Pas de panique si tu n'as jamais entendu parler de division euclidienne. On va tout reprendre du début et tu vas voir, c'est comme un jeu de rangement. Tu connais déjà les multiplications et les soustractions ; la division euclidienne n'est rien d'autre qu'une multiplication à l'envers avec un petit reste à la fin. On va s'appuyer sur les prérequis : les tables de multiplication, la recherche des multiples et la soustraction. D'ici la fin de cette fiche, tu sauras diviser un nombre entier et vérifier ton résultat.
Prérequis : multiplication, multiples et soustraction
Pour bien comprendre la division euclidienne, rappelle-toi trois points :
- Les tables de multiplication : par exemple, 7 × 8 = 56, 6 × 9 = 54.
- Les multiples : le multiple d’un nombre est ce qu’on obtient en le multipliant par un entier. Ainsi, les multiples de 5 sont 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50…
- La soustraction : elle permet de calculer ce qui reste après avoir enlevé un certain nombre de fois le diviseur.
Ces trois outils suffisent pour une division euclidienne.
L'idée : partager en parts égales avec un reste
Quand on divise un entier a par un entier b (non nul), on cherche combien de fois b rentre entièrement dans a. On obtient alors deux nombres :
- le quotient q : le nombre de parts pleines ;
- le reste r : ce qui n’a pas pu être mis dans une part pleine, toujours plus petit que b.
Exemple avec 47 billes partagées en paquets de 5 : regarde le dessin.
La relation fondamentale à retenir
Pour toute division euclidienne, on a toujours :
$a = b \times q + r$
avec la condition : $0 \le r < b$ (le reste doit être strictement inférieur au diviseur).
Dans l’exemple : $47 = 5 \times 9 + 2$ et $0 \le 2 < 5$.
Quand $r=0$, on dit que la division tombe juste : $b$ divise $a$. Par exemple $36 = 6 \times 6 + 0$, donc $6$ divise $36$.
À toi de jouer
1. On va le faire ensemble. Complète les trous pour le partage de 38 billes en paquets de 6 :
Le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 38 est $6 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc le quotient est $q = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Le reste est $r = 38 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérification : $0 \le \underline{\hspace{1.1em}} < 6$ et $38 = 6 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 38 est $6 \times 6 = 36$.
Donc le quotient est $q = 6$.
Le reste est $r = 38 - 36 = 2$.
Vérification : $0 \le 2 < 6$ et $38 = 6 \times 6 + 2$.
2. Complète la division euclidienne de 53 par 7 :
$7 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (le plus grand multiple de 7 ≤ 53).
$q = \underline{\hspace{1.1em}}$
$r = 53 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Vérifie la condition : $0 \le \underline{\hspace{1.1em}} < 7$.
Écris la relation : $53 = 7 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$7 \times 7 = 49$.
$q = 7$
$r = 53 - 49 = 4$
Vérification : $0 \le 4 < 7$.
Relation : $53 = 7 \times 7 + 4$.
3. Alice a effectué la division de 79 par 6 et écrit : $79 = 6 \times 13 + 1$.
Complète le contrôle : $6 \times 13 = \underline{\hspace{1.1em}}$, puis $\underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Est-ce que $0 \le 1 < 6$ ? (oui/non).
Est-ce une division euclidienne correcte ? (oui/non).
Corrigé
$6 \times 13 = 78$, $78 + 1 = 79$. Oui, $0 \le 1 < 6$. C'est une division euclidienne correcte. Oui.
Ah, le déclic ! La division euclidienne te revient. On va remettre tout ça au propre avec une méthode simple en trois étapes, histoire que le jour du contrôle tu ne te demandes plus si le reste a le droit d'être plus grand que le diviseur ou pas.
La méthode en 3 étapes
Pour diviser a par b :
- Chercher le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a : cela donne b × q. Le nombre q est le quotient.
- Calculer le reste : r = a - (b × q).
- Vérifier : 0 ≤ r < b et écrire la relation a = b × q + r.
Exemple avec $75 ÷ 8$ :
- $8 × 9 = 72$ et $72 ≤ 75$ (le multiple suivant serait $8 × 10 = 80$, trop grand). Donc $q = 9$.
- $r = 75 - 72 = 3$.
- $0 ≤ 3 < 8$ et $75 = 8 × 9 + 3$. Validé.
Pièges classiques
- Ne jamais laisser un reste trop grand : si tu obtiens $r ≥ b$, c’est que ton quotient est trop petit. Revois la table de multiplication et augmente $q$ de 1.
- Ne pas confondre quotient euclidien et quotient décimal : $47 ÷ 5$ donne $9,4$ en calcul décimal, mais en division euclidienne le quotient est l’entier $9$ et le reste est $2$.
- Écrire le reste 0 quand la division tombe juste : $36 = 6 × 6 + 0$ (ne pas oublier le « + 0 »).
À toi de jouer
1. On applique la méthode. Pour $59 ÷ 7$, remplis les trous :
Les multiples de 7 : $7×1=7$, …, $7×\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (le plus grand ≤ 59).
Donc $q = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$r = 59 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Écris la relation : $59 = \underline{\hspace{1.1em}} × \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérifie la condition : $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Multiple : $7×8 = 56$ (le plus grand ≤ 59).
$q = 8$.
$r = 59 - 56 = 3$.
Relation : $59 = 7 × 8 + 3$.
Condition : $0 ≤ 3 < 7$ (respectée).
2. Paul a écrit $47 = 5 \times 8 + 7$.
Calcule $5 × 8 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$\underline{\hspace{1.1em}} + 7 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Est-ce que $47$ est bien retrouvé ? (oui/non).
Regarde le reste : $r = 7$. Vérifie $0 ≤ 7 < 5$ : vrai ou faux ? .
Si c’est faux, corrige la division correcte : $47 = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$ avec $0 ≤ r < 5$.
Corrigé
$5 × 8 = 40$. $40 + 7 = 47$. Oui, on retrouve 47. Mais $0 ≤ 7 < 5$ est faux. Le reste est trop grand. Correction : $5 × 9 = 45$, reste $2$, donc $47 = 5 × 9 + 2$.
3. Complète l'élément manquant sans poser toute la division :
On sait que $83 = 9 \times 9 + r$. Trouve $r$ :
$9 × 9 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $r = 83 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérifie que $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < 9$. Est-ce correct ? (oui/non).
Corrigé
$9 × 9 = 81$. $r = 83 - 81 = 2$. $0 ≤ 2 < 9$ donc oui, c'est une division euclidienne correcte.
Maintenant que la méthode est claire, on va répéter le geste cinq fois de suite. Même structure, nombres différents. Le but est que ça devienne un automatisme. Prends ton crayon, respire, et c'est parti.
À toi de jouer
1. Divise $67$ par $9$ (division euclidienne).
Quotient $q = \underline{\hspace{1.1em}}$
Reste $r = \underline{\hspace{1.1em}}$
Relation : $67 = 9 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
Vérifie : $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < 9$
Corrigé
$9 × 7 = 63$, $67 - 63 = 4$. Donc $q = 7$, $r = 4$.
Relation : $67 = 9 × 7 + 4$.
$0 ≤ 4 < 9$, correct.
2. Divise $81$ par $7$ (division euclidienne).
Quotient $q = \underline{\hspace{1.1em}}$
Reste $r = \underline{\hspace{1.1em}}$
Relation : $81 = 7 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
Vérifie : $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < 7$
Corrigé
$7 × 11 = 77$, $81 - 77 = 4$. Donc $q = 11$, $r = 4$.
Relation : $81 = 7 × 11 + 4$.
$0 ≤ 4 < 7$, correct.
3. Divise $95$ par $4$ (division euclidienne).
Quotient $q = \underline{\hspace{1.1em}}$
Reste $r = \underline{\hspace{1.1em}}$
Relation : $95 = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
Vérifie : $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < 4$
Corrigé
$4 × 23 = 92$, $95 - 92 = 3$. Donc $q = 23$, $r = 3$.
Relation : $95 = 4 × 23 + 3$.
$0 ≤ 3 < 4$, correct.
4. Divise $112$ par $6$ (division euclidienne).
Quotient $q = \underline{\hspace{1.1em}}$
Reste $r = \underline{\hspace{1.1em}}$
Relation : $112 = 6 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
Vérifie : $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < 6$
Corrigé
$6 × 18 = 108$, $112 - 108 = 4$. Donc $q = 18$, $r = 4$.
Relation : $112 = 6 × 18 + 4$.
$0 ≤ 4 < 6$, correct.
5. Divise $73$ par $8$ (division euclidienne).
Quotient $q = \underline{\hspace{1.1em}}$
Reste $r = \underline{\hspace{1.1em}}$
Relation : $73 = 8 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
Vérifie : $0 ≤ \underline{\hspace{1.1em}} < 8$
Corrigé
$8 × 9 = 72$, $73 - 72 = 1$. Donc $q = 9$, $r = 1$.
Relation : $73 = 8 × 9 + 1$.
$0 ≤ 1 < 8$, correct.
Voici des exercices comme tu pourrais en avoir en contrôle : problèmes concrets, vérifications, pièges et interprétations du reste. Prends le temps de bien vérifier la condition sur le reste à chaque fois.
À toi de jouer
1. Pour chaque division, trouve le quotient $q$ et le reste $r$, puis écris la relation $a = b \times q + r$.
a) $126 \div 8$
b) $214 \div 12$
c) $97 \div 9$
Corrigé
a) $8 \times 15 = 120$, $126 - 120 = 6$. $q=15$, $r=6$, $126 = 8 \times 15 + 6$ (vérifié: $0≤6<8$).
b) $12 \times 17 = 204$, $214 - 204 = 10$. $q=17$, $r=10$, $214 = 12 \times 17 + 10$ ($0≤10<12$).
c) $9 \times 10 = 90$, $97 - 90 = 7$. $q=10$, $r=7$, $97 = 9 \times 10 + 7$ ($0≤7<9$).
2. Voici trois égalités proposées par des élèves. Pour chacune, dis si elle correspond à une division euclidienne correcte. Si c’est faux, donne la bonne relation.
a) Léo : $89 = 7 \times 12 + 5$
b) Sarah : $65 = 8 \times 7 + 9$
c) Tom : $100 = 11 \times 9 + 1$
Corrigé
a) $7×12=84$, $84+5=89$ et $0≤5<7$ : VRAI.
b) $8×7=56$, $56+9=65$ mais $9 ≥ 8$, donc FAUX. Correcte : $8×8=64$, reste $1$, $65 = 8×8+1$.
c) $11×9=99$, $99+1=100$ et $0≤1<11$ : VRAI.
3. Un libraire reçoit 327 livres qu’il doit ranger sur des étagères. Chaque étagère peut contenir exactement 25 livres.
a) Combien d’étagères complètes peut-il remplir ?
b) Combien de livres restera-t-il après avoir rempli les étagères complètes ?
c) Combien d’étagères doit-il prévoir au total pour ranger tous les livres ?
Corrigé
Division euclidienne de 327 par 25 : $25 \times 13 = 325$, $327 - 325 = 2$. $q=13$, $r=2$.
a) 13 étagères complètes.
b) Il restera 2 livres.
c) Comme il reste des livres, il faut une étagère supplémentaire pour les 2 livres, donc 14 étagères au total.
4. Trouve le nombre manquant et vérifie la condition sur le reste.
a) $247 = 12 \times q + 7$ : trouve $q$.
b) $a = 9 \times 14 + 5$ : calcule $a$.
c) $183 = 15 \times 12 + r$ : trouve $r$ et vérifie $0 ≤ r < 15$.
Corrigé
a) $12q = 247 - 7 = 240$, donc $q = 240 ÷ 12 = 20$. Condition : $0 ≤ 7 < 12$ OK.
b) $a = 9×14 + 5 = 126 + 5 = 131$. Condition : $0 ≤ 5 < 9$ OK.
c) $15×12 = 180$, $r = 183 - 180 = 3$. $0 ≤ 3 < 15$ OK.
5. a) Quand on divise un entier par 7, quels sont tous les restes possibles ?
b) Un élève affirme : « Le reste de ma division est 9 ». Est-ce possible ? Justifie.
c) En divisant un nombre par 6, on obtient un quotient de 15 et un reste de 4. Quel est le nombre de départ ?
Corrigé
a) Quand on divise un entier par 7, le reste $r$ vérifie $0 \leq r < 7$.
Les restes possibles sont donc : $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (7 valeurs au total).
b) Oui, c'est possible. Dans la division euclidienne, le reste doit être strictement inférieur au diviseur, mais l'élève ne précise pas par quel nombre il divise. Si le diviseur est strictement supérieur à 9 (par exemple 10, 11, 12…), alors un reste de 9 est tout à fait valide.
Exemple : $99 \div 10 = 9$ (quotient) reste $9$, car $10 \times 9 + 9 = 99$.
En revanche, si le diviseur était 7 (comme en question a), un reste de 9 serait impossible car $9 \geq 7$.
c) On utilise la formule de la division euclidienne : $a = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$.
$a = 6 \times 15 + 4 = 90 + 4 = \mathbf{94}$.
Tu maîtrises la division euclidienne ? Bravo. Voyons maintenant comment le quotient et le reste servent à résoudre des énigmes, à gérer des cycles, et à préparer des notions de 5e comme la divisibilité. Un peu de réflexion, et tu seras paré !
À toi de jouer
1. Une guirlande lumineuse change de couleur toutes les 3 secondes : rouge, vert, bleu, rouge, vert, bleu… Au départ (t = 0 s), elle affiche le rouge (1re couleur).
a) Un cycle complet rouge-vert-bleu dure 9 secondes. Combien de cycles complets se sont écoulés après 100 secondes ?
b) Quelle couleur la guirlande affiche-t-elle à t = 100 secondes ? (Aide : chaque couleur dure 3 s. Avec la division euclidienne de 100 par 3, le quotient indique combien de couleurs entières se sont succédé ; les couleurs se répètent ensuite dans l’ordre rouge, vert, bleu.)
Corrigé
a) Un cycle rouge-vert-bleu dure 9 secondes. On effectue la division euclidienne de 100 par 9 :
$100 = 9 \times 11 + 1$.
Il s’est donc écoulé 11 cycles complets rouge-vert-bleu (et le 12ᵉ cycle est entamé depuis 1 s).
b) Chaque couleur dure 3 s. On divise 100 par 3 :
$100 = 3 \times 33 + 1$.
33 couleurs ont été affichées en entier, donc à t = 100 s la guirlande en est à sa 34ᵉ couleur. Comme les couleurs se répètent dans l’ordre rouge (1ʳᵉ), vert (2ᵉ), bleu (3ᵉ), on cherche le rang de la 34ᵉ dans le cycle :
$34 = 3 \times 11 + 1$, reste 1 → c’est la 1ʳᵉ couleur du cycle, le rouge.
À t = 100 s, la guirlande est rouge.
2. Trouve tous les nombres entiers compris entre 50 et 60 qui, divisés par 7, laissent un reste de 5.
Corrigé
On cherche $n$ tel que $n = 7 × q + 5$ et $50 ≤ n ≤ 60$. Pour $q=7$, $n=7×7+5=54$ (entre 50 et 60). Pour $q=8$, $n=7×8+5=61$ (hors intervalle). Pour $q=6$, $n=7×6+5=47$ (hors intervalle). Seul 54 convient.
3. Trois amis veulent se partager équitablement 100 billes.
a) Peuvent-ils le faire sans qu’il reste de billes ? Justifie par une division euclidienne.
b) Combien de billes faut-il ajouter au minimum pour que le partage soit exact (reste 0) ?
Corrigé
a) Division de 100 par 3 : $100 = 3 × 33 + 1$, reste 1. Non, il reste 1 bille, le partage n'est pas exact.
b) Le reste est 1 ; pour obtenir un multiple de 3 supérieur, on ajoute $3 - 1 = 2$ billes (car $100 + 2 = 102$, $102 = 3 × 34$). Il faut ajouter 2 billes.