Mathématiques · 5e

Proportionnalité : pourcentages, échelles

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Salut ! Tu découvres les pourcentages et les échelles pour la première fois et tu as un contrôle bientôt ? Pas de panique, on va reprendre depuis le début. Tu as déjà vu la proportionnalité en 6e ? C'est la base. Souviens-toi : quand deux grandeurs sont proportionnelles, on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. C'est ce même principe qu'on utilise pour les pourcentages (une fraction sur 100) et les échelles (une réduction ou un agrandissement). On va t'expliquer ça vite fait bien fait, avec des exemples à trous pour que tu comprennes et que tu sois prêt pour le contrôle.

Rappel : la proportionnalité (vu en 6e)

Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) par un même nombre, appelé le coefficient de proportionnalité, noté $k$.

Exemple :

Nombre de stylos	1	3	5
Prix (€)	2	6	10

On a $k = \frac{\text{prix}}{\text{stylos}} = 2$. Donc prix $= 2 \times \text{stylos}$.

Les pourcentages : une proportion sur 100

Un pourcentage, c'est une façon d'exprimer une proportion : $t\%$ signifie $\frac{t}{100}$ de la quantité totale.

Formule : pour prendre $t\%$ d'une quantité $Q$, on calcule : $\frac{t}{100} \times Q$.

Les échelles : réduction ou agrandissement

Sur une carte ou un plan, l'échelle indique le rapport entre les distances sur le dessin et les distances réelles.

Une échelle $1:n$ signifie que $1$ cm sur le dessin correspond à $n$ cm dans la réalité. Plus $n$ est grand, plus le dessin est petit par rapport à la réalité.

Formules :
- Distance réelle = distance sur le plan $\times n$
- Distance sur le plan = distance réelle $\div n$

À toi de jouer

1. Reconnaître une situation de proportionnalité — On le fait ensemble Pour chaque situation, complète par Vrai ou Faux si les grandeurs sont proportionnelles. Justifie en complétant la phrase avec le coefficient $\underline{\hspace{1.1em}}$. a) Un kilogramme de pommes coûte 2 €. 2 kg coûtent 4 €, 5 kg coûtent 10 €. Proportionnel ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ — Le coefficient est $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) Un enfant de 5 ans mesure 110 cm. À 10 ans, il mesurera 220 cm. Proportionnel ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ — Parce que $\underline{\hspace{1.1em}}$. c) Une voiture roule à vitesse constante de 60 km/h. En 2 heures, elle parcourt 120 km ; en 3 heures, 180 km. Proportionnel ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ — Le coefficient est $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) Vrai ; coefficient est 2 (car prix = 2 × masse) b) Faux ; la taille n'est pas proportionnelle à l'âge (on ne double pas en doublant l'âge) c) Vrai ; le coefficient est 60 (distance = 60 × temps)

2. Calcule $20\%$ de 50 €. Complète : $20\% = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{100}$. Donc $20\%$ de $50 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{100} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ €.

Corrigé

$20\% = \frac{20}{100}$. Donc $20\%$ de $50 = \frac{20}{100} \times 50 = 0{,}20 \times 50 = 10$ €.

3. Sur une carte à l'échelle $1:25\,000$, un chemin mesure $4$ cm sur la carte. Complète le calcul de la distance réelle. On sait : distance réelle = distance carte $\times \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc distance réelle = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. Conversion en km : $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm = $\underline{\hspace{1.1em}}$ m = $\underline{\hspace{1.1em}}$ km. (Rappel : $1$ m = $100$ cm, $1$ km = $1\,000$ m)

Corrigé

distance réelle = distance carte $\times 25\,000$. Donc distance réelle = $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm. Conversion en km : $100\,000$ cm = $1\,000$ m = $1$ km.

Ah, là ça te rappelle des souvenirs ! En 6e, tu as déjà fait des tableaux de proportionnalité. Ici, on va structurer : reconnaître le coefficient, utiliser les formules de pourcentages et d'échelles. On va redérouler la méthode étape par étape et s'entraîner sur des applis directes. Allez, on répète les gestes !

Méthode : résoudre un problème de proportionnalité

1. Identifier les deux grandeurs liées (ex : prix et quantité ; distance carte et distance réelle).
2. Trouver le coefficient de proportionnalité $k$ à partir d'un couple connu : $k = \frac{\text{grandeur 2}}{\text{grandeur 1}}$.
3. Calculer la valeur inconnue : si on cherche une valeur de la grandeur 2, multiplier par $k$ ; si on cherche une valeur de la grandeur 1, diviser par $k$.
4. Vérifier l'unité et convertir si besoin (cm $\to$ m $\to$ km).

Formules à retenir

- Pourcentage : $t\%$ de $Q = \frac{t}{100} \times Q$.
- Échelle $1:n$ : distance réelle = distance carte $\times n$ ; distance carte = distance réelle $\div n$.

À toi de jouer

1. Complète le tableau de proportionnalité ci-dessous, puis réponds aux questions.
Tableau :
| Masse (kg) | 2 | 5 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 12 |
| Prix (€) | 7 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 28 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ |
a) Le coefficient de proportionnalité est $k = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Complète les cases vides du tableau en utilisant $k$.

Corrigé

a) $k = \frac{7}{2} = 3{,}5$.
b) Masse manquante = $28 \div 3{,}5 = 8$ ; Prix pour 5 kg = $5 \times 3{,}5 = 17{,}5$ ; Prix pour 12 kg = $12 \times 3{,}5 = 42$.
Tableau complété :
| Masse (kg) | 2 | 5 | 8 | 12 |
| Prix (€) | 7 | 17,5 | 28 | 42 |

2. Lors d'une vente flash, un article à 45 € bénéficie d'une réduction de 30%. Complète les calculs pour trouver le prix après réduction.
a) Montant de la réduction : $30\%$ de $45 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{100} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ €.
b) Prix après réduction = prix initial $\underline{\hspace{1.1em}}$ réduction = $\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ €.

Corrigé

a) $\frac{30}{100} \times 45 = 0{,}30 \times 45 = 13{,}5$ €.
b) Prix après réduction = prix initial $-$ réduction = $45 - 13{,}5 = 31{,}5$ €.

3. Une carte a une échelle de $1:10\,000$. La distance entre deux points sur la carte est $2{,}5$ cm. Quelle est la distance réelle en mètres ?
Complète : distance réelle = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm = $\underline{\hspace{1.1em}}$ m.

Corrigé

distance réelle = $2{,}5 \times 10\,000 = 25\,000$ cm = $250$ m.

On se muscle les neurones en douceur. Voici 5 petits calculs de pourcentage, quasi identiques, pour acquérir le réflexe. Tu vas répéter la même opération avec des nombres différents. Tranquille, non ? Complète chaque fois les trous.

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Calcule $10\%$ de $200$.
Complète : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$\frac{10}{100} \times 200 = 0{,}10 \times 200 = 20$.

2. Exercice 2 — Calcule $25\%$ de $80$.
Complète : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$\frac{25}{100} \times 80 = 0{,}25 \times 80 = 20$.

3. Exercice 3 — Calcule $50\%$ de $120$.
Complète : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$\frac{50}{100} \times 120 = 0{,}50 \times 120 = 60$.

4. Exercice 4 — Calcule $20\%$ de $150$.
Complète : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$\frac{20}{100} \times 150 = 0{,}20 \times 150 = 30$.

5. Exercice 5 — Calcule $75\%$ de $40$.
Complète : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$\frac{75}{100} \times 40 = 0{,}75 \times 40 = 30$.

Place au contrôle ! Plus de trous, cette fois tu voles de tes propres ailes. Ce sont des exercices types comme ceux que tu pourrais avoir en évaluation. Prends ton temps, applique la méthode, et vérifie tes conversions.

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Tableau de proportionnalité Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. | $x$ | 4 | 7 | 11 | ? | | $y$ | 10 | ? | ? | 37,5 | a) Quel est le coefficient de proportionnalité $k$ ? b) Recopie et complète le tableau.

Corrigé

a) $k = \frac{10}{4} = 2{,}5$. b) $y$ pour $x=7$ : $7 \times 2{,}5 = 17{,}5$. $y$ pour $x=11$ : $11 \times 2{,}5 = 27{,}5$. $x$ pour $y=37{,}5$ : $37{,}5 \div 2{,}5 = 15$. Tableau complété : | $x$ | 4 | 7 | 11 | 15 | | $y$ | 10 | 17,5 | 27,5 | 37,5 |

2. Exercice 2 — Pourcentage et soldes Un vélo coûte 240 €, soldé à -15 %. a) Calcule le montant de la réduction. b) Quel est le prix soldé ?

Corrigé

a) Réduction = $15\%$ de $240 = \frac{15}{100} \times 240 = 0{,}15 \times 240 = 36$ €. b) Prix soldé = $240 - 36 = 204$ €.

3. Exercice 3 — Échelle d'une carte routière Une carte a l'échelle $1:200\,000$. a) Une route mesure $5$ cm sur la carte. Calcule sa distance réelle en km. b) Deux villages sont distants de $16$ km en réalité. Quelle distance les sépare sur la carte (en cm) ?

Corrigé

a) Distance réelle en cm = $5 \times 200\,000 = 1\,000\,000$ cm = $10\,000$ m = $10$ km. b) Conversion $16$ km = $1\,600\,000$ cm. Distance sur la carte = $1\,600\,000 \div 200\,000 = 8$ cm.

4. Exercice 4 — Pourcentage dans une classe Dans une classe de 28 élèves, 25 % sont des filles. a) Combien y a-t-il de filles ? b) Combien y a-t-il de garçons ? c) Quel pourcentage représentent les garçons ?

Corrigé

a) Nombre de filles = $25\%$ de $28 = \frac{25}{100} \times 28 = 0{,}25 \times 28 = 7$ filles. b) Nombre de garçons = $28 - 7 = 21$ garçons. c) Pourcentage de garçons = $\frac{21}{28} = 0{,}75 = 75\%$.

5. Exercice 5 — Plan d'un appartement Un plan d'appartement est à l'échelle $1:50$. Sur le plan, le salon mesure $6$ cm de long et $4$ cm de large. a) Quelles sont les dimensions réelles du salon en mètres ? b) Calcule l'aire réelle du salon en $\text{m}^2$. c) La pose d'un parquet coûte 30 € le $\text{m}^2$. Quel est le coût total ?

Corrigé

a) Longueur réelle = $6 \times 50 = 300$ cm = $3$ m. Largeur réelle = $4 \times 50 = 200$ cm = $2$ m. b) Aire réelle = $3 \times 2 = 6$ $\text{m}^2$. c) Coût total = $6 \times 30 = 180$ €.

Tu as déjà tout bon au contrôle ? Alors on va voir un peu plus loin. Ces exercices te préparent pour l'an prochain : calculer un pourcentage « à l'envers », retrouver l'échelle d'une carte, ou remonter un prix après réduction. Pas de panique, c'est toujours de la proportionnalité. Prends une feuille de brouillon et essaie de raisonner avec le coefficient.

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Trouver le pourcentage Dans un collège de 600 élèves, 180 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage d'élèves sont demi-pensionnaires ?

Corrigé

On cherche $t$ tel que $\frac{t}{100} \times 600 = 180$. Donc $t = \frac{180}{600} \times 100 = 0{,}3 \times 100 = 30$. $30\%$ des élèves sont demi-pensionnaires.

2. Exercice 2 — Trouver l'échelle Sur une carte, une distance de $3$ cm représente une distance réelle de $150$ km. Quelle est l'échelle de la carte ? (Donne la réponse sous la forme $1:n$).

Corrigé

On convertit tout en cm : $150$ km = $15\,000\,000$ cm. On a $3$ cm (carte) correspond à $15\,000\,000$ cm (réalité). Donc $1$ cm correspond à $15\,000\,000 \div 3 = 5\,000\,000$ cm. L'échelle est $1:5\,000\,000$.

3. Exercice 3 — Retrouver un prix initial après réduction Un ordinateur est soldé à $-20\%$. Son prix soldé est de $640$ €. Quel était son prix initial ?

Corrigé

Le prix soldé représente $100\% - 20\% = 80\%$ du prix initial. Donc $80\%$ du prix initial $= 640$ €. Soit $0{,}80 \times \text{prix initial} = 640$. Prix initial $= \frac{640}{0{,}80} = 800$ €. Vérification : $20\%$ de $800 = 160$, $800 - 160 = 640$, c'est cohérent.