Contrôle bientôt et tu ouvres le chapitre pour la toute première fois ? Respire. La variance et l'écart-type, ce ne sont que deux façons de dire si les valeurs d'une série sont serrées ou éparpillées autour de la moyenne. Voici le strict nécessaire pour t'en sortir.
Les prérequis (2 minutes chrono)
Avant de foncer, assure-toi de savoir faire trois gestes très simples :
1. Calculer une moyenne. On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombre. Exemple : la moyenne de $4$ et $6$ vaut $\dfrac{4+6}{2}=5$.
2. Élever au carré. $(-3)^2=9$ : attention, un carré est toujours positif ou nul.
3. Prendre une racine carrée. $\sqrt{9}=3$, et $\sqrt{8}\approx 2{,}83$ à la calculatrice.
Si ces trois gestes sont là, tu as tout ce qu'il faut. Le reste, c'est de l'organisation.
Réactivation express : proportion et évolution
Ces deux-là ne sont pas au programme comme des nouveautés : ce sont des automatismes du collège, à réactiver en deux minutes parce que les énoncés de statistiques en sont pleins.
- Une proportion compare une partie au tout :
$$p=\dfrac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$$ Sur $500$ élèves dont $300$ demi-pensionnaires : $p=\dfrac{300}{500}=0{,}6$, soit $60\,\%$. - Un taux d'évolution compare une valeur à une valeur antérieure : $t=\dfrac{V_2-V_1}{V_1}$. Le coefficient multiplicateur associé vaut $\text{CM}=\dfrac{V_2}{V_1}=1+t$.
- Un même « $40\,\%$ » ne dit pas la même chose selon qu'il exprime une proportion (« $40\,\%$ des élèves sont externes ») ou une évolution (« le prix a augmenté de $40\,\%$ »). Demande-toi toujours lequel des deux avant de calculer.
L'essentiel en une phrase
La moyenne $\bar{x}$ te dit où se situe le centre d'une série. Mais elle ne dit rien sur la façon dont les valeurs sont réparties : deux classes peuvent avoir $10$ de moyenne, l'une avec des notes toutes proches de $10$, l'autre avec des $2$ et des $18$.
La variance $V$ et l'écart-type $\sigma$ (la lettre grecque « sigma ») mesurent justement cet étalement : à quelle distance, en moyenne, les valeurs s'écartent de $\bar{x}$.
L'idée à retenir : $\sigma$ petit = série homogène (valeurs regroupées) ; $\sigma$ grand = série hétérogène (valeurs dispersées).
Les formules et un exemple traité en entier
Trois formules à connaître, dans l'ordre où on les utilise :
On les applique sur la série 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10.
Étape 1 — la moyenne. $\bar{x}=\dfrac{2+4+6+8+10}{5}=\dfrac{30}{5}=6$.
Étape 2 — les carrés des écarts à $6$.
$(2-6)^2=(-4)^2=16$
$(4-6)^2=(-2)^2=4$
$(6-6)^2=0$
$(8-6)^2=2^2=4$
$(10-6)^2=4^2=16$
Étape 3 — la variance est la moyenne de ces carrés : $V=\dfrac{16+4+0+4+16}{5}=\dfrac{40}{5}=8$.
Étape 4 — l'écart-type est la racine de la variance : $\sigma=\sqrt{8}\approx 2{,}83$.
Conclusion : les valeurs s'écartent en moyenne d'environ $2{,}83$ de la moyenne $6$. Voilà, tu sais faire.
Ça y est, ça te revient : la moyenne, tu connais déjà, et ces deux-là — variance et écart-type — sont ses coéquipiers. On reprend tout proprement, définitions nettes et méthode complète, sans laisser de trou.
Définitions propres
On considère une série statistique de $n$ valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$.
La moyenne $\bar{x}$ est le centre de la série : $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i$.
La variance $V$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$. Comme on additionne des carrés, $V$ est toujours positive ou nulle.
L'écart-type $\sigma$ est la racine carrée de la variance : $\sigma=\sqrt{V}\ge 0$.
Pourquoi deux indicateurs pour une seule idée ? Parce que la variance élève les écarts au carré : si les données sont des notes en points, la variance est en « points au carré », tandis que l'écart-type $\sigma$ revient en points. C'est donc $\sigma$ qui s'interprète comme une véritable distance moyenne à $\bar{x}$.
La méthode pas à pas, et les deux cas de figure
Que la série soit donnée « en vrac » ou rangée dans un tableau d'effectifs, la logique reste la même. La marche à suivre :
- Étape 1 : calculer la moyenne $\bar{x}$.
- Étape 2 : pour chaque valeur $x_i$, calculer le carré de l'écart $(x_i-\bar{x})^2$.
- Étape 3 (si tableau) : multiplier chaque carré par son effectif $n_i$.
- Étape 4 : additionner tous ces termes, puis diviser par l'effectif total $n$ : on obtient $V$.
- Étape 5 : prendre $\sigma=\sqrt{V}$ et arrondir si l'énoncé le demande.
Cas 1 — série brute (toutes les valeurs listées). On applique directement $V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$.
Cas 2 — série en tableau d'effectifs. Chaque valeur $x_i$ apparaît $n_i$ fois. On regroupe les calculs identiques avec la formule pondérée : $V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}n_i\,(x_i-\bar{x})^2$, où $n=n_1+n_2+\dots+n_k$.
Les deux formules ne se contredisent pas : la seconde n'est que la première dans laquelle on a factorisé les valeurs répétées.
Un exemple dans chaque cas
Moyenne : $\bar{x}=\dfrac{12+14+14+16}{4}=\dfrac{56}{4}=14$.
Carrés des écarts à $14$ : $(12-14)^2=4$ ; $(14-14)^2=0$ ; $(14-14)^2=0$ ; $(16-14)^2=4$.
Variance : $V=\dfrac{4+0+0+4}{4}=\dfrac{8}{4}=2$.
Écart-type : $\sigma=\sqrt{2}\approx 1{,}41$.
On a relevé le nombre de frères et sœurs de $20$ élèves :
| Valeur $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
Effectif total : $n=2+4+8+4+2=20$.
Moyenne : $\bar{x}=\dfrac{0\times 2+1\times 4+2\times 8+3\times 4+4\times 2}{20}=\dfrac{0+4+16+12+8}{20}=\dfrac{40}{20}=2$.
Carrés des écarts à $2$ : $(0-2)^2=4$ ; $(1-2)^2=1$ ; $(2-2)^2=0$ ; $(3-2)^2=1$ ; $(4-2)^2=4$.
Variance — chaque carré multiplié par son effectif : $V=\dfrac{2\times 4+4\times 1+8\times 0+4\times 1+2\times 4}{20}$.
$V=\dfrac{8+4+0+4+8}{20}=\dfrac{24}{20}=1{,}2$.
Écart-type : $\sigma=\sqrt{1{,}2}\approx 1{,}10$.
Information chiffrée : proportions et évolutions
Le même chapitre demande de savoir lire un pourcentage. Une question à se poser à chaque fois : ce pourcentage exprime-t-il une proportion ou une évolution ?
Proportion de proportion (pourcentage de pourcentage). Quand les ensembles de référence sont inclus l'un dans l'autre, les proportions se multiplient. Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires et, parmi ces demi-pensionnaires, $25\,\%$ font du latin : la proportion de latinistes demi-pensionnaires dans le lycée entier vaut $0{,}40\times 0{,}25=0{,}10$, soit $10\,\%$ — ni $40+25$, ni $40-25$.
Évolution. Passer de $V_1$ à $V_2$, c'est une variation absolue $V_2-V_1$, un coefficient multiplicateur $\text{CM}=\dfrac{V_2}{V_1}$ et un taux d'évolution $t=\dfrac{V_2-V_1}{V_1}$, reliés par $\text{CM}=1+t$. Une hausse de $20\,\%$ donne $\text{CM}=1{,}20$ ; une baisse de $15\,\%$ donne $\text{CM}=0{,}85$.
Évolutions successives. Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient ; les taux, eux, ne s'additionnent pas. Une hausse de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $15\,\%$ donne $1{,}20\times 0{,}85=1{,}02$ : la hausse globale vaut $2\,\%$, et non $5\,\%$.
Évolution réciproque. Pour revenir à la valeur de départ, on applique le coefficient inverse. Après une hausse de $25\,\%$ ($\text{CM}=1{,}25$), il faut multiplier par $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}80$, soit une baisse de $20\,\%$ — et non de $25\,\%$.
- « $20\,\%$ des candidats ont réussi » : c'est une proportion, une partie du tout.
- « Le taux de réussite a augmenté de $20\,\%$ » : c'est une évolution, une comparaison à l'année précédente.
- Un taux de réussite qui passe de $20\,\%$ à $25\,\%$ gagne $5$ points de pourcentage, ce qui correspond à une évolution de $+25\,\%$, puisque $\dfrac{25}{20}=1{,}25$. Les deux phrases sont vraies et ne disent pas la même chose.
Quand la série est regroupée en classes
Une grandeur continue — une durée, une masse, une taille — ne se relève pas valeur par valeur : on range les données dans des classes de même amplitude, par exemple $[0\,;10[$, $[10\,;20[$, $[20\,;30[$, $[30\,;40[$, d'amplitude $10$.
- Histogramme. Les classes ayant toutes la même amplitude, la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.
- Moyenne. On ne connaît plus les valeurs exactes : on remplace chaque classe par sa moyenne, et on calcule la moyenne pondérée par les effectifs. Si l'on suppose la répartition uniforme à l'intérieur de chaque classe, cette moyenne de classe est son centre (la demi-somme des deux bornes).
- Polygone des fréquences cumulées. À la borne supérieure de chaque classe, on place la fréquence cumulée — la proportion des valeurs inférieures à cette borne — puis on relie les points par des segments.
- Classe médiane. C'est la première classe dont l'effectif cumulé atteint la moitié de l'effectif total, autrement dit celle où la fréquence cumulée franchit $50\,\%$. En supposant la répartition uniforme dans cette classe, on estime la médiane : sur le polygone, c'est l'abscisse du point d'ordonnée $50\,\%$.
Tous ces résultats sont des estimations : en regroupant, on a perdu le détail des données. C'est vrai de la médiane, et tout autant de la moyenne et de l'écart-type calculés à partir des centres.
On enlève la veste, on sort la calculatrice, et on refait la méthode ensemble. Je rédige chaque ligne à voix haute, tu suis le fil : trois exemples, du plus simple au petit malin qui va plus vite.
Exemple 1 — la série brute, ligne par ligne
On commence toujours par la moyenne. On additionne les quatre notes et on divise par $4$ :
$\bar{x}=\dfrac{8+10+10+12}{4}=\dfrac{40}{4}=10$.
On mesure ensuite chaque écart à $10$, puis on l'élève au carré (le carré, c'est ce qui empêche les écarts positifs et négatifs de se compenser) :
$(8-10)^2=(-2)^2=4$
$(10-10)^2=0$
$(10-10)^2=0$
$(12-10)^2=2^2=4$
La variance, c'est la moyenne de ces carrés :
$V=\dfrac{4+0+0+4}{4}=\dfrac{8}{4}=2$.
L'écart-type, c'est la racine : $\sigma=\sqrt{2}\approx 1{,}41$.
Autrement dit, les notes s'éloignent en moyenne d'environ $1{,}4$ point de la moyenne $10$. Série plutôt homogène.
Exemple 2 — un tableau d'effectifs
Le relevé donne le tableau suivant :
| Nombre d'animaux $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 4 | 3 | 2 | 1 |
Effectif total : $n=4+3+2+1=10$.
Moyenne pondérée (chaque valeur comptée autant de fois que son effectif) :
$\bar{x}=\dfrac{1\times 4+2\times 3+3\times 2+4\times 1}{10}=\dfrac{4+6+6+4}{10}=\dfrac{20}{10}=2$.
Carrés des écarts à $2$ : $(1-2)^2=1$ ; $(2-2)^2=0$ ; $(3-2)^2=1$ ; $(4-2)^2=4$.
Variance — on multiplie chaque carré par son effectif avant de sommer :
$V=\dfrac{4\times 1+3\times 0+2\times 1+1\times 4}{10}=\dfrac{4+0+2+4}{10}=\dfrac{10}{10}=1$.
Écart-type : $\sigma=\sqrt{1}=1$.
Ici tout tombe juste : $\sigma=1$ animal. Ne t'attends pas toujours à un résultat aussi rond, c'est un cadeau du hasard.
Exemple 3 — une série regroupée en classes
Dernier cas de figure, et le plus fréquent dès qu'on mesure une durée ou une masse : les données arrivent déjà rangées par tranches. On ne connaît plus les valeurs une à une, on va donc estimer les indicateurs.
| Classe | $[0\,;10[$ | $[10\,;20[$ | $[20\,;30[$ | $[30\,;40[$ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 12 | 14 | 8 |
| Centre de classe | 5 | 15 | 25 | 35 |
Étape 1 — l'effectif total. $n=6+12+14+8=40$.
Étape 2 — la moyenne, à partir des centres (on suppose la répartition uniforme dans chaque classe, donc la moyenne de chaque classe est son centre) :
$\bar{x}=\dfrac{6\times 5+12\times 15+14\times 25+8\times 35}{40}=\dfrac{30+180+350+280}{40}=\dfrac{840}{40}=21$ minutes.
Étape 3 — les effectifs cumulés, classe après classe : $6$ ; $18$ ; $32$ ; $40$. En fréquences : $15\,\%$ ; $45\,\%$ ; $80\,\%$ ; $100\,\%$.
Étape 4 — la classe médiane. La moitié de l'effectif vaut $\dfrac{40}{2}=20$. À $20$ minutes on n'a cumulé que $18$ élèves, à $30$ minutes on en a $32$ : la médiane se trouve donc dans la classe $[20\,;30[$, qui est la classe médiane.
Étape 5 — l'estimation de la médiane, en supposant la répartition uniforme dans cette classe. Il manque $20-18=2$ élèves, à prendre parmi les $14$ de la classe, sur une amplitude de $10$ minutes :
médiane $\approx 20+10\times\dfrac{2}{14}=20+\dfrac{10}{7}\approx 21{,}4$ minutes.
C'est exactement ce que donne la lecture graphique : l'abscisse du point d'ordonnée $50\,\%$ sur le polygone des fréquences cumulées.
Étape 6 — la variance et l'écart-type approchés, chaque valeur étant remplacée par le centre de sa classe. Carrés des écarts à $21$ : $(5-21)^2=256$ ; $(15-21)^2=36$ ; $(25-21)^2=16$ ; $(35-21)^2=196$.
$V=\dfrac{6\times 256+12\times 36+14\times 16+8\times 196}{40}=\dfrac{1536+432+224+1568}{40}=\dfrac{3760}{40}=94$, donc $\sigma=\sqrt{94}\approx 9{,}7$ minutes.
Lecture finale. Moyenne $21$ min, médiane estimée $21{,}4$ min, écart-type $\approx 9{,}7$ min : les trajets se répartissent autour de $21$ minutes, mais avec un étalement important — près de $10$ minutes d'écart moyen à la moyenne.
Le jour J approche. Ici on ne vise pas juste « avoir la réponse », on vise le sans-faute : les subtilités qui rapportent des points, ce que le correcteur veut voir écrit noir sur blanc, et les pièges où la moitié de la classe laisse des plumes.
Problème type 1 — comparer deux séries
Deux élèves ont exactement la même moyenne de $10$ sur cinq contrôles. Lequel est le plus régulier ?
Élève A : 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 10. Élève B : 4 ; 16 ; 10 ; 13 ; 7.
Rédaction attendue.
Moyenne de A : $\bar{x}_A=\dfrac{9+10+10+11+10}{5}=\dfrac{50}{5}=10$.
Variance de A : $V_A=\dfrac{(9-10)^2+(10-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2+(10-10)^2}{5}=\dfrac{1+0+0+1+0}{5}=\dfrac{2}{5}=0{,}4$.
Écart-type de A : $\sigma_A=\sqrt{0{,}4}\approx 0{,}63$.
Moyenne de B : $\bar{x}_B=\dfrac{4+16+10+13+7}{5}=\dfrac{50}{5}=10$.
Variance de B : $V_B=\dfrac{(4-10)^2+(16-10)^2+(10-10)^2+(13-10)^2+(7-10)^2}{5}=\dfrac{36+36+0+9+9}{5}=\dfrac{90}{5}=18$.
Écart-type de B : $\sigma_B=\sqrt{18}\approx 4{,}24$.
Conclusion (à ne surtout pas oublier). Les deux ont la même moyenne, mais $\sigma_A\approx 0{,}63 < \sigma_B\approx 4{,}24$ : l'élève A est bien plus régulier, ses notes sont beaucoup plus resserrées autour de $10$.
- Comparer les écarts-types parce que les moyennes sont égales : c'est ce qui rend la comparaison légitime.
- Une vraie phrase de conclusion qui interprète (« plus régulier », « plus homogène »), et pas seulement un nombre lâché en fin de copie.
- Le programme demande de décrire les différences entre deux séries à l'aide d'un couple d'indicateurs : soit (moyenne ; écart-type), soit (médiane ; écart interquartile). On annonce le couple choisi, et on ne mélange pas une moyenne avec un écart interquartile.
Un raccourci de calcul — hors programme
Calculer les écarts un par un est long. La formule de König-Huygens donne la même variance plus vite :
En mots : la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne — l'ordre compte. Elle ne figure pas au programme de Seconde : elle est commode, mais si l'énoncé impose « en utilisant la définition », reviens aux écarts. Vérification sur les notes $8$ ; $10$ ; $10$ ; $12$ de l'exemple 1 : $\overline{x^2}=\dfrac{64+100+100+144}{4}=\dfrac{408}{4}=102$ et $\bar{x}^2=10^2=100$, donc $V=102-100=2$. C'est bien la variance déjà trouvée.
Problème type 2 — le tableau d'effectifs du contrôle
Voici les notes sur $20$ obtenues par les $20$ élèves d'une classe :
| Note $x_i$ | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
Étape 1 — l'effectif total. $n=2+4+8+4+2=20$.
Étape 2 — la moyenne.
$\bar{x}=\dfrac{8\times 2+10\times 4+12\times 8+14\times 4+16\times 2}{20}=\dfrac{16+40+96+56+32}{20}=\dfrac{240}{20}=12$.
Étape 3 — la variance, ici par la formule de König-Huygens pour aller vite. On calcule d'abord la moyenne des carrés :
$\overline{x^2}=\dfrac{8^2\times 2+10^2\times 4+12^2\times 8+14^2\times 4+16^2\times 2}{20}$.
$\overline{x^2}=\dfrac{128+400+1152+784+512}{20}=\dfrac{2976}{20}=148{,}8$.
Puis $V=\overline{x^2}-\bar{x}^2=148{,}8-12^2=148{,}8-144=4{,}8$.
Étape 4 — l'écart-type. $\sigma=\sqrt{4{,}8}\approx 2{,}19$.
Interprétation. La moyenne de la classe est $12$, et les notes s'écartent en moyenne d'environ $2{,}2$ points de cette moyenne.
Problème type 3 — on ajoute (ou on retire) une valeur
Les durées, en minutes, de $5$ vidéos : $8$ ; $9$ ; $12$ ; $15$ ; $16$. On en ajoute une sixième, de $100$ minutes. Que deviennent la moyenne et la médiane ?
Avant. $\bar{x}=\dfrac{8+9+12+15+16}{5}=\dfrac{60}{5}=12$ min. La série est triée et $n=5$ est impair : la médiane est la troisième valeur, soit $12$ min. Au passage, $V=\dfrac{16+9+0+9+16}{5}=10$ et $\sigma=\sqrt{10}\approx 3{,}2$ min.
Après. $\bar{x}=\dfrac{60+100}{6}=\dfrac{160}{6}=\dfrac{80}{3}\approx 26{,}7$ min. Maintenant $n=6$ est pair : la médiane est la demi-somme des troisième et quatrième valeurs, $\dfrac{12+15}{2}=13{,}5$ min. L'écart-type, lui, passe à environ $32{,}9$ min.
Conclusion à écrire. La moyenne a plus que doublé ($12\to 26{,}7$) tandis que la médiane a à peine bougé ($12\to 13{,}5$) : la moyenne et l'écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes, la médiane leur résiste.
- Ajouter une valeur égale à la moyenne ne change pas la moyenne, et fait baisser la variance : elle passe de $V$ à $\dfrac{n}{n+1}V$, puisqu'on ajoute un écart nul et un individu de plus.
- Ajouter une valeur très éloignée tire la moyenne de son côté et fait bondir l'écart-type.
- Retirer une valeur extrême produit l'effet inverse : la moyenne revient vers le gros de la série et l'écart-type chute.
Problème type 4 — pourcentages : proportion ou évolution ?
Un club comptait $200$ adhérents en 2023. Son effectif a augmenté de $20\,\%$ en 2024, puis diminué de $15\,\%$ en 2025.
a. Calculer l'effectif fin 2025. b. Déterminer le taux d'évolution global sur les deux années. c. De quel pourcentage l'effectif devrait-il varier en 2026 pour retrouver celui de 2023 ? d. Fin 2025, $75\,\%$ des adhérents sont mineurs et, parmi ces mineurs, un tiers font de la compétition. Quelle proportion de l'ensemble des adhérents cela représente-t-il ?
a. $200\times 1{,}20=240$ adhérents fin 2024, puis $240\times 0{,}85=204$ fin 2025.
b. Les coefficients multiplicateurs se multiplient : $\text{CM}=1{,}20\times 0{,}85=1{,}02$, donc $t=+2\,\%$. On vérifie : $\dfrac{204}{200}=1{,}02$. Ce n'est ni $+5\,\%$, ni $+35\,\%$ : les taux ne s'additionnent pas.
c. Évolution réciproque : le coefficient à appliquer est $\dfrac{1}{1{,}02}\approx 0{,}9804$, soit une baisse d'environ $1{,}96\,\%$. Là non plus, ce n'est pas exactement $-2\,\%$.
d. Proportion de proportion : $0{,}75\times\dfrac{1}{3}=0{,}25$, soit $25\,\%$ de l'ensemble des adhérents. Contrôle par les effectifs : $0{,}75\times 204=153$ mineurs, dont $\dfrac{153}{3}=51$ compétiteurs, et $\dfrac{51}{204}=0{,}25$.
Les pièges classiques
- Oublier le carré. La somme des écarts simples $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})$ vaut toujours $0$ : sans le carré, aucune dispersion n'est mesurée. Le carré est indispensable.
- Diviser par $n-1$. En Seconde, on divise toujours par l'effectif total $n$, jamais par $n-1$ (ça, c'est pour plus tard).
- Confondre les unités. Si les données sont en points, $\sigma$ est en points, mais $V$ est en points au carré. On interprète la dispersion avec $\sigma$, pas avec $V$.
- Comparer deux écarts-types sans regarder les moyennes. Comparer la dispersion n'a de sens que si les moyennes sont proches (ou identiques).
- Oublier de pondérer par les effectifs dans un tableau : chaque carré d'écart doit être multiplié par $n_i$ avant d'être sommé.
- Additionner des taux d'évolution. Deux hausses de $10\,\%$ ne font pas $+20\,\%$ mais $+21\,\%$ ($1{,}10\times 1{,}10=1{,}21$) ; et une hausse de $20\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ ne ramène pas au point de départ : $1{,}20\times 0{,}80=0{,}96$, soit $-4\,\%$.
- Confondre points de pourcentage et pourcentage d'évolution : passer de $20\,\%$ à $25\,\%$, c'est $+5$ points, mais $+25\,\%$ d'évolution.
- Prendre le centre de la classe médiane pour la médiane. Le centre ne donne la bonne estimation que si $\dfrac{n}{2}$ tombe exactement au milieu de cette classe ; sinon il faut faire le calcul de proportionnalité à l'intérieur de la classe.
Tu maîtrises la mécanique ? Alors levons les yeux du cahier : comment la moyenne et l'écart-type réagissent à un changement d'unité, d'où sort la formule rapide, quelles autres façons de mesurer la dispersion existent, et vers quoi tout cela mène ensuite.
Linéarité de la moyenne — et ce que devient l'écart-type
La moyenne se comporte très bien vis-à-vis des opérations : c'est ce qui rend les changements d'unité et les bonus de points indolores.
1. On ajoute la même quantité à toutes les valeurs. Si chaque $x_i$ devient $x_i+b$, la moyenne devient $\bar{x}+b$ et l'écart-type ne change pas : la série s'est déplacée en bloc, les écarts entre valeurs sont intacts. Sur $8$ ; $10$ ; $10$ ; $12$ (moyenne $10$, $V=2$), ajouter $2$ points à tout le monde donne $10$ ; $12$ ; $12$ ; $14$ : moyenne $12$, variance toujours $2$.
2. On multiplie toutes les valeurs par un même nombre $a$. La moyenne est multipliée par $a$, la variance par $a^2$, l'écart-type par $|a|$. Sur la même série, en doublant : $16$ ; $20$ ; $20$ ; $24$, de moyenne $20$ et de variance $8=2^2\times 2$, donc $\sigma=2\sqrt{2}$, exactement le double de $\sqrt{2}$.
3. On réunit deux groupes. La moyenne de la réunion est la moyenne pondérée des deux moyennes. Une classe de $20$ élèves à $11$ de moyenne et une classe de $10$ élèves à $14$ donnent $\dfrac{20\times 11+10\times 14}{30}=\dfrac{360}{30}=12$, et surtout pas $\dfrac{11+14}{2}=12{,}5$. L'écart-type, lui, ne se moyenne pas de cette façon : il faut repartir des données.
D'où vient la formule de König-Huygens (hors programme)
Tu as utilisé $V=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ sans savoir pourquoi elle marche. La voici démontrée — rien de plus que le développement d'un carré.
On part de la définition et on développe $(x_i-\bar{x})^2=x_i^2-2\bar{x}x_i+\bar{x}^2$ :
$V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i^2-2\bar{x}x_i+\bar{x}^2\right)$.
On sépare la somme en trois morceaux :
$V=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2-2\bar{x}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i+\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2$.
Or $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2=\overline{x^2}$, $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i=\bar{x}$, et $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2=\bar{x}^2$ (on additionne $n$ fois la constante $\bar{x}^2$, puis on divise par $n$). Donc :
$V=\overline{x^2}-2\bar{x}\cdot\bar{x}+\bar{x}^2=\overline{x^2}-2\bar{x}^2+\bar{x}^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$.
Et voilà : la formule rapide n'est pas magique, c'est la définition réécrite. Elle n'est pas au programme de Seconde — mais une démonstration en trois lignes qu'on comprend une fois est une formule qu'on n'oublie plus.
D'autres façons de mesurer la dispersion
La variance n'est pas le seul outil pour mesurer l'étalement d'une série. Dans ce même chapitre de statistiques, tu croises deux autres indicateurs :
- La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif ; les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ la découpent en quarts.
- L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure l'étalement de la moitié centrale des valeurs.
La différence de caractère est importante : la moyenne et l'écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes (une seule note aberrante fait bondir $\sigma$), alors que la médiane et l'écart interquartile y résistent. Selon la situation, on choisit le couple (moyenne ; écart-type) ou le couple (médiane ; écart interquartile).
La suite du programme, et l'an prochain
Deux ouvertures avant de refermer la fiche.
Tout de suite après, dans le même chapitre : on cesse de regarder une seule caractéristique pour en croiser deux variables qualitatives (la profession et le département, l'espèce et la région…) dans un tableau croisé, avec des fréquences conditionnelles et marginales. C'est le premier contact avec une vraie base de données, et cela fait l'objet d'une fiche à part.
Plus tard, l'écart-type prend une importance croissante :
- Beaucoup de phénomènes réels (tailles, erreurs de mesure, scores) se répartissent selon une courbe « en cloche », la loi normale. Pour elle, environ $68\%$ des valeurs tombent dans l'intervalle $[\bar{x}-\sigma\,;\,\bar{x}+\sigma]$ : l'écart-type devient une unité qui mesure « ce qui est normal ».
- En statistique plus poussée, on rencontre la variance « corrigée », divisée par $n-1$ — précisément la formule qu'on t'interdit en Seconde. Rien de contradictoire : c'est un autre outil, servant à estimer la dispersion d'une population entière à partir d'un simple échantillon.
Bref, ce que tu apprends ici n'est pas un cul-de-sac : c'est la première marche d'un escalier qui monte jusqu'aux statistiques et aux probabilités de Terminale.