Mathématiques · 5e · Organisation et gestion de données et probabilités
Probabilités : expérience aléatoire, issues et équiprobabilité
Salut ! Tu découvres les probabilités ce soir et le contrôle est pour demain ? On y va doucement : des exercices à trous, où il n'y a qu'à compter les résultats possibles et diviser.
Rappel : les quatre mots du chapitre
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
Une issue est un résultat possible. Un évènement est décrit par une phrase et regroupe une ou plusieurs issues.
La probabilité d'un évènement est un nombre entre $0$ (impossible) et $1$ (certain).
Quand toutes les issues ont la même chance — on dit qu'il y a équiprobabilité — alors : $$p = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$
Rappel : l'échelle de probabilité (déjà vue, à entretenir)
Les probabilités se rangent sur une échelle graduée de $0$ à $1$ : impossible tout à gauche, certain tout à droite, et « une chance sur deux » exactement au milieu.
À toi de jouer
1. Le vocabulaire — on le fait ensemble. On lance un dé équilibré à six faces. a) L'expérience aléatoire est : « $\underline{\hspace{1.1em}}$ ». b) Les issues sont : $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$. Il y a donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues. c) L'évènement « obtenir un nombre plus grand que $4$ » regroupe les issues $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$. d) L'évènement « obtenir $9$ » est $\underline{\hspace{1.1em}}$ : sa probabilité vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) « Lancer un dé équilibré à six faces et regarder le nombre obtenu ». b) $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ : il y a $6$ issues. c) Les issues $5$ et $6$. d) Il est impossible (le dé ne porte pas de $9$) : sa probabilité vaut $0$.
2. Deux probabilités, pas à pas. Toujours avec le même dé équilibré. a) « Obtenir $3$ » : nombre d'issues favorables $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; nombre total d'issues $= \underline{\hspace{1.1em}}$ ; donc $p = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. b) « Obtenir un nombre impair » : les issues favorables sont $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $p = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$.
Corrigé
a) $1$ issue favorable sur $6$ : $p = \dfrac{1}{6}$ (soit environ $0{,}17$). b) Les issues favorables sont $1$, $3$ et $5$ : $p = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 = 50\,\%$.
3. L'échelle de probabilité. Place les quatre évènements suivants sur l'échelle ci-dessous, en écrivant la lettre au bon endroit. A : « obtenir pile avec une pièce équilibrée ». B : « obtenir $13$ en lançant un dé à six faces ». C : « tirer une boule rouge dans un sac qui ne contient que des boules rouges ». D : « tirer une boule rouge dans un sac de $4$ boules dont $1$ seule est rouge ».
Corrigé
B se place en $0$ : l'évènement est impossible, un dé à six faces ne porte pas de $13$. D se place en $0{,}25$ : $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$. A se place en $0{,}5$ : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$. C se place en $1$ : l'évènement est certain.
4. Un sac de boules. Un sac contient $10$ boules indiscernables au toucher : $6$ rouges et $4$ vertes. On en tire une au hasard. a) Nombre total d'issues : $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) « Tirer une boule rouge » : $p = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$. c) « Tirer une boule verte » : $p = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$. d) Contrôle : la somme des deux probabilités vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $10$ issues. b) $p = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 = 60\,\%$. c) $p = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 = 40\,\%$. d) $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ : les deux couleurs couvrent bien toutes les possibilités.
Ça te dit quelque chose : les dés, les sacs, les roues. On remet la méthode au propre — y compris celle de la grande nouveauté de l'année, l'expérience qu'on répète pour de vrai — puis on l'applique quatre fois.
Méthode : calculer une probabilité
1. J'écris l'expérience aléatoire et je liste toutes les issues. 2. Je vérifie l'équiprobabilité : l'énoncé dit-il « équilibré », « identiques », « indiscernables au toucher » ? Sans cela, la formule ne s'applique pas. 3. Je compte les issues qui réalisent l'évènement : ce sont les issues favorables. 4. Je divise, je donne le résultat en fraction (et si besoin en écriture décimale ou en pourcentage), puis je conclus par une phrase.
Méthode : répéter matériellement une expérience
1. Je fixe l'expérience et le nombre de répétitions avant de commencer. 2. Je note chaque résultat au fur et à mesure. 3. Je remplis un tableau d'effectifs, puis je calcule les fréquences observées : $$f = \dfrac{\text{effectif de l'issue}}{\text{nombre de répétitions}}$$ 4. Je contrôle : la somme des effectifs vaut le nombre de répétitions, et la somme des fréquences vaut $1$. 5. Je compare aux probabilités — sans jamais conclure qu'un petit écart prouve quoi que ce soit.
À toi de jouer
1. L'urne. Une urne contient $20$ boules indiscernables au toucher : $8$ rouges, $7$ bleues, $5$ vertes. On tire une boule au hasard. a) Pourquoi y a-t-il équiprobabilité ? Parce que les boules sont $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) $p(\text{rouge}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$. c) $p(\text{bleue}) = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$ et $p(\text{verte}) = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$. d) Contrôle : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Parce que les boules sont indiscernables au toucher : aucune ne peut être choisie exprès. b) $p(\text{rouge}) = \dfrac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%$. c) $p(\text{bleue}) = \dfrac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%$ ; $p(\text{verte}) = \dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$. d) $0{,}4 + 0{,}35 + 0{,}25 = 1$, soit $100\,\%$.
2. La roue. Une roue est partagée en $8$ secteurs identiques : $3$ rouges, $2$ bleus, $3$ jaunes. a) Ce qui est équiprobable ici, ce sont les $\underline{\hspace{1.1em}}$, pas les $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) $p(\text{rouge}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $p(\text{bleu}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $p(\text{jaune}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8} = \underline{\hspace{1.1em}}$. c) Contrôle : la somme vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Ce qui est équiprobable, ce sont les secteurs (ils sont identiques), pas les couleurs (elles ne couvrent pas le même nombre de secteurs). b) $p(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ ; $p(\text{bleu}) = \dfrac{2}{8} = 0{,}25$ ; $p(\text{jaune}) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$. c) $0{,}375 + 0{,}25 + 0{,}375 = 1$.
3. Une expérience répétée $50$ fois. Un élève a lancé un dé $50$ fois et a obtenu le diagramme ci-dessous. a) Lis les effectifs et vérifie leur somme : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. b) Fréquence observée de la face $2$ : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{50} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$. c) Fréquence observée de la face $1$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$. Probabilité de la face $1$ si le dé est équilibré : $\underline{\hspace{1.1em}}$. d) Ces deux nombres sont-ils égaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$. Est-ce anormal ? $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $6 + 10 + 9 + 8 + 7 + 10 = 50$ : tous les lancers sont bien comptés. b) $\dfrac{10}{50} = 0{,}2 = 20\,\%$. c) Face $1$ : fréquence observée $\dfrac{6}{50} = 0{,}12$ ; probabilité $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$. d) Non, ils ne sont pas égaux — et ce n'est pas anormal du tout : la fréquence observée dépend de la série de lancers qu'on vient de faire, elle changera si l'élève recommence.
4. Probabilité ou fréquence observée ? Complète chaque phrase par « probabilité » ou « fréquence observée ». a) Elle se calcule avant l'expérience, en raisonnant sur le matériel : c'est la $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) Elle se mesure après, à partir des résultats notés : c'est la $\underline{\hspace{1.1em}}$. c) Elle change si on refait une nouvelle série de lancers : c'est la $\underline{\hspace{1.1em}}$. d) Pour un dé équilibré, elle vaut exactement $\dfrac{1}{6}$ pour chaque face : c'est la $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) la probabilité ; b) la fréquence observée ; c) la fréquence observée ; d) la probabilité.
On se muscle les neurones en douceur. Cinq calculs quasi identiques, pour installer le réflexe : compter les issues favorables, compter toutes les issues, diviser.
À toi de jouer
1. On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir $6$ ? Complète : $p = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
$p = \dfrac{1}{6}$, soit environ $0{,}17$.
2. On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair ? Complète : $p = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$.
Corrigé
Les issues favorables sont $1$, $3$, $5$ : $p = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 = 50\,\%$.
3. Un sac contient $20$ jetons indiscernables au toucher, dont $5$ rouges. On en tire un au hasard. Complète : $p(\text{rouge}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$.
Corrigé
$p = \dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$.
4. Une roue est partagée en $10$ secteurs identiques, dont $4$ verts. On la fait tourner. Complète : $p(\text{vert}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$.
Corrigé
$p = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 = 40\,\%$.
5. On tire une carte au hasard dans un jeu bien mélangé de $32$ cartes, qui contient $8$ cœurs. Complète : $p(\text{c\oe ur}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\,\%$.
Corrigé
$p = \dfrac{8}{32} = 0{,}25 = 25\,\%$.
Place au contrôle : plus de trous, tu voles de tes propres ailes. Six exercices comme en évaluation — et attention, deux d'entre eux sont des pièges classiques.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Le sac de jetons
Un sac contient $25$ jetons indiscernables au toucher, dont $10$ sont gagnants. On tire un jeton au hasard.
a) Décris l'expérience aléatoire et justifie qu'il y a équiprobabilité.
b) Calcule la probabilité de tirer un jeton gagnant, en fraction, en écriture décimale et en pourcentage.
c) Calcule la probabilité de tirer un jeton perdant, et contrôle la somme.
Corrigé
a) L'expérience aléatoire est « tirer un jeton au hasard dans le sac ». Il y a $25$ issues, et elles sont équiprobables parce que les jetons sont indiscernables au toucher.
b) $p = \dfrac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%$.
c) Il y a $25 - 10 = 15$ jetons perdants, donc $p = \dfrac{15}{25} = 0{,}6 = 60\,\%$. Contrôle : $0{,}4 + 0{,}6 = 1$.
2. Exercice 2 — Trois évènements avec un dé
On lance un dé équilibré à six faces. Calcule la probabilité de chacun des évènements suivants, puis range-les du moins probable au plus probable.
A : « obtenir $2$ ». B : « obtenir un multiple de $3$ ». C : « obtenir un nombre inférieur ou égal à $4$ ».
Corrigé
A : une seule issue favorable, $p_A = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$.
B : les multiples de $3$ compris entre $1$ et $6$ sont $3$ et $6$, donc $2$ issues favorables : $p_B = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$.
C : les issues favorables sont $1$, $2$, $3$, $4$, donc $p_C = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.
Rangement : A, puis B, puis C. Toutes ces probabilités sont bien comprises entre $0$ et $1$.
3. Exercice 3 — Une pièce lancée 40 fois
Marie lance une pièce équilibrée $40$ fois et obtient $23$ fois pile.
a) Calcule la fréquence observée de pile, puis celle de face. Contrôle leur somme.
b) Quelle est la probabilité d'obtenir pile avec cette pièce ?
c) Marie affirme : « ma pièce est truquée, elle tombe trop souvent sur pile ». Que lui réponds-tu ?
Corrigé
a) Pile : $\dfrac{23}{40} = 0{,}575 = 57{,}5\,\%$. Face : $\dfrac{17}{40} = 0{,}425 = 42{,}5\,\%$. Somme : $0{,}575 + 0{,}425 = 1$.
b) La pièce est équilibrée : $p = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. Cette valeur ne dépend pas des lancers effectués.
c) Rien ne permet de l'affirmer. La fréquence observée n'est pas la probabilité : elle varie d'une série de lancers à l'autre, et sur seulement $40$ lancers, un écart de $0{,}075$ n'a rien d'exceptionnel. Pour y voir plus clair, il faudrait beaucoup plus de répétitions.
4. Exercice 4 — Le tableau de la classe
Une classe a lancé un dé $50$ fois et a rempli ce tableau.
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Effectif | 6 | 10 | 9 | 8 | 7 | 10 |
a) Vérifie que le compte des lancers est bon, puis calcule les six fréquences observées.
b) Compare-les à la probabilité de chaque face pour un dé équilibré.
c) Calcule la fréquence observée de l'évènement « obtenir un nombre pair », et compare-la à sa probabilité.
d) Un élève dit : « si le dé était vraiment équilibré, chaque face serait sortie le même nombre de fois ». Explique pourquoi c'est impossible ici.
Corrigé
a) $6 + 10 + 9 + 8 + 7 + 10 = 50$ : le compte est bon. Fréquences : $\dfrac{6}{50} = 0{,}12$ ; $\dfrac{10}{50} = 0{,}2$ ; $\dfrac{9}{50} = 0{,}18$ ; $\dfrac{8}{50} = 0{,}16$ ; $\dfrac{7}{50} = 0{,}14$ ; $\dfrac{10}{50} = 0{,}2$. Contrôle : leur somme vaut $1$.
b) Chaque face a pour probabilité $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$. Les fréquences observées s'en écartent un peu, dans les deux sens : c'est le comportement normal d'une répétition.
c) Les faces paires sont sorties $10 + 8 + 10 = 28$ fois, soit une fréquence observée de $\dfrac{28}{50} = 0{,}56$. La probabilité, elle, vaut $\dfrac{3}{6} = 0{,}5$.
d) Pour que les six effectifs soient égaux, il faudrait que chaque face sorte $50 \div 6$ fois, soit environ $8{,}33$ fois : un effectif est un nombre entier, c'est donc impossible. Même un dé parfait ne peut pas donner six effectifs égaux en $50$ lancers.
5. Exercice 5 — Le piège de la roue
Une roue de loterie est partagée en $12$ secteurs identiques : $6$ portent « perdu », $4$ portent « rejouez », $2$ portent « gagné ».
a) Kevin dit : « il y a trois résultats possibles, donc j'ai une chance sur trois de gagner ». Explique son erreur.
b) Calcule les trois probabilités et contrôle leur somme.
Corrigé
a) Les trois résultats ne sont pas équiprobables : ils ne couvrent pas le même nombre de secteurs. La formule ne s'applique qu'aux $12$ secteurs, qui sont, eux, identiques donc équiprobables.
b) « Perdu » : $\dfrac{6}{12} = 0{,}5 = 50\,\%$. « Rejouez » : $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$. « Gagné » : $\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$.
Contrôle : $\dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$. Kevin a donc une chance sur six de gagner, pas une sur trois.
6. Exercice 6 — Vrai ou faux, en justifiant
a) « Une probabilité peut valoir $1{,}2$. »
b) « Avec une pièce équilibrée, si j'ai obtenu cinq fois pile d'affilée, j'ai plus de chances d'obtenir face au sixième lancer. »
c) « J'ai lancé un dé $12$ fois et je n'ai jamais obtenu $6$ : mon dé est truqué. »
d) « La fréquence observée d'une issue est toujours égale à sa probabilité. »
Corrigé
a) Faux. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$.
b) Faux. Le hasard n'a pas de mémoire : la pièce ne garde aucune trace des lancers précédents. La probabilité d'obtenir face au sixième lancer vaut encore $\dfrac{1}{2}$.
c) Faux, ou plutôt : rien ne le prouve. Sur seulement $12$ lancers, ne jamais voir le $6$ est parfaitement possible avec un dé normal. Un petit nombre de répétitions ne permet aucune conclusion.
d) Faux. La fréquence observée est mesurée après coup et change à chaque nouvelle série ; la probabilité, elle, est fixée à l'avance. Elles sont en général différentes.
Tu as déjà tout bon au contrôle ? Alors on pousse la porte : l'évènement contraire, une urne qu'on modifie, une expérience dont personne ne connaît la probabilité, et deux dés à la fois. Prends une feuille de brouillon.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — L'évènement contraire
Dans une urne de $20$ boules indiscernables au toucher, $8$ sont rouges.
a) Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.
b) Calcule de deux façons différentes la probabilité de tirer une boule qui n'est pas rouge.
Corrigé
a) $p = \dfrac{8}{20} = 0{,}4$.
b) Première façon, en comptant : $20 - 8 = 12$ boules ne sont pas rouges, donc $p = \dfrac{12}{20} = 0{,}6$.
Deuxième façon, par le complément à $1$ : $1 - 0{,}4 = 0{,}6$. C'est la propriété de l'évènement contraire, que tu verras en $4^{\text{e}}$ : les probabilités d'un évènement et de son contraire ont pour somme $1$.
2. Exercice 2 — Modifier l'urne
La même urne contient $20$ boules dont $8$ rouges. On veut ajouter des boules rouges pour que la probabilité de tirer une boule rouge devienne exactement $0{,}5$.
Combien faut-il en ajouter ?
Corrigé
Essayons avec $4$ boules rouges ajoutées : l'urne contient alors $8 + 4 = 12$ boules rouges sur $20 + 4 = 24$ boules au total, soit $p = \dfrac{12}{24} = 0{,}5$. C'est bien ce qu'on cherchait.
Raisonnement : pour que la probabilité vaille $0{,}5$, il faut que les boules rouges soient exactement la moitié du total, donc aussi nombreuses que les $12$ boules non rouges — qui, elles, ne changent pas. Il faut donc passer de $8$ à $12$ rouges : on en ajoute $4$.
3. Exercice 3 — Quand la probabilité est inconnue
On lance une punaise en l'air : elle retombe soit la pointe en l'air, soit la pointe sur le côté.
a) Peut-on dire que la probabilité de « pointe en l'air » vaut $\dfrac{1}{2}$ ? Pourquoi ?
b) Une classe lance la punaise $200$ fois : elle retombe $118$ fois la pointe en l'air. Calcule les deux fréquences observées.
c) À quoi servent ces répétitions ?
Corrigé
a) Non. Il y a bien deux issues, mais rien ne dit qu'elles ont la même chance : une punaise n'est pas symétrique. Il n'y a donc pas équiprobabilité, et la formule ne s'applique pas.
b) Pointe en l'air : $\dfrac{118}{200} = 0{,}59 = 59\,\%$. Pointe sur le côté : $\dfrac{82}{200} = 0{,}41 = 41\,\%$. Contrôle : $0{,}59 + 0{,}41 = 1$.
c) Comme on ne sait pas calculer la probabilité, la répétition sert à en obtenir une estimation : environ $0{,}59$. Ce n'est pas la probabilité exacte, et une autre série de $200$ lancers donnerait un nombre un peu différent — mais plus on répète, plus l'estimation devient digne de confiance.
4. Exercice 4 — Deux dés d'un coup (un avant-goût de la $3^{\text{e}}$)
On lance deux dés équilibrés, un rouge et un bleu, et on additionne les deux nombres obtenus.
a) Combien y a-t-il d'issues en tout, si l'on note le résultat sous la forme (dé rouge ; dé bleu) ?
b) Combien de ces issues donnent une somme égale à $2$ ? Et une somme égale à $7$ ?
c) Qu'en conclus-tu ?
Corrigé
a) Le dé rouge a $6$ résultats possibles, et pour chacun le dé bleu en a $6$ : cela fait $6 \times 6 = 36$ issues, toutes équiprobables.
b) Somme $2$ : une seule issue, $(1\,;1)$, donc $p = \dfrac{1}{36}$. Somme $7$ : les issues $(1\,;6)$, $(2\,;5)$, $(3\,;4)$, $(4\,;3)$, $(5\,;2)$, $(6\,;1)$, soit $6$ issues, donc $p = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
c) Obtenir $7$ est six fois plus probable qu'obtenir $2$, alors que chaque face de chaque dé est pourtant équiprobable : ce sont les façons d'obtenir une somme qui diffèrent. C'est exactement ce que tu apprendras à organiser avec un arbre en $3^{\text{e}}$.
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