V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques6eEspace et geometrieExercices + corrigé

Droites parallèles et perpendiculaires — Exercices

Reconnaître, appliquer les propriétés, tracer. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Équerre et règle nécessaires
1Reconnaître les relations/ 4 pts
On considère quatre droites tracées sur une feuille quadrillée : $d_1$ est horizontale, $d_2$ est verticale, $d_3$ est horizontale et distincte de $d_1$, $d_4$ est oblique (ni horizontale ni verticale).
  1. Les droites $d_1$ et $d_3$ sont-elles parallèles, perpendiculaires, ou sécantes sans être perpendiculaires ?
  2. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles, perpendiculaires, ou sécantes sans être perpendiculaires ?
  3. Les droites $d_2$ et $d_3$ sont-elles parallèles, perpendiculaires, ou sécantes sans être perpendiculaires ?
  4. Peut-on dire que $d_1$ et $d_4$ sont parallèles ? Justifie.
2Appliquer les propriétés/ 3 pts
Pour chaque question, réponds en citant la propriété utilisée (Propriété 1 ou Propriété 2).
  1. La droite $a$ est perpendiculaire à la droite $c$. La droite $b$ est aussi perpendiculaire à $c$. Que peut-on dire de $a$ et $b$ ?
  2. Les droites $p$ et $q$ sont parallèles. La droite $r$ est perpendiculaire à $p$. Que peut-on dire de $r$ et $q$ ?
  3. Les droites $u$ et $v$ sont parallèles. La droite $w$ est sécante à $u$ sans être perpendiculaire à $u$. Que peut-on dire de $w$ et $v$ ?
3Construction à l'équerre/ 3 pts
Effectue les constructions suivantes sur ta feuille à l'aide de l'équerre et de la règle.
  1. Trace une droite $d$. Place un point $A$ sur $d$. Trace la droite $d'$ perpendiculaire à $d$ passant par $A$. Place le symbole □ à l'intersection.
  2. Sur la même figure, place un point $B$ n'appartenant pas à $d$. Trace la droite $d''$ parallèle à $d$ passant par $B$.
  3. Quelle relation y a-t-il entre $d'$ et $d''$ ? Vérifie à l'équerre, puis justifie en utilisant une propriété.
4Problème — Plan de ville/ 5 pts
Dans une ville, quatre rues sont tracées en ligne droite. La rue Pasteur est perpendiculaire à la rue Victor-Hugo. La rue Curie est parallèle à la rue Victor-Hugo. La rue Lumière est perpendiculaire à la rue Curie.
  1. Les rues Pasteur et Curie sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? Justifie avec une propriété.
  2. Les rues Lumière et Victor-Hugo sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? Justifie.
  3. Les rues Lumière et Pasteur sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? Justifie.
  4. Représente schématiquement ce plan en traçant les quatre droites à l'équerre et à la règle.
Corrigé détaillé
1Reconnaître les relations
a) \(d_1 \text{ et } d_3 \text{ sont toutes deux horizontales : elles ne se coupent jamais}\) \(d_1 \parallel d_3\)
b) \(d_1 \text{ horizontale et } d_2 \text{ verticale : angle droit à leur intersection}\) \(d_1 \perp d_2\)
c) \(d_2 \text{ verticale et } d_3 \text{ horizontale : angle droit à leur intersection}\) \(d_2 \perp d_3\)
d) \(d_4 \text{ oblique (non verticale) : elle coupe } d_1 \text{ sans former un angle droit}\) \(\text{Non. } d_1 \text{ et } d_4 \text{ sont sécantes, donc non parallèles.}\)
2Appliquer les propriétés
a) \(a \perp c \text{ et } b \perp c\) \(a \parallel b \quad \text{(Prop. 1 : deux droites} \perp \text{ à une même droite sont} \parallel \text{)}\)
b) \(p \parallel q \text{ et } r \perp p\) \(r \perp q \quad \text{(Prop. 2 : droite} \perp \text{ à l'une de deux droites} \parallel \text{ est} \perp \text{ à l'autre)}\)
c) \(u \parallel v, \; w \text{ sécante à } u \text{ et non} \perp \text{ à } u\) \(w \text{ est sécante à } v \text{, et non perpendiculaire à } v\)
3Construction à l'équerre
a) \(\text{Poser l'angle droit de l'équerre sur } d \text{ au point } A \text{, tracer } d'\) \(d' \perp d \quad \text{— placer □ à l'intersection}\)
b) \(\text{Règle contre } d \text{, faire glisser l'équerre jusqu'à } B \text{, tracer } d''\) \(d'' \parallel d\)
c) \(d' \perp d \text{ et } d'' \parallel d \;\Rightarrow\; \text{Prop. 2 :}\) \(d' \perp d'' \quad \text{(vérifiable à l'équerre : angle droit entre } d' \text{ et } d'' \text{)}\)
4Problème — Plan de ville
a) \(\text{Pasteur} \perp \text{Victor-Hugo et Curie} \parallel \text{Victor-Hugo}\) \(\text{Pasteur} \perp \text{Curie} \quad \text{(Prop. 2)}\)
b) \(\text{Lumière} \perp \text{Curie et Curie} \parallel \text{Victor-Hugo}\) \(\text{Lumière} \perp \text{Victor-Hugo} \quad \text{(Prop. 2)}\)
c) \(\text{Lumière} \perp \text{Victor-Hugo (question b) et Pasteur} \perp \text{Victor-Hugo}\) \(\text{Lumière} \parallel \text{Pasteur} \quad \text{(Prop. 1)}\)
d) \(\text{Victor-Hugo} \parallel \text{Curie (horizontales) ; Pasteur} \parallel \text{Lumière (verticales)}\) \(\text{Schéma : 2 paires de droites parallèles, perpendiculaires d'une paire à l'autre}\)