Variance et écart-type

Mesurer la dispersion d'une série autour de sa moyenne — deux indicateurs complémentaires.

1 L'idée

La moyenne $\bar{x}$ situe le centre d'une série statistique, mais ne renseigne pas sur la façon dont les valeurs sont regroupées ou étalées. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des profils très différents.

La variance $V$ et l'écart-type $\sigma$ quantifient cette dispersion : ils mesurent à quelle distance, en moyenne, les valeurs s'écartent de $\bar{x}$. Un $\sigma$ faible traduit une série homogène (valeurs proches de la moyenne) ; un $\sigma$ élevé traduit une série hétérogène.

2 Formules essentielles

Moyenne

$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$

Variance

$V = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

Variance — tableau d'effectifs

$V = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{k} n_i\,(x_i - \bar{x})^2$

Écart-type

$\sigma = \sqrt{V} \ge 0$

3 Exemple complet — série simple

Série : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{2+4+6+8+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$

Carrés des écarts : $(2-6)^2 = 16$ ; $(4-6)^2 = 4$ ; $(6-6)^2 = 0$ ; $(8-6)^2 = 4$ ; $(10-6)^2 = 16$

Variance : $V = \dfrac{16+4+0+4+16}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$

Écart-type : $\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$

Formule de calcul rapide

On peut montrer que $V = \overline{x^2} - \bar{x}^2$, où $\overline{x^2}$ désigne la moyenne des carrés des valeurs.
Sur l'exemple : $\overline{x^2} = \dfrac{4+16+36+64+100}{5} = 44$, donc $V = 44 - 36 = 8$. ✓
Pratique pour éviter les calculs d'écarts un à un.

Méthode — calculer variance et écart-type

Étape 1 : calculer la moyenne $\bar{x}$.
Étape 2 : pour chaque valeur $x_i$, calculer le carré de l'écart $(x_i - \bar{x})^2$.
Étape 3 (tableau) : multiplier chaque carré par l'effectif $n_i$ correspondant.
Étape 4 : sommer tous ces termes et diviser par $n$ pour obtenir $V$.
Étape 5 : prendre $\sigma = \sqrt{V}$ et arrondir si nécessaire.

Erreurs fréquentes

Oublier le carré dans $(x_i - \bar{x})^2$ : la somme des écarts simples vaut toujours $0$ — ce n'est pas une mesure de dispersion.
Diviser par $n-1$ au lieu de $n$ : en Seconde, on divise par l'effectif total $n$.
Confondre $V$ et $\sigma$ : si les données sont en points, $\sigma$ est en points mais $V$ est en points carrés — les unités diffèrent.
Comparer les écarts-types de deux séries sans vérifier que leurs moyennes sont voisines.