Tu n'as jamais mis les pieds dans ce cours, mais avec les fractions de 6e en poche, on te rend opérationnel en un éclair. Prends une grande respiration, on décolle.
Souviens-toi de 6e (prérequis : fractions simples, partage, mesure)
Une fraction $\frac{a}{b}$, c'est $a$ parts d'un tout coupé en $b$ parts égales. Par exemple, $\frac{3}{4}$ de pizza, c'est 3 parts d'une pizza coupée en 4. Sur une droite graduée, $\frac{3}{4}$ se place entre 0 et 1, à trois quarts de l'unité.
Deux fractions différentes mais même quantité
On peut écrire la même part avec deux fractions différentes. Observe les deux barres : la première coupée en 2 (1 part coloriée), la seconde coupée en 4 (2 parts coloriées). C'est la même surface ! On a $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
Règle magique de l'égalité
On multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (non nul), la valeur ne change pas :
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ (si $k$ divise $a$ et $b$).
Simplifier une fraction, c'est la diviser pour obtenir des nombres plus petits. On s'arrête quand on ne peut plus diviser : fraction irréductible.
Comparer des fractions
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Ex. $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ car 5<7. Si les dénominateurs sont différents, on les met au même dénominateur (en utilisant la règle magique) puis on compare les numérateurs.
À toi de jouer
1. Complète les égalités en appliquant la règle magique. On te donne le nombre par lequel multiplier ou diviser.
a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
b) $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{25 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{2}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{16}{28}$
Corrigé
a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$
b) $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{2}{5}$
c) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{16}{28}$
2. Simplifie ces fractions en complétant les trous (on t'aide en te donnant le diviseur commun).
a) $\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{18 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ (diviseur commun 6)
b) $\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{25 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ (diviseur commun 5)
c) $\dfrac{20}{28} = \dfrac{20 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{28 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{5}{7}$ (à toi de trouver le diviseur)
Corrigé
a) $\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$
b) $\dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{3}{5}$
c) $\dfrac{20}{28} = \dfrac{20 \div 4}{28 \div 4} = \dfrac{5}{7}$ (le diviseur commun est 4)
3. Compare ces fractions : on les a déjà mises au même dénominateur, complète le signe $<$ ou $>$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$, donc $\dfrac{3}{4} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{6}$.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{5}{12}$ est déjà là, donc $\dfrac{1}{3} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{12}$.
Corrigé
$\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$ car 9 < 10. $\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{12}$ car 4 < 5.
Ah, ces fractions égales, tu as déjà entendu parler. On remet tout à plat tranquillement : les règles, la méthode de simplification, et la mise au même dénominateur pour comparer. Ensuite, hop à l'action.
Propriétés de l'égalité (rappel structuré)
Pour $b
eq 0$ et $k
eq 0$ :
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ (si $k$ divise $a$ et $b$).
Chaque fraction a une simplification maximale : la fraction irréductible. On y arrive en divisant par le plus grand diviseur commun (PGCD) ou par étapes.
Méthode pas-à-pas : simplifier une fraction
- Trouver un diviseur commun $d \ge 2$ du numérateur et du dénominateur.
- Diviser numérateur et dénominateur par $d$.
- Recommencer jusqu'à ce que le seul diviseur commun soit 1. Pour aller plus vite, on peut directement diviser par le plus grand diviseur commun.
Exemple : $\frac{36}{48}$. PGCD(36,48)=12. $\frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$ (irréductible).
Méthode : comparer deux fractions
- Si elles ont le même dénominateur $c > 0$, $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ quand $a < b$.
- Si elles n'ont pas le même dénominateur, on les transforme en fractions égales ayant un dénominateur commun (de préférence le plus petit multiple commun, PPCM). Ensuite on compare les numérateurs.
- Cas particulier : même numérateur non nul, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite (car les parts sont plus petites).
Exemple : comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$. PPCM(4,6)=12. $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$, donc $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.
À toi de jouer
1. Complète les égalités en trouvant le nombre manquant.
a) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{15}$
b) $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{9} = \dfrac{12}{27}$
Corrigé
a) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{6}{15}$, donc 6.
b) $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$, donc 4.
c) $\dfrac{12}{27} = \dfrac{12 \div 3}{27 \div 3} = \dfrac{4}{9}$, donc 4.
2. Simplifie chaque fraction en une seule étape en utilisant le PGCD indiqué (on te donne le diviseur le plus grand pour aller directement à l'irréductible).
a) $\dfrac{12}{18}$, PGCD = 6 → $\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $\dfrac{20}{28}$, PGCD = 4 → $\dfrac{20 \div 4}{28 \div 4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{24}{36}$, PGCD = 12 → $\dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
a) $\dfrac{2}{3}$ ; b) $\dfrac{5}{7}$ ; c) $\dfrac{2}{3}$
3. Mets au même dénominateur puis compare avec $<$ ou $>$. On t'aide en te donnant le dénominateur commun choisi.
a) $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{5}{14}$ — dénominateur commun 14 :
$\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{14}$ ; $\dfrac{5}{14}$ reste $\dfrac{5}{14}$. Donc $\dfrac{3}{7} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{14}$.
b) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{3}{4}$ — dénominateur commun 8 :
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$, donc $\dfrac{5}{8} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{4}$.
Corrigé
a) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{6}{14}$ ; $6 > 5$, donc $\dfrac{3}{7} > \dfrac{5}{14}$.
b) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ ; $5 < 6$, donc $\dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}$.
On muscle les doigts : rien que de la simplification, cinq fois d'affilée, jusqu'à ce que ça devienne un réflexe. Mêmes étapes, juste les nombres qui changent.
À toi de jouer
1. Simplifie la fraction pour la rendre irréductible. Complète les étapes.
$\dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Fraction irréductible : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
$\dfrac{8}{12} = \dfrac{8 \div 4}{12 \div 4} = \dfrac{2}{3}$ irréductible.
2. Simplifie la fraction pour la rendre irréductible. Trouve un diviseur commun.
$\dfrac{14}{35} = \dfrac{14 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{35 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Fraction irréductible : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
Diviseur commun 7 : $\dfrac{14 \div 7}{35 \div 7} = \dfrac{2}{5}$ irréductible.
3. Simplifie pour obtenir l'irréductible.
$\dfrac{9}{15} = \dfrac{9 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{15 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Fraction irréductible : $\dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
Diviseur commun 3 : $\dfrac{9 \div 3}{15 \div 3} = \dfrac{3}{5}$ irréductible.
4. Rends irréductible la fraction $\dfrac{18}{30}$ en complétant.
$\dfrac{18}{30} = \dfrac{18 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Fraction irréductible : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
$\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$ irréductible.
5. Simplifie $\dfrac{24}{40}$ jusqu'à l'irréductible (à toi de choisir le diviseur).
$\dfrac{24}{40} = \dfrac{24 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{40 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Fraction irréductible : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
Avec diviseur 8 : $\dfrac{24}{40} = \dfrac{3}{5}$ irréductible.
Maintenant que la mécanique est huilée, on attaque le format contrôle. Tu vas mener ces exercices en autonomie, sans trous, comme en éval. Garde ton calme, applique les méthodes, tout va bien se passer.
À toi de jouer
1. Complète chaque égalité en trouvant le nombre manquant.
1) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{25}$
2) $\dfrac{?}{6} = \dfrac{14}{21}$
3) $\dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{?}$
4) $\dfrac{4}{9} = \dfrac{?}{45}$
Corrigé
1) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 5}{5 \times 5} = \dfrac{15}{25}$
2) $\dfrac{14}{21} = \dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$, donc $? = 4$
3) $\dfrac{20}{24} = \dfrac{20 \div 4}{24 \div 4} = \dfrac{5}{6}$, donc $? = 6$
4) $\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{20}{45}$
2. Simplifie chaque fraction pour la rendre irréductible. Indique les divisions effectuées.
a) $\dfrac{18}{27}$
b) $\dfrac{24}{36}$
c) $\dfrac{44}{55}$
d) $\dfrac{48}{64}$
Corrigé
a) $\dfrac{18}{27} = \dfrac{18 \div 9}{27 \div 9} = \dfrac{2}{3}$ ou par étapes.
b) $\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3}$.
c) $\dfrac{44}{55} = \dfrac{44 \div 11}{55 \div 11} = \dfrac{4}{5}$.
d) $\dfrac{48}{64} = \dfrac{48 \div 16}{64 \div 16} = \dfrac{3}{4}$.
3. Place le symbole $<$, $>$ ou $=$ entre les deux fractions. Justifie chaque réponse.
a) $\dfrac{7}{11} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{11}$
b) $\dfrac{3}{8} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{7}$
c) $\dfrac{5}{12} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{7}{18}$
d) $\dfrac{9}{15} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{5}$
Corrigé
a) Même dénominateur 11, 7>5 donc $\frac{7}{11} > \frac{5}{11}$.
b) Même numérateur 3, 8>7 donc chaque part est plus petite, $\frac{3}{8} < \frac{3}{7}$.
c) Dénominateur commun 36 : $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$, $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, 15>14 donc $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
d) $\frac{9}{15}$ simplifiée par 3 donne $\frac{3}{5}$, donc $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
4. Range les fractions suivantes par ordre croissant. Montre toutes les étapes.
$\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{7}{9}$, $\dfrac{11}{12}$
Corrigé
Dénominateur commun : PPCM(6,9,12) = 36. $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$, $\frac{7}{9} = \frac{28}{36}$, $\frac{11}{12} = \frac{33}{36}$. 28 < 30 < 33 donc $\frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$.
5. Problème — Le partage du terrain. Une parcelle est partagée entre trois personnes : Alexis reçoit $\frac{3}{10}$ du terrain, Léa $\frac{2}{5}$, et Camille $\frac{1}{10}$.
a) Montre que $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$.
b) Qui a la plus grande part ? Justifie en comparant avec le même dénominateur.
c) Quelle fraction du terrain a été distribuée au total ? Le terrain est-il entièrement partagé ?
d) S'il reste une partie, quelle fraction cela représente-t-il ?
Corrigé
a) $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$.
b) Même dénominateur 10 : Alexis $\frac{3}{10}$, Léa $\frac{4}{10}$, Camille $\frac{1}{10}$. $4 > 3 > 1$, donc Léa a la plus grande part.
c) Total $\frac{3}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Le terrain n'est pas entièrement partagé ($\frac{4}{5} < 1$).
d) Part restante : $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Prêt à voir plus loin ? On va utiliser la simplification et la comparaison avec des fractions moins évidentes, et goûter à la mise en équation. L'an prochain, tu jongleras avec ça les doigts dans le nez.
À toi de jouer
1. Trouve une fraction égale à $\frac{54}{72}$ dont le dénominateur soit 12. Puis simplifie cette fraction pour vérifier si elle est équivalente à $\frac{3}{4}$.
Corrigé
$\frac{54}{72}$ simplifiée par 6 donne $\frac{9}{12}$, puis par 3 donne $\frac{3}{4}$. Donc $\frac{54}{72} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Oui, équivalente.
2. Compare les fractions suivantes en utilisant la simplification avant de choisir un dénominateur commun (astuce : simplifie d'abord pour avoir des nombres plus petits).
$\dfrac{27}{45}$ et $\dfrac{14}{21}$
Corrigé
Simplification : $\frac{27 \div 9}{45 \div 9} = \frac{3}{5}$ et $\frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$. Comparaison : PPCM(5,3)=15, $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$, $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, donc $\frac{27}{45} < \frac{14}{21}$.
3. Problème — Les trois lots de cartes. Dans un jeu, un premier lot contient $\frac{3}{8}$ du total des images, un deuxième lot $\frac{5}{12}$, et le troisième lot le reste.
a) Quelle fraction représentent les deux premiers lots ensemble ?
b) Exprime la fraction du troisième lot sous forme d'une fraction irréductible.
c) Mets les trois lots dans l'ordre croissant de leur part.
d) Le fabricant veut produire exactement 240 cartes. Combien de cartes y aura-t-il dans chaque lot ?
Corrigé
a) $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$.
b) Troisième lot : $1 - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$, déjà irréductible.
c) Dénominateur commun 24 : $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$, $\frac{5}{24}$. Ordre croissant : $\frac{5}{24} < \frac{9}{24} < \frac{10}{24}$, donc troisième lot < premier lot < deuxième lot.
d) 240 cartes : premier lot $\frac{3}{8} \times 240 = 90$, deuxième $\frac{5}{12} \times 240 = 100$, troisième $\frac{5}{24} \times 240 = 50$.