Salut ! Tu as un contrôle de géométrie sur les droites parallèles et perpendiculaires, mais tu n'as pas encore étudié ce chapitre ? Pas de panique ! On va découvrir l'essentiel en un rien de temps, et tu sauras faire le minimum pour assurer. Avant de plonger, on active les compétences que tu possèdes déjà : prélever des données numériques sur un dessin (voir si l'angle est droit), exploiter et communiquer des résultats (le fameux petit carré □), et organiser des informations pour comprendre comment deux droites se comportent. C'est parti !
Prérequis : angles et droites
Une droite est une ligne infinie et sans épaisseur. Deux droites peuvent se croiser en un point : on dit qu'elles sont sécantes. Si elles ne se croisent jamais, même en les prolongeant à l'infini, elles sont parallèles. Quand deux droites sécantes forment un angle droit (90°), on dit qu'elles sont perpendiculaires. On place le petit carré □ à l'intersection pour signaler l'angle droit.
Deux propriétés express
Propriété 1 : Si deux droites sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles.
Propriété 2 : Si une droite est perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles, alors elle est perpendiculaire à l'autre aussi.
À toi de jouer
1. Observe la figure ci-dessous. Elle représente trois droites.
Complète les phrases suivantes.
a) $d_1$ et $d_3$ ne se coupent jamais, donc elles sont $\underline{\hspace{1.1em}}$. On note $d_1 \underline{\hspace{1.1em}} d_3$.
b) $d_1$ et $d_2$ se coupent en formant un angle droit, symbolisé par $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc elles sont $\underline{\hspace{1.1em}}$. On note $d_1 \underline{\hspace{1.1em}} d_2$.
Corrigé
a) parallèles, $\parallel$
b) $\underline{\hspace{1.1em}}$ (le symbole), perpendiculaires, $\perp$
2. Appliquons la propriété 1. On a deux droites $(a)$ et $(b)$ toutes les deux perpendiculaires à une même droite $(c)$.
Complète : D'après la propriété 1, $(a)$ et $(b)$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
parallèles
3. Observe cette nouvelle figure (deux droites perpendiculaires à la même droite).
$d_2$ est $\perp$ à $d_1$, et $d_3$ est aussi $\perp$ à $d_1$.
Complète : Grâce à la propriété $\underline{\hspace{1.1em}}$, on en déduit que $d_2 \underline{\hspace{1.1em}} d_3$.
Corrigé
1, $\parallel$
Ah, tu as déjà croisé ces histoires de droites, n'est-ce pas ? On ravive la flamme : tu vas redécouvrir les méthodes de tracé et les propriétés, comme si ton prof les réexpliquait. Accroche-toi à ton équerre, c'est reparti !
Rappel des relations et symboles
Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais. Notation : $d_1 \parallel d_2$.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. Notation : $d_1 \perp d_2$, et on marque le petit carré □ à l'intersection.
Méthodes pas-à-pas avec l'équerre et la règle
Vérifier une perpendicularité : place l'angle droit de l'équerre au point d'intersection. Si les deux droites longent exactement les côtés de l'équerre, elles sont perpendiculaires.
Tracer une perpendiculaire à une droite $d$ passant par un point $A$ situé sur $d$ :
1. Place un côté de l'équerre le long de $d$.
2. Fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté passe par $A$.
3. Trace la droite le long de ce côté, marque le symbole □.
Tracer une parallèle à une droite $d$ passant par un point $B$ hors de $d$ :
1. Appuie une règle le long de $d$.
2. Place un côté de l'équerre contre la règle.
3. Fais glisser l'équerre le long de la règle jusqu'à ce que le bord libre passe par $B$.
4. Trace la droite le long de ce bord.
À toi de jouer
1. On veut tracer la droite perpendiculaire à $(d)$ passant par le point $A$ marqué sur $(d)$. Complète les étapes avec les mots : équerre, angle droit, règle, point, perpendiculaire.
- Je place le côté de l'$\underline{\hspace{1.1em}}$ le long de $(d)$.
- Je fais glisser l'$\underline{\hspace{1.1em}}$ jusqu'à ce que le second bord passe par le $\underline{\hspace{1.1em}}$ $A$.
- Je trace la droite le long de ce bord : elle est $\underline{\hspace{1.1em}}$ à $(d)$.
- Je marque l'$\underline{\hspace{1.1em}}$ avec le symbole □.
Corrigé
équerre, équerre, point, perpendiculaire, angle droit
2. Utilise la propriété 2. Complète : On sait que $p \parallel q$ et que $r \perp p$. D'après la propriété 2, on peut affirmer que $r \underline{\hspace{1.1em}} q$. Justifie : comme $r$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ à l'une des deux droites $\underline{\hspace{1.1em}}$ ($p$), elle est aussi $\underline{\hspace{1.1em}}$ à l'autre ($q$).
Corrigé
$\perp$, perpendiculaire, parallèles, perpendiculaire
3. Sur ton cahier, trace une droite $(d)$, puis place un point $E$ extérieur à $(d)$. Construis la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par $E$ avec la règle et l'équerre. Décris brièvement les trois étapes de ta construction dans un petit paragraphe.
Corrigé
La méthode décrite dans le corrigé initial (règle posée sur $(d)$, équerre glissant contre la règle) donne bien une droite perpendiculaire à $(d)$, pas une parallèle. Le bord libre de l'équerre est perpendiculaire à la règle, donc perpendiculaire à $(d)$. Voici la construction correcte.
Étape 1 : Pose une face de l'équerre directement le long de la droite $(d)$, en vérifiant que cette face est bien alignée avec $(d)$.
Étape 2 : Appuie la règle contre l'autre face de l'équerre (la face perpendiculaire à $(d)$), puis maintiens la règle fixe sans la déplacer.
Étape 3 : Fais glisser l'équerre le long de la règle jusqu'à ce que la face qui était posée sur $(d)$ passe par le point $E$. Trace alors la droite $(d')$ le long de cette face. Tu obtiens $(d') \parallel (d)$.
La règle joue ici le rôle de guide fixe, et c'est la face de l'équerre qui était sur $(d)$ que tu utilises pour tracer la parallèle — pas le bord libre perpendiculaire.
Maintenant qu'on a revu le b.a.-ba, on répète, on répète, on répète ! Cinq mini-exos quasi identiques, juste pour que le geste devienne automatique. Tu vas enchaîner avec des chiffres et des lettres qui changent à peine. Prêt pour le rodage ?
À toi de jouer
1. Deux droites $(u)$ et $(v)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite $(t)$. Donc, d'après la propriété $\underline{\hspace{1.1em}}$, $(u)$ et $(v)$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$. On note $u \underline{\hspace{1.1em}} v$.
Corrigé
1, parallèles, $\parallel$
2. La droite $(m)$ est parallèle à $(n)$. La droite $(p)$ est perpendiculaire à $(m)$. Alors, par la propriété 2, $(p)$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ à $(n)$. On note $p \underline{\hspace{1.1em}} n$.
Corrigé
perpendiculaire, $\perp$
3. Observe le quadrillage ci-dessous : la ligne rouge est horizontale, la ligne bleue est verticale. Elles se coupent à angle droit.
Complète : Ces deux lignes sont $\underline{\hspace{1.1em}}$. On écrit : rouge $\underline{\hspace{1.1em}}$ bleue.
Corrigé
perpendiculaires, $\perp$
4. Si une droite $(d)$ est perpendiculaire à $(d_1)$ et aussi perpendiculaire à $(d_2)$, alors $(d_1) \underline{\hspace{1.1em}} (d_2)$.
Corrigé
$\parallel$
5. Sur la figure ci-contre, le codage □ est tracé entre $(AB)$ et $(BC)$. Cela signifie que ces deux droites sont $\underline{\hspace{1.1em}}$. On peut donc écrire $(AB) \underline{\hspace{1.1em}} (BC)$.
Corrigé
perpendiculaires, $\perp$
Tu te sens prêt ? Passons aux choses sérieuses ! Voici des exercices du type de ceux que tu pourrais trouver en contrôle. Plus de trous pour t'aider, c'est toi qui écris tout. Prends ton temps, lis bien les énoncés, et n'oublie pas de justifier avec les propriétés quand il le faut. Montre-moi ce que tu sais faire !
À toi de jouer
1. On considère quatre droites tracées sur une feuille quadrillée : $d_1$ est horizontale, $d_2$ est verticale, $d_3$ est horizontale et distincte de $d_1$, $d_4$ est oblique (ni horizontale ni verticale).
a) Les droites $d_1$ et $d_3$ sont-elles parallèles, perpendiculaires, ou sécantes sans être perpendiculaires ?
b) Les droites $d_1$ et $d_2$ ?
c) Les droites $d_2$ et $d_3$ ?
d) Peut-on dire que $d_1$ et $d_4$ sont parallèles ? Justifie.
Corrigé
a) $d_1 \parallel d_3$ car elles sont toutes deux horizontales et ne se coupent jamais.
b) $d_1 \perp d_2$ car elles se coupent en formant un angle droit (horizontale et verticale).
c) $d_2 \perp d_3$ pour la même raison.
d) Non, $d_1$ et $d_4$ ne sont pas parallèles car $d_4$ est oblique : elle coupe $d_1$ en un point (elles sont sécantes).
2. Pour chaque cas, réponds en citant la propriété utilisée (Propriété 1 ou Propriété 2).
a) La droite $a$ est perpendiculaire à la droite $c$. La droite $b$ est aussi perpendiculaire à $c$. Que peut-on dire de $a$ et $b$ ?
b) Les droites $p$ et $q$ sont parallèles. La droite $r$ est perpendiculaire à $p$. Que peut-on dire de $r$ et $q$ ?
c) Les droites $u$ et $v$ sont parallèles. La droite $w$ est sécante à $u$ sans être perpendiculaire à $u$. Que peut-on dire de $w$ et $v$ ?
Corrigé
a) Les droites $a$ et $b$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $c$. D'après la Propriété 1, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Donc $a \parallel b$.
b) Les droites $p$ et $q$ sont parallèles, et $r \perp p$. D'après la Propriété 2, si une droite est perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles, elle est perpendiculaire à l'autre. Donc $r \perp q$.
c) Les droites $u$ et $v$ sont parallèles, et $w$ est sécante à $u$ sans être perpendiculaire à $u$.
On peut tirer deux conclusions :
1. $w$ est sécante à $v$. En effet, si $w$ était parallèle à $v$, elle serait aussi parallèle à $u$ (deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles). Or $w$ coupe $u$, donc $w$ n'est pas parallèle à $u$ : contradiction. Donc $w$ coupe bien $v$.
2. $w$ n'est pas perpendiculaire à $v$. Si $w$ était perpendiculaire à $v$, alors, puisque $u \parallel v$, la Propriété 2 imposerait que $w$ soit aussi perpendiculaire à $u$. Or l'énoncé dit que $w$ n'est pas perpendiculaire à $u$ : contradiction. Donc $w$ n'est pas perpendiculaire à $v$.
Conclusion : $w$ est sécante à $v$, et elle n'est pas perpendiculaire à $v$ (contraposée de la Propriété 2).
3. Sur une feuille, trace une droite $d$. Place un point $A$ sur $d$. Construis la droite $d'$ perpendiculaire à $d$ passant par $A$ (marque le symbole □).
Place un point $B$ n'appartenant pas à $d$. Construis la droite $d''$ parallèle à $d$ passant par $B$.
a) Quelle relation y a-t-il entre $d'$ et $d''$ ? Vérifie à l'équerre.
b) Justifie ta réponse à l'aide d'une propriété.
Corrigé
a) $d' \perp d''$ (vérification à l'équerre).
b) On a $d'' \parallel d$ et $d' \perp d$. D'après la propriété 2 (si une droite est perpendiculaire à l'une de deux parallèles, elle est perpendiculaire à l'autre), on en déduit $d' \perp d''$.
4. Dans une ville, quatre rues sont tracées en ligne droite.
La rue Pasteur est perpendiculaire à la rue Victor-Hugo.
La rue Curie est parallèle à la rue Victor-Hugo.
La rue Lumière est perpendiculaire à la rue Curie.
a) Les rues Pasteur et Curie sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? Justifie avec une propriété.
b) Les rues Lumière et Victor-Hugo sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? Justifie.
c) Les rues Lumière et Pasteur sont-elles parallèles ou perpendiculaires ? Justifie.
d) Représente schématiquement ce plan en traçant les quatre droites à l'équerre et à la règle.
Corrigé
a) Pasteur $\perp$ Victor-Hugo et Curie $\parallel$ Victor-Hugo, donc d'après la propriété 2, Pasteur $\perp$ Curie. Elles sont perpendiculaires.
b) Lumière $\perp$ Curie et Curie $\parallel$ Victor-Hugo, donc d'après la propriété 2, Lumière $\perp$ Victor-Hugo.
c) Lumière $\perp$ Victor-Hugo et Pasteur $\perp$ Victor-Hugo, donc d'après la propriété 1, Lumière $\parallel$ Pasteur. Elles sont parallèles.
d) Schéma attendu : deux droites parallèles (Victor-Hugo et Curie), une droite perpendiculaire à toutes les deux (Pasteur) et une autre droite perpendiculaire à toutes les deux (Lumière) donc elles sont parallèles entre elles. On obtient une figure avec deux paires de parallèles perpendiculaires entre elles (rectangles).
Tu gères déjà comme un champion ! Pour aller plus loin, on s'aventure juste au-delà du programme, histoire de briller en avance. Ces exos te donneront un avant-goût de ce qui t'attend en 5e : des raisonnements plus longs et des constructions ingénieuses. Allez, on montre de quoi on est capable !
À toi de jouer
1. Construction sans équerre (règle et compas) : Trace une droite $(d)$ et un point $M$ extérieur à $(d)$. En n'utilisant que la règle non graduée et le compas, construis la droite parallèle à $(d)$ passant par $M$ en suivant la méthode ci-dessous, puis justifie pourquoi elle est correcte à l'aide des propriétés.
Méthode :
1. Construis une droite $(d_1)$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ avec le compas (médiatrice : prends deux points $A$ et $B$ sur $(d)$, trace deux arcs de cercle de même rayon de centre $A$ et $B$, ils se coupent en $M$ et un autre point $N$ ; la droite $(MN)$ est perpendiculaire à $(d)$).
2. De la même manière, construis la droite $(d_2)$ perpendiculaire à $(d_1)$ passant par $M$.
3. Justifie que $(d_2)$ est parallèle à $(d)$.
Corrigé
La droite $(d_2)$ obtenue est parallèle à $(d)$ car $(d_2)$ et $(d)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(d_1)$. D'après la propriété 1 (deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles), on a $(d_2) \parallel (d)$.
2. Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$. On trace la droite $(d)$ parallèle à $(AB)$ passant par $C$, et la droite $(d')$ parallèle à $(AC)$ passant par $B$. Les droites $(d)$ et $(d')$ se coupent en $D$.
a) Démontre que $(CD) \perp (AC)$. (Indice : utilise la propriété 2)
b) Démontre que $(BD) \perp (AB)$.
c) Déduis-en la nature du quadrilatère $ABDC$.
Corrigé
a) $(d)$ est parallèle à $(AB)$, et $(AB) \perp (AC)$ car triangle rectangle en $A$. D'après la propriété 2, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre, donc $(d) \perp (AC)$. Or $(d)$ passe par $C$, donc $(CD) \perp (AC)$.
b) De même, $(d')$ est parallèle à $(AC)$, et $(AC) \perp (AB)$, donc par propriété 2, $(d') \perp (AB)$, soit $(BD) \perp (AB)$.
c) On a $(CD) \perp (AC)$, $(BD) \perp (AB)$, et de plus $(CD) \parallel (AB)$ et $(BD) \parallel (AC)$. Le quadrilatère $ABDC$ possède tous ses angles droits : c'est un rectangle.
3. Vrai ou faux ? Justifie.
a) Si une droite est perpendiculaire à une autre, alors elle est forcément parallèle à toutes les droites perpendiculaires à cette même autre.
b) Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
c) Deux droites perpendiculaires à une même droite sont toujours perpendiculaires entre elles.
Corrigé
a) Vrai. C'est exactement la propriété 1 : deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
b) Vrai. Si $a \parallel c$ et $b \parallel c$, alors $a \parallel b$ (c'est une autre propriété admise en 6e).
c) Faux. Elles sont parallèles entre elles (propriété 1) et non perpendiculaires. Exemple : deux rails perpendiculaires à une même traverse sont parallèles.