Symétrie axiale — Exercices

Reconnaître, construire, calculer. Corrigé détaillé en fin de document.

⏱ ~25 min✎ Règle, équerre et compas conseillés

1Axes de symétrie des figures usuelles/ 5 pts

Pour chaque figure, indique le nombre d'axes de symétrie.

Un carré.
Un rectangle (non carré).
Un triangle équilatéral.
Un losange (non carré).
Un cercle.

2Propriétés — distances et mesures/ 3 pts

Le point $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à l'axe $d$, et $B'$ est le symétrique de $B$ par rapport à $d$.

La distance de $A$ à l'axe $d$ vaut $4{,}5$ cm. Quelle est la longueur $AA'$ ?
On mesure $AB = 7$ cm. Quelle est la longueur $A'B'$ ?
Le point $A$ est situé sur l'axe $d$. Où se trouve son symétrique $A'$ ?

3Construction sur quadrillé/ 3 pts

Sur papier quadrillé, trace un axe vertical $d$. Place trois points $A$, $B$, $C$ à gauche de $d$, puis construis leurs symétriques $A'$, $B'$, $C'$ par rapport à $d$. Réponds ensuite aux questions :

Le milieu de $[AA']$ appartient-il à $d$ ?
Mesure $AB$ et $A'B'$ : que constates-tu ?
La droite $(AA')$ est-elle perpendiculaire à $d$ ?

4Symétrie dans les lettres/ 3 pts

Parmi les lettres majuscules : A, B, C, D, E, H, M, O, S, X.

Quelles lettres admettent un axe de symétrie vertical ?
Quelles lettres admettent un axe de symétrie horizontal ?
Quelles lettres admettent à la fois un axe vertical et un axe horizontal ?

5Problème — massif de jardin/ 4 pts

Un jardinier dessine un massif triangulaire $ABC$ avec $AB = 6$ m, $BC = 4$ m, $AC = 5$ m, et l'angle en $B$ vaut $55°$. Il crée de l'autre côté d'une allée rectiligne (axe $d$) un massif symétrique $A'B'C'$.

Quelles sont les longueurs $A'B'$, $B'C'$ et $A'C'$ ?
Calcule le périmètre du massif $A'B'C'$ et compare-le à celui de $ABC$.
L'angle en $B'$ vaut-il aussi $55°$ ? Justifie.

Corrigé détaillé

1Axes de symétrie des figures usuelles

a) Carré $\text{2 axes passant par les milieux des côtés opposés + 2 axes passant par les sommets opposés (diagonales)}$ $4 \text{ axes de symétrie}$

b) Rectangle $\text{Seuls les axes passant par les milieux des côtés opposés conviennent ; les diagonales ne sont pas des axes}$ $2 \text{ axes de symétrie}$

c) Triangle équilatéral $\text{Chaque sommet est relié au milieu du côté opposé : 3 droites sont des axes}$ $3 \text{ axes de symétrie}$

d) Losange $\text{Les deux diagonales sont des axes de symétrie}$ $2 \text{ axes de symétrie}$

e) Cercle $\text{Tout diamètre est un axe de symétrie}$ $\text{Une infinité d'axes de symétrie}$

2Propriétés — distances et mesures

a) $AA' = 2 \times 4{,}5 =$ $9 \text{ cm}$

b) $\text{La symétrie conserve les longueurs, donc } A'B' = AB =$ $7 \text{ cm}$

c) $\text{Si } A \in d, \text{ le pied } H \text{ coïncide avec } A, \text{ donc } HA' = HA = 0 : A' = A.$ $A' = A \text{ (le point est son propre symétrique)}$

3Construction sur quadrillé

a) $\text{Par définition, } d \text{ est la médiatrice de } [AA'], \text{ donc son milieu est sur } d.$ $\text{Oui, le milieu de } [AA'] \text{ appartient à } d.$

b) $\text{La symétrie conserve les longueurs.}$ $AB = A'B' \text{ : les deux mesures sont égales.}$

c) $\text{Par définition de la symétrie axiale : } (AA') \perp d.$ $\text{Oui, } (AA') \perp d.$

4Symétrie dans les lettres

a) Axe vertical $\text{Moitié gauche = moitié droite pour : A, H, M, O, X}$ $\text{A, H, M, O, X}$

b) Axe horizontal $\text{Moitié haute = moitié basse pour : B, C, D, E, H, O, X}$ $\text{B, C, D, E, H, O, X}$

c) Les deux axes $\text{Lettres présentes dans les deux listes précédentes}$ $\text{H, O et X}$

5Problème — massif de jardin

a) $\text{La symétrie conserve les longueurs : } A'B' = AB = 6 \text{ m},\ B'C' = BC = 4 \text{ m},\ A'C' = AC = 5 \text{ m}.$ $A'B' = 6 \text{ m},\ B'C' = 4 \text{ m},\ A'C' = 5 \text{ m}$

b) $A'B' + B'C' + A'C' = 6 + 4 + 5 = 15 \text{ m} = AB + BC + AC$ $\text{Les deux périmètres sont égaux : } 15 \text{ m.}$

c) $\text{La symétrie axiale conserve les angles : } \widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 55°.$ $\text{Oui. La symétrie conserve les angles, donc l'angle en } B' \text{ vaut bien } 55°.$