Droites parallèles et droites perpendiculaires

Deux droites qui ne se croisent jamais ou qui forment un angle droit : deux relations fondamentales en géométrie.

1 L'idée

Dans un plan, deux droites distinctes sont soit sécantes (elles se coupent en un point), soit parallèles (elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge indéfiniment dans les deux sens).

Parmi les droites sécantes, un cas est particulièrement important : lorsque l'angle formé à leur intersection est un angle droit (90°), on dit qu'elles sont perpendiculaires. On l'indique sur la figure par un petit carré □ à l'intersection.

2 Notations

Parallèles

$d_1 \parallel d_2$

Perpendiculaires

$d_1 \perp d_2$

3 Exemples du quotidien

Droites parallèles

Les deux rails d'une voie ferrée ne se croisent jamais : rail$_1$ $\parallel$ rail$_2$.

Sur une feuille quadrillée, toutes les lignes horizontales sont parallèles entre elles.

Droites perpendiculaires

Une ligne horizontale et une ligne verticale d'une feuille quadrillée se coupent à angle droit : ligne$_h$ $\perp$ ligne$_v$.

Les côtés adjacents d'un rectangle sont perpendiculaires.

Deux propriétés fondamentales

Propriété 1. Si deux droites sont chacune perpendiculaire à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Propriété 2. Si une droite est perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles, alors elle est perpendiculaire à l'autre aussi.

Méthode — Tracer et vérifier avec les instruments

Vérifier la perpendicularité : placer l'angle droit de l'équerre à l'intersection supposée. Si les deux droites longent exactement les deux bords de l'équerre, elles sont perpendiculaires.
Tracer une perpendiculaire : poser un côté de l'équerre contre la droite donnée, puis tracer le long du côté perpendiculaire de l'équerre.
Tracer une parallèle : poser la règle contre la droite donnée. Faire glisser l'équerre le long de la règle jusqu'au point voulu, puis tracer le long du bord de l'équerre.

Erreurs fréquentes

Des droites qui semblent parallèles à l'œil nu ne le sont pas forcément : toujours vérifier à l'équerre et à la règle.
Deux droites perpendiculaires se coupent : elles ne peuvent donc pas être parallèles en même temps.
Ne pas oublier le symbole □ à l'intersection pour indiquer l'angle droit sur une figure.
Des droites parallèles n'ont aucun point commun, même prolongées : elles ne se « rejoignent » pas à l'infini.