Pas de panique : même si tu as séché (ou rêvé) pendant le chapitre, tu manipules ces objets depuis toujours — un dé, une boîte de conserve, une brique de lait. On va juste apprendre à les nommer proprement et à compter ce qu'il faut. Objectif : être tranquille pour le contrôle.
Les 3 mots à connaître absolument
Prérequis : savoir reconnaître un carré, un rectangle, un triangle et un cercle (ce sont les formes des faces), et savoir ce qu'est un segment et un point.
Un solide est un objet géométrique de l'espace (en 3D) qui délimite un volume. Pour le décrire, on regarde trois choses :
- Face : une surface qui borde le solide (elle peut être plane, comme un carré, ou courbe, comme le tour d'une boîte de conserve).
- Arête : le segment où deux faces planes se rencontrent (une « pliure »).
- Sommet : le point où plusieurs arêtes se rejoignent (un « coin »).
Le patron d'un solide, c'est la figure plane qu'on peut découper puis replier pour reconstruire le solide en vrai.
Les 4 solides et leurs nombres clés
Voici l'essentiel à retenir. Pour chaque solide, on compte ses faces, ses arêtes et ses sommets.
1. Ses faces sont-elles planes ou courbes ? Toutes planes → ce n'est pas un cylindre.
2. Quelle est la forme des faces ? Des carrés, tous identiques.
3. On compte : $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets.
4. Six faces carrées identiques → c'est un cube.
Face courbe = cylindre. Sinon, c'est la forme des faces qui donne le nom : carrés → cube, rectangles → pavé droit, deux triangles + trois rectangles → prisme triangulaire.
Bon, ça te revient : les faces, les arêtes, les sommets... On reprend tout dans l'ordre, proprement, pour que tu ne confondes plus jamais une arête et un côté, ni un prisme et un pavé.
Le vocabulaire, proprement
Un solide est un objet de l'espace qui délimite un volume. On le décrit avec trois éléments précis :
- Face : surface (plane ou courbe) qui borde le solide.
- Arête : segment où deux faces planes se rencontrent.
- Sommet : point où plusieurs arêtes se rejoignent.
Le patron est la figure plane que l'on découpe et replie pour reconstituer le solide. C'est utile pour vérifier combien de faces il possède et leur forme.
Une arête appartient à un solide (en 3D) : c'est la ligne où deux faces se plient. Un côté appartient à un polygone (en 2D) : c'est un des segments d'une figure plane comme un carré ou un triangle.
Les quatre solides en détail
Toutes ses arêtes ont la même longueur.
Ses $6$ faces sont des carrés identiques.
$12$ arêtes, $8$ sommets. Objet réel : un dé, un Rubik's Cube.
Ses $6$ faces sont des rectangles, répartis en $3$ paires de faces opposées identiques.
Toutes ses arêtes se rencontrent à angle droit.
$12$ arêtes, $8$ sommets. Objet réel : une boîte de céréales, une brique de jus.
$2$ bases triangulaires identiques et parallèles, plus $3$ faces latérales rectangulaires : $2 + 3 = 5$ faces au total.
$9$ arêtes, $6$ sommets. Objet réel : une boîte Toblerone.
$2$ disques circulaires (les bases), plus $1$ face latérale courbe.
Son patron se compose de $2$ cercles et d'un rectangle.
Aucune arête, aucun sommet : la face latérale est courbe et ne forme pas d'arête franche avec les bases. Objet réel : une boîte de conserve, un rouleau de papier.
Méthode pas à pas pour identifier un solide
- Observer si le solide a une face courbe (→ cylindre) ou toutes planes (→ cube, pavé droit ou prisme).
- Compter le nombre de faces et noter leur forme : carrée, rectangulaire, triangulaire.
- Compter les arêtes et les sommets.
- Pour un prisme : repérer le polygone des deux bases identiques et parallèles ; les faces latérales sont des rectangles.
1. Faces courbes ? Non, toutes planes → c'est un cube, un pavé ou un prisme.
2. Nombre et forme des faces : $2$ triangles + $3$ rectangles $= 5$ faces.
3. Les deux faces identiques et parallèles sont des triangles → ce sont les bases.
4. Les faces latérales sont des rectangles → c'est un prisme droit.
5. Base = triangle → prisme droit à base triangulaire ($9$ arêtes, $6$ sommets).
On déroule ensemble, ligne par ligne. Tu ne fais rien tout seul ici : je rédige, tu suis le raisonnement, et tu verras que « compter les arêtes » devient mécanique une fois qu'on sait où regarder.
Exemple 1 — décrire complètement un pavé droit
Une boîte de céréales est un pavé droit. On veut la décrire entièrement (faces, arêtes, sommets).
1. Toutes les faces sont planes et rectangulaires → c'est bien un pavé droit (pas un cylindre).
2. Les faces vont par paires opposées identiques : avant/arrière, gauche/droite, dessus/dessous. Cela fait $3$ paires, donc $3 \times 2 = 6$ faces.
3. On compte les arêtes étage par étage : $4$ arêtes en haut, $4$ arêtes en bas, et $4$ arêtes verticales qui relient les deux. Total : $4 + 4 + 4 = 12$ arêtes.
4. On compte les sommets : $4$ coins en haut et $4$ coins en bas, soit $4 + 4 = 8$ sommets.
5. Précision importante : toutes ses arêtes se rencontrent à angle droit. Conclusion : $6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes, $8$ sommets.
Exemple 2 — reconnaître un solide à partir de son patron
On te donne un patron formé de deux cercles et d'un rectangle. Quel solide obtient-on en le repliant ?
1. Il y a une pièce qui devient courbe une fois repliée (le rectangle s'enroule) → on pense tout de suite au cylindre.
2. Les deux cercles deviennent les deux bases (deux disques) du solide.
3. Le rectangle s'enroule pour former la face latérale courbe qui relie les deux disques.
4. On vérifie : $2$ bases + $1$ face courbe, aucune arête, aucun sommet.
5. Conclusion : ce patron est celui d'un cylindre.
Un patron avec des cercles annonce toujours un cylindre. Un patron formé uniquement de polygones (carrés, rectangles, triangles) annonce un cube, un pavé ou un prisme.
Exemple 3 — retrouver un solide à partir de ses faces
Un solide a $5$ faces : $2$ triangles identiques et $3$ rectangles. Qui est-ce, et combien a-t-il d'arêtes et de sommets ?
1. Aucune face courbe → ce n'est pas un cylindre.
2. Les deux faces identiques (les triangles) sont les bases ; les rectangles sont les faces latérales → c'est un prisme droit à base triangulaire.
3. On compte les arêtes : un triangle a $3$ côtés, donc $3$ arêtes autour de la base du haut et $3$ autour de la base du bas, soit $6$. On ajoute les $3$ arêtes verticales qui relient les deux triangles : $6 + 3 = 9$ arêtes.
4. On compte les sommets : $3$ en haut (les coins du triangle du haut) et $3$ en bas, soit $3 + 3 = 6$ sommets.
5. Conclusion : $5$ faces, $9$ arêtes, $6$ sommets. Tout colle.
Le niveau attendu au contrôle, sans mauvaise surprise. On voit ce que le correcteur veut vraiment lire, les deux ou trois pièges où tout le monde tombe, et deux problèmes types entièrement rédigés.
Problème type 1 — remplir et justifier le tableau des solides
Consigne classique : « Complète le nombre de faces, d'arêtes et de sommets pour les quatre solides. » Voici la rédaction attendue.
Cube : $6$ faces (carrées), $12$ arêtes, $8$ sommets.
Pavé droit : $6$ faces (rectangulaires, en $3$ paires), $12$ arêtes, $8$ sommets.
Prisme droit triangulaire : $5$ faces ($2$ triangles + $3$ rectangles), $9$ arêtes, $6$ sommets.
Cylindre : $2$ bases (disques) + $1$ face latérale courbe, $0$ arête, $0$ sommet.
Ne pas se contenter d'un nombre : précise la forme des faces (carré, rectangle, triangle, disque). Pour un total « non évident », justifie ($2$ triangles $+$ $3$ rectangles $= 5$ faces). C'est cette justification qui rapporte les points.
Problème type 2 — le cube est-il un pavé droit ?
Un élève affirme : « Un cube n'est pas un pavé droit. » A-t-il raison ? Justifie. C'est LA question piège du chapitre.
1. Un pavé droit a $6$ faces rectangulaires et toutes ses arêtes se rencontrent à angle droit.
2. Un carré est un rectangle particulier (un rectangle dont tous les côtés sont égaux).
3. Un cube a $6$ faces carrées → ce sont donc aussi des rectangles, avec toutes les arêtes à angle droit.
4. Donc tout cube est bien un pavé droit : c'est le cas particulier où toutes les arêtes sont égales.
5. En revanche, un pavé droit n'est pas toujours un cube. L'élève a donc tort.
- Le prisme triangulaire a $5$ faces, pas $3$ : ne pas oublier les $3$ rectangles latéraux.
- Le cylindre n'a ni arête ni sommet : sa face latérale est courbe.
- Ne pas confondre arête (3D, sur le solide) et côté (2D, sur un polygone).
- « Cube $=$ pavé droit particulier », mais l'inverse est faux.
Tu maîtrises les solides ? On ouvre la porte de derrière : une régularité cachée que tu peux découvrir toi-même, et un avant-goût de ce que ces solides deviennent quand on parle d'aire et de volume. Rien de tout ça n'est exigible au contrôle — c'est pour prendre de l'avance.
Une régularité cachée : la relation d'Euler
Prends les solides à faces planes (on les appelle des polyèdres) et calcule à chaque fois faces $+$ sommets, puis compare aux arêtes.
- Cube : $6 + 8 = 14$ et $12 + 2 = 14$.
- Pavé droit : $6 + 8 = 14$ et $12 + 2 = 14$.
- Prisme triangulaire : $5 + 6 = 11$ et $9 + 2 = 11$.
À chaque fois on retombe sur la même égalité. C'est la relation d'Euler : pour tout polyèdre convexe,
où $F$ est le nombre de faces, $S$ le nombre de sommets et $A$ le nombre d'arêtes. C'est une belle façon de comprendre ce qu'est une démonstration : on observe des exemples, on devine une règle, puis on la vérifie.
Le cylindre n'est pas un polyèdre (sa face latérale est courbe, il n'a ni arête ni sommet) : la relation d'Euler ne s'applique pas à lui.
Vers l'aire et le volume
Bientôt, décrire les solides ne suffira plus : on voudra mesurer combien ils « contiennent » (le volume) et quelle surface les recouvre (l'aire).
ici $a$ est l'arête du cube, et $L$, $l$, $h$ sont la longueur, la largeur et la hauteur du pavé.
Pour le cylindre, regarde son patron : la face latérale est un rectangle qui s'enroule autour des disques. Sa longueur est égale au périmètre du cercle de base. Ce périmètre vaut $2 \times \pi \times r$ (où $r$ est le rayon). C'est cette idée qui servira, les années suivantes, à calculer l'aire et le volume du cylindre.
Dessiner en perspective et les solides à venir
Tu as remarqué que, sur les dessins de ce cours, certaines arêtes sont en trait plein et d'autres en pointillés ? Les pointillés représentent les arêtes cachées, celles qu'on ne verrait pas derrière le solide. C'est la perspective cavalière, que tu apprendras à tracer proprement les années suivantes.
- La pyramide et le cône : cette fois les faces montent vers un unique sommet.
- La sphère : entièrement courbe, sans aucune arête ni sommet, comme un ballon.
- Les prismes à base quelconque (carrée, hexagonale...) : même principe que le prisme triangulaire, avec un autre polygone pour les deux bases.
La bonne nouvelle : la méthode reste la même partout — repérer les faces courbes ou planes, puis compter les faces, les arêtes et les sommets.