Division euclidienne — Exercices

Application directe, vérification, problème concret. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~20 min✎ Calculatrice inutile

1Poser la division euclidienne/ 4 pts

Pour chaque division, donne le quotient $q$ et le reste $r$, puis écris la relation $a = b \times q + r$.

$38 \div 6$
$75 \div 8$
$100 \div 7$
$53 \div 5$

2Vrai ou faux ?/ 3 pts

Chaque élève a posé une division euclidienne. Dis si c'est correct. Si non, donne la bonne relation.

Alice écrit : $79 = 6 \times 13 + 1$.
Paul écrit : $47 = 5 \times 8 + 7$.
Camille écrit : $64 = 9 \times 7 + 1$.

3Trouver l'élément manquant/ 3 pts

Complète chaque égalité en trouvant le nombre manquant, puis vérifie la condition sur le reste.

$59 = 7 \times q + 3$ — trouve $q$.
$a = 6 \times 12 + 4$ — calcule $a$.
$83 = 9 \times 9 + r$ — trouve $r$ et vérifie $0 \le r \lt 9$.

4Problème — répartition de billes/ 3 pts

Clara possède 94 billes. Elle veut les ranger dans des sachets de 9 billes chacun.

Pose la division euclidienne de $94$ par $9$.
Combien de sachets complets Clara peut-elle remplir ?
Combien de billes restera-t-il ?

5Valeurs du reste/ 3 pts

On divise un entier par $6$.

Liste toutes les valeurs possibles du reste.
Tom dit : « Le reste de ma division est $6$. » Est-ce possible ? Justifie.
Léa obtient un quotient de $15$ et un reste de $4$ en divisant par $6$. Quel est son nombre de départ ?

Corrigé détaillé

1Poser la division euclidienne

a) $6 \times 6 = 36,\quad 38 - 36 = 2,\quad 38 = 6 \times 6 + 2$ $q = 6,\; r = 2$

b) $8 \times 9 = 72,\quad 75 - 72 = 3,\quad 75 = 8 \times 9 + 3$ $q = 9,\; r = 3$

c) $7 \times 14 = 98,\quad 100 - 98 = 2,\quad 100 = 7 \times 14 + 2$ $q = 14,\; r = 2$

d) $5 \times 10 = 50,\quad 53 - 50 = 3,\quad 53 = 5 \times 10 + 3$ $q = 10,\; r = 3$

2Vrai ou faux ?

Alice $6 \times 13 = 78,\; 78 + 1 = 79 \; \text{et} \; 0 \le 1 \lt 6$ $\text{VRAI — division euclidienne correcte.}$

Paul $5 \times 8 = 40,\; 40 + 7 = 47 \; \text{mais} \; r = 7 \ge 5 \Rightarrow \text{FAUX.} \; \text{Correct :} \; 47 = 5 \times 9 + 2$ $\text{FAUX — reste trop grand.} \; 47 = 5 \times 9 + 2, \; r = 2.$

Camille $9 \times 7 = 63,\; 63 + 1 = 64 \; \text{et} \; 0 \le 1 \lt 9$ $\text{VRAI — division euclidienne correcte.}$

3Trouver l'élément manquant

a) $59 - 3 = 56,\; 56 \div 7 = 8 \Rightarrow q = 8. \; \text{Vérif. :} \; 7 \times 8 + 3 = 56 + 3 = 59$ $q = 8$

b) $a = 6 \times 12 + 4 = 72 + 4$ $a = 76$

c) $9 \times 9 = 81,\; r = 83 - 81 = 2. \; 0 \le 2 \lt 9 \; \text{(condition respectée)}$ $r = 2$

4Problème — répartition de billes

a) $9 \times 10 = 90,\; 94 - 90 = 4,\; 94 = 9 \times 10 + 4$ $q = 10,\; r = 4$

b) $\text{Le quotient indique le nombre de sachets complets.}$ $\text{Clara remplit } 10 \text{ sachets complets.}$

c) $\text{Le reste indique les billes non rangées.}$ $\text{Il restera } 4 \text{ billes.}$

5Valeurs du reste

a) $0 \le r \lt 6 \Rightarrow r \in \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5\}$ $\text{Six valeurs possibles : } 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5.$

b) $r = 6 \ge 6 \Rightarrow \text{la condition } 0 \le r \lt 6 \text{ n'est pas respectée.}$ $\text{Non, impossible : le reste doit être strictement inférieur à } 6.$

c) $a = 6 \times 15 + 4 = 90 + 4$ $a = 94$