Statistiques : effectifs, fréquences et représentations

L'essentiel en cinq idées

Ce qu'il te faut avant de commencer : savoir compter, savoir diviser, et savoir qu'un pourcentage $t\,\%$ vaut $\dfrac{t}{100}$. C'est tout.

Idée 1 — la série. Faire des statistiques, c'est recueillir des réponses auprès d'un groupe, puis les organiser. L'ensemble de ces réponses s'appelle une série statistique, et l'outil pour les ranger, c'est le tableau.

Idée 2 — l'effectif. L'effectif d'une réponse, c'est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total, noté $N$, c'est le nombre de personnes (ou d'objets) de la série.

Idée 3 — la fréquence. La fréquence d'une réponse, c'est sa part dans le total : $f = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$. On peut l'écrire de trois façons : en fraction, en écriture décimale, ou en pourcentage.

Idée 4 — le dessin. Trois façons de montrer les données : le diagramme en barres (des barres dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif), le diagramme circulaire (un disque partagé en parts), le graphique cartésien (des points dans un repère).

Idée 5 — la moyenne. La moyenne d'une série de nombres, c'est
$$\dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$

Les quatre réflexes à retenir :

• Fréquence : $f = \dfrac{n}{N}$, où $n$ est l'effectif et $N$ l'effectif total.
• Pour passer en pourcentage : on multiplie la fréquence par $100$.
• Contrôle imparable : la somme de toutes les fréquences vaut $1$, c'est-à-dire $100\,\%$. Si tu ne tombes pas dessus, il y a une erreur.
• Moyenne : somme des valeurs $\div$ nombre de valeurs.

Un exemple tout simple, du début à la fin

On a demandé à chacun des $25$ élèves de la classe de 5^e B son sport préféré. Voici ce que ça donne, rangé dans un tableau d'effectifs.

Étape 1 — vérifier le total. $8 + 6 + 5 + 4 + 2 = 25$ : tout le monde a bien répondu une fois. L'effectif total est $N = 25$.

Étape 2 — calculer une fréquence. Pour le football : $f = \dfrac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%$. Autrement dit, $32\,\%$ de la classe préfère le football.

Étape 3 — les autres. Danse : $\dfrac{6}{25} = 0{,}24 = 24\,\%$. Natation : $\dfrac{5}{25} = 0{,}2 = 20\,\%$. Basket : $\dfrac{4}{25} = 0{,}16 = 16\,\%$. Escalade : $\dfrac{2}{25} = 0{,}08 = 8\,\%$.

Étape 4 — le contrôle. $32 + 24 + 20 + 16 + 8 = 100$. La somme fait bien $100\,\%$ : aucun calcul n'a dérapé.

Étape 5 — le dessin. On représente les effectifs par un diagramme en barres : une barre par sport, et une hauteur proportionnelle à l'effectif. Ici, $2$ élèves valent un carreau ; le football, qui vaut $8$ élèves, monte donc quatre fois plus haut que l'escalade, qui en vaut $2$.

Et voilà : recueillir, ranger, calculer, dessiner. Tout le chapitre tient dans ces quatre gestes.

Recueillir et organiser des données

Une série statistique, c'est l'ensemble des réponses recueillies sur un groupe : la classe, les habitants d'un village, les jours de la semaine... Chaque membre du groupe donne une valeur (un nombre, comme une taille) ou une catégorie (un mot, comme un sport).

Les réponses arrivent en vrac, dans le désordre. Le premier geste est toujours le même : les ranger dans un tableau. On coche une réponse à la fois, en ligne, puis on compte.

• L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série.
• L'effectif total $N$ est le nombre de réponses de la série, c'est-à-dire la somme de tous les effectifs.

Le premier contrôle. La somme des effectifs doit valoir l'effectif total. Si elle ne tombe pas juste, une réponse a été oubliée ou comptée deux fois.

Les fréquences, et leurs trois écritures

Définition. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total : $$f = \dfrac{n}{N}$$ où $n$ est l'effectif de la valeur et $N$ l'effectif total.

Le programme te demande de savoir l'écrire de trois façons. Prenons une valeur d'effectif $n = 6$ dans une série d'effectif total $N = 25$ :

• en fraction : $f = \dfrac{6}{25}$ ;
• en écriture décimale : $f = 6 \div 25 = 0{,}24$ ;
• en pourcentage : $f = 0{,}24 = 24\,\%$ (on multiplie l'écriture décimale par $100$).

Deux propriétés à connaître.

• Une fréquence est toujours comprise entre $0$ et $1$ : $0 \le f \le 1$ (en pourcentage, entre $0\,\%$ et $100\,\%$). Une fréquence de $1{,}4$ ou de $130\,\%$ est forcément une erreur.
• La somme de toutes les fréquences d'une série vaut $1$, soit $100\,\%$. C'est logique : mises bout à bout, les parts reconstituent le tout.

Ne confonds pas effectif et fréquence. L'effectif se compte en élèves, en objets, en jours ; la fréquence, elle, n'a pas d'unité, c'est une part. Dire « la fréquence est de $8$ élèves » n'a pas de sens.

Représenter : le tableau, les deux diagrammes et le graphique

1. Le tableau. C'est la représentation la plus précise : elle donne les valeurs exactes, une par une. En revanche, elle ne saute pas aux yeux.

2. Le diagramme en barres. Une barre par catégorie, toutes de même largeur, séparées les unes des autres. La règle d'or : la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif qu'elle représente. Il faut donc un axe vertical gradué régulièrement, en partant de $0$ : c'est lui qui permet de lire les effectifs.

3. Le diagramme circulaire. Le disque entier représente l'effectif total, donc $360^\circ$. Chaque catégorie reçoit un secteur dont l'angle est proportionnel à son effectif : $$\text{angle} = f \times 360^\circ = \dfrac{n}{N} \times 360^\circ.$$ Le raccourci pratique : on calcule d'abord la valeur d'un individu, $360^\circ \div N$, puis on multiplie par l'effectif de chaque catégorie. Le contrôle final : la somme des angles doit faire exactement $360^\circ$.

4. Le graphique cartésien. On se place dans un repère : en abscisse (axe horizontal) ce qui fait varier, en ordonnée (axe vertical) la grandeur mesurée. Chaque couple donne un point. Quand les points se suivent dans le temps — les jours d'une semaine, les mois d'une année — on les relie par des segments pour rendre l'évolution visible.

Et l'ordinateur ? Le programme prévoit que tu saches faire ces représentations sur papier ou à l'aide d'un tableur-grapheur : tu saisis le tableau dans la feuille de calcul, tu sélectionnes les cases, tu choisis le type de graphique. Le logiciel dessine — mais c'est toi qui décides quel graphique demander, et c'est toi qui vérifies qu'il ne raconte pas n'importe quoi.

Choisir une représentation adaptée

C'est la compétence nouvelle du programme, et celle qui rapporte des points : on ne te demande plus seulement de savoir dessiner, mais de décider quoi dessiner. La bonne question à te poser est toujours la même : qu'est-ce que je veux que le lecteur voie d'un seul coup d'œil ?

Trois pièges de choix, qui sont autant de questions de contrôle :

• Un diagramme circulaire n'a de sens que si les catégories forment un tout, et si chaque individu est compté une fois et une seule. Représenter en disque la température de sept jours n'a aucun sens : additionner des températures ne fabrique pas un « tout » à partager.
• Un graphique cartésien suppose que l'axe horizontal soit ordonné (des jours, des mois, des tailles). Relier « football » à « danse » par un segment ne veut rien dire : ces catégories n'ont pas d'ordre.
• Quand deux catégories ont des effectifs proches, le diagramme en barres est plus honnête que le circulaire : deux secteurs de $19\,\%$ et $21\,\%$ sont presque impossibles à distinguer à l'œil, deux barres non.

Au contrôle, la réponse attendue est toujours de la même forme : « Je choisis tel diagramme parce que je veux montrer telle chose. » Le choix compte, mais la justification compte autant.

Calculer et interpréter une moyenne simple

Définition. La moyenne d'une série de nombres est le quotient de la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs : $$m = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}.$$

Exemple. Un élève a obtenu $12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $10$. La somme vaut $12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60$, et il y a $5$ notes : $m = \dfrac{60}{5} = 12$.

L'interpréter, c'est répondre à une question précise : quelle valeur unique aurait chacun si on partageait tout également ? Ici : si les cinq notes étaient toutes identiques, elles vaudraient $12$. La moyenne égalise, elle ne décrit personne en particulier.

Deux propriétés utiles.

• La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Sur l'exemple : $9 \le 12 \le 15$. Si ta moyenne sort de cet encadrement, ton calcul est faux — c'est le contrôle le plus rapide qui existe.
• La moyenne ne dit rien de la dispersion. Les séries $10\,;10\,;10\,;10$ et $2\,;18\,;4\,;16$ ont la même moyenne $10$ (car $2+18+4+16 = 40$ et $40 \div 4 = 10$), et pourtant elles ne se ressemblent pas du tout.

Attention. On ne calcule une moyenne que sur des nombres. La « moyenne des sports préférés » de la classe de tout à l'heure n'existe pas : on ne peut pas additionner du football et de la danse.

Exemple 1 — De la liste en vrac au tableau d'effectifs et de fréquences

On y va. On a demandé à chacun des $20$ élèves d'une classe combien il a de frères et sœurs. Les réponses arrivent dans le désordre :

$1$ ; $0$ ; $2$ ; $1$ ; $3$ ; $1$ ; $0$ ; $2$ ; $1$ ; $1$ ; $0$ ; $2$ ; $1$ ; $0$ ; $3$ ; $2$ ; $1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$.

Ligne 1 — je repère les valeurs possibles. Je lis la liste : il n'y a que des $0$, des $1$, des $2$ et des $3$. Mon tableau aura donc quatre colonnes.

Ligne 2 — je compte, valeur par valeur. Je reprends la liste dans l'ordre et je coche : j'obtiens cinq $0$, huit $1$, cinq $2$ et deux $3$.

Ligne 3 — je contrôle le total. $5 + 8 + 5 + 2 = 20$. C'est bien l'effectif total annoncé : personne n'a été oublié.

Ligne 4 — je calcule les fréquences. Je divise chaque effectif par $20$ :

• $0$ frère ou sœur : $\dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$ ;
• $1$ : $\dfrac{8}{20} = 0{,}4 = 40\,\%$ ;
• $2$ : $\dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\,\%$ ;
• $3$ : $\dfrac{2}{20} = 0{,}1 = 10\,\%$.

Ligne 5 — je contrôle les fréquences. $0{,}25 + 0{,}4 + 0{,}25 + 0{,}1 = 1$, soit $25 + 40 + 25 + 10 = 100\,\%$. Parfait.

Ligne 6 — la moyenne. Ici les réponses sont des nombres : la moyenne a un sens. J'additionne les vingt réponses de la liste, ce qui donne $24$, et je divise par le nombre de réponses : $m = \dfrac{24}{20} = 1{,}2$.

Conclusion. En moyenne, un élève de cette classe a $1{,}2$ frère ou sœur — un nombre qui n'est pas entier, et c'est normal : personne n'a « $1{,}2$ » frère, c'est le résultat d'un partage égal.

Exemple 2 — Un diagramme circulaire, angle par angle

On continue. Les $60$ élèves de 5^e ont indiqué comment ils viennent au collège : $24$ en bus, $15$ à pied, $12$ en voiture, $9$ à vélo. On veut le diagramme circulaire.

Ligne 1 — je vérifie l'effectif total. $24 + 15 + 12 + 9 = 60$. Le disque entier représentera ces $60$ élèves.

Ligne 2 — je calcule la part d'un seul élève. Le tour complet vaut $360^\circ$ pour $60$ élèves, donc un élève vaut $360 \div 60 = 6^\circ$.

Ligne 3 — je multiplie par chaque effectif.

Le détail : $24 \times 6 = 144$ ; $15 \times 6 = 90$ ; $12 \times 6 = 72$ ; $9 \times 6 = 54$.

Ligne 4 — les deux contrôles. Les fréquences : $0{,}4 + 0{,}25 + 0{,}2 + 0{,}15 = 1$. Les angles : $144 + 90 + 72 + 54 = 360$. Les deux tombent juste, je peux tracer.

Ligne 5 — je trace. Je pars du haut du disque, je reporte $144^\circ$, puis $90^\circ$ à la suite, puis $72^\circ$, puis $54^\circ$. Le dernier secteur doit se refermer exactement sur le trait de départ : c'est la vérification du dessin. Le résultat est le diagramme du deuxième onglet.

Lecture. Le secteur du bus fait $90^\circ$ de plus que celui « à pied », et il occupe visiblement plus du tiers du disque : $40\,\%$ des élèves viennent en bus.

Exemple 3 — Une moyenne simple, et ce qu'elle raconte

Dernier échauffement. On a relevé la température à midi, chaque jour de la semaine :

Ligne 1 — quelle représentation ? Les jours se suivent dans un ordre naturel et je veux montrer une évolution : c'est le graphique cartésien qu'il faut, avec les jours en abscisse et la température en ordonnée. Un diagramme circulaire serait absurde ici : $13$ °C + $15$ °C ne forment aucun « tout » à partager.

Ligne 2 — la somme. $13 + 15 + 14 + 18 + 19 + 17 + 16 = 112$.

Ligne 3 — la division. Il y a $7$ relevés, donc $m = \dfrac{112}{7} = 16$.

Ligne 4 — le contrôle. La plus petite valeur est $13$, la plus grande est $19$, et $13 \le 16 \le 19$ : la moyenne est bien dans l'encadrement, le calcul tient.

Ligne 5 — l'interprétation. « La température moyenne de midi sur cette semaine est de $16$ °C » : si la température avait été la même tous les jours, elle aurait valu $16$ °C. Sur le graphique du deuxième onglet, c'est le trait pointillé : trois jours passent en dessous, trois jours au-dessus, et le dimanche tombe exactement dessus.

Conclusion. Somme, division, encadrement, phrase. Quatre gestes, dans cet ordre, à chaque fois.

Problème type 1 — Du tableau aux fréquences et aux angles

Un énoncé comme au contrôle. On a relevé la couleur des yeux des $40$ élèves d'un niveau :

Calcule les fréquences en pourcentage, puis les angles d'un diagramme circulaire.

Étape 1 — vérifier le total. $18 + 10 + 8 + 4 = 40$. Bon.

Étape 2 — les fréquences. Marron : $\dfrac{18}{40} = 0{,}45 = 45\,\%$. Bleu : $\dfrac{10}{40} = 0{,}25 = 25\,\%$. Vert : $\dfrac{8}{40} = 0{,}2 = 20\,\%$. Noisette : $\dfrac{4}{40} = 0{,}1 = 10\,\%$.

Étape 3 — le contrôle des fréquences. $45 + 25 + 20 + 10 = 100\,\%$.

Étape 4 — les angles. Un élève vaut $360 \div 40 = 9^\circ$. Donc : marron $18 \times 9 = 162^\circ$ ; bleu $10 \times 9 = 90^\circ$ ; vert $8 \times 9 = 72^\circ$ ; noisette $4 \times 9 = 36^\circ$.

Étape 5 — le contrôle des angles. $162 + 90 + 72 + 36 = 360$. Le compte est bon.

Ce que le correcteur attend : les deux totaux vérifiés ($100\,\%$ et $360^\circ$), les calculs écrits, les unités (le symbole $\%$ et le symbole $^\circ$ ne s'oublient pas).

Problème type 2 — Choisir la représentation, et le justifier

L'exercice tout neuf du programme : on te donne une situation, tu choisis et tu expliques.

Cas a. « Le club veut montrer sur son affiche que le basket rassemble presque la moitié des adhérents. »

Réponse. Diagramme circulaire, parce qu'on veut montrer une part dans un tout : le disque entier représente tous les adhérents, et « presque la moitié » se voit immédiatement.

Cas b. « Le professeur veut comparer le nombre de livres empruntés par chacune des six classes de 5^e. »

Réponse. Diagramme en barres, parce qu'on veut comparer des catégories entre elles : six barres côte à côte se comparent d'un coup d'œil, et l'axe gradué donne les effectifs.

Cas c. « La mairie veut montrer que la fréquentation de la piscine a augmenté de janvier à juin. »

Réponse. Graphique cartésien, parce qu'on veut montrer une évolution : les mois sont ordonnés, on les met en abscisse, et la ligne qui monte dit tout.

Ce que le correcteur attend : jamais le nom seul du diagramme. La phrase doit contenir le parce que et nommer ce qu'on veut mettre en avant : une part, une comparaison, une évolution.

Problème type 3 — La moyenne, et le piège de la valeur ajoutée

Un élève a eu $12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $10$ en mathématiques.

a) Calcule sa moyenne. Somme : $12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60$. Nombre de notes : $5$. Moyenne : $\dfrac{60}{5} = 12$. Contrôle : $9 \le 12 \le 15$, c'est cohérent.

b) Il obtient ensuite $18$. Quelle est sa nouvelle moyenne ?

Le piège consiste à faire $\dfrac{12 + 18}{2} = 15$ : c'est faux. On repart toujours de la somme des valeurs et du nombre de valeurs. Nouvelle somme : $60 + 18 = 78$. Nouveau nombre de notes : $6$. Nouvelle moyenne : $\dfrac{78}{6} = 13$.

Réponse. Sa moyenne passe de $12$ à $13$. Une seule note au-dessus de la moyenne la fait monter, mais bien moins qu'on ne l'imagine : elle est diluée dans les six notes.

Les pièges à connaître par cœur

• La somme des fréquences fait $1$, soit $100\,\%$ — et la somme des angles d'un diagramme circulaire fait $360^\circ$. Deux contrôles gratuits, à faire à chaque fois.
• Une fréquence n'a pas d'unité : ce n'est ni un nombre d'élèves, ni des degrés.
• Dans un diagramme en barres, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs, et l'axe vertical part de $0$. Un axe qui commence ailleurs exagère les écarts.
• On ne calcule pas la moyenne d'une série de catégories (des couleurs, des sports) : la moyenne ne s'applique qu'à des nombres.
• Pour la moyenne, on ne fait pas la moyenne des moyennes : on repart de la somme des valeurs divisée par leur nombre.
• Un pourcentage sans effectif total ne permet pas de remonter aux effectifs : $50\,\%$, ça peut être $2$ élèves sur $4$ comme $300$ sur $600$.
• Choisir une représentation, c'est répondre à « qu'est-ce que je veux montrer ? » — et l'écrire.

D'autres façons de résumer une série

La moyenne est le premier indicateur d'une série, mais elle a un défaut : une seule valeur extrême la déplace. Sur les salaires d'une entreprise, un seul très gros salaire tire la moyenne vers le haut et ne représente plus personne.

En $4^{\text{e}}$, tu rencontreras donc deux compagnons de route :

• la médiane, la valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif — insensible, elle, aux valeurs extrêmes ;
• l'étendue, l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur, qui mesure enfin la dispersion dont la moyenne ne dit rien.

Tu apprendras aussi à traiter des séries beaucoup plus grosses, où l'on regroupe les valeurs par tranches au lieu de les lister une à une.

Le pont avec les probabilités

Le tableau d'effectifs et de fréquences que tu viens d'apprendre à construire va te resservir tout de suite, dans le chapitre des probabilités : quand on répète matériellement une expérience au hasard — lancer un dé cent fois, par exemple — on note les résultats dans exactement le même tableau.

La question devient alors passionnante : la fréquence observée ressemble-t-elle à la probabilité annoncée ? C'est le fil qui relie les deux moitiés de ce domaine, et il te suivra jusqu'au lycée.

Une ouverture culturelle : les diagrammes de Florence Nightingale

Ce n'est pas au programme et ça ne sera jamais évalué, mais c'est une belle histoire. Florence Nightingale, infirmière britannique du XIX^e siècle, a inventé un diagramme circulaire d'un genre nouveau — un secteur par mois, et une surface d'autant plus grande qu'il y a eu de morts — pour montrer aux autorités de quoi mouraient réellement les soldats de la guerre de Crimée : bien plus de maladies évitables que de blessures au combat.

Son dessin a convaincu là où les tableaux de chiffres avaient échoué. C'est exactement la compétence que le programme te demande aujourd'hui : choisir la représentation qui met en avant ce qui compte. Bien choisie, une représentation change une décision ; mal choisie, elle cache l'essentiel.

Là où tu en auras besoin

• En SVT et en géographie : lire un diagramme climatique, comparer des populations, commenter une évolution.
• Devant un journal : repérer un axe vertical qui ne part pas de $0$, ou un diagramme circulaire dont les parts ne totalisent pas $100\,\%$ — deux façons classiques de faire dire à un graphique ce qu'il ne dit pas.
• Sur un tableur : les mêmes gestes qu'en classe, en plus rapide, du collège au lycée.