On va apprendre l'aire en un éclair. Imagine que tu poses des petits carrés de 1 cm de côté sur une surface. Le nombre de carrés, c'est l'aire, et ça se mesure en cm², en m²… Pas besoin d'avoir tout vu l'an dernier, on part de zéro et c'est parti !
Prérequis indispensables
Avant de te lancer, vérifie ces trois points :
Tu sais multiplier deux nombres : par exemple $7 \times 4 = 28$.
Tu sais calculer un carré : $3^2 = 3 \times 3 = 9$.
Tu reconnais un angle droit (le coin d'un rectangle, d'une équerre).
On exprime les longueurs en cm, m… et les aires en cm², m².
Rectangle
Pour un rectangle, on repère sa longueur $L$ et sa largeur $l$. L'aire est :
$A = L \times l$
Exemple : $L = 5$ cm, $l = 3$ cm → $A = 5 \times 3 = 15$ cm².
Triangle
On choisit une base $b$ et on trace la hauteur $h$ perpendiculaire à cette base. L'aire d'un triangle :
$A = \frac{b \times h}{2}$
Exemple : $b = 6$ cm, $h = 4$ cm → $A = \frac{6 \times 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$ cm².
Disque
Pour un disque de rayon $r$, on utilise le nombre $\pi \approx 3{,}14$. La formule :
1. Un rectangle a pour longueur 9 cm et pour largeur 4 cm. Complète le calcul :
$A = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm²
Corrigé
$A = 9 \times 4 = 36$ cm²
2. Un triangle a une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm. Complète :
$A = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm²
3. Un disque a un rayon de 5 cm. On prend $\pi \approx 3{,}14$. Complète :
$A \approx 3{,}14 \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = 3{,}14 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm²
Ah oui, les formules commencent à revenir. On va maintenant structurer tout ça avec une méthode claire et trois exercices pour être sûr que ça roule.
Rappel express des trois formules
Rectangle : $A = L \times l$
Triangle : $A = \frac{b \times h}{2}$ (attention, $h$ doit être perpendiculaire à la base)
Disque : $A = \pi \times r^2$ avec $\pi \approx 3{,}14$. Si on te donne le diamètre $d$, alors $r = d \div 2$.
Méthode pas à pas
Identifier la figure (rectangle ? triangle ? disque ?).
Repérer les mesures utiles dans l'énoncé ou sur le schéma.
Appliquer la formule en remplaçant par les nombres.
Vérifier que l'unité est en cm², m² etc., et que les unités de longueur sont cohérentes.
À toi de jouer
1. Un rectangle a pour longueur 15 cm et pour largeur 8 cm. Complète :
$A = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$A = 15 \times 8 = 120$ cm².
2. Un triangle a une base de 9 cm et une hauteur de 7 cm. Complète le calcul en remplaçant les lettres par les bonnes valeurs :
$A = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
3. Un disque a un rayon de 8 cm. Prends $\pi \approx 3{,}14$ et complète :
$A \approx 3{,}14 \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = 3{,}14 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Place au niveau attendu en contrôle. On combine calculs, problèmes et un peu de proportionnalité. À toi de jouer, sans aide cette fois !
À toi de jouer
1. Calcule l'aire de chaque figure (tu peux utiliser la calculatrice, $\pi \approx 3{,}14$).
a) Un rectangle de longueur $9{,}5$ cm et de largeur $6$ cm.
b) Un triangle de base $16$ cm et de hauteur $9$ cm.
c) Un disque de rayon $7$ cm.
2. Retrouve la dimension manquante.
a) Un rectangle a une aire de $54$ cm² et une longueur de $9$ cm. Quelle est sa largeur ?
b) Un triangle a une aire de $63$ cm² et une base de $14$ cm. Quelle est sa hauteur ?
Corrigé
a) largeur $l = 54 \div 9 = 6$ cm.
b) hauteur $h = \frac{2 \times 63}{14} = \frac{126}{14} = 9$ cm.
3. Une pièce rectangulaire mesure $15$ m de long sur $9$ m de large. On aménage un placard triangulaire dans un coin : le triangle a une base de $5$ m et une hauteur de $4$ m. Calcule l'aire restante de la pièce.
Corrigé
Aire du rectangle : $15 \times 9 = 135$ m².
Aire du triangle : $\frac{5 \times 4}{2} = 10$ m².
Aire restante = $135 - 10 = 125$ m².
4. Un agriculteur possède trois parcelles. Complète le tableau puis réponds aux questions.
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
Parcelle & Forme & Dimensions & Aire (m²) \\
\hline
A & Rectangle & $L = 20$ m, $l = 15$ m & $\ldots$ \\
B & Triangle & $b = 18$ m, $h = 12$ m & $\ldots$ \\
C & Disque & $r = 6$ m & $\ldots$ \\
\hline
\end{tabular}
($\pi \approx 3{,}14$)
a) Quelle parcelle a la plus grande aire ?
b) Calcule le pourcentage que représente l'aire de la parcelle C par rapport à l'aire totale des trois parcelles (arrondis à l'unité).
Corrigé
Aire A = $20 \times 15 = 300$ m².
Aire B = $\frac{18 \times 12}{2} = 108$ m².
Aire C $\approx 3{,}14 \times 6^2 = 3{,}14 \times 36 = 113{,}04$ m².
Aire totale = $300 + 108 + 113{,}04 = 521{,}04$ m².
a) La parcelle A est la plus grande (300 m²).
b) Pourcentage de C = $\frac{113{,}04}{521{,}04} \times 100 \approx 21{,}7\%$. Arrondi à 22 %.
5. Pour peindre un mur rectangulaire de $4$ m de long sur $2{,}5$ m de haut, on utilise une peinture qui couvre $5$ m² par litre. Combien de litres de peinture faut-il prévoir au minimum (une seule couche) ?
Corrigé
Aire du mur = $4 \times 2{,}5 = 10$ m².
Litres nécessaires = $10 \div 5 = 2$ L.
Tu veux voir ce qui t'attend ? Voici trois exercices qui mélangent plusieurs figures ou qui demandent un peu plus de réflexion. C'est un bon avant-goût des années futures.
À toi de jouer
1. Un jardin public possède un bassin circulaire de rayon $8$ m. Autour de ce bassin, on construit une allée circulaire de $3$ m de large (l'allée entoure complètement le bassin).
Calcule l'aire de cette allée (c'est-à-dire la surface entre le bord du bassin et le bord extérieur de l'allée). Prends $\pi \approx 3{,}14$.
Corrigé
Rayon extérieur = $8 + 3 = 11$ m.
Aire du grand disque = $3{,}14 \times 11^2 = 3{,}14 \times 121 = 379{,}94$ m².
Aire du petit disque (bassin) = $3{,}14 \times 8^2 = 3{,}14 \times 64 = 200{,}96$ m².
Aire de l'allée = $379{,}94 - 200{,}96 = 178{,}98$ m².
2. Un terrain de sport a la forme d'un rectangle de $100$ m de long et $60$ m de large, prolongé à chaque extrémité par un demi-disque (le diamètre de chaque demi-disque est égal à la largeur du terrain).
Calcule l'aire totale du terrain. Utilise $\pi \approx 3{,}14$.
Corrigé
Le terrain est composé d'un rectangle et de deux demi-disques qui, réunis, forment un disque entier de diamètre $60$ m, donc de rayon $30$ m.
Aire du rectangle = $100 \times 60 = 6\,000$ m².
Aire du disque = $3{,}14 \times 30^2 = 3{,}14 \times 900 = 2\,826$ m².
Aire totale = $6\,000 + 2\,826 = 8\,826$ m².
3. On s'intéresse à l'effet d'un agrandissement sur l'aire d'un cercle.
a) Calcule l'aire d'un cercle de rayon $2$ cm, puis d'un cercle de rayon $4$ cm.
b) Par combien l'aire est-elle multipliée quand on double le rayon ?
c) Peux-tu deviner par combien serait multipliée l'aire si on triplait le rayon ? Explique ton raisonnement.
Corrigé
a) Aire(r=2) = $3{,}14 \times 2^2 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ cm².
Aire(r=4) = $3{,}14 \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 = 50{,}24$ cm².
b) $50{,}24 \div 12{,}56 = 4$. L'aire est multipliée par $4$.
c) Si on triple le rayon, l'aire serait multipliée par $3^2 = 9$. En effet, l'aire dépend du carré du rayon : $(3r)^2 = 9r^2$, donc l'aire devient $9$ fois plus grande.
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