Symétrie axiale

Replier le plan le long d'une droite : les deux parties se superposent exactement.

1 L'idée

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite $d$ si, en repliant le plan le long de $d$, elles se superposent parfaitement. La droite $d$ s'appelle axe de symétrie.

À chaque point $A$ correspond un unique point $A'$, son symétrique (ou image) par rapport à $d$. L'axe $d$ est alors la médiatrice du segment $[AA']$ : il lui est perpendiculaire et passe par son milieu.

2 Propriétés de la symétrie axiale

Perpendiculaire

$(AA') \perp d$

Milieu sur l'axe

$\text{le milieu de } [AA'] \in d$

Distances conservées

$A'B' = AB$

Angles conservés

$\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}$

3 Construire le symétrique d'un point

Exemple : $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $d$, avec $AH = 3$ cm ($H$ pied de la perpendiculaire)

Tracer la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $d$ (avec l'équerre).

Repérer $H$, l'intersection de cette perpendiculaire avec $d$.

Reporter $3$ cm de l'autre côté : placer $A'$ tel que $HA' = HA = 3$ cm.

Vérification : $AA' = 6$ cm et $H$ est bien le milieu de $[AA']$.

Méthode — construire le symétrique d'un point (pas à pas)

Tracer la perpendiculaire à $d$ passant par le point $A$.
Nommer $H$ le pied de cette perpendiculaire (son intersection avec $d$).
Mesurer la distance $AH$.
Reporter la même longueur de l'autre côté : placer $A'$ sur la perpendiculaire, à la même distance de $H$, mais de l'autre côté de $d$.

Erreurs fréquentes

Tracer la perpendiculaire depuis un point quelconque : elle doit impérativement passer par $A$.
Placer $A'$ du même côté que $A$ par rapport à $d$ : $A$ et $A'$ sont toujours de part et d'autre de l'axe.
Croire qu'un point situé sur l'axe se déplace : si $A \in d$, alors $A' = A$.
Confondre symétrie axiale (par rapport à une droite) et symétrie centrale (par rapport à un point) : ce sont deux transformations distinctes.