Exercices Mathématiques 6e — Symétrie axiale

Tu n'as jamais entendu parler de symétrie axiale mais le contrôle arrive. Pas de panique. On va poser les bases essentielles pour que tu puisses au moins reconnaître une symétrie et faire les exercices les plus simples. On commence par réactiver des choses que tu connais déjà : les droites perpendiculaires et le milieu d'un segment. Ce sont les deux seuls outils dont on a absolument besoin. Ensuite, on verra l'idée centrale : plier le long d'une droite.

Prérequis : perpendiculaire et milieu

Avant de parler de symétrie, on révise deux notions que tu maîtrises déjà.

La droite perpendiculaire : deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. On utilise une équerre pour vérifier ou tracer un angle droit.

Le milieu d'un segment : c'est le point qui partage le segment en deux parties de même longueur. Si $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $AM = MB$ et les points $A$, $M$ et $B$ sont alignés.

L'idée de la symétrie axiale

Imagine que tu plies une feuille le long d'une droite $d$. Si une figure tracée d'un côté se superpose exactement à une figure de l'autre côté, alors ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite $d$.

La droite $d$ s'appelle l'axe de symétrie.

Prends un point $A$ d'un côté de l'axe. Son symétrique (ou image) est le point $A'$ de l'autre côté tel que la droite $d$ soit la médiatrice du segment $[AA']$. Cela signifie que $d$ est perpendiculaire à $[AA']$ et passe par le milieu de $[AA']$.

Important : si le point est sur l'axe, son symétrique est lui-même.

À toi de jouer

1. On te donne un point $A$ et son symétrique $A'$ par rapport à une droite $d$. Complète la phrase en observant la figure :
$d$ est la médiatrice de $[AA']$, donc $d$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ à $[AA']$ et passe par le $\underline{\hspace{1.1em}}$ de $[AA']$.

Corrigé

$d$ est la médiatrice de $[AA']$, donc $d$ est perpendiculaire à $[AA']$ et passe par le milieu de $[AA']$.

2. Voici un point $A$ et une droite $d$. Le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$ s'appelle $H$. On a mesuré $AH = 3$ cm. Complète :
Le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $d$ est sur la droite $(AH)$, de l'autre côté de $d$, et $HA' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. Donc $AA' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

Le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $d$ est sur la droite $(AH)$, de l'autre côté de $d$, et $HA' = $$3$$ cm. Donc $AA' = 6 cm.

3. Un point $P$ est situé sur l'axe de symétrie $d$. Où se trouve son symétrique $P'$ ? Complète :
Si un point est sur l'axe, son symétrique est $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

Si un point est sur l'axe, son symétrique est lui-même (P' = P).

Tu as déjà entendu parler de 'symétrique', 'axe', 'plier en deux'. Ça réveille des souvenirs ? Parfait. On va structurer tout ça, remettre la méthode en place, et l'appliquer sur des constructions simples guidées pas à pas.

Symétrique d'un point : la méthode en 3 étapes

Pour construire le symétrique $A'$ d'un point $A$ par rapport à une droite $d$ :

Étape 1 : Trace la droite perpendiculaire à $d$ qui passe par $A$. Utilise ton équerre.
Étape 2 : Cette perpendiculaire coupe $d$ en un point qu'on appelle $H$ (le pied de la perpendiculaire).
Étape 3 : Mesure la distance $AH$. Reporte exactement la même longueur de l'autre côté de $d$ sur cette même droite. Tu obtiens $A'$ tel que $H$ soit le milieu de $[AA']$.

Erreurs fréquentes : Oublier l'équerre, placer $A'$ du même côté que $A$, ou mal reporter la distance.

Propriétés de la symétrie axiale

Conservation des longueurs : Si $A'$ et $B'$ sont les symétriques de $A$ et $B$, alors la distance $A'B'$ est exactement égale à la distance $AB$.

Conservation des angles : La mesure d'un angle ne change pas par symétrie.

Alignement et milieu : L'axe $d$ est perpendiculaire au segment reliant un point et son symétrique, et il passe par son milieu. On dit que $d$ est la médiatrice de ce segment.

À toi de jouer

1. Construis le symétrique : on te donne la droite $d$, le point $A$, et la perpendiculaire déjà tracée. Le pied $H$ est marqué. On a $AH = 4$ cm. Complète la construction et réponds :
Place $A'$ tel que $H$ soit le milieu de $[AA']$. Quelle longueur mesures-tu pour $AA'$ ? $AA' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$A'$ est placé à droite de $d$, sur la droite pointillée, à 4 cm de $H$. $AA' = 4 + 4 = $$8$ cm.

2. Observe la figure symétrique ci-dessous. On sait que $AB = 5$ cm. Complète :
Par symétrie, les longueurs sont conservées, donc $A'B' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

Par symétrie, les longueurs sont conservées, donc $A'B' = $$5$ cm.

3. Application de la propriété des angles. On sait que dans le triangle $ABC$, $\widehat{ABC} = 70°$. Le triangle $A'B'C'$ est le symétrique de $ABC$ par rapport à $d$. Complète :
La symétrie conserve les angles, donc $\widehat{A'B'C'} = \underline{\hspace{1.1em}}$°.

Corrigé

La symétrie conserve les angles, donc $\widehat{A'B'C'} = $$70$°.

Tu as compris le principe et la méthode. Maintenant, on fait du muscle : cinq exercices quasi identiques pour construire le symétrique d'un point. C'est répétitif, mais c'est comme ça que le geste devient automatique. Règle, équerre, et on y va.

À toi de jouer

1. Construis le symétrique $A'$ du point $A$ par rapport à la droite $d$. Mesure $AH = 2$ cm. Complète :
Place $A'$ sur la perpendiculaire, de l'autre côté de $d$, tel que $HA' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. $AA' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$HA' = $$2$ cm. $AA' = 2 + 2 = $$4$ cm.

2. Construis le symétrique $B'$ du point $B$ par rapport à la droite $d$. Mesure $BH = 3,5$ cm. Complète :
Place $B'$ sur la perpendiculaire, de l'autre côté de $d$, tel que $HB' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. $BB' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$HB' = $$3,5$ cm. $BB' = 3,5 + 3,5 = $$7$ cm.

3. Construis le symétrique $C'$ du point $C$ par rapport à la droite $d$. Mesure $CH = 1,8$ cm. Complète :
Place $C'$ sur la perpendiculaire, de l'autre côté de $d$, tel que $HC' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. $CC' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$HC' = $$1,8$ cm. $CC' = 1,8 + 1,8 = $$3,6$ cm.

4. Construis le symétrique $D'$ du point $D$ par rapport à la droite $d$. Mesure $DH = 5$ cm. Complète :
Place $D'$ sur la perpendiculaire, de l'autre côté de $d$, tel que $HD' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. $DD' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$HD' = $$5$ cm. $DD' = 5 + 5 = $$10$ cm.

5. Construis le symétrique $E'$ du point $E$ par rapport à la droite $d$. Mesure $EH = 2,7$ cm. Complète :
Place $E'$ sur la perpendiculaire, de l'autre côté de $d$, tel que $HE' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm. $EE' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$HE' = $$2,7$ cm. $EE' = 2,7 + 2,7 = $$5,4$ cm.

On monte d'un cran. Ces exercices ressemblent à ce que tu auras en évaluation. Tu vas devoir utiliser les propriétés de conservation, repérer des symétries dans des figures ou des lettres, et résoudre un petit problème concret. Prends une feuille de brouillon, ta règle et ton équerre.

À toi de jouer

1. Axes de symétrie des figures usuelles : pour chaque figure, donne le nombre d'axes de symétrie.
a) Un carré.
b) Un rectangle (non carré).
c) Un triangle équilatéral.
d) Un losange (non carré).
e) Un cercle.

Corrigé

a) Un carré a 4 axes de symétrie (les 2 médianes et les 2 diagonales).
b) Un rectangle a 2 axes de symétrie (les 2 médianes, pas les diagonales).
c) Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie.
d) Un losange a 2 axes de symétrie (les diagonales).
e) Un cercle a une infinité d'axes de symétrie (tout diamètre).

2. Symétrie dans les lettres majuscules : parmi les lettres A, B, C, D, E, H, M, O, S, X, réponds.
a) Lesquelles admettent un axe de symétrie vertical ?
b) Lesquelles admettent un axe de symétrie horizontal ?
c) Lesquelles admettent les deux ?

Corrigé

a) Axe de symétrie vertical : A, H, M, O, X.

b) Axe de symétrie horizontal : B, C, D, E, H, O, X.

c) Les deux axes : H, O, X.

3. Propriétés de conservation. Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à la droite $d$, $B'$ est celui de $B$.
a) La distance de $A$ à l'axe est 4,5 cm. Quelle est la longueur $AA'$ ?
b) On mesure $AB = 12$ cm. Que vaut $A'B'$ ? Justifie.
c) Le point $C$ est sur $d$. Où se trouve $C'$ ?

Corrigé

a) $AA' = 2 \times 4,5 = $$9$ cm.
b) La symétrie conserve les longueurs, donc $A'B' = $$12$ cm.
c) Un point sur l'axe est son propre symétrique, donc $C' = C$.

4. Construction d'un triangle symétrique. Sur une feuille, trace une droite $d$ (axe vertical). Place trois points $A$, $B$, $C$ à gauche de $d$, de manière à former un triangle. Construis leurs symétriques $A'$, $B'$, $C'$. Trace le triangle $A'B'C'$.
a) En mesurant, compare les longueurs $AB$ et $A'B'$.
b) En mesurant, compare les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{A'B'C'}$.
c) Quelle propriété de la symétrie vérifies-tu ?

Corrigé

a) Les longueurs sont égales : $A'B' = AB$.
b) Les angles sont égaux : $\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}$.
c) La symétrie axiale conserve les longueurs et les angles. Les figures sont superposables par pliage le long de $d$.

5. Problème. Un jardinier voit son massif rectangulaire $ABCD$ avec $AB = 8$ m et $AD = 5$ m. Il imagine son symétrique $A'B'C'D'$ par rapport à l'allée droite $d$ (qui longe le côté $[AD]$).
a) Quelles sont les longueurs des côtés de $A'B'C'D'$ ?
b) Calcule le périmètre de $A'B'C'D'$ et compare-le à celui de $ABCD$.

Corrigé

a) La symétrie conserve les longueurs. $A'B' = 8$ m, $A'D' = 5$ m, $B'C' = 5$ m, $C'D' = 8$ m.
b) Périmètre de $A'B'C'D'$ = $2 \times (8+5) = $$26$ m. Périmètre de $ABCD$ = 26 m. Les périmètres sont égaux.

Tu maîtrises la symétrie axiale. L'an prochain, tu découvriras une autre transformation : la symétrie centrale (par rapport à un point). Allons voir un peu plus loin avec des exercices qui combinent symétrie axiale et un aperçu de la symétrie centrale. Tu verras, c'est le même esprit, mais avec un demi-tour au lieu d'un pliage.

À toi de jouer

1. Une figure possède deux axes de symétrie perpendiculaires. On dit qu'elle possède un centre de symétrie (le point d'intersection des deux axes). Imagine que tu appliques une symétrie par rapport au premier axe, puis par rapport au deuxième. Le résultat est identique à une symétrie centrale (demi-tour) autour du point d'intersection.
Vérifie sur un exemple : trace un repère, place le point $A(2;3)$. Prends la droite $d_1$ (axe vertical, $x=0$) et $d_2$ (axe horizontal, $y=0$). Construis $A_1$ symétrique de $A$ par rapport à $d_1$, puis $A_2$ symétrique de $A_1$ par rapport à $d_2$. Quelles sont les coordonnées de $A_2$ ? Compare avec les coordonnées du symétrique par rapport à l'origine $(0;0)$.

Corrigé

Symétrique $A_1$ de $A(2;3)$ par rapport à $d_1$ (axe $x=0$) : $A_1(-2; 3)$. Symétrique $A_2$ de $A_1(-2;3)$ par rapport à $d_2$ (axe $y=0$) : $A_2(-2; -3)$. Le symétrique de $A$ par rapport à l'origine est aussi $(-2; -3)$. La composition de deux symétries axiales d'axes perpendiculaires équivaut à une symétrie centrale.

2. En 5e, tu verras la construction de figures complexes par symétries successives. Un défi : trace un triangle $ABC$ quelconque. Construis son symétrique $A'B'C'$ par rapport à une droite $d$, puis le symétrique $A''B''C''$ de $A'B'C'$ par rapport à une droite $d'$ parallèle à $d$, située 4 cm plus loin. Comment pourrais-tu obtenir directement $A''B''C''$ à partir de $ABC$ sans construire l'intermédiaire $A'B'C'$ ? Décris la transformation.

Corrigé

Deux symétries successives par rapport à deux axes parallèles sont équivalentes à une translation. Le triangle $A''B''C''$ est l'image de $ABC$ par une translation de direction perpendiculaire aux axes, de longueur $2 \times 4 = 8$ cm (deux fois la distance entre les axes).

3. Pour terminer, un problème de proportionnalité et symétrie (vu en 6e). Un artisan fabrique une tenture symétrique en V. Un côté mesure 1,5 m et l'autre, son symétrique, même longueur. Pour 5 tentures, il utilise un galon décoratif qui longe tout le pourtour (les deux côtés du V, en haut et en bas). Calcule la longueur de galon nécessaire pour 5 tentures.
Périmètre d'une tenture = somme des deux côtés identiques = 1,5 + 1,5 = 3 m. Pour 5 tentures : $5 \times 3 = 15$ m.
Bonus : si le galon est vendu en rouleaux de 4 m, combien de rouleaux ?

Corrigé

Longueur pour 5 tentures : 15 m. Nombre de rouleaux : $15 \div 4 = 3,75$ donc il faut 4 rouleaux (on ne peut pas acheter 0,75 rouleau, on arrondit à l'unité supérieure).