Contrôle sur le cercle et tu débarques sans avoir vu le chapitre ? Respire : un cercle, c'est tout simplement ce que trace ton compas. En quelques minutes tu as l'essentiel pour t'en sortir.
Le strict nécessaire
Ce que tu dois déjà savoir faire : mesurer une longueur avec une règle graduée, nommer un point par une lettre majuscule ($O$, $A$, $B$...), et tenir un compas.
L'idée en une phrase : un cercle de centre $O$ et de rayon $r$, c'est l'ensemble de tous les points qui sont exactement à la distance $r$ du point $O$. C'est justement pour ça que le compas fonctionne : la pointe reste plantée sur $O$ et le crayon reste toujours à la même distance.
Le vocabulaire minimum à connaître :
- Le centre $O$ : le point du milieu, à égale distance de tous les points du cercle.
- Le rayon : un segment qui va du centre $O$ jusqu'à un point du cercle (sur la figure, $OA$). Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur $r$.
- Le diamètre : un segment qui traverse le cercle en passant par le centre (sur la figure, $BC$).
La formule à retenir absolument
Le diamètre est le double du rayon. Retiens ces deux écritures, ce sont les mêmes dans les deux sens :
Si on te donne le rayon, tu multiplies par 2 pour le diamètre. Si on te donne le diamètre, tu divises par 2 pour le rayon. C'est tout.
Un exemple fait en entier
Énoncé : un cercle a pour rayon $r = 4{,}5$ cm. Quel est son diamètre ?
On utilise la formule $d = 2 \times r$.
On remplace $r$ par sa valeur : $d = 2 \times 4{,}5$.
On calcule : $d = 9$ cm.
Réponse : le diamètre vaut $9$ cm.
- Place et nomme le centre $O$.
- Écarte le compas à la valeur du rayon, mesurée sur la règle.
- Plante la pointe sèche sur $O$.
- Tourne d'un tour complet sans changer l'écartement.
Le compas, tu l'as déjà manipulé, et certains mots te reviennent. Bonne nouvelle : on reprend tout au propre et dans l'ordre, pour que plus rien ne reste flou entre cercle, disque, corde et diamètre.
Toutes les définitions au propre
Un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble de tous les points situés exactement à la distance $r$ du point $O$. Attention à ne pas confondre avec le disque : le disque est la surface délimitée par le cercle, c'est-à-dire le cercle et tout son intérieur (la partie coloriée sur la figure). Le cercle est la ligne courbe ; le disque est la surface pleine.
- Centre $O$ : le point intérieur, à égale distance de tous les points du cercle.
- Rayon : un segment reliant le centre $O$ à un point du cercle ($OA$). Tous les rayons d'un même cercle ont la même longueur $r$.
- Diamètre : une corde qui passe par le centre ($BD$). C'est la plus grande corde du cercle, et sa longueur vaut $d = 2r$.
- Corde : un segment reliant deux points du cercle ($EF$). Le diamètre est une corde particulière (celle qui passe par le centre).
- Arc : une portion du cercle comprise entre deux de ses points (le trait épais sur la figure).
Rayon et diamètre : la double relation
Le diamètre est toujours le double du rayon, et le rayon la moitié du diamètre. On passe de l'un à l'autre avec ces deux formules :
Cercle de rayon $r = 4{,}5$ cm.
Diamètre : $d = 2 \times 4{,}5 = 9$ cm.
Cercle de diamètre $d = 13$ cm.
Rayon : $r = \dfrac{13}{2} = 6{,}5$ cm.
Méthode : tracer un cercle au compas
- Place et nomme le centre $O$ sur la feuille.
- Écarte le compas exactement à la valeur du rayon $r$ (mesure l'écartement sur la règle graduée).
- Plante la pointe sèche sur $O$, sans appuyer trop fort.
- Fais pivoter le compas d'un tour complet sans changer l'écartement.
- Nomme un ou plusieurs points sur le cercle si l'exercice le demande.
- Confondre rayon et diamètre : rappelle-toi $d = 2r$, le diamètre est le double du rayon.
- Appeler diamètre n'importe quelle corde : seule la corde qui passe par le centre est un diamètre.
- Confondre le cercle (la ligne courbe) et le disque (la surface pleine).
- Modifier l'écartement du compas pendant le tracé : le cercle en ressort déformé.
On arrête de lire, on prend le compas. Ici on refait la méthode ensemble, ligne par ligne, sur trois exemples entièrement rédigés. Regarde bien chaque étape : c'est exactement ce que tu reproduiras tout seul ensuite.
Exemple 1 : je construis un cercle donné
On te demande : « Trace un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm, puis place un point $A$ sur ce cercle. » On le fait ensemble.
1. Je place un point sur ma feuille et je l'appelle $O$ : c'est le centre.
2. Je pose le compas sur ma règle et j'écarte la pointe sèche et la mine jusqu'à lire exactement $3$ cm entre les deux.
3. Je plante la pointe sèche sur $O$ et je fais un tour complet : j'obtiens mon cercle.
4. Je marque un point n'importe où sur le trait du cercle et je l'appelle $A$. Comme $A$ est sur le cercle, le segment $OA$ est un rayon, donc $OA = 3$ cm.
Un point est sur le cercle seulement s'il est à $3$ cm de $O$. S'il est plus près, il est à l'intérieur du disque ; plus loin, à l'extérieur.
Exemple 2 : passer du rayon au diamètre, et l'inverse
Énoncé : un cercle a pour rayon $r = 6$ cm. Trouve son diamètre.
Le diamètre est le double du rayon : j'écris la formule $d = 2 \times r$.
Je remplace : $d = 2 \times 6$.
Je calcule : $d = 12$ cm.
Énoncé : un cercle a pour diamètre $d = 7$ cm. Trouve son rayon.
Le rayon est la moitié du diamètre : j'écris la formule $r = \dfrac{d}{2}$.
Je remplace : $r = \dfrac{7}{2}$.
Je calcule : $r = 3{,}5$ cm.
Le sens du calcul change à chaque fois : du rayon vers le diamètre on multiplie par 2, du diamètre vers le rayon on divise par 2.
Exemple 3 : je reconnais chaque segment
Sur la figure, le cercle a pour centre $O$. On a tracé trois segments : $OA$, $BC$ et $DE$. On les classe ensemble.
Le segment $OA$ : il part du centre $O$ et va jusqu'à un point du cercle. C'est donc un rayon.
Le segment $BC$ : il relie deux points du cercle et il passe par le centre $O$. C'est donc un diamètre (et c'est aussi la plus grande corde).
Le segment $DE$ : il relie deux points du cercle mais ne passe pas par le centre. C'est donc une corde (mais pas un diamètre).
Pour classer un segment, demande-toi : est-ce qu'il touche le centre ? Un bout au centre = rayon. Il traverse par le centre = diamètre. Il relie deux points du cercle sans le centre = corde.
Le niveau attendu le jour du contrôle. On soigne le vocabulaire exact, on résout un problème type comme le correcteur veut le voir, et on repère les pièges qui coûtent des points bêtement.
Les subtilités que le correcteur attend
- Cercle ou disque ? Emploie le bon mot : « le cercle » pour la ligne courbe, « le disque » pour la surface pleine. Une phrase comme « je colorie le cercle » pour désigner l'intérieur sera comptée fausse.
- Corde ou diamètre ? N'écris « diamètre » que si la corde passe par le centre. Sinon, dis « corde ».
- Tous les rayons sont égaux. Sur un même cercle, $OA$, $OB$, $OC$... ont tous la même longueur $r$. C'est souvent la clé d'un problème.
- Nomme tes points. Un centre non nommé, un point du cercle sans lettre : ce sont des points perdus. Utilise des majuscules.
- Laisse tes traits de construction. Un cercle propre, tracé au compas d'un seul tour, sans reprendre l'écartement : c'est ce qui est noté.
Problème type entièrement résolu
Énoncé : $[AB]$ est un diamètre d'un cercle de centre $O$, et $AB = 8$ cm. Un point $M$ est placé sur le cercle. Donne la longueur du rayon, puis les longueurs $OA$, $OB$ et $OM$.
Longueur du rayon. $[AB]$ est un diamètre, donc $AB = 8$ cm est le diamètre. Le rayon est la moitié du diamètre : $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.
Longueurs $OA$ et $OB$. Les points $A$ et $B$ sont sur le cercle, et $O$ est le centre. Donc $OA$ et $OB$ sont des rayons : $OA = OB = 4$ cm.
Longueur $OM$. Le point $M$ est lui aussi sur le cercle, donc $OM$ est un rayon : $OM = 4$ cm, exactement comme $OA$ et $OB$.
Conclusion. Tous les points du cercle sont à $4$ cm du centre : $OA = OB = OM = 4$ cm.
Le correcteur attend que tu justifies : « $M$ est sur le cercle donc $OM$ est un rayon ». C'est cette phrase, pas seulement le nombre $4$, qui montre que tu as compris.
Les pièges classiques à éviter
- Diviser au lieu de multiplier (ou l'inverse). Du rayon au diamètre on multiplie par 2 ; du diamètre au rayon on divise par 2. Relis l'énoncé : te donne-t-on $r$ ou $d$ ?
- Prendre une corde pour un diamètre. Une corde n'est un diamètre que si elle passe par le centre.
- Écrire « cercle » pour la surface. La surface pleine, c'est le disque.
- Changer l'écartement du compas en cours de tracé. Le cercle devient déformé et la figure est fausse.
Tu maîtrises le vocabulaire et le tracé. Regardons maintenant pourquoi tout ça fonctionne, et où le cercle va te resservir très vite. De quoi arriver l'an prochain avec une longueur d'avance.
Pourquoi ça marche : l'équidistance
Reprends la définition : le cercle est l'ensemble des points situés à la même distance $r$ du centre $O$. Ce petit mot « même » explique tout le chapitre.
Si $A$, $B$, $C$, $D$, $E$... sont des points du cercle, alors $OA = OB = OC = OD = OE = r$. Le centre est le point qui est à égale distance de tous les points du cercle : on dit qu'il en est équidistant. C'est aussi pour cette raison que le compas trace un cercle parfait : il garde mécaniquement la même distance à chaque instant.
Cette idée de « l'ensemble des points à égale distance » ouvre la porte à une autre notion de 6e : la médiatrice d'un segment, qui est l'ensemble des points situés à égale distance de ses deux extrémités. Même logique d'équidistance, appliquée à deux points au lieu d'un centre.
Là où le cercle te resservira
Le cercle n'est pas un chapitre isolé : c'est un outil que tu retrouveras partout.
- Bientôt, en grandeurs et mesures : la longueur du tour du cercle (sa circonférence) et l'aire du disque se calculent avec le nombre $\pi$ (pi). Retiens seulement l'aperçu pour l'instant : le tour vaut environ $\pi \times d$, et l'aire du disque environ $\pi \times r^2$. Tu les travailleras en détail plus tard ; l'essentiel, c'est que rayon et diamètre y reviennent à chaque fois.
- En géométrie de construction : le compas ne sert pas qu'à faire des ronds. Il permet de reporter une longueur, de construire des triangles à partir des longueurs de leurs côtés, ou de tracer une médiatrice.
- Les années suivantes : tu rencontreras le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle, les angles vus depuis le centre, et les droites tangentes qui touchent le cercle en un seul point.
Un tracé bonus pour t'amuser
Voici une construction qui étonne toujours et qui découle directement de la définition. Prends un cercle, garde ton compas écarté au rayon, et reporte cette longueur de proche en proche sur le cercle : à partir d'un point, tu marques le suivant, puis le suivant... Après six reports, tu retombes exactement sur ton point de départ.
En reliant les six points, tu obtiens un hexagone régulier parfait, inscrit dans le cercle. Ce n'est pas un hasard : c'est une conséquence du fait que tous les rayons sont égaux. C'est le genre de justification que tu apprendras à démontrer plus tard, mais tu peux déjà la vérifier toi-même au compas.