Tu n'as jamais mis les pieds dans ce cours, mais avec les fractions de 6e en poche, on te rend opérationnel en un éclair. Prends une grande respiration, on décolle.
Souviens-toi de 6e (prérequis : fractions simples, partage, mesure)
Une fraction $\frac{a}{b}$, c'est $a$ parts d'un tout coupé en $b$ parts égales. Par exemple, $\frac{3}{4}$ de pizza, c'est 3 parts d'une pizza coupée en 4. Sur une droite graduée, $\frac{3}{4}$ se place entre 0 et 1, à trois quarts de l'unité.
Deux fractions différentes mais même quantité
On peut écrire la même part avec deux fractions différentes. Observe les deux barres : la première coupée en 2 (1 part coloriée), la seconde coupée en 4 (2 parts coloriées). C'est la même surface ! On a $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.
Règle magique de l'égalité
On multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (non nul), la valeur ne change pas :
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ (si $k$ divise $a$ et $b$).
C'est cette règle qui sert à tout le reste : comparer, additionner, soustraire.
Comparer, additionner, soustraire
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Ex. $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ car 5<7. Et le calcul est immédiat : on calcule avec les numérateurs, on garde le dénominateur, $\frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.
Si les dénominateurs sont différents, on les met d'abord au même dénominateur avec la règle magique, puis on compare ou on calcule. Un nombre entier se transforme au besoin en fraction : $1 = \frac{7}{7}$.
À toi de jouer
1. Complète les égalités en appliquant la règle magique. On te donne le nombre par lequel multiplier ou diviser.
a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
b) $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{25 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{2}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{16}{28}$
a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{12}$
b) $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{25 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{2}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{16}{28}$
Corrigé
a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$
b) $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{2}{5}$
c) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{16}{28}$
b) $\dfrac{10}{25} = \dfrac{10 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{2}{5}$
c) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times 4}{7 \times 4} = \dfrac{16}{28}$
2. Calcule. Toutes les fractions ont déjà le même dénominateur : garde-le et travaille sur les numérateurs.
a) $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
d) $1 - \dfrac{4}{7}$ (indice : écris $1 = \dfrac{7}{7}$)
a) $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
d) $1 - \dfrac{4}{7}$ (indice : écris $1 = \dfrac{7}{7}$)
Corrigé
a) $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{3+4}{5} = \dfrac{7}{5}$ (le résultat dépasse 1, c'est normal).
b) $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{7}{9}$.
c) $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{6}{12}$, soit $\dfrac{1}{2}$.
d) $1 - \dfrac{4}{7} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7}$.
b) $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{7}{9}$.
c) $\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{6}{12}$, soit $\dfrac{1}{2}$.
d) $1 - \dfrac{4}{7} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7}$.
3. Compare ces fractions : on les a déjà mises au même dénominateur, complète le signe $<$ ou $>$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$, donc $\dfrac{3}{4} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{6}$.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{5}{12}$ est déjà là, donc $\dfrac{1}{3} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{12}$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$, donc $\dfrac{3}{4} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{6}$.
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{5}{12}$ est déjà là, donc $\dfrac{1}{3} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{12}$.
Corrigé
$\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$ car 9 < 10. $\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{12}$ car 4 < 5.
Ah, ces fractions égales, tu as déjà entendu parler. On remet tout à plat tranquillement : les règles, la recherche d'un dénominateur commun par les multiples, puis la comparaison et le calcul. Ensuite, hop à l'action.
Propriétés de l'égalité (rappel structuré)
Pour $b \neq 0$ et $k \neq 0$ :
$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$ (si $k$ divise $a$ et $b$).
Quand le numérateur et le dénominateur sont dans une même table, on peut diviser les deux par ce nombre pour écrire la fraction avec de plus petits nombres : $\frac{36}{48} = \frac{36 \div 6}{48 \div 6} = \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$.
Méthode pas-à-pas : trouver un dénominateur commun
- Écris les premiers multiples du premier dénominateur.
- Écris les premiers multiples du second.
- Prends le plus petit nombre présent dans les deux listes.
- Raccourci : si l'un des dénominateurs est déjà un multiple de l'autre, le plus grand convient directement.
- Secours : le produit des deux dénominateurs est toujours un dénominateur commun valable.
Exemple : pour $\frac{5}{6}$ et $\frac{3}{8}$. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30... Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32... Dénominateur commun : 24. Alors $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$ et $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$.
Méthode : comparer, additionner, soustraire
- Si elles ont le même dénominateur $c > 0$, $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ quand $a < b$, et $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$.
- Si les dénominateurs sont différents, on met les deux fractions au même dénominateur, puis on revient au cas précédent.
- Cas particulier : même numérateur non nul, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite (car les parts sont plus petites).
Exemple : comparer $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{6}$. Dénominateur commun 12. $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$, donc $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$. Et leur somme vaut $\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$.
À toi de jouer
1. Complète les égalités en trouvant le nombre manquant.
a) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{15}$
b) $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{9} = \dfrac{12}{27}$
a) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{15}$
b) $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{9} = \dfrac{12}{27}$
Corrigé
a) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{6}{15}$, donc 6.
b) $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$, donc 4.
c) $\dfrac{12}{27} = \dfrac{12 \div 3}{27 \div 3} = \dfrac{4}{9}$, donc 4.
b) $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$, donc 4.
c) $\dfrac{12}{27} = \dfrac{12 \div 3}{27 \div 3} = \dfrac{4}{9}$, donc 4.
2. Pour chaque paire, trouve le plus petit dénominateur commun (écris les listes de multiples), puis réécris les deux fractions avec ce dénominateur.
a) $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{6}$
b) $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{1}{5}$
c) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$
d) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{4}{9}$
a) $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{6}$
b) $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{1}{5}$
c) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$
d) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{4}{9}$
Corrigé
a) Multiples de 4 : 4, 8, 12... ; de 6 : 6, 12... Dénominateur commun 12 : $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ et $\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12}$.
b) Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15... ; de 5 : 5, 10, 15... Dénominateur commun 15 : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$.
c) Multiples de 8 : 8, 16, 24... ; de 12 : 12, 24... Dénominateur commun 24 : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$ et $\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}$.
d) Multiples de 6 : 6, 12, 18... ; de 9 : 9, 18... Dénominateur commun 18 : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{18}$.
b) Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15... ; de 5 : 5, 10, 15... Dénominateur commun 15 : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$.
c) Multiples de 8 : 8, 16, 24... ; de 12 : 12, 24... Dénominateur commun 24 : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{24}$ et $\dfrac{7}{12} = \dfrac{14}{24}$.
d) Multiples de 6 : 6, 12, 18... ; de 9 : 9, 18... Dénominateur commun 18 : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{4}{9} = \dfrac{8}{18}$.
3. Mets au même dénominateur, compare avec $<$ ou $>$, puis calcule. On t'aide en te donnant le dénominateur commun.
a) $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{5}{14}$ — dénominateur commun 14 :
$\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{14}$ ; $\dfrac{5}{14}$ reste $\dfrac{5}{14}$. Donc $\dfrac{3}{7} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{14}$, et $\dfrac{3}{7} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{14}$.
b) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{3}{4}$ — dénominateur commun 8 :
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$, donc $\dfrac{5}{8} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{4}$, et $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$.
a) $\dfrac{3}{7}$ et $\dfrac{5}{14}$ — dénominateur commun 14 :
$\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{14}$ ; $\dfrac{5}{14}$ reste $\dfrac{5}{14}$. Donc $\dfrac{3}{7} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{14}$, et $\dfrac{3}{7} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{14}$.
b) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{3}{4}$ — dénominateur commun 8 :
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$, donc $\dfrac{5}{8} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{4}$, et $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$.
Corrigé
a) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 2}{7 \times 2} = \dfrac{6}{14}$ ; $6 > 5$, donc $\dfrac{3}{7} > \dfrac{5}{14}$. Somme : $\dfrac{6}{14} + \dfrac{5}{14} = \dfrac{11}{14}$.
b) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ; $5 < 6$, donc $\dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}$. Différence : $\dfrac{6}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{1}{8}$.
b) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ; $5 < 6$, donc $\dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}$. Différence : $\dfrac{6}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{1}{8}$.
On muscle les doigts : rien que de la mise au même dénominateur suivie du calcul, cinq fois d'affilée, jusqu'à ce que ça devienne un réflexe. Mêmes étapes, juste les nombres qui changent.
À toi de jouer
1. Calcule $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ en complétant les étapes.
Multiples de 2 : 2, 4, $\underline{\hspace{1.1em}}$... Multiples de 3 : 3, $\underline{\hspace{1.1em}}$... Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$, donc $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$.
Multiples de 2 : 2, 4, $\underline{\hspace{1.1em}}$... Multiples de 3 : 3, $\underline{\hspace{1.1em}}$... Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$, donc $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$.
Corrigé
Multiples de 2 : 2, 4, 6... Multiples de 3 : 3, 6... Dénominateur commun : 6.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$, donc $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$, donc $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
2. Calcule $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8}$.
Ici 8 est un multiple de 4 : le dénominateur commun est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$, donc $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$.
Ici 8 est un multiple de 4 : le dénominateur commun est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$, donc $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{8}$.
Corrigé
Dénominateur commun : 8. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$, donc $\dfrac{6}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.
3. Calcule $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2}$ (à toi de trouver le dénominateur commun).
Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, donc $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$, donc $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
Multiples de 5 : 5, 10... Multiples de 2 : 2, 4, 6, 8, 10... Dénominateur commun : 10.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$, donc $\dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{11}{10}$. Le résultat dépasse 1, c'est normal : $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$ valent ensemble un peu plus qu'une unité.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$, donc $\dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{11}{10}$. Le résultat dépasse 1, c'est normal : $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$ valent ensemble un peu plus qu'une unité.
4. Calcule $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}$.
Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$, donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$, que l'on peut aussi écrire $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3}$.
Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$, donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6}$, que l'on peut aussi écrire $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3}$.
Corrigé
6 est un multiple de 2 : dénominateur commun 6. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, donc $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6}$. Comme 2 et 6 sont dans la table de 2, $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
5. Calcule $\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{21}$ (attention, l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre).
Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{21}$, donc $\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{21} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{21}$.
Dénominateur commun : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{21}$, donc $\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{21} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{21}$.
Corrigé
$21 = 3 \times 7$, donc le dénominateur commun est 21. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 7} = \dfrac{14}{21}$, donc $\dfrac{14}{21} - \dfrac{2}{21} = \dfrac{12}{21}$. Comme 12 et 21 sont dans la table de 3, on peut écrire $\dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}$.
Maintenant que la mécanique est huilée, on attaque le format contrôle. Tu vas mener ces exercices en autonomie, sans trous, comme en éval. Garde ton calme, applique les méthodes, tout va bien se passer.
À toi de jouer
1. Complète chaque égalité en trouvant le nombre manquant.
1) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{25}$
2) $\dfrac{?}{6} = \dfrac{14}{21}$
3) $\dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{?}$
4) $\dfrac{4}{9} = \dfrac{?}{45}$
1) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{?}{25}$
2) $\dfrac{?}{6} = \dfrac{14}{21}$
3) $\dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{?}$
4) $\dfrac{4}{9} = \dfrac{?}{45}$
Corrigé
1) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 5}{5 \times 5} = \dfrac{15}{25}$
2) $\dfrac{14}{21} = \dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$, donc $? = 4$
3) $\dfrac{20}{24} = \dfrac{20 \div 4}{24 \div 4} = \dfrac{5}{6}$, donc $? = 6$
4) $\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{20}{45}$
2) $\dfrac{14}{21} = \dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$, donc $? = 4$
3) $\dfrac{20}{24} = \dfrac{20 \div 4}{24 \div 4} = \dfrac{5}{6}$, donc $? = 6$
4) $\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{20}{45}$
2. Calcule. Écris le dénominateur commun choisi, puis donne le résultat avec les plus petits nombres possibles.
a) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{2}$
c) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18}$
d) $2 - \dfrac{3}{8}$
a) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{2}$
c) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18}$
d) $2 - \dfrac{3}{8}$
Corrigé
a) Dénominateur commun 12 : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$, somme $\dfrac{7}{12}$.
b) 10 est un multiple de 2, dénominateur commun 10 : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$, donc $\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{10} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.
c) Multiples de 12 : 12, 24, 36... ; de 18 : 18, 36... Dénominateur commun 36 : $\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}$, $\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}$, somme $\dfrac{29}{36}$.
d) $2 = \dfrac{16}{8}$, donc $\dfrac{16}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{13}{8}$.
b) 10 est un multiple de 2, dénominateur commun 10 : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}$, donc $\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{10} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.
c) Multiples de 12 : 12, 24, 36... ; de 18 : 18, 36... Dénominateur commun 36 : $\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}$, $\dfrac{7}{18} = \dfrac{14}{36}$, somme $\dfrac{29}{36}$.
d) $2 = \dfrac{16}{8}$, donc $\dfrac{16}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{13}{8}$.
3. Place le symbole $<$, $>$ ou $=$ entre les deux fractions. Justifie chaque réponse.
a) $\dfrac{7}{11} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{11}$
b) $\dfrac{3}{8} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{7}$
c) $\dfrac{5}{12} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{7}{18}$
d) $\dfrac{9}{15} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{5}$
a) $\dfrac{7}{11} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{5}{11}$
b) $\dfrac{3}{8} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{7}$
c) $\dfrac{5}{12} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{7}{18}$
d) $\dfrac{9}{15} \; \underline{\hspace{1.1em}} \; \dfrac{3}{5}$
Corrigé
a) Même dénominateur 11, 7>5 donc $\frac{7}{11} > \frac{5}{11}$.
b) Même numérateur 3, 8>7 donc chaque part est plus petite, $\frac{3}{8} < \frac{3}{7}$.
c) Dénominateur commun 36 : $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$, $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, 15>14 donc $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
d) $\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$, donc $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
b) Même numérateur 3, 8>7 donc chaque part est plus petite, $\frac{3}{8} < \frac{3}{7}$.
c) Dénominateur commun 36 : $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$, $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, 15>14 donc $\frac{5}{12} > \frac{7}{18}$.
d) $\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$, donc $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.
4. Range les fractions suivantes par ordre croissant, puis calcule l'écart entre la plus grande et la plus petite. Montre toutes les étapes.
$\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{7}{9}$, $\dfrac{11}{12}$
$\dfrac{5}{6}$, $\dfrac{7}{9}$, $\dfrac{11}{12}$
Corrigé
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36... ; de 9 : 9, 18, 27, 36... ; de 12 : 12, 24, 36... Dénominateur commun : 36.
$\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$, $\frac{7}{9} = \frac{28}{36}$, $\frac{11}{12} = \frac{33}{36}$. Comme 28 < 30 < 33, on a $\frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$.
Écart : $\frac{11}{12} - \frac{7}{9} = \frac{33}{36} - \frac{28}{36} = \frac{5}{36}$.
$\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$, $\frac{7}{9} = \frac{28}{36}$, $\frac{11}{12} = \frac{33}{36}$. Comme 28 < 30 < 33, on a $\frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$.
Écart : $\frac{11}{12} - \frac{7}{9} = \frac{33}{36} - \frac{28}{36} = \frac{5}{36}$.
5. Problème — Le partage du terrain. Une parcelle est partagée entre trois personnes : Alexis reçoit $\frac{1}{4}$ du terrain, Léa $\frac{2}{5}$, et Camille $\frac{3}{20}$.
a) Montre que $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ et que $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$.
b) Qui a la plus grande part ? Justifie en comparant avec le même dénominateur.
c) Quelle fraction du terrain a été distribuée au total ? Le terrain est-il entièrement partagé ?
d) S'il reste une partie, quelle fraction du terrain cela représente-t-il ?
e) De combien la part de Léa dépasse-t-elle celle d'Alexis ?
a) Montre que $\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ et que $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$.
b) Qui a la plus grande part ? Justifie en comparant avec le même dénominateur.
c) Quelle fraction du terrain a été distribuée au total ? Le terrain est-il entièrement partagé ?
d) S'il reste une partie, quelle fraction du terrain cela représente-t-il ?
e) De combien la part de Léa dépasse-t-elle celle d'Alexis ?
Corrigé
a) $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$ et $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$.
b) Même dénominateur 20 : Alexis $\frac{5}{20}$, Léa $\frac{8}{20}$, Camille $\frac{3}{20}$. $8 > 5 > 3$, donc Léa a la plus grande part.
c) Total $\frac{5}{20} + \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$. Le terrain n'est pas entièrement partagé ($\frac{4}{5} < 1$).
d) Part restante : $1 - \frac{16}{20} = \frac{20}{20} - \frac{16}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
e) $\frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}$ : la part de Léa dépasse celle d'Alexis de $\frac{3}{20}$ du terrain.
b) Même dénominateur 20 : Alexis $\frac{5}{20}$, Léa $\frac{8}{20}$, Camille $\frac{3}{20}$. $8 > 5 > 3$, donc Léa a la plus grande part.
c) Total $\frac{5}{20} + \frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$. Le terrain n'est pas entièrement partagé ($\frac{4}{5} < 1$).
d) Part restante : $1 - \frac{16}{20} = \frac{20}{20} - \frac{16}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
e) $\frac{8}{20} - \frac{5}{20} = \frac{3}{20}$ : la part de Léa dépasse celle d'Alexis de $\frac{3}{20}$ du terrain.
Prêt à voir plus loin ? On va manier des fractions moins évidentes, tester une égalité par le produit en croix, et enchaîner plusieurs calculs dans un même problème. L'an prochain, tu jongleras avec ça les doigts dans le nez.
À toi de jouer
1. Le produit en croix : deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont égales exactement quand $a \times d = b \times c$.
a) Teste avec le produit en croix si $\frac{54}{72}$ et $\frac{3}{4}$ sont égales.
b) Trouve ensuite une fraction égale à $\frac{54}{72}$ dont le dénominateur est 12.
a) Teste avec le produit en croix si $\frac{54}{72}$ et $\frac{3}{4}$ sont égales.
b) Trouve ensuite une fraction égale à $\frac{54}{72}$ dont le dénominateur est 12.
Corrigé
a) $54 \times 4 = 216$ et $72 \times 3 = 216$ : les deux produits croisés sont égaux, donc $\frac{54}{72} = \frac{3}{4}$.
b) $72 \div 6 = 12$, donc on divise aussi le haut par 6 : $\frac{54}{72} = \frac{54 \div 6}{72 \div 6} = \frac{9}{12}$. On vérifie : $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$.
b) $72 \div 6 = 12$, donc on divise aussi le haut par 6 : $\frac{54}{72} = \frac{54 \div 6}{72 \div 6} = \frac{9}{12}$. On vérifie : $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$.
2. Compare $\dfrac{27}{45}$ et $\dfrac{14}{21}$. Astuce : écris d'abord chaque fraction avec des nombres plus petits, tu chercheras ensuite un dénominateur commun bien plus facilement.
Corrigé
$\frac{27}{45} = \frac{27 \div 9}{45 \div 9} = \frac{3}{5}$ et $\frac{14}{21} = \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$.
Dénominateur commun de 5 et 3 : 15. $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ et $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$. Comme 9 < 10, on a $\frac{27}{45} < \frac{14}{21}$.
Dénominateur commun de 5 et 3 : 15. $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ et $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$. Comme 9 < 10, on a $\frac{27}{45} < \frac{14}{21}$.
3. Problème — Les trois lots de cartes. Dans un jeu, un premier lot contient $\frac{3}{8}$ du total des images, un deuxième lot $\frac{5}{12}$, et le troisième lot le reste.
a) Quelle fraction représentent les deux premiers lots ensemble ?
b) Quelle fraction du total représente le troisième lot ? Donne-la avec les plus petits nombres possibles.
c) Mets les trois lots dans l'ordre croissant de leur part.
d) Le fabricant veut produire exactement 240 cartes. Combien de cartes y aura-t-il dans chaque lot ?
a) Quelle fraction représentent les deux premiers lots ensemble ?
b) Quelle fraction du total représente le troisième lot ? Donne-la avec les plus petits nombres possibles.
c) Mets les trois lots dans l'ordre croissant de leur part.
d) Le fabricant veut produire exactement 240 cartes. Combien de cartes y aura-t-il dans chaque lot ?
Corrigé
a) Dénominateur commun de 8 et 12 : 24. $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{19}{24}$.
b) Troisième lot : $1 - \frac{19}{24} = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$. Les nombres 5 et 24 n'ont aucun diviseur commun autre que 1 : on ne peut pas faire plus petit.
c) Dénominateur commun 24 : $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$, troisième lot $\frac{5}{24}$. Ordre croissant : $\frac{5}{24} < \frac{9}{24} < \frac{10}{24}$, donc troisième lot < premier lot < deuxième lot.
d) 240 cartes : premier lot $240 \div 8 = 30$ puis $30 \times 3 = 90$ ; deuxième lot $240 \div 12 = 20$ puis $20 \times 5 = 100$ ; troisième lot $240 \div 24 = 10$ puis $10 \times 5 = 50$. Contrôle : $90 + 100 + 50 = 240$.
b) Troisième lot : $1 - \frac{19}{24} = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$. Les nombres 5 et 24 n'ont aucun diviseur commun autre que 1 : on ne peut pas faire plus petit.
c) Dénominateur commun 24 : $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$, $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$, troisième lot $\frac{5}{24}$. Ordre croissant : $\frac{5}{24} < \frac{9}{24} < \frac{10}{24}$, donc troisième lot < premier lot < deuxième lot.
d) 240 cartes : premier lot $240 \div 8 = 30$ puis $30 \times 3 = 90$ ; deuxième lot $240 \div 12 = 20$ puis $20 \times 5 = 100$ ; troisième lot $240 \div 24 = 10$ puis $10 \times 5 = 50$. Contrôle : $90 + 100 + 50 = 240$.