Pas de panique, on va te faire comprendre ça en un éclair. Contrôle bientôt et ces additions de fractions jamais vues ? On repart de ce que tu sais déjà, on installe la règle, puis on la fait tourner sur des dénominateurs différents. Trois exercices guidés, corrigé juste en dessous de chacun.

Prérequis : réécrire une fraction sans la changer

Une fraction $\dfrac{a}{b}$, c'est $a$ parts d'un tout coupé en $b$ parts égales : $b$ est le dénominateur, $a$ le numérateur.

Rappel de 6e : si tu multiplies le haut et le bas par un même nombre, la valeur ne change pas. Par exemple $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{3}{9}$. C'est ce petit geste qui va tout permettre.

La règle d'or, et les trois cas

À même dénominateur, on garde le dénominateur et on calcule seulement avec les numérateurs :

$\dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a+b}{n}$   et   $\dfrac{a}{n} - \dfrac{b}{n} = \dfrac{a-b}{n}$

Le piège à éviter : on n'additionne jamais les dénominateurs. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}$ ne fait pas $\dfrac{3}{8}$, mais $\dfrac{3}{4}$.

Trois situations, une seule règle : dénominateurs identiques (on calcule directement) ; un dénominateur multiple de l'autre (on transforme une seule fraction) ; dénominateurs quelconques (on cherche un multiple commun aux deux, on transforme les deux).

À toi de jouer

1. On le fait ensemble, avec le même dénominateur. Complète les trous () pour calculer $\dfrac{4}{11} + \dfrac{5}{11}$.
Les dénominateurs sont les mêmes ($11$), donc on les garde.
$\dfrac{4}{11} + \dfrac{5}{11} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
Les dénominateurs sont les mêmes ($11$), donc on les garde.
$\dfrac{4}{11} + \dfrac{5}{11} = \dfrac{4 + 5}{11} = \dfrac{9}{11}$
$9$ et $11$ ne sont pas dans une même table : on s'arrête là.
2. Ici un dénominateur est un multiple de l'autre : $9 = 3 \times 3$. On garde donc $9$ et on ne transforme que la première fraction. Calcule $\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{9}$.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{9}$
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{3}{9}$
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{3+5}{9} = \dfrac{8}{9}$
3. Cette fois les dénominateurs sont quelconques. Calcule $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}$ en cherchant d'abord un dénominateur commun.
Multiples de $2$ : $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \underline{\hspace{1.1em}}\ldots$   Multiples de $5$ : $5,\ \underline{\hspace{1.1em}}\ldots$
Dénominateur commun :
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10}$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10}$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
Multiples de $2$ : $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\ldots$   Multiples de $5$ : $5,\ 10\ldots$
Dénominateur commun : $10$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{5}{10}$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{1 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{2}{10}$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{10}$

Ah, ces fractions à additionner... Tu sens que tu as déjà vu ça, mais c'est flou, surtout quand les dénominateurs ne se ressemblent pas. On remet de l'ordre : la règle, la méthode complète, les erreurs classiques, puis trois calculs à faire toi-même.

Rappel structuré : la règle et le dénominateur commun

Quand les dénominateurs sont identiques, les parts sont de la même famille : on peut les rassembler ou les enlever directement.

Règle : $\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}$. Le dénominateur ne change pas ; seuls les numérateurs sont calculés.

Dénominateur commun : un nombre qui est à la fois un multiple du premier dénominateur et un multiple du second. On le trouve en écrivant les premiers multiples de chacun et en prenant le plus petit qui figure dans les deux listes. Pour $6$ et $8$ : $6, 12, 18, \mathbf{24}$ et $8, 16, \mathbf{24}$, donc $24$.

Méthode pas-à-pas

  1. Comparer les dénominateurs. Identiques ? Va directement à l'étape 3.
  2. Mettre au même dénominateur. Si l'un est un multiple de l'autre, garde le plus grand et transforme une seule fraction. Sinon (dénominateurs quelconques), liste les multiples de chacun et prends le plus petit commun — à défaut, le produit des deux dénominateurs marche toujours.
  3. Calculer avec les numérateurs, et recopier le dénominateur.
  4. Finir proprement : si le haut et le bas du résultat sont dans une même table, écris-le avec des nombres plus petits.

Erreurs fréquentes :

  • Additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} \neq \dfrac{3}{8}$.
  • Ajouter un même nombre en haut et en bas au lieu de multiplier : $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{5}{6}$, alors que $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.
  • Ne transformer qu'une fraction sur les deux quand toutes les deux en ont besoin.

À toi de jouer

1. Applique la méthode à $\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}$. Complète les trous.
1. Même dénominateur ?
2. Opération sur les numérateurs : $\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
3. Dénominateur recopié :
4. Résultat : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
5. Peut-on l'écrire avec des nombres plus petits ?
Corrigé
1. Même dénominateur ? Oui, $10$.
2. Opération sur les numérateurs : $7 - 3 = 4$
3. Dénominateur recopié : $10$
4. Résultat : $\dfrac{4}{10}$
5. Oui : $4$ et $10$ sont dans la table de $2$, donc $\dfrac{4}{10} = \dfrac{4 \div 2}{10 \div 2} = \dfrac{2}{5}$.
2. Un dénominateur est multiple de l'autre : calcule $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{12}$.
1. $12$ est-il un multiple de $6$ ?
2. Fraction à transformer : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{6 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
3. Calcul : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
4. Avec des nombres plus petits : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
1. Oui, $6 \times 2 = 12$ : on garde $12$.
2. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}$
3. $\dfrac{10}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{10-1}{12} = \dfrac{9}{12}$
4. $9$ et $12$ sont dans la table de $3$ : $\dfrac{9}{12} = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}$
3. Dénominateurs quelconques : calcule $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$.
1. Multiples de $3$ : $3,\ 6,\ 9,\ \underline{\hspace{1.1em}}\ldots$   Multiples de $4$ : $4,\ 8,\ \underline{\hspace{1.1em}}\ldots$
2. Dénominateur commun :
3. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
4. Résultat : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
1. Multiples de $3$ : $3,\ 6,\ 9,\ 12\ldots$   Multiples de $4$ : $4,\ 8,\ 12\ldots$
2. Dénominateur commun : $12$.
3. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$
4. $\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$

Maintenant, on muscle la mémoire et les doigts. Cinq mini-calculs, du plus simple au plus complet : même dénominateur, puis un dénominateur multiple de l'autre, puis dénominateurs quelconques. Le but, c'est que le geste devienne automatique.

À toi de jouer

1. Calcule $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}$.
$\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
Même dénominateur : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{3+2}{7} = \dfrac{5}{7}$. $5$ et $7$ ne sont pas dans une même table.
2. Calcule $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8}$, puis écris le résultat avec des nombres plus petits.
$\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5-1}{8} = \dfrac{4}{8}$, et $4$ et $8$ sont dans la table de $4$ : $\dfrac{4}{8} = \dfrac{4 \div 4}{8 \div 4} = \dfrac{1}{2}$.
3. Calcule $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}$. (Indice : $8$ est un multiple de $4$.)
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$, donc $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$8 = 4 \times 2$, donc $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}$.
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$
4. Calcule $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10}$.
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10}$, donc $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$10 = 5 \times 2$, donc $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10}$.
$\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$
5. Calcule $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}$ : cette fois, aucun des deux dénominateurs n'est un multiple de l'autre.
Dénominateur commun :
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
Multiples de $3$ : $3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15\ldots$ ; multiples de $5$ : $5,\ 10,\ 15\ldots$ Dénominateur commun : $15$ (c'est aussi $3 \times 5$).
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{15}$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$, donc $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$

Tu maîtrises la base. On passe aux choses sérieuses : des exercices comme dans ton contrôle. Calculs mélangés, égalités à compléter, problèmes, pièges. Rappel de rédaction : le dénominateur commun doit apparaître sur ta copie, et d'où il vient.

À toi de jouer

1. Calcule chaque expression. Écris le résultat avec les plus petits nombres possibles.
a) $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{15}$
c) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3}$
Corrigé
a) Multiples de $4$ : $4, 8, 12$ ; de $6$ : $6, 12$. Dénominateur commun $12$.
$\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12}$ (le résultat dépasse $1$, c'est normal).
b) Multiples de $10$ : $10, 20, 30$ ; de $15$ : $15, 30$. Dénominateur commun $30$.
$\dfrac{7}{10} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{21}{30} - \dfrac{4}{30} = \dfrac{17}{30}$
c) Dénominateur commun $6$ : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$
2. Complète chaque égalité avec la fraction manquante.
a) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} = \dfrac{5}{6}$
b) $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{4} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$
c) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10} = \dfrac{9}{10}$
Corrigé
a) $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$, et $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6}$ : il manque $\dfrac{3}{6}$ (c'est-à-dire $\dfrac{1}{2}$).
b) $\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8}$, et $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ : le numérateur manquant est $3$. Vérification : $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$.
c) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$, et $\dfrac{9}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{10}$ : il manque $\dfrac{5}{10}$ (c'est-à-dire $\dfrac{1}{2}$).
3. Problème. Une classe prépare une exposition : $\dfrac{3}{5}$ des élèves s'occupent des affiches et $\dfrac{1}{4}$ des textes ; les autres installent la salle.
a) Quelle fraction de la classe s'occupe des affiches ou des textes ?
b) Quelle fraction de la classe installe la salle ?
Corrigé
a) Multiples de $5$ : $5, 10, 15, 20$ ; de $4$ : $4, 8, 12, 16, 20$. Dénominateur commun $20$.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}$, donc $\dfrac{12}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{17}{20}$ de la classe.
b) La classe entière vaut $\dfrac{20}{20}$, donc $\dfrac{20}{20} - \dfrac{17}{20} = \dfrac{3}{20}$ des élèves installent la salle.
4. Défi : calcule et écris le résultat avec les plus petits nombres possibles.
a) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{6}$
c) $1 - \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{4}$
Corrigé
a) $12$ est un multiple de $4$ : $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$, donc $\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{8}{12}$, et $8$ et $12$ sont dans la table de $4$ : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.
b) Multiples de $9$ : $9, 18$ ; de $6$ : $6, 12, 18$. Dénominateur commun $18$.
$\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{14}{18} - \dfrac{3}{18} = \dfrac{11}{18}$
c) $1 = \dfrac{8}{8}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$, donc $\dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}$.
5. Vrai ou faux ? Justifie en une phrase.
a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$
b) $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$
c) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{4}$
Corrigé
a) Faux : on n'additionne ni les numérateurs entre eux ni les dénominateurs entre eux tant que les dénominateurs diffèrent. Dénominateur commun $6$ : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
b) Vrai : $8$ est un multiple de $4$, donc $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.
c) Faux : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{3}$ — et non $\dfrac{4}{4}$, qui vaut $1$.

Tu additionnes des fractions de dénominateurs quelconques : le plus dur est fait. On va goûter à ce qui vient ensuite — la formule que les grands écrivent d'un seul coup, et les fractions dont le résultat passe sous zéro. Rien de tout ça n'est exigé au contrôle de 5e.

La formule générale

Le secours « produit des deux dénominateurs » peut s'écrire une fois pour toutes :

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d}$

Elle donne toujours un résultat juste, mais pas toujours avec les plus petits nombres : c'est le prix à payer pour ne plus avoir à chercher de listes de multiples. Tu l'utiliseras surtout en 4e, avec des lettres.

À toi de jouer

1. Applique la formule générale à $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5}$, puis refais le calcul avec la méthode des multiples et compare.
Corrigé
Formule : $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$, $d = 5$, donc $\dfrac{2 \times 5 + 3 \times 1}{3 \times 5} = \dfrac{10 + 3}{15} = \dfrac{13}{15}$.
Méthode des multiples : multiples de $3$ : $3, 6, 9, 12, 15$ ; de $5$ : $5, 10, 15$. Dénominateur commun $15$, donc $\dfrac{10}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{13}{15}$. Même résultat.
2. Applique la formule à $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$, puis recommence avec le plus petit dénominateur commun. Que remarques-tu ?
Corrigé
Formule : $\dfrac{1 \times 6 + 4 \times 1}{4 \times 6} = \dfrac{10}{24}$.
Plus petit dénominateur commun : multiples de $4$ : $4, 8, 12$ ; de $6$ : $6, 12$. Donc $12$, et $\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$.
Les deux écritures désignent le même nombre : $10$ et $24$ sont dans la table de $2$, et $\dfrac{10}{24} = \dfrac{5}{12}$. La formule est plus rapide, la méthode des multiples donne des nombres plus petits.
3. Aperçu de la suite : que se passe-t-il si on retire la plus grande fraction à la plus petite ? Calcule $\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{4}$.
Corrigé
Dénominateur commun $12$ : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$.
$\dfrac{4}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{4 - 9}{12} = \dfrac{-5}{12}$ : le numérateur devient négatif, et le résultat est un nombre négatif. C'est exactement ce que tu travailleras en 4e.