart-type de chaque groupe (valeurs exactes ou approchées au centième).
c) Quel groupe est le plus homogène ? Justifier.

Corrigé

a) $\bar{x}_A=\frac{3+4+4+4+5}{5}=\frac{20}{5}=4$ ; $\bar{x}_B=\frac{1+2+4+6+7}{5}=\frac{20}{5}=4$. Les deux groupes ont la même moyenne.
b) Groupe A : écarts $-1,0,0,0,1$ ; carrés $1,0,0,0,1$ ; somme $=2$, $V_A=\frac{2}{5}=0{,}4$, $\sigma_A=\sqrt{0{,}4}\approx0{,}63$.
Groupe B : écarts $-3,-2,0,2,3$ ; carrés $9,4,0,4,9$ ; somme $=26$, $V_B=\frac{26}{5}=5{,}2$, $\sigma_B=\sqrt{5{,}2}\approx2{,}28$.
c) Groupe A plus homogène car $\sigma_A<\sigma_B$ (ou $V_A

4. Deux joueurs de fléchettes enregistrent leurs scores sur 5 parties :
Joueur A : $9\; ;\; 12\; ;\; 15\; ;\; 18\; ;\; 21$
Joueur B : $13\; ;\; 14\; ;\; 15\; ;\; 16\; ;\; 17$
a) Calculer la moyenne de chaque joueur.
b) Calculer la variance et l'écart-type de chaque joueur (valeurs exactes).
c) Les deux joueurs ont la même moyenne. Lequel choisirais-tu pour une compétition qui récompense la régularité ? Justifie avec les valeurs obtenues.

Corrigé

a) $\bar{x}_A=\frac{9+12+15+18+21}{5}=\frac{75}{5}=15$ ; $\bar{x}_B=\frac{13+14+15+16+17}{5}=\frac{75}{5}=15$.
b) Joueur A : écarts $-6,-3,0,3,6$ ; carrés $36,9,0,9,36$ ; somme $=90$, $V_A=\frac{90}{5}=18$, $\sigma_A=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4{,}24$.
Joueur B : écarts $-2,-1,0,1,2$ ; carrés $4,1,0,1,4$ ; somme $=10$, $V_B=\frac{10}{5}=2$, $\sigma_B=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
c) Le joueur B est plus régulier car son écart-type est plus faible ($1{,}41<4{,}24$).

5. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase.
a) Si la variance d'une série est nulle, alors toutes les valeurs sont égales.
b) Plus l'écart-type est grand, plus la série est homogène.
c) Si deux classes ont des moyennes très différentes, on peut comparer leur dispersion uniquement avec les écarts-types.
d) L'écart-type est toujours supérieur ou égal à la variance.

Corrigé

a) Vrai. Car $V = 0$ implique que chaque $(x_i - \bar{x})^2 = 0$, donc tous les $x_i = \bar{x}$.

b) Faux. Un grand écart-type indique une série dispersée (hétérogène), non homogène.

c) Faux. Les échelles peuvent être différentes ; il faut tenir compte des moyennes, par exemple via le coefficient de variation $CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}}$.

d) Faux. Puisque $\sigma = \sqrt{V}$, on a $\sigma \geq V$ quand $V \leq 1$ et $\sigma \leq V$ quand $V \geq 1$ : aucune inégalité n'est universellement vraie. Contre-exemple : si $V = 4$, alors $\sigma = 2 < V$.

Envie de briller et de prendre une longueur d'avance ? On va explorer une formule de calcul rapide de la variance (utile en algorithmique) et réfléchir à l'interprétation de l'écart-type dans des contextes variés. Prêt à devenir un pro ?

À toi de jouer

1. On rappelle la formule de calcul rapide : $V = \overline{x^2} - \bar{x}^2$, où $\overline{x^2}$ est la moyenne des carrés des valeurs.
Soit la série $2\; ;\; 4\; ;\; 6\; ;\; 8\; ;\; 10$.
a) Calculer $\bar{x}$ et $\overline{x^2}$.
b) En déduire $V$ avec la formule rapide.
c) Vérifier en calculant $V$ avec la formule habituelle.

Corrigé

a) $\bar{x}=6$ ; $\overline{x^2}=\frac{2^2+4^2+6^2+8^2+10^2}{5}=\frac{4+16+36+64+100}{5}=\frac{220}{5}=44$.
b) $V = 44 - 6^2 = 44 - 36 = 8$.
c) Avec la formule usuelle : écarts $-4,-2,0,2,4$ ; carrés $16,4,0,4,16$ ; somme $=40$, $V=40/5=8$. C'est cohérent.

2. Proposer un algorithme en langage naturel (ou pseudo-code) qui, à partir d'une liste de $n$ nombres, calcule la moyenne, la variance et l'écart-type. On pourra utiliser une boucle pour parcourir les valeurs.

Corrigé

Exemple d'algorithme :
Données : $n$ entiers, liste $L$
Initialiser $somme \gets 0$
Pour $x$ dans $L$ : $somme \gets somme + x$
$moy \gets somme/n$
Initialiser $somme\_carres \gets 0$
Pour $x$ dans $L$ : $somme\_carres \gets somme\_carres + (x-moy)^2$
$V \gets somme\_carres / n$
$\sigma \gets \sqrt{V}$
Afficher $moy$, $V$, $\sigma$.

3. Un professeur compare les notes (sur 20) et les tailles (en cm) de deux classes :
Classe A : notes : $\sigma = 2$ points ; tailles : $\sigma = 8$ cm.
Classe B : notes : $\sigma = 3$ points ; tailles : $\sigma = 7$ cm.
Il affirme : « La classe B est plus dispersée en notes mais plus homogène en tailles. » Es-tu d'accord ? Quelles précautions doit-on prendre lorsqu'on compare des séries de nature différente ?

Corrigé

D'après les écarts-types, oui : pour les notes, $3>2$ donc B plus dispersée ; pour les tailles, $7<8$ donc B plus homogène.
Cependant, comparer directement des écarts-types de grandeurs différentes peut être trompeur. L'écart-type dépend de l'échelle et de la moyenne. Pour une comparaison pertinente, on utilise parfois le coefficient de variation (écart-type divisé par la moyenne), qui exprime la dispersion relative. Ici, il faudrait connaître les moyennes des notes et des tailles pour juger.