Contrôle de probabilités bientôt et tu n'as rien suivi ? Bonne nouvelle : ce chapitre se résume à compter — compter les résultats possibles, compter ceux qui t'arrangent, et diviser. Le reste, c'est du vocabulaire.
Ce qu'il te faut avant de commencer : savoir écrire une fraction, la transformer en écriture décimale et en pourcentage. C'est tout.
Idée 1 — l'expérience aléatoire. Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on connaît d'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel va sortir : lancer un dé, tirer une boule dans un sac, faire tourner une roue.
Idée 2 — l'issue. Chaque résultat possible s'appelle une issue. Le lancer d'un dé à six faces a six issues : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.
Idée 3 — l'évènement. Un évènement, c'est ce qu'on décrit par une phrase, et qui regroupe une ou plusieurs issues : « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $2$, $4$ et $6$.
Idée 4 — la probabilité. La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure ses chances de se produire. $0$ = impossible, $1$ = certain.
Idée 5 — la formule (quand tout est équilibré). Si toutes les issues ont la même chance de sortir — on dit qu'il y a équiprobabilité — alors $$p = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.$$
Les quatre réflexes à retenir :
Ça, tu l'as déjà vu et tu dois seulement l'entretenir : on peut ranger les évènements sur une échelle de probabilité graduée de $0$ (impossible) à $1$ (certain). Plus un évènement est probable, plus il est à droite.
On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Étape 1 — les issues. Les résultats possibles sont $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$. Il y a donc $6$ issues.
Étape 2 — l'équiprobabilité. Le dé est équilibré : chaque face a la même chance de sortir. Je peux utiliser la formule.
Étape 3 — les issues favorables. « Obtenir un nombre pair », c'est obtenir $2$, $4$ ou $6$ : cela fait $3$ issues favorables.
Étape 4 — le calcul. $p = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$.
Étape 5 — la phrase. « La probabilité d'obtenir un nombre pair est $\dfrac{1}{2}$, soit une chance sur deux. » Et le contrôle : $0{,}5$ est bien compris entre $0$ et $1$.
Ça te revient : les dés, les pièces, les sacs de boules. On reprend tout au propre, avec les mots exacts du programme — et avec la grande nouveauté de cette année : l'expérience qu'on répète pour de vrai.
Expérience aléatoire. Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on connaît tous ses résultats possibles, mais qu'on ne peut pas savoir à l'avance lequel se produira. Lancer un dé est aléatoire ; mesurer la longueur de sa trousse ne l'est pas.
Issue. Une issue est un résultat possible de l'expérience, et un seul. Pour un lancer de pièce, les issues sont « pile » et « face ». Pour un tirage dans un sac de $20$ boules, il y a $20$ issues si les boules sont numérotées, et $3$ issues si l'on ne s'intéresse qu'à leur couleur : c'est à toi de dire de quoi tu parles.
Évènement. Un évènement est décrit par une phrase et regroupe les issues qui le réalisent. Exemples pour un dé : « obtenir $6$ » (une seule issue), « obtenir un nombre pair » (trois issues), « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » (les six issues, l'évènement est certain), « obtenir $7$ » (aucune issue, l'évènement est impossible).
Probabilité. La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ : $0 \le p \le 1$. Elle vaut $0$ pour un évènement impossible, $1$ pour un évènement certain. On l'écrit en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage.
Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité. C'est le cas quand le matériel est régulier : un dé équilibré, une pièce équilibrée, une roue à secteurs identiques, des boules indiscernables au toucher.
Propriété. En situation d'équiprobabilité, s'il y a $n$ issues, chaque issue a pour probabilité $\dfrac{1}{n}$, et pour un évènement $$p = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.$$
Attention, c'est la condition qui fait toute la valeur de la formule. Si les issues n'ont pas la même chance, ce calcul est faux. Une punaise lancée en l'air retombe soit sur la pointe, soit sur le côté : deux issues — mais rien ne dit qu'elles ont chacune une probabilité de $\dfrac{1}{2}$. Voilà pourquoi, dans les énoncés, les mots « équilibré » et « indiscernables au toucher » ne sont jamais là pour décorer.
Un contrôle gratuit. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1$. Pour un dé équilibré : $\dfrac{1}{6} \times 6 = 1$. Si tes probabilités ne totalisent pas $1$, tu as oublié une issue ou fait une erreur.
Voilà la nouveauté du programme, et elle ne se fait pas sur ordinateur : on prend un vrai dé, une vraie pièce, un vrai sac, et on recommence l'expérience un grand nombre de fois en notant chaque résultat.
Le protocole, en quatre temps.
Le mot nouveau : la fréquence observée. La fréquence observée d'une issue est le quotient de son effectif par le nombre de répétitions : $$f = \dfrac{\text{nombre de fois où l'issue est sortie}}{\text{nombre de répétitions}}.$$ Comme toute fréquence, elle est comprise entre $0$ et $1$, et la somme des fréquences observées vaut $1$.
Et voici le point le plus important du chapitre :
Un petit nombre de répétitions ne prouve rien. Si tu lances une pièce équilibrée $10$ fois et que tu obtiens $7$ fois pile, la fréquence observée vaut $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$. Ce n'est pas $0{,}5$, et pourtant la pièce n'a rien d'anormal : sur si peu de lancers, un tel écart est banal. Conclure « cette pièce est truquée » serait une faute de raisonnement.
Assez de théorie. Trois exemples traités en entier, ligne par ligne — un dé, un sac de boules, et la fameuse expérience répétée cent fois.
On y va. On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$.
Ligne 1 — les issues. Les issues sont $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$, soit $6$ issues en tout. Le dé est équilibré, donc elles ont toutes la même probabilité : $\dfrac{1}{6}$ chacune.
Ligne 2 — évènement A : « obtenir $4$ ». Une seule issue est favorable, donc $p_A = \dfrac{1}{6}$. En écriture décimale, $1 \div 6 \approx 0{,}17$ : environ $17\,\%$. On garde ici la fraction, qui est exacte, et on donne l'écriture décimale comme valeur approchée.
Ligne 3 — évènement B : « obtenir un nombre pair ». Les issues favorables sont $2$, $4$ et $6$, soit $3$ issues sur $6$ : $p_B = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$.
Ligne 4 — évènement C : « obtenir un nombre strictement supérieur à $4$ ». Les issues favorables sont $5$ et $6$, soit $2$ issues sur $6$ : $p_C = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$, soit environ $33\,\%$.
Ligne 5 — les contrôles. Les trois résultats sont bien compris entre $0$ et $1$. Et le classement est cohérent avec l'intuition : $p_A \lt p_C \lt p_B$, car l'évènement B regroupe le plus d'issues.
Conclusion. Lister les issues, vérifier l'équiprobabilité, compter les favorables, diviser, conclure par une phrase. Toujours ces cinq gestes.
On continue. Une urne contient $20$ boules indiscernables au toucher : $8$ rouges, $7$ bleues et $5$ vertes. On tire une boule au hasard.
Ligne 1 — pourquoi il y a équiprobabilité. Les boules sont indiscernables au toucher : impossible de choisir, chacune des $20$ a la même chance d'être tirée, soit $\dfrac{1}{20}$.
Ligne 2 — l'évènement « obtenir une boule rouge ». $8$ boules sur $20$ le réalisent : $p = \dfrac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%$.
Ligne 3 — les deux autres couleurs. Bleue : $\dfrac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%$. Verte : $\dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$.
Ligne 4 — le contrôle. $0{,}4 + 0{,}35 + 0{,}25 = 1$, soit $40 + 35 + 25 = 100\,\%$ : les trois couleurs couvrent bien toutes les possibilités.
Ligne 5 — une lecture. Le rouge est la couleur la plus probable, mais avec $40\,\%$ il reste plus probable de tirer une boule qui n'est pas rouge ($60\,\%$). Une probabilité de $0{,}4$, ce n'est pas « ça va arriver ».
Dernier échauffement, et c'est le plus neuf. Une classe lance un dé équilibré $100$ fois et note chaque résultat. Voici le tableau obtenu.
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
| Effectif | 14 | 19 | 15 | 18 | 16 | 18 | 100 |
| Fréquence observée | 0,14 | 0,19 | 0,15 | 0,18 | 0,16 | 0,18 | 1 |
Ligne 1 — le contrôle des effectifs. $14 + 19 + 15 + 18 + 16 + 18 = 100$ : aucun lancer n'a été perdu.
Ligne 2 — les fréquences. On divise chaque effectif par $100$ : $\dfrac{14}{100} = 0{,}14$, $\dfrac{19}{100} = 0{,}19$, et ainsi de suite. Leur somme vaut $0{,}14 + 0{,}19 + 0{,}15 + 0{,}18 + 0{,}16 + 0{,}18 = 1$ : deuxième contrôle réussi.
Ligne 3 — la comparaison avec la probabilité. Chaque face a pour probabilité $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$. Les fréquences observées valent $0{,}14$ ; $0{,}19$ ; $0{,}15$ ; $0{,}18$ ; $0{,}16$ ; $0{,}18$ : elles tournent autour de $0{,}17$ sans jamais l'égaler.
Ligne 4 — pourquoi c'est normal. Pour que les six effectifs soient égaux, il faudrait que chaque face sorte $100 \div 6$ fois, c'est-à-dire environ $16{,}7$ fois : c'est impossible, un effectif est un nombre entier. Un dé parfaitement équilibré ne peut donc pas donner six effectifs égaux en $100$ lancers.
Ligne 5 — un évènement observé. « Obtenir un nombre pair » a pour probabilité $\dfrac{3}{6} = 0{,}5$. Ici, les faces paires sont sorties $19 + 18 + 18 = 55$ fois, soit une fréquence observée de $\dfrac{55}{100} = 0{,}55$. L'écart avec $0{,}5$ ne dit rien contre le dé.
Conclusion, à écrire telle quelle. « Les fréquences observées sont proches de $\dfrac{1}{6}$ sans lui être égales, ce qui est normal : la répétition ne donne pas la probabilité, elle en donne une estimation qui change à chaque nouvelle série de lancers. »
Le jour du contrôle, les points se gagnent sur la rigueur : lister les issues, justifier l'équiprobabilité, conclure par une phrase — et ne pas tomber dans les pièges du hasard, qui sont toujours les mêmes.
Un sac contient $25$ jetons indiscernables au toucher, dont $10$ sont gagnants. On tire un jeton au hasard.
Étape 1 — l'expérience et les issues. L'expérience aléatoire est « tirer un jeton au hasard ». Il y a $25$ issues, et comme les jetons sont indiscernables au toucher, elles sont équiprobables.
Étape 2 — l'évènement « le jeton est gagnant ». $10$ issues sur $25$ sont favorables : $p = \dfrac{10}{25} = 0{,}4 = 40\,\%$.
Étape 3 — l'évènement « le jeton est perdant ». Les jetons perdants sont au nombre de $25 - 10 = 15$, donc $p = \dfrac{15}{25} = 0{,}6 = 60\,\%$.
Étape 4 — le contrôle. $0{,}4 + 0{,}6 = 1$ : les deux évènements couvrent bien toutes les possibilités.
Ce que le correcteur attend : la phrase qui justifie l'équiprobabilité (« les jetons sont indiscernables au toucher »), le quotient écrit avant le résultat, et une conclusion rédigée.
Une élève lance une pièce équilibrée $50$ fois et obtient $27$ fois pile.
a) Quelle est la fréquence observée de pile ? $f = \dfrac{27}{50} = 0{,}54 = 54\,\%$. Celle de face : $\dfrac{23}{50} = 0{,}46 = 46\,\%$. Contrôle : $0{,}54 + 0{,}46 = 1$.
b) Quelle est la probabilité d'obtenir pile ? La pièce est équilibrée : $p = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. Ce nombre ne dépend pas de l'expérience qu'on vient de faire.
c) La pièce est-elle truquée ? Rien ne permet de le dire. L'écart entre $0{,}54$ et $0{,}5$ est petit, et sur $50$ lancers un tel écart n'a rien d'étonnant.
d) Toute la classe met ses résultats en commun : $8$ groupes de $50$ lancers, soit $400$ lancers, dont $206$ piles. La fréquence observée devient $\dfrac{206}{400} = 0{,}515$. Elle s'est rapprochée de $0{,}5$ : l'écart est passé de $0{,}04$ à $0{,}015$. C'est ce qu'on observe en général quand le nombre de répétitions augmente — sans qu'aucune série ne soit jamais obligée de le faire.
Une roue est partagée en $8$ secteurs identiques : $3$ rouges, $2$ bleus, $3$ jaunes. On la fait tourner.
a) Nomme l'expérience aléatoire et ses issues. L'expérience est « faire tourner la roue et regarder la couleur du secteur obtenu ». Les issues, vues en couleurs, sont : rouge, bleu, jaune.
b) Y a-t-il équiprobabilité entre ces trois issues ? Non ! Les $8$ secteurs sont équiprobables parce qu'ils sont identiques, mais les trois couleurs ne le sont pas, puisqu'elles ne couvrent pas le même nombre de secteurs. C'est le piège classique : on compte les secteurs, jamais les couleurs.
c) Calcule les trois probabilités. Rouge : $\dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$. Bleu : $\dfrac{2}{8} = 0{,}25 = 25\,\%$. Jaune : $\dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%$.
d) Contrôle. $0{,}375 + 0{,}25 + 0{,}375 = 1$. Le compte est bon.
Tu as tout compris ? Alors regardons par-dessus la clôture : voilà ce que le hasard va devenir dans les années qui viennent.
Tu l'as croisé sans le nommer : quand $40\,\%$ des boules sont rouges, il y a $60\,\%$ de chances d'en tirer une qui ne l'est pas. En $4^{\text{e}}$, cela deviendra une propriété avec un nom — l'évènement contraire — et une formule : la probabilité d'un évènement et celle de son contraire ont pour somme $1$.
C'est souvent le chemin le plus court : pour calculer la probabilité d'« obtenir au moins un $6$ », on calcule celle de « n'obtenir aucun $6$ », et on la retire de $1$.
Cette année, une seule épreuve à la fois : un lancer, un tirage. À partir de la $3^{\text{e}}$, tu enchaîneras deux épreuves — lancer deux dés, tirer deux boules — et tu apprendras à dessiner un arbre pour n'oublier aucune issue.
Tu y découvriras des surprises : avec deux dés, la somme $7$ est bien plus probable que la somme $2$, alors que chaque face est pourtant équiprobable. La raison est simple à énoncer et amusante à vérifier : il y a plusieurs façons de faire $7$, et une seule de faire $2$.
Les $100$ lancers que tu fais à la main cette année, un ordinateur les fera $10\,000$ fois en $3^{\text{e}}$ : c'est la simulation. Le constat que tu as établi avec ton dé prendra alors toute sa force — plus le nombre de répétitions est grand, plus les fréquences observées se rapprochent, en général, des probabilités.
Ce résultat porte un nom que tu entendras au lycée : la loi des grands nombres. Il explique pourquoi les compagnies d'assurance, les instituts de sondage et les laboratoires savent raisonner sur des milliers de cas alors qu'ils sont incapables de prévoir le tien.
Tu l'as vu : dès qu'on répète une expérience, on retombe sur le tableau d'effectifs et de fréquences du chapitre de statistiques, et sur le diagramme en barres. Les deux moitiés du domaine se répondent — les statistiques décrivent ce qui a été observé, les probabilités disent ce à quoi on s'attend. Toute la suite de ton parcours consistera à faire dialoguer ces deux points de vue.
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