Droites parallèles et droites perpendiculaires

Les 3 mots à connaître (et rien de plus)

Bonne nouvelle : il n'y a que trois mots à retenir, et tu connais déjà les objets qu'ils décrivent.

Les prérequis. Une droite, c'est un trait parfaitement droit que l'on peut prolonger sans fin des deux côtés. Un angle droit, c'est le coin d'une feuille ou d'une porte : l'angle de $90°$, exactement celui du coin de ton équerre.

L'essentiel en une phrase. Dans un plan, deux droites différentes ne peuvent faire que deux choses : soit elles se croisent (on dit qu'elles sont sécantes), soit elles ne se croisent jamais, même prolongées à l'infini (on dit qu'elles sont parallèles).

Il y a un cas VIP parmi les sécantes : si les deux droites se croisent en formant un angle droit, on dit qu'elles sont perpendiculaires. Sur une figure, on met un petit carré □ à l'intersection pour signaler cet angle droit.

Les notations à recopier. Parallèles : $d_1 \parallel d_2$. Perpendiculaires : $d_1 \perp d_2$.

Un exemple tout de suite : la feuille quadrillée

On prend le décor le plus simple du monde : ta feuille à petits carreaux. Regarde la figure.

Étape 1. Je choisis deux lignes horizontales du quadrillage, appelons-les $a$ et $b$.

Étape 2. Je les prolonge en pensée le plus loin possible, à gauche et à droite : elles restent toujours à la même hauteur, elles ne se rejoignent jamais.

Étape 3. Conclusion : elles sont parallèles, on écrit $a \parallel b$.

Et pour perpendiculaires ? Je prends maintenant une ligne verticale du quadrillage et la ligne $a$. Elles se croisent, et à leur croisement le carreau montre un angle droit (le petit carré □). Donc la verticale et $a$ sont perpendiculaires.

Voilà : avec une simple feuille de cahier, tu as sous les yeux les deux notions de tout le chapitre.

Définitions : sécantes, parallèles, perpendiculaires

On se place toujours dans un plan (une feuille, un tableau) et on parle de droites distinctes (deux droites vraiment différentes).

Droites sécantes. Deux droites sont sécantes lorsqu'elles se coupent en un point, et un seul. Ce point s'appelle leur point d'intersection.

Droites parallèles. Deux droites sont parallèles lorsqu'elles n'ont aucun point commun, même prolongées indéfiniment dans les deux sens. Notation : $d_1 \parallel d_2$.

Droites perpendiculaires. Ce sont des droites sécantes particulières : elles se coupent en formant un angle droit ($90°$). Notation : $d_1 \perp d_2$. On code l'angle droit par un petit carré □ à l'intersection.

Attention à la logique : « perpendiculaires » est un cas particulier de « sécantes ». Deux droites perpendiculaires se coupent donc ; elles ne peuvent en aucun cas être parallèles en même temps.

Les deux propriétés clés

Ces deux propriétés sont les outils qui te permettent de justifier qu'une droite est parallèle ou perpendiculaire à une autre, sans avoir à le mesurer.

Propriété 1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.

En symboles : si $d_1 \perp d$ et $d_2 \perp d$, alors $d_1 \parallel d_2$.

Propriété 2. Si deux droites sont parallèles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une d'elles, alors elle est aussi perpendiculaire à l'autre.

En symboles : si $d_1 \parallel d_2$ et $d \perp d_1$, alors $d \perp d_2$.

Sur la figure : la propriété 1 (à gauche) fabrique du parallélisme à partir de deux angles droits ; la propriété 2 (à droite) transporte un angle droit d'une parallèle à l'autre.

La méthode aux instruments

Une figure « à main levée » ne prouve rien : deux droites peuvent sembler parallèles sans l'être. On utilise donc la règle et l'équerre.

Vérifier que deux droites sont perpendiculaires. On place l'angle droit de l'équerre exactement sur leur point d'intersection. Si chaque droite longe l'un des deux bords de l'angle droit, alors elles sont bien perpendiculaires.

Tracer la perpendiculaire à une droite. On pose un côté de l'angle droit de l'équerre contre la droite donnée, puis on trace le long de l'autre côté de l'angle droit.

Tracer la parallèle à une droite. On pose un côté de l'équerre le long de la droite donnée, puis la règle contre l'autre côté de l'équerre. On maintient la règle immobile et on fait glisser l'équerre le long de la règle jusqu'au point voulu, puis on trace le long du côté qui était posé sur la droite. Ce côté reste perpendiculaire à la règle pendant tout le glissement : le trait obtenu est donc parallèle à la droite de départ.

On trace ensemble une perpendiculaire

Énoncé. On te donne une droite $d$ et un point $A$ (ici, $A$ n'est pas sur $d$). On veut tracer la droite perpendiculaire à $d$ qui passe par $A$.

Étape 1. Je pose un des deux côtés de l'angle droit de l'équerre le long de la droite $d$.

Étape 2. Je fais glisser l'équerre le long de $d$, sans la faire tourner, jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit vienne toucher le point $A$.

Étape 3. Je trace le trait le long de ce côté : il passe par $A$ et coupe $d$ en un point que j'appelle $H$.

Étape 4. Je code l'angle droit en $H$ avec un petit carré □, et j'écris la conclusion : la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $d$, soit $(AH) \perp d$.

Le point $H$ a un petit nom : c'est le pied de la perpendiculaire.

On trace ensemble une parallèle

Énoncé. On te donne une droite $d$ et un point $A$ situé en dehors de $d$. On veut tracer la parallèle à $d$ passant par $A$.

Étape 1. Je pose la règle bien contre la droite $d$ : elle sert de rail.

Étape 2. J'appuie l'équerre contre la règle, et je la fais glisser le long de la règle en direction du point $A$.

Étape 3. Je m'arrête quand le bord traceur de l'équerre arrive pile sur $A$.

Étape 4. Je trace le long de ce bord : j'obtiens une droite $d'$ qui passe par $A$.

Étape 5. Conclusion : comme l'équerre a gardé la même orientation en glissant, $d'$ est parallèle à $d$, soit $d' \parallel d$. On peut coder le parallélisme par une même petite flèche sur les deux droites.

On raisonne ensemble avec une propriété

Énoncé. On sait que $d_1 \parallel d_2$. On sait aussi qu'une droite $d$ est perpendiculaire à $d_1$. Peut-on dire quelque chose sur $d$ et $d_2$ ?

Étape 1 — je relève les informations. Données : $d_1 \parallel d_2$ et $d \perp d_1$.

Étape 2 — je choisis la bonne propriété. J'ai une droite perpendiculaire à l'une de deux parallèles : c'est exactement la situation de la propriété 2.

Étape 3 — j'applique la propriété. D'après la propriété 2, si $d \perp d_1$ et $d_1 \parallel d_2$, alors $d \perp d_2$.

Étape 4 — je conclus. Donc $d$ est perpendiculaire à $d_2$ : $d \perp d_2$.

Le réflexe à prendre : d'abord j'écris ce que je sais, ensuite je repère la propriété qui a exactement ces ingrédients, enfin j'écris la conclusion. Pas de mesure, juste du raisonnement.

Problème type : justifier avec une propriété

Énoncé. Sur la figure, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. La droite $(EF)$ est perpendiculaire à $(AB)$. Que peut-on dire de $(EF)$ et $(CD)$ ? Justifie.

Ce que le correcteur attend, étape par étape.

1. Je note les données (en recopiant le codage de la figure) : $(AB) \parallel (CD)$ et $(EF) \perp (AB)$.

2. J'annonce la propriété utilisée. « Si une droite est perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles, alors elle est perpendiculaire à l'autre. » (Propriété 2.)

3. J'applique aux droites de l'énoncé. Ici $(EF) \perp (AB)$ et $(AB) \parallel (CD)$, donc $(EF) \perp (CD)$.

4. Je conclus par une phrase. Les droites $(EF)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.

Ce qui rapporte les points : avoir cité la propriété, pas seulement donné le résultat. Une conclusion juste sans justification ne vaut souvent que la moitié des points.

Subtilités et pièges classiques

Piège 1 — « ça a l'air parallèle ». À l'œil nu, deux droites peuvent sembler parallèles ou perpendiculaires sans l'être. Sur un contrôle, on ne conclut jamais « à vue » : soit on vérifie à l'équerre, soit on s'appuie sur une donnée codée de la figure ou sur une propriété.

Piège 2 — confondre les deux propriétés. La propriété 1 part de deux angles droits pour obtenir du parallélisme ($d_1 \perp d$ et $d_2 \perp d$ donnent $d_1 \parallel d_2$). La propriété 2 part d'un parallélisme et d'un angle droit pour obtenir un autre angle droit. Vérifie toujours que tes données correspondent bien aux ingrédients de la propriété que tu cites.

Piège 3 — oublier le codage. Sur ta figure, un angle droit doit porter le petit carré □, et deux droites parallèles la même petite flèche. Un codage manquant, c'est un point perdu.

Piège 4 — croire que des parallèles « finissent par se toucher ». Non : deux droites parallèles n'ont aucun point commun, même prolongées à l'infini. Elles gardent toujours le même écart.

Rédaction modèle à réutiliser : « On sait que … (données). Or, d'après la propriété …, si … alors … Donc … (conclusion). »

Pourquoi la propriété 1 est vraie (l'idée de la preuve)

En 6e, on admet les deux propriétés. Mais tu peux déjà sentir pourquoi elles sont vraies.

Reprends la propriété 1 : $d_1 \perp d$ et $d_2 \perp d$ donnent $d_1 \parallel d_2$.

L'idée. Être perpendiculaire à $d$, c'est faire un angle droit avec $d$. Les deux droites $d_1$ et $d_2$ font donc exactement le même angle ($90°$) avec la même droite $d$. Elles « penchent » pareil par rapport à $d$ : elles pointent dans la même direction.

Or deux droites qui ont la même direction et ne sont pas confondues ne peuvent jamais se rencontrer : si l'une rattrapait l'autre, il faudrait que l'une des deux se mette à pencher davantage, donc qu'elle ne fasse plus un angle droit avec $d$. C'est impossible. Elles restent donc parallèles.

Ce raisonnement « par la direction » est le tout premier pas vers les vraies démonstrations de géométrie que tu écriras les années suivantes.

L'an prochain : quand une droite coupe deux parallèles

Le parallélisme cache une propriété encore plus puissante, que tu découvriras en 5e et en 4e.

Trace deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$, puis une troisième droite $t$ qui les coupe toutes les deux (on l'appelle une sécante). Regarde la figure : les deux angles marqués sont égaux. On les appelle des angles correspondants.

Autrement dit, le parallélisme ne dit pas seulement « ces droites ne se touchent pas » : il impose aussi des égalités d'angles partout où une droite vient les couper. C'est l'outil qui te servira à calculer des angles sans les mesurer.

Et quand la sécante est perpendiculaire, tous ces angles valent $90°$ : tu retrouves exactement la propriété 2 de cette année. Tout se tient.

Le perpendiculaire et le parallèle sont partout

Ces deux relations ne forment pas un chapitre isolé : elles servent de fondation à presque toute la géométrie qui suit.

Les quadrilatères. Un rectangle, c'est un quadrilatère qui a quatre angles droits : ses côtés consécutifs sont perpendiculaires, et ses côtés opposés sont parallèles. Le carré et le losange se définissent aussi avec ces mots.

La symétrie axiale. Pour construire le symétrique d'un point par rapport à un axe, tu traces la perpendiculaire à l'axe : la perpendicularité est au cœur de la symétrie.

La médiatrice. C'est la droite perpendiculaire à un segment qui passe par son milieu — encore une perpendiculaire, que tu construiras à l'équerre.

Le repère. Plus tard, pour placer des points avec des coordonnées, tu utiliseras deux axes… perpendiculaires. On parle alors de repère orthogonal.

Bref : maîtriser l'équerre et ces deux petits symboles $\parallel$ et $\perp$, c'est prendre de l'avance sur les trois prochaines années.