Pas de panique, on va te faire comprendre ça en un éclair. Tu as un contrôle bientôt et tu n'as jamais posé les yeux sur ces additions de fractions ? On repart de ce que tu sais déjà sur les fractions simples, et on construit la règle pas à pas. Tu vas voir, c'est comme ajouter des parts d'un même gâteau.
Prérequis : les fractions simples, tu connais déjà
En 6e, tu as appris ce qu'est une fraction. Par exemple, 3/7, c'est 3 parts d'un tout qui a été coupé en 7 parts égales. Le nombre du haut (3) s'appelle le numérateur : il dit combien on prend de parts. Le nombre du bas (7) s'appelle le dénominateur : il dit en combien de parts le tout est coupé. Si je te dis 2/7, ce sont des parts de la même taille que 3/7, car le dénominateur est le même.
La règle d'or (même dénominateur)
Quand deux fractions ont le même dénominateur, on garde ce dénominateur et on additionne (ou on soustrait) uniquement les numérateurs.
Addition : $\dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a + b}{n}$
Soustraction : $\dfrac{a}{n} - \dfrac{b}{n} = \dfrac{a - b}{n}$
Le piège à éviter : ne JAMAIS additionner les dénominateurs. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}$ ne fait pas $\dfrac{3}{8}$, mais $\dfrac{3}{4}$.
Et on simplifie si possible
Après le calcul, regarde si le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par un même nombre. Par exemple, $\dfrac{4}{8}$ se simplifie en $\dfrac{1}{2}$ car 4 et 8 sont tous les deux dans la table de 4.
À toi de jouer
1. On le fait ensemble. Complète les trous () pour additionner $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}$.
Les dénominateurs sont les mêmes (9), donc on les garde.
$\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Peut-on simplifier ?
Corrigé
Les dénominateurs sont les mêmes (9), donc on les garde.
$\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{2 + 5}{9} = \dfrac{7}{9}$
Peut-on simplifier ? Non, 7 et 9 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
2. À ton tour, complète pour la soustraction $\dfrac{8}{11} - \dfrac{3}{11}$.
$\dfrac{8}{11} - \dfrac{3}{11} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Peut-on simplifier ?
Corrigé
$\dfrac{8}{11} - \dfrac{3}{11} = \dfrac{8 - 3}{11} = \dfrac{5}{11}$
Peut-on simplifier ? Non, 5 et 11 n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
3. Un petit dernier avec simplification. Complète : $\dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{10}$.
$\dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
On simplifie : 8 et 10 sont dans la table de .
$\dfrac{8 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{10 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{3 + 5}{10} = \dfrac{8}{10}$
On simplifie : 8 et 10 sont dans la table de 2.
$\dfrac{8 \div 2}{10 \div 2} = \dfrac{4}{5}$
Ah, ces fractions qui se ressemblent... Tu sens que tu as déjà vu ça, mais c'est flou. On va remettre de l'ordre dans tout ça. Je te rappelle la méthode exacte, étape par étape, et on applique tout de suite. Après ce palier, tu sauras faire sans hésiter.
Rappel structuré : addition et soustraction
Quand les dénominateurs sont identiques, les parts sont de la même famille. On peut donc les rassembler ou les enlever directement.
Règle : $\dfrac{a}{n} \pm \dfrac{b}{n} = \dfrac{a \pm b}{n}$
Le dénominateur ne change pas. Seuls les numérateurs s'ajoutent ou se soustraient.
Méthode pas-à-pas
- Vérifier que les deux fractions ont bien le même dénominateur.
- Additionner ou soustraire les numérateurs entre eux.
- Recopier le dénominateur commun.
- Simplifier la fraction obtenue si c'est possible (trouver un diviseur commun au numérateur et au dénominateur).
Erreurs fréquentes :
- Additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}
eq \dfrac{3}{8}$. - Oublier de simplifier : $\dfrac{4}{8}$ doit devenir $\dfrac{1}{2}$.
À toi de jouer
1. Applique la méthode pour $\dfrac{4}{13} + \dfrac{7}{13}$. Complète les trous.
1. Même dénominateur ?
2. Opération sur les numérateurs : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
3. Dénominateur commun :
4. Résultat : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
5. Simplification ?
Corrigé
1. Même dénominateur ? Oui, 13.
2. Opération sur les numérateurs : 4 + 7 = 11
3. Dénominateur commun : 13
4. Résultat : $\dfrac{11}{13}$
5. Simplification ? Non, 11 et 13 n'ont pas de diviseur commun.
2. Même chose pour la soustraction $\dfrac{9}{7} - \dfrac{5}{7}$. Complète.
1. Même dénominateur ?
2. Opération sur les numérateurs : $\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
3. Dénominateur commun :
4. Résultat : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
5. Simplification ?
Corrigé
1. Même dénominateur ? Oui, 7.
2. Opération sur les numérateurs : 9 - 5 = 4
3. Dénominateur commun : 7
4. Résultat : $\dfrac{4}{7}$
5. Simplification ? Non.
3. Un calcul avec simplification : $\dfrac{6}{14} + \dfrac{2}{14}$. Complète.
$\dfrac{6}{14} + \dfrac{2}{14} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplifions : 8 et 14 sont divisibles par .
$\dfrac{8 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{14 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\dfrac{6}{14} + \dfrac{2}{14} = \dfrac{6 + 2}{14} = \dfrac{8}{14}$
Simplifions : 8 et 14 sont divisibles par 2.
$\dfrac{8 \div 2}{14 \div 2} = \dfrac{4}{7}$
Maintenant, on muscle ta mémoire et tes doigts. Cinq mini-exercices quasi identiques. Le but ? Que le geste devienne automatique. Tu vas enchaîner les additions et soustractions, simplifier quand il faut, sans même réfléchir. Prêt ?
À toi de jouer
1. Calcule $\dfrac{2}{15} + \dfrac{8}{15}$. Simplifie si possible.
$\dfrac{2}{15} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplification ?
Corrigé
$\dfrac{2}{15} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{10}{15}$
Simplification ? Oui, par 5 : $\dfrac{10 \div 5}{15 \div 5} = \dfrac{2}{3}$
2. Calcule $\dfrac{4}{21} + \dfrac{10}{21}$. Simplifie si possible.
$\dfrac{4}{21} + \dfrac{10}{21} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplification ?
Corrigé
$\dfrac{4}{21} + \dfrac{10}{21} = \dfrac{14}{21}$
Simplification ? Oui, par 7 : $\dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \dfrac{2}{3}$
3. Calcule $\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{12}$. Simplifie si possible.
$\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplification ?
Corrigé
$\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{12}$
Simplification ? Oui, par 6 : $\dfrac{6 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{1}{2}$
4. Calcule $\dfrac{11}{16} - \dfrac{3}{16}$. Simplifie si possible.
$\dfrac{11}{16} - \dfrac{3}{16} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplification ?
Corrigé
$\dfrac{11}{16} - \dfrac{3}{16} = \dfrac{8}{16}$
Simplification ? Oui, par 8 : $\dfrac{8 \div 8}{16 \div 8} = \dfrac{1}{2}$
5. Calcule $\dfrac{5}{18} + \dfrac{7}{18}$. Simplifie si possible.
$\dfrac{5}{18} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplification ?
Corrigé
$\dfrac{5}{18} + \dfrac{7}{18} = \dfrac{12}{18}$
Simplification ? Oui, par 6 : $\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$
Tu maîtrises la base. On passe aux choses sérieuses : des exercices comme dans ton contrôle. Problèmes, calculs mélangés, pièges de simplification... Tu vas voir que tu es prêt. N'oublie pas : on vérifie toujours si le résultat peut se simplifier.
À toi de jouer
1. Calcule chaque expression et donne le résultat sous forme simplifiée.
a) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{8}$
b) $\dfrac{13}{6} - \dfrac{5}{6}$
c) $\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{9}$
Corrigé
a) $\dfrac{3}{8} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4}$
b) $\dfrac{13}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$
c) $\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}$ (ne se simplifie pas)
2. Complète les égalités suivantes avec la fraction manquante.
a) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12} = \dfrac{11}{12}$
b) $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{7}$
c) $\dfrac{9}{10} - \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10} = \dfrac{1}{5}$ (attention, simplifie d'abord $\dfrac{1}{5}$ en dixièmes)
Corrigé
a) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{6}{12} = \dfrac{11}{12}$
b) $\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{7}$
c) $\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10}$, donc $\dfrac{9}{10} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10}$
3. Problème : Lors d'une randonnée, un groupe parcourt $\dfrac{5}{12}$ du trajet le matin et $\dfrac{4}{12}$ du trajet l'après-midi.
a) Quelle fraction du trajet total ont-ils parcourue ?
b) Quelle fraction du trajet reste-t-il à parcourir ?
Corrigé
a) Fraction parcourue : $\dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ du trajet.
b) Fraction restante : $\dfrac{12}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ du trajet.
4. Défi simplification : Calcule et simplifie au maximum.
a) $\dfrac{8}{18} + \dfrac{10}{18}$
b) $\dfrac{15}{25} - \dfrac{5}{25}$
c) $\dfrac{3}{24} + \dfrac{9}{24} - \dfrac{4}{24}$
Corrigé
a) $\dfrac{8}{18} + \dfrac{10}{18} = \dfrac{18}{18} = 1$
b) $\dfrac{15}{25} - \dfrac{5}{25} = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$
c) $\dfrac{3}{24} + \dfrac{9}{24} - \dfrac{4}{24} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}$
5. Vrai ou Faux ? Justifie en une phrase.
a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10}$
b) $\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9}$, et on peut simplifier en $\dfrac{1}{3}$.
c) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$
Corrigé
a) Faux. On n'additionne pas les dénominateurs : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$.
b) Vrai. $\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
c) Faux. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$, pas $\dfrac{2}{4}$.
Tu gères les mêmes dénominateurs. Mais que se passe-t-il si les dénominateurs sont différents ? C'est ce qui t'attend l'an prochain. On va y goûter un peu : transformer des fractions pour qu'elles aient le même dénominateur, puis appliquer ce que tu sais déjà faire. Curieux ?
Quand les dénominateurs ne sont pas les mêmes...
L'an prochain, tu apprendras à additionner des fractions comme $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$. Pour l'instant, on ne peut pas directement car les parts ne sont pas de la même taille. L'astuce sera de trouver un dénominateur commun en utilisant des fractions équivalentes. Par exemple, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$. Ensuite, on additionne normalement : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$. Magique !
À toi de jouer
1. On te donne les fractions équivalentes. Complète le calcul comme si tu y étais.
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}$. On sait que $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$.
Donc $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}$
2. Même principe : $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6}$. On sait que $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.
Donc $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Simplifie si possible.
Corrigé
$\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
3. À toi de trouver le dénominateur commun et de transformer. Calcule $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$.
Indice : un dénominateur commun peut être 12.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$.
Donc $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12} + \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
Corrigé
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$.
Donc $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$