Pas de panique, on va découvrir le cercle en accéléré. Avant de plonger, on vérifie que tu maîtrises les bases : mesurer une longueur avec une règle, utiliser un compas, multiplier et diviser par 2. Ces savoir-faire sont des prérequis : résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations, exploiter et communiquer des résultats de mesures. On les active tout de suite.
Qu'est-ce qu'un cercle ?
Un cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble de tous les points situés exactement à la distance r du point O.
Le disque est la surface à l'intérieur du cercle (cercle + intérieur).
Vocabulaire :
Centre O : point intérieur équidistant de tous les points du cercle.
Rayon : segment reliant le centre à un point du cercle. Tous les rayons ont la même longueur r.
Diamètre : corde passant par le centre ; c'est la plus grande corde. Sa longueur est d = 2 × r.
Corde : segment reliant deux points du cercle (le diamètre est une corde particulière).
Arc : portion de cercle entre deux points.
À toi de jouer
1. Complète la définition : Un cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à la distance de O.
Corrigé
Un cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à la distance r de O.
2. Observe la figure ci-dessous et complète : Le centre est le point . Un rayon est le segment []. Un diamètre est le segment []. Une corde qui n'est pas un diamètre est le segment [].
Corrigé
Le centre est le point O. Un rayon est le segment [OA] (ou [OB] ou [OC] ou [OD]). Un diamètre est le segment [AB]. Une corde qui n'est pas un diamètre est le segment [CD].
3. Vrai ou Faux ? Le diamètre est une corde particulière.
Corrigé
Vrai. Le diamètre est une corde qui passe par le centre.
Tu as déjà entendu parler de rayon et de diamètre ? On va remettre tout ça en ordre et apprendre à tracer un cercle impeccable.
Relation rayon - diamètre
Le diamètre est le double du rayon : d = 2 × r.
Le rayon est la moitié du diamètre : r = d ÷ 2.
Exemple : si r = 4 cm, alors d = 2 × 4 = 8 cm. Si d = 10 cm, alors r = 10 ÷ 2 = 5 cm.
Méthode : tracer un cercle au compas
Placer et nommer le centre O sur la feuille.
Écarter le compas exactement à la valeur du rayon r (mesurer avec la règle).
Planter la pointe sèche sur O sans appuyer trop fort.
Faire pivoter le compas d'un tour complet sans changer l'écartement.
Nommer un ou plusieurs points sur le cercle si demandé.
Erreurs à éviter : confondre rayon et diamètre, modifier l'écartement en traçant, appeler diamètre n'importe quelle corde.
À toi de jouer
1. Complète : Si le rayon d'un cercle est 5 cm, alors son diamètre est d = 2 × = cm.
Corrigé
d = 2 × 5 = 10 cm.
2. Complète : Si le diamètre d'un cercle est 14 cm, alors son rayon est r = ÷ 2 = cm.
Corrigé
r = 14 ÷ 2 = 7 cm.
3. Complète la méthode : Pour tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm, on écarte le compas de cm, on plante la pointe sur , puis on fait pivoter le compas sans changer l'.
Corrigé
on écarte le compas de 3 cm, on plante la pointe sur O, puis on fait pivoter le compas sans changer l'écartement.
Cinq petits calculs pour automatiser le lien rayon-diamètre. Tu vas voir, c'est toujours la même chose.
À toi de jouer
1. r = 6 cm → d = cm
Corrigé
d = 12 cm
2. d = 20 cm → r = cm
Corrigé
r = 10 cm
3. r = 3,5 cm → d = cm
Corrigé
d = 7 cm
4. d = 9 cm → r = cm
Corrigé
r = 4,5 cm
5. r = 0,5 cm → d = cm
Corrigé
d = 1 cm
Maintenant, on passe aux exercices type contrôle. Vocabulaire, calculs, construction et petit problème. À toi de jouer, tu es prêt.
À toi de jouer
1. 1. Vocabulaire : a) Qu'est-ce qu'un rayon d'un cercle ? b) Quelle est la différence entre une corde et un diamètre ? c) Un point M se trouve à 4 cm du centre O d'un cercle de rayon 4 cm. Le point M est-il sur le cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur du disque ? Justifie.
Corrigé
a) Un rayon est un segment reliant le centre à un point du cercle. Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur. b) Une corde relie deux points du cercle. Un diamètre est une corde qui passe par le centre ; c'est la plus longue corde. c) OM = 4 cm = r, donc M est sur le cercle.
2. 2. Calculs : Calcule la valeur manquante. a) Rayon r = 8 cm → diamètre d = ? b) Diamètre d = 22 cm → rayon r = ? c) Rayon r = 4,5 cm → diamètre d = ? d) Diamètre d = 15 cm → rayon r = ?
Corrigé
a) d = 2 × 8 = 16 cm. b) r = 22 ÷ 2 = 11 cm. c) d = 2 × 4,5 = 9 cm. d) r = 15 ÷ 2 = 7,5 cm.
3. 3. Construction : Sur ta feuille, effectue les constructions dans l'ordre. Laisse les traces de compas apparentes. a) Place un point O. Trace le cercle de centre O et de rayon 4 cm. b) Place un point A sur ce cercle et trace le segment [OA]. Mesure OA et vérifie qu'il vaut bien 4 cm. c) Place un point B sur le cercle de l'autre côté de O par rapport à A, de sorte que [AB] soit un diamètre. Trace [AB] et donne sa longueur. d) Place un point C sur le cercle, différent de A et de B. Trace la corde [BC].
Corrigé
a) Compas écarté à 4 cm, pointe sur O. b) OA = 4 cm (vérifié). c) O est le milieu de [AB], donc AB = 2 × 4 = 8 cm. d) [BC] est une corde.
4. 4. Position d'un point : Un cercle a pour centre O et pour rayon r = 6 cm. Pour chaque point, indique s'il est sur le cercle, à l'intérieur du disque ou à l'extérieur du disque. Justifie. a) Point A tel que OA = 6 cm. b) Point B tel que OB = 4 cm. c) Point C tel que OC = 8 cm.
Corrigé
a) OA = 6 cm = r → A est sur le cercle. b) OB = 4 cm < r → B est à l'intérieur du disque. c) OC = 8 cm > r → C est à l'extérieur du disque.
5. 5. Problème - deux bassins : Un bassin circulaire a un diamètre de 14 m. Un second bassin circulaire a un rayon de 8 m. a) Calcule le rayon du premier bassin. b) Calcule le diamètre du second bassin. c) Lequel des deux bassins est le plus grand ? Justifie en comparant les diamètres. d) Un nageur se place exactement au centre du premier bassin. Quelle est la distance entre lui et le bord du bassin ?
Corrigé
a) r1 = 14 ÷ 2 = 7 m. b) d2 = 2 × 8 = 16 m. c) Le second bassin est le plus grand car son diamètre (16 m) est supérieur à celui du premier (14 m). d) La distance du centre au bord est le rayon, soit 7 m.
Tu maîtrises le cercle ? Alors on va un peu plus loin avec des propriétés que tu verras en 5e. Curieux ? C'est parti.
À toi de jouer
1. 1. Triangle équilatéral et cercle : Trace un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Place un point A sur le cercle. En utilisant uniquement le compas (sans règle graduée), construis un point B sur le cercle tel que AB = 4 cm. Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifie.
Corrigé
On écarte le compas de 4 cm (rayon), on pointe en A et on trace un arc de cercle qui coupe le cercle en B. Alors OA = OB = AB = 4 cm, donc le triangle OAB est équilatéral.
2. 2. Triangle rectangle inscrit : Trace un cercle de diamètre [AB] de longueur 10 cm. Place un point C sur le cercle (différent de A et B). Mesure l'angle ACB avec un rapporteur. Que constates-tu ?
Corrigé
On constate que l'angle ACB mesure 90°. Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle en ayant pour côté un diamètre, alors il est rectangle (le sommet opposé au diamètre est l'angle droit).
3. 3. Petite application : Un nageur part du point A au bord d'une piscine circulaire de diamètre 20 m, nage jusqu'au centre O, puis jusqu'au point B diamétralement opposé à A. Quelle distance a-t-il parcourue ?
Corrigé
Le rayon est 20 ÷ 2 = 10 m. De A à O : 10 m. De O à B : 10 m. Distance totale = 10 + 10 = 20 m. (Il a parcouru le diamètre complet.)
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