V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques2ndeStatistiques et probabilitesExercices + corrigé

Variance et écart-type — Exercices

Application directe, tableau d'effectifs, comparaison de séries et problème concret. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée
1Calcul direct/ 4 pts
On considère la série statistique : $1 \;; 2 \;; 3 \;; 4 \;; 5$.
  1. Calculer la moyenne $\bar{x}$.
  2. Calculer la variance $V$.
  3. En déduire l'écart-type $\sigma$ (valeur exacte, puis valeur approchée au centième).
2Tableau d'effectifs/ 4 pts

Une classe de 10 élèves a obtenu les notes suivantes à un contrôle noté sur 8 :

  • Valeur $x_i$ : 1 — 3 — 5 — 7
  • Effectif $n_i$ : 2 — 4 — 3 — 1
  1. Vérifier que la somme des effectifs vaut bien $10$.
  2. Calculer la moyenne $\bar{x}$.
  3. Calculer la variance $V$ puis l'écart-type $\sigma$ (valeur exacte).
3Comparer deux séries/ 5 pts

Deux groupes ont passé le même test noté sur 10 :

  • Groupe A : $4 \;; 5 \;; 5 \;; 5 \;; 6$
  • Groupe B : $1 \;; 3 \;; 5 \;; 7 \;; 9$
  1. Calculer la moyenne de chaque groupe. Que remarque-t-on ?
  2. Calculer la variance $V$ et l'écart-type $\sigma$ de chaque groupe.
  3. Quel groupe est le plus homogène ? Justifier avec les valeurs calculées.
4Problème — Régularité d'un joueur/ 7 pts

Deux joueurs de fléchettes enregistrent leurs scores sur 5 parties :

  • Joueur A : $8 \;; 10 \;; 12 \;; 14 \;; 16$
  • Joueur B : $10 \;; 11 \;; 12 \;; 13 \;; 14$
  1. Calculer la moyenne de chaque joueur.
  2. Calculer la variance et l'écart-type de chaque joueur (valeurs exactes).
  3. Les deux joueurs ont la même moyenne. Lequel choisiriez-vous pour une compétition qui récompense la régularité ? Justifier avec les valeurs obtenues.
Corrigé détaillé
1Calcul direct
a) \(\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = \dfrac{15}{5} =\) \(3\)
b) \(V = \dfrac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5} = \dfrac{4+1+0+1+4}{5} = \dfrac{10}{5} =\) \(2\)
c) \(\sigma = \sqrt{2}\) \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\)
2Tableau d'effectifs
a) \(2 + 4 + 3 + 1 =\) \(10\)
b) \(\bar{x} = \dfrac{2\times 1 + 4\times 3 + 3\times 5 + 1\times 7}{10} = \dfrac{2+12+15+7}{10} = \dfrac{36}{10} =\) \(3{,}6\)
c) \(V = \dfrac{2\times(1-3{,}6)^2 + 4\times(3-3{,}6)^2 + 3\times(5-3{,}6)^2 + 1\times(7-3{,}6)^2}{10} = \dfrac{2\times 6{,}76 + 4\times 0{,}36 + 3\times 1{,}96 + 11{,}56}{10} = \dfrac{13{,}52 + 1{,}44 + 5{,}88 + 11{,}56}{10} = \dfrac{32{,}4}{10} = 3{,}24 \;\; ; \quad \sigma = \sqrt{3{,}24} =\) \(1{,}8\)
3Comparer deux séries
a) \(\bar{x}_A = \dfrac{4+5+5+5+6}{5} = \dfrac{25}{5} = 5 \qquad ; \qquad \bar{x}_B = \dfrac{1+3+5+7+9}{5} = \dfrac{25}{5} = 5\) \(\text{Les deux groupes ont la même moyenne : } 5.\)
b) — Groupe A \(V_A = \dfrac{(4-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2}{5} = \dfrac{1+0+0+0+1}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \;\; ; \quad \sigma_A = \sqrt{0{,}4} \approx\) \(0{,}63\)
b) — Groupe B \(V_B = \dfrac{(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{5} = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = \dfrac{40}{5} = 8 \;\; ; \quad \sigma_B = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx\) \(2{,}83\)
c) \(\sigma_A \approx 0{,}63 \lt \sigma_B \approx 2{,}83\) \(\text{Groupe A est plus homogène (écart-type plus faible).}\)
4Régularité d'un joueur
a) \(\bar{x}_A = \dfrac{8+10+12+14+16}{5} = \dfrac{60}{5} = 12 \qquad ; \qquad \bar{x}_B = \dfrac{10+11+12+13+14}{5} = \dfrac{60}{5} =\) \(12\)
b) — Joueur A \(V_A = \dfrac{(8-12)^2+(10-12)^2+(12-12)^2+(14-12)^2+(16-12)^2}{5} = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = \dfrac{40}{5} = 8 \;\; ; \quad \sigma_A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx\) \(2{,}83\)
b) — Joueur B \(V_B = \dfrac{(10-12)^2+(11-12)^2+(12-12)^2+(13-12)^2+(14-12)^2}{5} = \dfrac{4+1+0+1+4}{5} = \dfrac{10}{5} = 2 \;\; ; \quad \sigma_B = \sqrt{2} \approx\) \(1{,}41\)
c) \(\sigma_B \approx 1{,}41 \lt \sigma_A \approx 2{,}83\) \(\text{Joueur B est plus régulier : choisir le joueur B.}\)